ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Επίκ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΙΣΗ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΥΡΒΩΔΗ ΡΟΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗN ΤΥΡΒΩΔΗ ΡΟΗ Το 1940, ηστενή(πλάτος 12 μέτρα) κρεμαστή γέφυρα της Tacoma (Washington, USA) κατέρρευσε λίγο καιρό (4 μήνες ) μετά τα εγκαίνια της, και οι λόγοι της κατάρρευσης αποδόθηκαν, ύστερα από έρευνα, στη δυναμική καταπόνησή της από τον άνεμο. Η καταστροφή αποτυπώθηκε συμπτωματικά σε κινηματογραφική ταινία, όπου βλέπει κανείς την προοδευτική αύξηση του ύψους ταλάντωσης της γέφυρας σαν συνάρτηση του χρόνου, λόγω συντονισμού της ιδιοσυχνότητας της γέφυρας με την συχνότητα της δυναμικής καταπόνησης. Η γέφυρα είχε μήκος 853 μέτρα, και ήταν κρεμαστή σιδερένια, και είχε μελετηθεί από ένα από τα μεγαλύτερα μελετητικά γραφεία των ΗΠΑ. Η γέφυρα από την αρχή παρουσίαζε προβλήματα ταλαντώσεων όταν έπνεε άνεμος (όχι ιδιαίτερα μεγάλης ταχύτητας), καιείχεμετρηθείμίαφοράταλάντωσηύψους1.5 μέτρα, χωρίς να πέσει.
Πριν την πτώση της γέφυρας της Tacoma λίγα ήταν γνωστά για τη δυναμική καταπόνηση των κατασκευών, οι οποίες υπολογίζονταν μόνο για στατικά φορτία. Ο άνεμος την ημέρα που έπεσε η γέφυρα ήταν 68 km/h, δεν ήταν δηλαδή εξαιρετικά υψηλή η ταχύτητα του ανέμου. Το πρόβλημα δημιουργήθηκε από τον συντονισμό της συχνότητας της εμφάνισης δινών πίσω από την γέφυρα (δυναμική καταπόνηση) με την ιδιοσυχνότητα της γέφυρας. http://www.nwwf.com/profile/piegig.htm http://www.enm.bris.ac.uk/research/nonlinear/tacoma/tacoma.html http://www.nd.edu/~yzhou/tacoma.html
Ο πρώτος που αντελήφθη τον μηχανισμό πτώσεως της γέφυρας ήταν ο διάσημος Καθηγητής της ρευστομηχανικής στο California Institute of Technology (CALTECH, USA) von Karman, οοποίος και διετύπωσε την άποψη, ότι η καταστροφή αυτή ήταν περίπτωση συντονισμού από την περιοδική εκπομπή στροβίλων λόγω ανέμου, σύμφωνα με την θεωρία των περίφημων von Karman vortex street που είχε διατυπώσει ο ίδιος. Πέραν της θεωρητικής επεξήγησης κατασκεύασε και ένα μικρό απλοποιημένο λαστιχένιο ομοίωμα της γέφυρας και το τοποθέτησε σε εργαστηριακά ελεγχόμενο ρεύμα αέρα. Σε μια συγκεκριμένη ταχύτητα του αέρα η γέφυρα άρχισε να ταλαντώνεται πάρα πολύ βίαια.
Όλα τα κυλινδρικά σώματα, όταν τίθενται κάθετα σε μια ροή ρεύματος, θα συμπεριφερθούν ποιοτικά όπως ο κυκλικός κύλινδρος, ο οποίος μελετάται λεπτομερώς στη συνέχεια. Όταν ο αριθμός Re είναι στην περιοχή Karman, ήστην μετά - Karman περιοχή, όλα τα παρεμβαλλόμενα σώματα θα εκπέμπουν στροβίλους. Είναι καθήκον του κατασκευαστή μηχανικού να σχεδιάσει έτσι το έργο, ώστε η φυσική τους συχνότητα ταλάντευσης να απέχει πολύ από αυτήν της εκπομπής στροβίλων. Τα σώματα τα οποία δεν είναι κυλινδρικά αλλά παρουσιάζουν περισσότερο ή λιγότερο σφαιρική ( αντί για επιμήκη ) μπροστινή προβαλλόμενη περιοχή στη ροή, συμπεριφέρονται ποιοτικά όπως ησφαίρα.
Η ταλάντωση των γεφυρών δεν είναι το μόνο είδος προβλήματος που συναντάμε εξαιτίας της εκπομπής στροβίλων. Παραπλήσια προβλήματα εμφανίζονται σε υποβρύχιους αγωγούς (π.χ. διαθέσεως λυμάτων, μεταφοράς πετρελαίου κλπ.) στον πυθμένα της θάλασσας λόγω θαλασσίων ρευμάτων. Αλλά παραδείγματα είναι τα καλώδια μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας που δημιουργούν ήχο, ο οποίος συνήθως είναι μόνο ακουστική ενόχληση, αλλά σε συνδυασμό με το φαινόμενο της κόπωσης υλικών, αυτός ο υψηλής συχνότητας και μικρού μεγέθους ήχος είναι γνωστό ότι σπάει τα καλώδια. Τα υποβρύχια περισκόπια είναι ευαίσθητα στις ταλαντώσεις σε συγκεκριμένες ταχύτητες εξαιτίας της εκπομπής στροβίλων, οπότε η προκύπτουσα θόλωση της εικόνας του περισκοπίου καθιστά το περισκόπιο άχρηστο.
Οι περισσότερες καταστροφές από ανεμοπίεση σε χαμηλά κτίρια (στέγες, καμινάδες, τζαμαρίες κλπ.) οφείλονται σε στατικά φορτία και όχι σε δυναμικά, επειδή η κατασκευή των μικρών έργων είναι σχετικά με το μέγεθός τους, συμπαγής. Τα δυναμικά φαινόμενα εμφανίζονται σε υψηλές ή λεπτές και μακριές κατασκευές, όπου η κατασκευή παρουσιάζει ελαστικότητα. H δύναμη F D που εξασκείται σ ένα στερεό σώμα που παρεμβάλλεται στην ομοιόμορφη ροή ενός ρευστού αναλύεται σε δύο δυνάμεις, μία στη ίδια διεύθυνση με την ροή, που καλείται δύναμη αντίστασης F D (drag force) ήοπισθέλκουσα, και μία κάθετα στην ροή που λέγεται άνωση F L (lift ). Η δύναμη άνωσης οφείλεται καθαρά στις ορθές τάσεις (που πολλές φορές ανακριβώς ονομάζονται πιέσεις), που ασκούνται πάνω στο εμπόδιο, ενώ η δύναμη αντίστασης προέρχεται τόσο από τις ορθές τάσεις όσο και από τις διατμητικές τάσεις που ασκούνται πάνω στο εμπόδιο.
Εξετάζουμε τη δύναμη αντίστασης που είναι παράλληλη με τη ροή, (drag force ) F D που ασκείται σε ένα στερεό μακρύ, κυλινδρικό σώμα (όχι απαραίτητα κυκλικής διατομής) τυπικού πάχους D και μήκους L(L/D >> 1), του οποίου ο άξονας τοποθετείται κάθετα σε μία ομοιόμορφη ροή, ενός ρευστού με πυκνότητα ρ, ιξώδες μ, και ταχύτητα U. Το ίδιο βεβαίως πρόβλημα έχουμε και όταν ο κύλινδρος κινείται με ταχύτητα U σε μια διεύθυνση κάθετη στον άξονα του (στην περίπτωση του κυλίνδρου) μέσα σε ηρεμούν ρευστό. Με βάση τη διαστατική ανάλυση θα έχουμε: ρ ρ ρ FD = f = C 2 μ 2 U 2 A 2 ( UD ) U A D C D = συντελεστής αντίστασης που εξαρτάται από τον Re=ρUD/μ A = η προβαλλόμενη κάθετα στη διεύθυνση της ροής επιφάνεια του σώματος. U = η ομοιόμορφη ταχύτητα ροής μακριά από το εμπόδιο
Για κύλινδρο κυκλικής διατομής το D είναι η διάμετρος. Για μία πλάκα κάθετη στη ροή, το ύψος της πλάκας. Ο παραπάνω τύπος ισχύει και για οποιοδήποτε σώμα και όχι μόνο για κυλινδρικά σχήματα, ισχύει για σφαίρες και για άλλα συμμετρικά ή μη σώματα. Ο ακριβής τύπος της συνάρτησης f, δηλαδή η καμπύλη του C D σαν συνάρτηση του Re, καθορίζεται πειραματικά και είναι σχεδιασμένη στα σχήματα που ακολουθούν για κυλινδρικά και συμμετρικά σχήματα. Ισχύει τόσο για τα υγρά όσο και για τα αέρια Mach είναι μικρός). (όταν ο αριθμός Το πιο αξιοπρόσεχτο για αυτές τις καμπύλες είναι ότι ο συντελεστής C D για τον κυκλικό κύλινδρο μειώνεται μάλλον απότομα καθώς ο αριθμός Re αυξάνεται από 2 10 5 σε 5 10 5.
Το ίδιο συμβαίνει και όταν Re = 3 10 5 στην περίπτωση της σφαίρας. Η εξήγηση αυτής της ξαφνικής μείωσης δόθηκε για πρώτη φορά από τον Prandtl, και βασικά οφείλεται στις ιδιομορφίες της αποκόλλησης της οριακής στοιβάδας και έντασης εκπομπής στροβίλλων (υποπίεσης). Η εμπρόσθια προβαλλόμενη περιοχή για κυκλικό κύλινδρο ίση με Α =DL και για την σφαίρα ίση με π D 2 / 4. Αντίστοιχη εξίσωση ισχύει και για την δύναμη άνωσης F L = C L ρ 2 UA 2
ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΕΝΑ ΚΥΚΛΙΚΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ Μελετάμε την ροή γύρω από ένα κύλινδρο ή μία σφαίρα όχι μόνο για τις άμεσες εφαρμογές στην περίπτωση που τα εξεταζόμενα στερεά σώματα έχουν αυτά τα γεωμετρικά σχήματα, αλλά και σαν βασικές περιπτώσεις ροής, που βοηθούν στη κατανόηση των φαινομένων σε άλλες πολυπλοκότερες γεωμετρίες. Η ροή γύρω από τα σώματα αυτά μπορεί να γίνει ορατή με διάφορες τεχνικές όπως αφήνοντας μια χρωστική ουσία, καπνό, αιωρούμενη σκόνη ή φυσαλίδες. Oι τύποι ροής σε διάφορα επίπεδα κάθετα στον άξονα μπορούν να φανούν και να φωτογραφηθούν φωτίζοντας ένα επίπεδο μόνο με δυνατό φως.
(1) Περιοχή όπου ο αριθμός Re είναι πολύ μικρός. Η ροή είναι στρωτή, και στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται ένας τυπικός τύπος ροής για αριθμό Re < 1. Η ροή είναι συμμετρική ως προς το ανάντη και κατάντη του κυλίνδρου και αρκετά απλή. Η ροή είναι ακριβώς συμμετρική μόνο όταν Re < 0.5. Ο συντελεστής αντίστασης για αριθμό Re < 0.5 δίνεται από την σχέση : 8π / Re C D = (9.2.1) ln ( 7.406 / Re ) Ένα αξιοσημείωτο μέρος της δύναμης αντίστασης (περίπου 2/3 όταν Re 0, μέχρι 1 / 3 όταν Re 1)οφείλεται στις διατμητικές τάσεις που ασκούνται εφαπτομενικά στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Το υπόλοιπο οφείλεται σε ορθές τάσεις.
(2) Περιοχή δύο συμμετρικών πανομοιότυπων στροβίλων. Καθώς ο αριθμός Re αυξάνεται έτσι ώστε να κυμαίνεται από 1<Re<40, εμφανίζονται δυο περιοχές στροβίλων στο πίσω μέρος του κυλίνδρου. Ηροήπαραμένειστρωτήκαιτο μήκος l των πανομοιότυπων στροβίλων που εμφανίζεται σαν φυσαλίδα στο πίσω μέρος του κυλίνδρου κατά την διεύθυνση της ροής φαίνεται ότι ακολουθεί τη σχέση: l / D = 0.06 ( Re 5) Η προχωρημένη αριθμητική ανάλυση, με τη βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών, μπορεί να προβλέψει τις ροές σε αυτή την περιοχή με αρκετή ακρίβεια.
.
(3) Περιοχή 40 < Re < 80 Η ροή παραμένει ακόμα στρωτή αλλά, φυσικά, δεν είναι πλέον συμμετρική. Είναι αξιοσημείωτο ότι το πεδίο ροής δείχνει μια ταλάντωση στο χώρο, όχι στον χρόνο. Η συμβολή των διατμητικών τάσεων στην αντίσταση παραμένει περίπου στο 1 / 5, αναλογία ακόμα σημαντική.
(4) Περιοχή Karman, 80<Re<300 Οι στρόβιλοι σχηματίζουν δυο σειρές με μια συγκεκριμένη γεωμετρική αναλογία b1 / b2 = 1.8. Αυτή η διπλή σειρά στροβίλων είναι γνωστή ως γραμμή στροβίλων του Kármán. Η ροή εδώ δεν είναι πλέον σταθερή αλλά μεταβάλλεται περιοδικά με τον χρόνο. Το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να προσεχθεί είναι ότι η ροή, αν και σύνθετη και εξαρτώμενη από τον χρόνο, παραμένει στρωτή.
Αν εξετάσουμε τη ροή αμέσως πίσω από τον κύλινδρο θα δούμε το παρακάτω φαινόμενο. Πρώτα - πρώτα, ένας στρόβιλος θα σχηματιστεί κοντά στο πάνω μέρος του κυλίνδρου. Όσο ο στρόβιλος είναι κοντά στον κύλινδρο το μέγεθος του αυξάνει (παραμένοντας στην περιοχή του κυλίνδρου). Όταν ο στρόβιλος πάρει ένα συγκεκριμένο μέγεθος θα αφήσει τον κύλινδρο για να ακολουθήσει την γραμμή των στροβίλων κατάντη. Μετά, ένας άλλος στρόβιλος θα εμφανιστεί κοντά στον κύλινδρο, αυτή τη φορά στη χαμηλότερη πίσω περιοχή. Και αυτός επίσης θα μεγαλώσει και θα φύγει. Εν συντομία, ο κύλινδρος θα εκπέμπει περιοδικά στροβίλους.
Κάθε εκπομπή στροβίλου συνοδεύεται από μια εγκάρσια δύναμη πάνω στον κύλινδρο σε μια διεύθυνση περίπου κάθετη στην ροή. Μια τέτοια περιοδική διαταραχή, αν και μικρή σε μέγεθος, μπορεί να προκαλέσει θραύση εάν η συχνότητα της διαταραχής τυχαίνει να είναι κοντά στη συχνότητα της φυσικής ταλάντωσης της κατασκευής (φαινόμενο συντονισμού). Μια ακίνδυνη επίδειξη από αυτό το ταίριασμα των συχνοτήτων (συντονισμός) είναι τα τηλεφωνικά καλώδια ή τα καλώδια υψηλής τάσης, όταν η συχνότητα των στροβίλων ταιριάζει με αυτή της φυσικής ταλάντωσης του καλωδίου, το εύρος της ταλάντωσης του καλωδίου αυξάνεται και έτσι ακούμε τον ήχο.
Σε καταστροφικό επίπεδο, έχουμε την φημισμένη καταστροφή της γέφυρας Τακόμα. H συχνότητα n της εκπομπής στροβίλων μπορεί να συσχετιστεί με τον αριθμό Re και τον αριθμό Strouhal (παριστάνεται με St), και που ορίζεται ως St = nd / V=ψ (Re) St = 0.212 ( 1 21.2 / Re ), 40 < Re < 150 Για 150 < Re < 300, o St παίρνει την τιμή από 0.18 σε 0.20. Το ποσοστό της αντίστασης που οφείλεται στις διατμητικές τάσεις μειώνεται σε 10% για 0<Re<300 (ενώ το ποσοστό των ορθών τάσεων είναι 90 %).
.
Γραμμές ροής πίσω από κύλινδρο για αριθμό Reynolds=100 (πηγή: Patel, The Iowa Institute of Hydraulic Research)
Εμφάνιση της ροής πίσω από σφαίρα για αριθμό Reynolds=300 (πηγή: Patel, The Iowa Institute of Hydraulic Research)
.
.
(5) Κρίσιμη, μετά - Karman περιοχή, 300 < Re < 2 10 5 Στην περιοχή αυτή η ροή είναι τυρβώδης. Οι εμφανίσεις των στροβίλων δεν ακολουθούν την κανονικότητα των στροβίλων Karman, αλλά συνεχίζουν να εμφανίζονται ακανόνιστα γύρω από κάποια επικρατούσα συχνότητα. Οαριθμός St κυμαίνεται από 0.18 έως 0.32. Στο πίσω τμήμα του κυλίνδρου το στρωτό οριακό στρώμα φαίνεται να αποσπάται από τον κύλινδρο. Μετά την απόσπαση η ροή σχηματίζει ένα αρκετά πλατύ αυλάκι γεμάτο από ακανόνιστους στροβίλους. Αυτή η περιοχή της ροής είναι ισχυρά τυρβώδης. Το λεπτό οριακό στρώμα στο μπροστινό μέρος του κυλίνδρου παραμένει στρωτό μέχρι Re 2 10 5.
.
.
Σε αυτή την περιοχή οι διατμητικές τάσεις συνεισφέρουν πολύ λίγο στην δύναμη αντίστασης (συμβάλλουν λιγότερο από 1% όταν Re > 10 4 ). Η δύναμη αντίστασης οφείλεται αποκλειστικά στις ορθές τάσεις που ασκούνται πάνω στον κύλινδρο. Μπορούμε να πούμε ότι η δύναμη αντίστασης οφείλεται κυρίως στην κατανομή της πίεσης πάνω στον κύλινδρο. Η δύναμη αντίστασης, που είναι η οριζόντια συνιστώσα της συνολικής συνισταμένης της πίεσης πάνω στον κύλινδρο, είναι κατά προσέγγιση ίση με την πτώση της πίεσης από τα ανάντη στα κατάντη του κυλίνδρου πολλαπλασιασμένη με την διατομή της περιοχής του αυλακιού. Σε αυτήν την μεγάλη περιοχή των αριθμών Reynolds (από 300 έως 2*10 5 ), έχουμε κατά προσέγγιση, C D = σταθερό
(6) Κρίσιμη περιοχή, περιοχή Re= 2 10 5 έως 5 10 5 O C D μειώνεται γρήγορα καθώς ο αριθμός Re αυξάνεται από 2 10 5 σε 5 10 5
Η εξήγηση για αυτήν τη πτώση οφείλεται στον Prandtl, οοποίος έδειξε ότι όταν ο αριθμός Re φτάνει στην τιμή 2 10 5, το στρωτό οριακό στρώμα στον κύλινδρο αρχίζει να γίνεται τυρβώδες και το αυλάκι πίσω από τον κύλινδρο γίνεται στενότερο. Σε αυτή την περιοχή η δύναμη αντίστασης είναι σχεδόν ολόκληρη εξαρτώμενη από την πτώση της πίεσης από τα ανάντη του κυλίνδρου στα κατάντη, πολλαπλασιασμένη με τη διατομή της περιοχής του αυλακιού. Από την άλλη μεριά η ξαφνική μεταβολή από στρωτό οριακό στρώμα σε τυρβώδες επιφέρει πολύ μικρή αλλαγή στην πτώση της πίεσης αλλά μεγάλη ελάττωση στην εγκάρσια διάσταση του αυλακιού. Ως εκ τούτου, η δύναμη αντίστασης απότομα, αρχίζει να μειώνεται καθώς ο αριθμός Re πλησιάζει την περιοχή του 2 10 5.
Για να δείξει ότι η πτώση στον C D οφείλεται στο ότι το οριακό στρώμα γίνεται τυρβώδες, ο Prandtl έδωσε επίσης πειραματική απόδειξη με τεχνητά εισαγόμενες διαταραχές που συμβάλλουν στην μεταβολή από στρωτό σε τυρβώδες οριακό στρώμα. (7) Μετακρίσιμη περιοχή Re > 5 10 5 Οι διατμητικές τάσεις στον κύλινδρο αυξάνονται σημαντικά καθώς το οριακό στρώμα αλλάζει από στρωτό σε τυρβώδες. Η συμβολή στον C D που οφείλεται στην πτώση της πίεσης από τα ανάντη στο αυλάκι παραμένει ουσιαστικά η ίδια. Συνεπώς, επειδή η συμβολή που οφείλεται στις διατμητικές τάσεις αυξάνεται, τότε και ο C D θα αυξηθεί. Έτσι, για Re > 5 10 5 o C D αυξάνεται βαθμιαία.