ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ ΩΜΑΣΟ ΔΙΑΓΩΓΗ

ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ ΩΜΑΣΟ 1. ΚΤΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΤΛΙΚΟΤ ΗΜΔΙΟΤ ΔΙΑΓΩΓΗ Θεσξνύκε έλα πιηθό ζεκείν, ην νπνίν θηλείηαη ζε θπθιηθή ηξνρηά αθηίλαο R, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Αο ππνζέζνπκε όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 = t ην πιηθό ζεκείν βξίζθεηαη ζηε ζέζε Α, ελώ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = t 1 + dt βξίζθεηαη ζηε ζέζε Β. 'Δηζη, ζε ρξόλν dt ζα έρεη δηαγξάςεη ηόμν κήθνπο ds, ζην νπνίν αληηζηνηρεί ε επίθεληξε γσλία dζ. Α.ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Ολνκάδνπκε γξακκηθή ηαρύηεηα π ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t έλα δηάλπζκα, ην νπνίν έρεη κέηξν ίζν κε ην πειίθν ηνπ ηόμνπ ds πξνο ηνλ αληίζηνηρν ρξόλν dt. Δίλαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο θαη έρεη: ds Μέηξν: π= dt Γηεύζπλζε: Η γξακκηθή ηαρύηεηα εθάπηεηαη ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο ζηε ζέζε όπνπ βξίζθεηαη θάζε θνξά ην πιηθό ζεκείν. Φνξά: έρεη ηε θνξά ηεο θίλεζήο ηνπ. Η κνλάδα κέηξεζεο ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο είλαη ην 1 m/s. Β. ΓΩΝΙΑΚΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Ολνκάδνπκε γωληαθή ηαρύηεηα ω ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t ην πειίθν ηεο γωλίαο dζ πξνο ηνλ αληίζηνηρν ρξόλν dt. Δίλαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο θαη έρεη: dζ Μέηξν: σ= dt Γηεύζπλζε: έρεη δηεύζπλζε θάζεηε ζην επίπεδν ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο ηνπ Η θαηεύζπλζε ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο σ θαζνξίδεηαη κε ηνλ θαλόλα ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ. Σπγθεθξηκέλα, θιείλνπκε ηα ηέζζεξα δάρηπια ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ, έηζη ώζηε λα δείρλνπλ ηε θνξά πεξηζηξνθήο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ. Τόηε, ν ηελησκέλνο αληίρεηξαο δείρλεη ηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο. Η κνλάδα κέηξεζεο ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο είλαη ην 1 rad/s. ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

Γ.ΥΔΗ ΜΔΣΑΞΤ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Από ηνλ νξηζκό ηεο γσλίαο έρνπκε: s dζ= ds dζ => ds=rdζ => R => π=ωr R dt dt Γ.Κεληξνκόινο επηηάρπλζε Λόγσ κεηαβνιήο ηεο δηεύζπλζεο ηεο ηαρύηεηάο ηνπ, ην πιηθό ζεκείν έρεη θεληξνκόιν επηηάρπλζε. Δίλαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο θαη έρεη: π κέηξν : α θ = σ.r R θαηεύζπλζε: έρεη ηελ δηεύζπλζε ηεο επηβαηηθήο αθηίλαο κε θνξά πξνο ην θέληξν ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο. Η θεληξνκόινο επηηάρπλζε είλαη ππεύζπλε γηα ηε κεηαβνιή ηεο δηεύζπλζεο ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο.. ΟΜΑΛΗ ΚΤΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΤΛΙΚΟΤ ΗΜΔΙΟΤ Όηαλ ην κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο παξακέλεη ζηαζεξό, ηόηε ε θίλεζε ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ραξαθηεξίδεηαη σο νκαιή θπθιηθή θίλεζε. Σηελ θίλεζε απηή παξακέλεη επίζεο ζηαζεξό θαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο. 3. ΜΔΣΑΒΑΛΛΟΜΔΝΗ ΚΤΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΤΛΙΚΟΤ ΗΜΔΙΟΤ Θεσξνύκε έλα πιηθό ζεκείν, ην νπνίν θηλείηαη ζε θπθιηθή ηξνρηά αθηίλαο R, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Αο ππνζέζνπκε όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 = t ην πιηθό ζεκείν έρεη γξακκηθή ηαρύηεηα π 1 θαη γσληαθή ηαρύηεηα σ 1, ελώ ηε ρξνληθή ζηηγκή t =t 1 +dt έρεη γξακκηθή ηαρύηεηα π =π η + d π θαη γσληαθή ηαρύηεηα σ = σ ] + dσ. 'Έηζη, ζην ρξόλν dt ε γξακκηθή ηαρύηεηα ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ κεηαβάιιεηαη θαηά dπ θαη ε γσληαθή ηνπ ηαρύηεηα θαηά dσ. ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα

Α.ΓΡΑΜΜΙΚΗ (Η ΔΠΙΣΡΟΥΙΑ) ΔΠΙΣΑΥΤΝΗ Λόγσ κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο, ην πιηθό ζεκείν έρεη γξακκηθή επηηάρπλζε. Ολνκάδνπκε γξακκηθή επηηάρπλζε α ε ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t έλα δηάλπζκα, ηνπ νπνίνπ ην κέηξν είλαη ίζν κε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο. Γει. dπ α ε = dt Η γξακκηθή επηηάρπλζε εθάπηεηαη ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο θαη έρεη ηε θνξά ηεο θίλεζεο, όηαλ ην κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ απμάλεηαη, θαη θνξά αληίζεηε από ηε θνξά ηεο θίλεζεο, όηαλ ην κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ειαηηώλεηαη. Η κνλάδα κέηξεζεο ηεο γξακκηθήο επηηάρπλζεο είλαη ην 1 m/s. Β.ΓΩΝΙΑΚΗ ΔΠΙΣΑΥΤΝΗ Ολνκάδνπκε γωληαθή επηηάρπλζε α ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t έλα δηάλπζκα, ηνπ νπνίνπ ην κέηξν είλαη ίζν κε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο γωληαθήο ηαρύηεηαο. Γειαδή : dσ α = dt Η γσληαθή επηηάρπλζε έρεη ηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο d ω. Μνλάδα κέηξεζεο ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο είλαη ην 1rad/s. Γ.ΥΔΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΔΠΙΣΑΥΤΝΗ Η ζρέζε π = σr γξάθεηαη: π = σr => dπ = Rdσ => dπ dσ R => dt dt αε =α.r 4. ΟΜΑΛΑ ΜΔΣΑΒΑΛΛΟΜΔΝΗ ΚΤΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Όηαλ ην κέηξν ηεο επηηξόρηαο επηηάρπλζεο παξακέλεη ζηαζεξό (α ε =ζηαζ.) ηόηε ε θίλεζε ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ραξαθηεξίδεηαη σο νκαιά κεηαβαιιόκελε θπθιηθή θίλεζε. Σηελ θίλεζε απηή παξακέλεη επίζεο ζηαζεξό θαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο (α=ζηαζ). ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3

Α.Οκαιά επηηαρπλόκελε θπθιηθή θίλεζε ρωξίο ω 0 (ω 0 =0) Τε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 ην πιηθό ζεκείν είλαη αθίλεην ( σ ν = 0 ), θαη αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε α. i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α=ζηαζ. ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω=αt iii) Δπίθεληξε γωλία πνπ δηαγξάθεη: ζ = 1 α t Η επηηξόρηα επηηάρπλζε παξακέλεη ζηαζεξή α ε =α.r Β.Οκαιά επηηαρπλόκελε θπθιηθή θίλεζε κε ω 0 Τε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 ην πιηθό ζεκείν πεξηζηξέθεηαη κε αξρηθή γσληαθή ηαρύηεηα σ ν, θαη αξρίδεη λα επηηαρύλεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε α πνπ έρεη ηελ ίδηα θαηεύζπλζε κε ηελ αξρηθή γσληαθή ηαρύηεηα σ ν i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α=ζηαζ. ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω= ω ν +αt iii) Δπίθεληξε γωλία πνπ δηαγξάθεη: ζ = ω ν t + 1 α t Η επηηξόρηα επηηάρπλζε παξακέλεη ζηαζεξή α ε =α.r ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 4

Γ.Οκαιά επηβξαδπλόκελε θπθιηθή θίλεζε Τε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 ην πιηθό ζεκείν πεξηζηξέθεηαη κε αξρηθή γσληαθή ηαρύηεηα σ ν, θαη αξρίδεη λα επηβξαδύλεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε(επηβξάδπλζε) α< 0 πνπ είλαη αληίξξνπε κε ηελ αξρηθή γσληαθή ηαρύηεηα σ ν i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α =ζηαζ. ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω= ω ν - α t iii) Δπίθεληξε γωλία πνπ δηαγξάθεη: ζ = ω ν t - 1 α t Η επηηξόρηα επηηάρπλζε παξακέλεη ζηαζεξή α ε =α.r (α ε <0) Σηελ επηβξαδπλόκελε θίλεζε ην πιηθό ζεκείν ηειηθά ζηακαηάεη ( σ = 0) κεηά ρξόλν t νι. Γηα t = t νι θαη σ = 0 ε ζρέζε σ= σ ν -αt γξάθεηαη: σ= σ ν α t => 0= σ ν α t νι => α t νι = σ ν => t νι = α σ 0 Η γσλία ζ νι θαηά ηελ νπνία ζηξέθεηαη ην πιηθό ζεκείν κέρξη λα ζηακαηήζεη ζε ρξόλν t νι = α σ 0 Δίλαη: ζ νι = σ ν t νι - 1 α tνι => ζ νι = σ ν α σ 0-1 α ( α σ 0 ) => ζ νι = Παξαηεξήζεηο σ 0 - α Τν δηάγξακκα γσληαθήο ηαρύηεηαο ( σ ) - ρξόλνπ ( t ) δίλεη δύν πιεξνθνξίεο: σ 0 σ 0 => ζ νι = α α Η θιίζε ηεο επζείαο δίλεη αξηζκεηηθά ηελ ηηκή ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο. Γειαδή: Γσ θιίζε(εθθ) = = α Γt Τν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ επζεία θαη ηνπο άμνλεο ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο θαη ηνπ ρξόλνπ είλαη αξηζκεηηθά ίζν κε ηε γσλία ζ θαηά ηελ νπνία ζηξέθεηαη ην πιηθό ζεκείν από ηε ρξνληθή ζηηγκή to = 0 έσο ηε ρξνληθή ζηηγκή t. ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 5

ΚΙΝΗΔΙ ΣΔΡΔΩΝ ΩΜΑΣΩΝ 1.ΤΛΙΚΟ ΗΜΔΙΟ ΚΑΙ ΜΗΥΑΝΙΚΟ ΣΔΡΔΟ Τιηθά ζεκεία ιέγνληαη ηα ζώκαηα πνπ ζεσξνύκε όηη έρνπλ όιεο ηηο άιιεο ηδηόηεηεο ηεο ύιεο, εθηόο από δηαζηάζεηο. 'Έλα πιηθό ζεκείν, κε έρνληαο δηαζηάζεηο, έρεη ηε δπλαηόηεηα λα εθηειεί κόλν κεηαθνξηθέο θηλήζεηο. ηεξεά ιέγνληαη ηα ζώκαηα πνπ έρνπλ δηαζηάζεηο, ηηο νπνίεο δε κπνξνύκε λα αγλνήζνπκε. 'Δλα ζηεξεό ζώκα, έρνληαο δηαζηάζεηο, εθηόο από κεηαθνξηθή θίλεζε, κπνξεί λα εθηειέζεη πεξηζηξνθηθή ( ζηξνθηθή) θίλεζε ή, αθόκε, ζύλζεηε θίλεζε, δειαδή ηαπηόρξνλα κεηαθνξηθή θαη ζηξνθηθή θίλεζε. Μεραληθά ζηεξεά ιέγνληαη ηα ζηεξεά πνπ ζεσξνύκε όηη δελ παξακνξθώλνληαη, όηαλ αζθνύληαη ζ' απηά δπλάκεηο. Σην παξόλ θεθάιαην, όηαλ αλαθεξόκαζηε ζε ζηεξεό, ζα ελλννύκε κεραληθό ζηεξεό. Σν Κέληξν κάδαο Κέληξν κάδαο (cm) ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο νλνκάδεηαη ην ζεκείν εθείλν πνπ θηλείηαη όπωο έλα πιηθό ζεκείν κε κάδα ίζε κε ηε κάδα ηνπ ζώκαηνο, αλ ζ απηό αζθνύληαη όιεο ζη δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα. Η θίλεζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ελόο ζώκαηνο θαζνξίδεηαη από ηε ζπληζηακέλε ησλ εμσηεξηθώλ δπλάκεσλ πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα. Ιζρύεη: Σ F =m. α cm όπνπ m ε κάδα ηνπ ζώκαηνο. i)σηα νκνγελή ζηεξεά ζώκαηα, ηα νπνία έρνπλ θέληξν ζπκκεηξίαο, ην θέληξν κάδαο ζπκπίπηεη κε ην θέληξν ζπκκεηξίαο. Γηα παξάδεηγκα, ην θέληξν κάδαο κηαο νκνγελνύο ζθαίξαο είλαη ην θέληξν ηεο ζθαίξαο. ii)τν θέληξν κάδαο ελόο ζώκαηνο κπνξεί λα βξίζθεηαη θαη έμσ από ην ζώκα. Γηα παξάδεηγκα, ζε ηζνπαρή νκνγελή δαθηύιην ην θέληξν κάδαο βξίζθεηαη ζην θέληξν ηνπ Κ,ην νπνίν δελ είλαη θάπνην ζεκείν ηεο κάδαο ηνπ δαθηπιίνπ. Κέληξν βάξνπο Κέληξν βάξνπο ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο νλνκάδεηαη ην ζηαζεξό ζεκείν από ην νπνίν δηέξρεηαη ν θνξέαο ηνπ βάξνπο ηνπ ζώκαηνο, νπνηνδήπνηε πξνζαλαηνιηζκό θαη αλ δώζνπκε ζην ζώκα. Αλ έλα ζώκα βξίζθεηαη κέζα ζε νκνγελέο πεδίν βαξύηεηαο, ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπκπίπηεη κε ην θέληξν βάξνπο ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 6

. ΚΙΝΗΔΙ ΣΩΝ ΣΔΡΔΩΝ ΩΜΑΣΩΝ 'Έλα ζηεξεό ζώκα κπνξεί λα θάλεη : κεηαθνξηθή, ζηξνθηθή, ή ζύλζεηε θίλεζε. Α.ΜΔΣΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Έλα ζώκα θάλεη κεηαθνξηθή θίλεζε, όηαλ θάζε ζηηγκή όια ηα ζεκεία ηνπ ζώκαηνο έρνπλ ηελ ίδηα ηαρύηεηα (ίδηα θαηεύζπλζε θαη ίδην κέηξν). Παξάδεηγκα κεηαθνξηθήο θίλεζεο είλαη ε θίλεζε ελόο θηβσηίνπ πνπ νιηζζαίλεη πάλσ ζε νξηδόληην επίπεδν. Σηε κεηαθνξηθή θίλεζε ησλ ζηεξεώλ ηζρύνπλ νη ίδηεο ζρέζεηο πνπ ηζρύνπλ ζηελ θίλεζε ησλ πιηθώλ ζεκείσλ. Η κεηαθνξηθή θίλεζε κπνξεί λα είλαη επζύγξακκε ή θακππιόγξακκε. Αλ ην ζώκα ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο θάλεη κεηαθνξηθή θίλεζε, ηόηε θάζε ζηηγκή ε ηαρύηεηα ηνπ ζεκείνπ Α είλαη ίζε κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζεκείνπ Β. Απηό ζεκαίλεη όηη θαηά ηε κεηαθνξηθή θίλεζε ηνπ ζώκαηνο νη ηξνρηέο,ησλ ζεκείσλ Α θαη Β, θαζώο θαη όισλ ησλ άιισλ ζεκείσλ ηνπ ζώκαηνο, ζα είλαη παξάιιειεο κεηαμύ ηνπο. Αλ ε ηξνρηά ηνπ ζεκείνπ Α είλαη θακππιόγξακκε, ηελ ίδηα αθξηβώο κνξθή ζα έρεη θαη ε ηξνρηά ηνπ ζεκείνπ Β. Όηαλ έλα ζηεξεό θάλεη κεηαθνξηθή θίλεζε, ηόηε: α. νη ηξνρηέο όιωλ ηωλ ζεκείωλ ηνπ ζώκαηνο είλαη παξάιιειεο. β. ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη δύν ηπραία ζεκεία ηνπ ζώκαηνο κεηαηνπίδεηαη παξάιιεια πξνο ηνλ εαπηό ηνπ. Β.ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΓΤΡΩ ΑΠΟ ΣΑΘΔΡΟ ΑΞΟΝΑ Λέκε όηη έλα ζώκα θάλεη ζηξνθηθή θίλεζε, όηαλ αιιάδεη πξνζαλαηνιηζκό. Σηε ζηξνθηθή θίλεζε ππάξρεη κηα επζεία - ν άμνλαο πεξηζηξνθήο - πνπ όια ηα ζεκεία ηεο παξακέλνπλ αθίλεηα, ελώ ηα ππόινηπα ζεκεία ηνπ ζώκαηνο θάλνπλ θπθιηθή θίλεζε, ζε επίπεδα θάζεηα ζηνλ άμνλα θαη κε ηα θέληξα ηνπο πάλσ ζηνλ άμνλα. Ο άμνλαο πεξηζηξνθήο δελ είλαη απαξαίηεην λα δηέξρεηαη από ην ζώκα. Γηα θάζε ζεκείν ελόο ζηεξενύ πνπ θάλεη ζηξνθηθή θίλεζε ηζρύνπλ όιεο νη ζρέζεηο πνπ ηζρύνπλ ζηελ θπθιηθή θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ. ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 7

Β.1.ΟΜΑΛΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΓΤΡΩ ΑΠΟ ΣΑΘΔΡΟ ΑΞΟΝΑ 'Όηαλ έλα ζηεξεό ζώκα ζηξέθεηαη γύξσ από άμνλα, ηα ζεκεία ηνπ ζηνλ ίδην ρξόλν dt ζηξέθνληαη θαηά ίδηα γσλία dζ, νπόηε έρνπλ ηελ ίδηα γσληαθή όια ηελ dζ ηαρύηεηα σ=. Δπνκέλσο, ε γσληαθή ηαρύηεηα σ dt είλαη έλα θαηάιιειν κέγεζνο γηα λα πεξηγξάςεη ην πόζν γξήγνξα πεξηζηξέθεηαη έλα ζώκα θάπνηα ζηηγκή. Τν δηάλπζκα ηεο γσληαθή ο ηαρύηεηαο βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο, όπσο θαίλεηαη ζην ζηξεθόκελν δίζθν ηνπ ζρήκαηνο. Αλ ε γωληαθή ηαρύηεηα ελόο ζώκαηνο πνπ ζηξέθεηαη γύξω από άμνλα είλαη ζηαζεξή, ζα ιέκε όηη ην ζώκα θάλεη νκαιή ζηξνθηθή θίλεζε. Παξαηήξεζε Σην ζώκα πνπ ζηξέθεηαη, θάζε ζεκείν ηνπ πνπ δε βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο έρεη: ηελ ίδηα γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ κε ην ζηεξεό ζώκα θαη γξακκηθή ηαρύηεηα πνπ ην κέηξν ηεο ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε π= ω.r, όπνπ r ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Β..ΜΔΣΑΒΑΛΛΟΜΔΝΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΓΤΡΩ ΑΠΟ ΣΑΘΔΡΟ ΑΞΟΝΑ Αο ππνζέζνπκε όηη ν δίζθνο ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 έρεη γσληαθή ηαρύηεηα ω 1 ελώ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = t 1 + Γt έρεη γσληαθή ηαρύηεηα ω = ω 1+d ω Ολνκάδνπκε γωληαθή επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t έλα δηάλπζκα, ην νπνίν είλαη ίζν κε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο γωληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο. Γειαδή: α dω = dt Η γσληαθή επηηάρπλζε έρεη: ηελ δηεύζπλζε ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο ηελ θνξά ηεο κεηαβνιήο ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο dω θαη ε κνλάδα κέηξεζήο ηεο είλαη rad/s ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 8

Παξαηεξήζεηο α) Αλ ε γσληαθή ηαρύηεηα ω απμάλεηαη, ηόηε ην δηάλπζκα d ω θαη ε γσληαθή επηηάρπλζε α έρνπλ ηελ ίδηα θνξά κε ηελ ηαρύηεηα ω όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. Τν ζηεξεό ζώκα εθηειεί ηόηε, επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. β)αλ ε γσληαθή ηαρύηεηα ω ειαηηώλεηαη, ηόηε ην δηάλπζκα d ω θαη ε γσληαθή επηηάρπλζε έρνπλ αληίζεηε θνξά από ηε θνξά ηεο ηαρύηεηαο ω, όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. Τν ζηεξεό ζώκα εθηειεί ηόηε επηβξαδπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. γ) Σην ζώκα πνπ ζηξέθεηαη, θάζε ζεκείν ηνπ πνπ δε βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηελ θάζε ρξνληθή ζηηγκή έρεη: ηελ ίδηα γσληαθή ηαρύηεηα ω κε ην ζηεξεό ζώκα. ηελ ίδηα γσληαθή επηηάρπλζε α κε ην ζηεξεό ζώκα γξακκηθή (επηηξόρεηα) ηαρύηεηα κέηξνπ: π=σ.r γξακκηθή (επηηξόρεηα) επηηάρπλζε κέηξνπ: α ε =α.r υ θεληξνκόιν επηηάρπλζε α θ = r ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 9

Β.3. ΟΜΑΛΑ ΜΔΣΑΒΑΛΛΟΜΔΝΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΓΤΡΩ ΑΠΟ ΣΑΘΔΡΟ ΑΞΟΝΑ Αλ ε γωληαθή επηηάρπλζε ελόο ζώκαηνο πνπ ζηξέθεηαη είλαη ζηαζεξή, ζα ιέκε όηη ην ζώκα θάλεη νκαιά κεηαβαιιόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. Έζησ έλα ζηεξεό ζώκα ην νπνίν ηελ ρξνληθή ζηηγκή t=0 έρεη γσληαθή επηηάρπλζε σ ν θαη αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε α γύξσ από ζηαζεξό άμνλα z z. H γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ζηεξενύ ηελ ρξνληθή ζηηγκή t ζα είλαη: dσ ω - ω α = => α = ο => σ-σ ν = α.t => ω= ω ν + α.t dt t - 0 ελώ ε γσλία πνπ έρεη δηαγξάςεη ζα είλαη : ζ = ω ν t + 1 α t α) Οκαιά Δπηηαρπλόκελε ηξνθηθή Κίλεζε ρωξίο αξρηθή γωληαθή ηαρύηεηα (ω ν =0) γύξω από ζηαζεξό άμνλα Αλ έλα ζηεξεό ζώκα ηελ ρξνληθή ζηηγκή t ν =0 έρεη γσληαθή επηηάρπλζε σ ν =0 θαη αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε α γύξσ από ζηαζεξό άμνλα z z ηόηε: i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α=ζηαζ. ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω=αt iii) Δπίθεληξε γωλία πνπ δηαγξάθεη: ζ = 1 α t β)οκαιά Δπηηαρπλόκελε ηξνθηθή Κίλεζε κε αξρηθή γωληαθή ηαρύηεηα ω 0 γύξω από ζηαζεξό άμνλα Αλ έλα ζηεξεό ζώκα ηελ ρξνληθή ζηηγκή t ν =0 έρεη γσληαθή επηηάρπλζε σ ν =0 θαη αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε α πνπ έρεη ηελ ίδηα θαηεύζπλζε κε ηελ αξρηθή γσληαθή ηαρύηεηα σ ν γύξσ από ζηαζεξό άμνλα z z ηόηε: ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 10

i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α=ζηαζ. ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω= ω ν +αt iii) Δπίθεληξε γωλία πνπ δηαγξάθεη: ζ = ω ν t + 1 α t γ)οκαιά Δπηβξαδπλόκελε ηξνθηθή Κίλεζε γύξω από ζηαζεξό άμνλα Αλ έλα ζηεξεό ζώκα ηελ ρξνληθή ζηηγκή t ν =0 έρεη γσληαθή επηηάρπλζε σ ν =0 θαη αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε (επηβξάδπλζε) α< 0 πνπ είλαη αληίξξνπε κε ηελ αξρηθή γσληαθή ηαρύηεηα σ ν γύξσ από ζηαζεξό άμνλα z z ηόηε: i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α =ζηαζ. ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω= ω ν - α t iii) Δπίθεληξε γωλία πνπ δηαγξάθεη: ζ = ω ν t - 1 α t Τν ζηεξεό ζηακαηάεη ( σ = 0) κεηά ρξόλν t νι = α σ 0 Η γσλία θαηά ηελ νπνία ζηξέθεηαη ην ζηεξεό κέρξη λα ζηακαηήζεη ζε ρξόλν t νι είλαη: ζ νι = σ 0 α ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 11

ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ Ο ηξνρόο ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο αθηίλαο R ηελ ρξνληθή ζηηγκή t = 0 αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη (σ ν =0) κε ζηαζεξή γωληαθή επηηάρπλζε α γύξσ από ζηαζεξό άμνλα z z. Ο ηξνρόο εθηειεί νκαιά επηηαρπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε ρσξίο αξρηθή γσληαθή ηαρύηεηα κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε α Γηα ηνλ ηξνρό ηζρύεη: α)γσληαθή επηηάρπλζε: α=ζηαζ. β) Γσληαθή ηαρύηεηα: ω=αt γ) Δπίθεληξε γσλία : ζ = 1 α t Γηα έλα ζεκείν ηεο πεξηθέξεηαο (r=r) ηνπ ηξνρνύ ηζρύεη: α) Γσληαθή επηηάρπλζε: α=ζηαζ. (ίδηα κε ηνπ ζηεξενύ) β) Γσληαθή ηαρύηεηα: ω=αt (ίδηα κε ηνπ ζηεξενύ) ε) γξακκηθή (επηηξόρεηα) επηηάρπλζε κέηξνπ: α ε =α.r ζη)θεληξνκόιν επηηάρπλζε α θ = R υ δ)κήθνο ηόμνπ πνπ δηαγξάθεη : s = ζ.r γ) Δπίθεληξε γσλία : ζ = 1 α t (ίδηα κε ηνπ ζηεξενύ) δ) γξακκηθή (επηηξόρεηα) ηαρύηεηα κέηξνπ: π=ω.r s ε)αξηζκόο πεξηζηξνθώλ: Ν= πr θ ή Ν= π ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

3.ΤΝΘΔΣΗ ΚΙΝΗΗ Α. ΤΝΘΔΣΗ ΚΙΝΗΗ Έλα ζώκα θάλεη ζύλζεηε θίλεζε, όηαλ κεηαθηλείηαη ζην ρώξν θαη ηαπηόρξνλα αιιάδεη ν πξνζαλαηνιηζκόο ηνπ. Η ζύλζεηε θίλεζε κπνξεί λα κειεηεζεί σο ην απνηέιεζκα ηεο επαιιειίαο (ζύλζεζεο) κηαο κεηαθνξηθήο θαη κηαο ζηξνθηθήο θίλεζεο. Παξάδεηγκα Σύλζεηε θίλεζε θάλεη ν ηξνρόο ελόο θηλνύκελνπ απηνθηλήηνπ. Ο ηξνρόο ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ θαη ηαπηόρξνλα ζπκκεηέρεη ζηε κεηαθνξηθή θίλεζε ηνπ απηνθηλήηνπ. Έλαο ηξνρόο θπιίεηαη, ρσξίο λα νιηζζαίλεη, όηαλ δελ ππάξρεη ζρεηηθή θίλεζε ηνπ ζεκείνπ επαθήο ηνπ ηξνρνύ κε ην επίπεδν πάλσ ζην νπνίν ν ηξνρόο θπιίεηαη. Η θίλεζε ηνπ ηξνρνύ κπνξεί λα ζεσξεζεί σο ην απνηέιεζκα ηεο επαιιειίαο (ζύλζεζεο): α. κηαο κεηαθνξηθήο θίλεζεο, ιόγσ ηεο νπνίαο όια ηα ζεκεία ηνπ ηξνρνύ, θάζε ζηηγκή, έρνπλ ηελ ίδηα ηαρύηεηα θαη β. κηαο ζηξνθηθήο θίλεζεο γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ, ιόγσ ηεο νπνίαο όια ηα ζεκεία ηνπ ηξνρνύ πνπ απέρνπλ ην ίδην από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο έρνπλ ηαρύηεηεο πνπ είλαη εθαπηόκελεο ζηελ θπθιηθή ηνπο ηξνρηά θαη έρνπλ ην ίδην κέηξν π. Όηαλ έλαο ηξνρόο αθηίλαο R θπιίεηαη, ρσξίο λα νιηζζαίλεη, ηόηε θάζε ζεκείν ηνπ ηξνρνύ έξρεηαη δηαδνρηθά ζε επαθή κε ην δξόκν. Έηζη, όηαλ ν ηξνρόο κεηαθηλεζεί θαηά δηάζηεκα x, έλα ζεκείν Α ηεο πεξηθέξεηάο ηνπ ζα έρεη ζηξαθεί θαηά ηόμν κήθνπο s = x ζην νπνίν αληηζηνηρεί ε επίθεληξε γσλία ζ (rad). Από ηνλ νξηζκό ηεο γσλίαο έρνπκε: s = ζ.r => x = ζ.r Η ζρέζε x =ζ.r είλαη αλαγθαία ζπλζήθε, ώζηε ν ηξνρόο λα θπιίεηαη, ρωξίο λα νιηζζαίλεη. ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 13

Β.ρέζε κέηξωλ α) ηαρύηεηαο (π cm ) θαη γωληαθήο ηαρύηεηαο (ω) β) κεηαθνξηθήο επηηάρπλζεο (α cm ) θαη γωληαθήο επηηάρπλζεο (α) ζηελ ζύλζεηε θίλεζε ζηεξενύ. α)θεσξνύκε όηη έλαο ηξνρόο αθηίλαο R θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη πάλσ ζε νξηδόληην επίπεδν θαη ζε ρξόλν dt κεηαθηλείηαη θαηά δηάζηεκα dx. Σηνλ ίδην ρξόλν, ην ζεκείν επαθήο Α ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ κε ην επίπεδν ζα έρεη ζηξαθεί θαηά ηόμν κήθνπο ds ζην νπνίν αληηζηνηρεί επίθεληξε γσλία dζ, όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. Αλ π cm είλαη ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ θαη σ ε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ, από ηνπο νξηζκνύο ησλ δύν κεγεζώλ έρνπκε, αληίζηνηρα: dx π cm = dt θαη dθ σ= dt Όκσο ds = R.dζ. Δπεηδή ν ηξνρόο θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη ζα πξέπεη ds = dx. Αξα : dx = R.dζ => () έρνπκε όηη : π cm = ω.r dx dθ = R. Από (1) θαη dt dt Η ζρέζε π cm = ω.r απνηειεί επίζεο αλαγθαία ζπλζήθε, ώζηε ν ηξνρόο λα θπιίεηαη, ρωξίο λα νιηζζαίλεη. β)σε ρξόλν dt ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ κεηαβάιιεηαη θαηά dπ cm θαη ε γσληαθή ηνπ ηαρύηεηα θαηά dσ. dυ Η κεηαθνξηθή επηηάρπλζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ ζα είλαη: α cm = cm ελώ ε γσληαθή ηνπ dt dω επηηάρπλζε πεξηζηξνθήο ζα είλαη: α = dt Από ηελ ζρέζε π cm = σ.r έρνπκε : dπ cm = dσ.r => dυ cm dω =.R => αcm = α.r dt dt Η ζρέζε α cm = α.r απνηειεί επίζεο αλαγθαία ζπλζήθε, ώζηε ν ηξνρόο λα θπιίεηαη, ρωξίο λα νιηζζαίλεη. Παξαηεξήζεηο α)όια ηα ζεκεία ηνπ ηξνρνύ έρνπλ : i) κεηαθνξηθή ηαρύηεηα π cm = σ.r ίζε κε απηή ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ. ii) γσληαθή ηαρύηεηα σ θαη γσληαθή επηηάρπλζε α ίζε κε απηή ηνπ ηξνρνύ. iii) γξακκηθή (επηηξόρεηα) ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο π= σ.r iv) γξακκηθή (επηηξόρεηα ) επηηάρπλζε α ε = α.r ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 14

υ v) θεληξνκόιν επηηάρπλζε α θ = ω r r β)σα ζεκεία ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ (r=r) έρνπλ: i) κεηαθνξηθή ηαρύηεηα π cm = σ.r ίζε κε απηή ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ. ii) γσληαθή ηαρύηεηα σ θαη γσληαθή επηηάρπλζε α ίζε κε απηή ηνπ ηξνρνύ. iii) γξακκηθή (επηηξόρεηα) ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο π= σ.r= π cm,αξηζκεηηθά ίζε κε ηελ κεηαθνξηθή ηνπο ηαρύηεηα. iv) γξακκηθή (επηηξόρεηα) επηηάρπλζε α ε = α.r = α cm, αξηζκεηηθά ίζε κε ηελ κεηαθνξηθή ηνπο επηηάρπλζε. υ ω R v) θεληξνκόιν επηηάρπλζε α θ = ω R R R Γ. Πξνζδηνξηζκόο ηεο ηαρύηεηαο δηαθόξωλ ζεκείωλ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ Η ηαρύηεηα θάζε ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ είλαη ε ζπληζηακέλε ηεο ηαρύηεηαο, ιόγσ κεηαθνξηθήο θίλεζεο (π cm = σ.r), θαη ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο (επηηξόρεηαο) ιόγσ πεξηζηξνθηθήο θίλεζεο( π= σ.r= π cm ) Η ηαρύηεηα ηνπ ζεκείνπ Κ ηνπ άμνλα ηνπ ηξνρνύ είλαη: π Κ = π cm Η ηαρύηεηα ηνπ ζεκείνπ Γ ηνπ ηξνρνύ είλαη: π Γ = π cm -π => π Γ = π cm - π cm => π Γ = 0 Η ηαρύηεηα ηνπ ζεκείνπ Γ ηνπ ηξνρνύ είλαη: π Γ = π cm +π => π Γ = π cm + π cm => π Γ = π cm Η ηαρύηεηα ηνπ ζεκείνπ Β ηνπ ηξνρνύ είλαη: π Β = υcm υ => π Β = υ cm => π Β = Η θαηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο Β πξνζδηνξίδεηαη από ηε γσλία θ, ε νπνία δίλεηαη από ηε ζρέζε: υ υ εθθ = => εθθ= cm 1 => θ=45 0 υ υ cm ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 15 cm

ΤΝΘΔΣΗ ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ α) Οκαιά Δπηηαρπλόκελε Κίλεζε ρωξίο αξρηθή ηαρύηεηα (π cm(ν) =0) Κίλεζε ρωξίο αξρηθή γωληαθή ηαρύηεηα (ω ν =0) i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α=ζηαζ. i) Μεηαθνξηθή επηηάρπλζε: α cm =ζηαζ. ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω=αt ii) Μεηαθνξηθή ηαρύηεηα: π=α cm.t iii) Δπίθεληξε γωλία: ζ = 1 α t iii) Μεηαηόπηζε : x = 1 αcm.t α) Οκαιά Δπηηαρπλόκελε ηξνθηθή β)οκαιά Δπηηαρπλόκελε Κίλεζε κε αξρηθή ηαρύηεηα π cm(ν) β)οκαιά Δπηηαρπλόκελε ηξνθηθή Κίλεζε κε αξρηθή γωληαθή ηαρύηεηα ω 0 i) Μεηαθνξηθή επηηάρπλζε: α cm =ζηαζ. i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α=ζηαζ. ii) Μεηαθνξηθή ηαρύηεηα: π= π cm(ν) +α cm.t ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω= ω ν +αt iii) Μεηαηόπηζε : x =π cm(ν).t + 1 αcm.t iii) Δπίθεληξε γωλία: ζ = ω ν t + 1 α t ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 16

γ)οκαιά Δπηηαρπλόκελε Κίλεζε γ)οκαιά Δπηηαρπλόκελε Κίλεζε i) Μεηαθνξηθή επηηάρπλζε: α cm =ζηαζ. i) Γωληαθή επηηάρπλζε: α =ζηαζ. ii) Μεηαθνξηθή ηαρύηεηα: π= π cm(ν) - α cm.t ii) Γωληαθή ηαρύηεηα: ω= ω ν - α.t iii) Μεηαηόπηζε : x =π cm(ν).t - 1 α cm.t iii) Δπίθεληξε γωλία: ζ =ω ν.t - 1 α.t Τν ζηεξεό ζηακαηάεη ( π cm = 0) κεηά ρξόλν υcm(0) t νι = α cm Τν ζηεξεό ζηακαηάεη ( π cm = 0) κεηά ρξόλν t νι = α ω 0 Η ζπλνιηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζηεξενύ κέρξη λα ζηακαηήζεη ζε ρξόλν t νι είλαη: υ x νι = α cm(0) cm Η ζπλνιηθή επίθεληξε γσλία ηνπ ζηεξενύ κέρξη λα ζηακαηήζεη ζε ρξόλν t νι είλαη: ζ νι = ω 0 α ΚΕΦ.4 ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 17

Παξαηήξεζε Μπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηνύκε κόλν ηηο ζρέζεηο γηα ηελ κεηαθνξηθή θίλεζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ζηεξενύ. Γηα έλα ηξνρό αθηίλαο R ν νπνίνο εθηειεί ζύλζεηε θίλεζε, αλ γλσξίδνπκε ηελ κεηαθνξηθή ηνπ ηαρύηεηα π cm θαη ηελ κεηαηόπηζή ηνπ x ηόηε : ε γσληαθή ηνπ επηηάρπλζε είλαη : α cm = α.r => α = α cm R ε γσληαθή ηνπ ηαρύηεηα είλαη : π cm = σ.r => ω = υ cm R ε γσλία πνπ έρεη δηαγξάςεη ν ηξνρόο είλαη : ζ = R x x Ο αξηζκόο ησλ πεξηζηξνθώλ ηνπ ηξνρνύ είλαη : Ν= πr ή θ Ν= π ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 18

ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΓΤΡΩ ΑΠΟ ΣΑΘΔΡΟ ΑΞΟΝΑ ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 1 Έλαο ηξνρόο ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ. Τν κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν παξηζηάλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο. α. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηνπ ηξνρνύ; β. Πνηα ρξνληθή ζηηγκή ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ηξνρνύ είλαη σ = 8 rad/s; γ. Πνηα είλαη ε γσληαθή κεηαηόπηζε ελόο ζεκείνπ ηνπ ηξνρνύ θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ πέκπηνπ δεπηεξνιέπηνπ ηεο πεξηζηξνθήο ηνπ; Απ: α. α= 4rad/s β. t=s γ. Γζ=18rad ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ Έλαο ηξνρόο αθηίλαο R=0,5 m κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ, ν νπνίνο είλαη αθίλεηνο θαη θαηαθόξπθνο. Τε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 ν ηξνρόο αξρίδεη λα ζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε κέηξνπ α = rad/s. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο γξακκηθήο επηηάρπλζεο ελόο ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ. β: ην κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο ελόο ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 4 s. γ. ην κέηξν ηεο θεληξνκόινπ επηηάρπλζεο ελόο ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 4 s. δ. ηε γσλία πνπ δηέγξαςε κηα αθηίλα ηνπ ηξνρνύ ζην ρξoληθό δηάζηεκα Γt = t -t o = 4s. ε. ηνλ αξηζκό ησλ πεξηζηξνθώλ ηνπ ηξνρνύ ζην ρξνληθό δηάζηεκα Γt = t -t o = 4s. Απ: α. α=1 m/s β. π = 16 m/s γ. α θ =51m/s δ. ζ=3 rad ε. N=16/π πεξ. ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 19

ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 3 'Έλαο ηξνρόο πνδειάηνπ αθηίλαο R = 40 cm ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ. Τν κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν παξηζηάλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο. Να ππνινγίζεηε: α. ηε γσληαθή επηηάρπλζε ηνπ ηξνρνύ θαη ηελ επηηξόρεηα επηηάρπλζε ησλ ζεκείσλ ηεο πεξηθέξεηαο. β. ηε κεηαβνιή ηνπ κέηξνπ ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ από ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 1 s έσο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=4s. γ. ηε γξακκηθή ηαρύηεηα ελόο ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=3s. δ. ηνλ αξηζκό ησλ πεξηζηξνθώλ ηνπ ηξνρνύ θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θίλεζήο ηνπ. Απ: α. α=-4rad/s, α ε =-1,6 m/s β. Γσ=-lrad/s γ. π=3,m/s δ. N=5/π πεξ. ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 4 Έλαο δίζθνο ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ ν = l0rad/s γύξσ από άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ. Τε ρξνληθή ζηηγκή t ν = 0 ν δίζθνο απνθηά ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε κέηξνπ α = rad/s. α. Πνηα ρξνληθή ζηηγκή t ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ δίζθνπ ζα δηπιαζηαζηεί; β. Πόζε γσλία ζα δηαγξάςεη κηα αθηίλα ηνπ δίζθνπ ζην ρξνληθό δηάζηεκα Γt = = t-t o ; γ. Τελ ρξνληθή ζηηγκή t=10 sec ν δίζθνο αξρίδεη λα επηβξαδύλεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηβξάδπλζε α = - 3 rad/s. Μεηά από πόζν ρξόλν ζηακαηά ν δίζθνο, θαη πόζε γσλία ζα δηαγξάςεη κηα αθηίλα ηνπ δίζθνπ ζην ρξνληθό δηάζηεκα απηό; Απ: α. t = 5 s β. ζ = 75 rad γ. 10 s, 150 rad ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 0

ΤΝΘΔΣΗ ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 5 'Έλα πνδήιαην θηλείηαη επζύγξακκα κε ζηαζεξή ηαρύηεηα κέηξνπ π = 10 m/s. Οη ηξνρνί ηνπ πνδειάηνπ έρνπλ αθηίλα R = 40cm. Γηα ηνλ εκπξόζζην ηξνρό ηνπ πνδειάηνπ, λα ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ. β. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ αλώηεξνπ ζεκείνπ ηνπ. γ. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θαηώηεξνπ ζεκείνπ ηνπ. δ. ην κέηξν θαη ηε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο ελόο ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ, ην νπνίν απέρεη από ην έδαθνο απόζηαζε d = 40cm. Απ: α. π = l0m/s β. π Γ = 0 m/s γ. π Α = 0 δ. π Γ =10 m/s θαη ζ=π/4 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 6 'Έλα όρεκα μεθηλά από ηελ εξεκία ηε ρξνληθή ζηηγκή t ν = 0 θαη θηλείηαη ζε νξηδόληην δξόκν κε ζηαζεξή επηηάρπλζε κέηξνπ α = 4 m/s. Οη ηξνρνί ηνπ νρήκαηνο, νη νπνίνη θπιίνληαη ρσξίο λα νιηζζαίλνπλ, έρνπλ αθηίλα R =0,4m. Να ππνινγίζεηε: α. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ησλ ηξνρώλ. β. ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ησλ ηξνρώλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t l =5s. γ. ηε κεηαηόπηζε ηνπ νρήκαηνο από ηε ρξνληθή ζηηγκή t ν = 0 έσο ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ νη ηξνρνί ηνπ απνθηνύλ ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο, f= 50/π Hz. ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 7 Απ:α. Γσ 10rad/s β. σ = 50 rad/s γ. x=00m Γt 'Έλαο ηξνρόο αθηίλαο R = 0 cm θπιίεηαη πάλσ ζε επζύγξακκν νξηδόληην δξόκν, ρσξίο λα νιηζζαίλεη. Η γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ κεηαβάιιεηαη ζε ζπλάξηεζε κε. ην ρξόλν, όπσο θαίλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο. α. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ ηε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 ; β. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ; γ. Πόζεο πεξηζηξνθέο εθηειεί ν ηξνρόο από ηε ρξνληθή ζηηγκή t ν = 0 έσο ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 5 s; Απ:α. π ν,cm = 4 m/s β.α cm =0,8m/s γ. Ν=75/π πεξ. ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 8 Έλαο θύιηλδξνο αθηίλαο R=0 cm αθήλεηαη ρσξίο αξρηθή ηαρύηεηα ζηελ θνξπθή πιάγηνπ επηπέδνπ θαη θπιίεηαη θαηά κήθνο ηνπ επηπέδνπ. Τν κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ θπιίλδξνπ, θαηά ηελ θάζνδό ηνπ, απμάλεηαη κε ζηαζεξό ξπζκό Γσ/Γt = 5rad/s. Τε ζηηγκή πνπ ν θύιηλδξνο θηάλεη ζηε βάζε ηνπ πιάγηνπ επηπέδνπ ε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ έρεη κέηξν σ = l00 rad/s. α. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ θπιίλδξνπ θαηά ηελ θίλεζή ηνπ ζην πιάγην επίπεδν; β. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ θπιίλδξνπ ηε ζηηγκή πνπ θηάλεη ζηε βάζε ηνπ πιάγηνπ επηπέδνπ; γ. Σε πόζν ρξόλν από ηε ζηηγκή πνπ αθήλεηαη ν θύιηλδξνο θηάλεη ζηε βάζε ηνπ πιάγηνπ επηπέδνπ; δ. Πόζεο πεξηζηξνθέο εθηειεί ν θύιηλδξνο θαηά ηελ θίλεζή ηνπ από ηελ θνξπθή κέρξη ηε βάζε ηνπ πιάγηνπ επηπέδνπ; Απ:α. α cm =lm/s β. π cm = 0 m/s γ. t =0s δ. N=500/π πεξ. ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 9 Τξνρόο αθηίλαο R =0,5m θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη πάλσ ζε νξηδόληην δξόκν. Τν κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ είλαη σ ν = 40 rad/s. Τε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 ν ηξνρόο αξρίδεη λα επηβξαδύλεηαη νκαιά θαη ε ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ κεδελίδεηαη, αθνύ δηαλύζεη δηάζηεκα x=5m. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο επηβξάδπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ. β. ηε δηάξθεηα ηεο επηβξαδπλόκελεο θίλεζεο ηνπ ηξνρνύ. γ. ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ηξνρνύ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = s. Απ: α. α cm =m/s β. t=5s γ. σ =4rad/s ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα

ΑΚΗΔΙ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ΓΤΡΩ ΑΠΟ ΣΑΘΔΡΟ ΑΞΟΝΑ 1. Να ππνινγίζεηε ηελ γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηεο Γεο γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο. Απ:σ=π/1 rad/h. Ο δίζθνο ελόο ηξνρνύ έρεη αθηίλα 0cm. Η γξακκηθή ηαρύηεηα ελόο ζεκείνπ ζηελ πεξηθέξεηα ηνπ δίζθνπ είλαη 10 m/s. Να ππνινγίζεηε ηελ γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ δίζθνπ. Απ: σ=50 rad/s 3. Τξνρόο θάλεη 480 ζηξνθέο ην ιεπηό. Να ππνινγίζεηε ηε γσληαθή ηαρύηεηα ησλ ζεκείσλ ηνπ ηξνρνύ θαη ηε γξακκηθή ηαρύηεηα ζε απόζηαζε 0,5 m από ην θέληξν ηνπ. Απ: σ=16π rad/s, π=8π m/s 4. 'Έλαο ηξνρόο πεξηζηξέθεηαη κε ζπρλόηεηα.f 1 =Ηz θαη απμάλεη νκαιά ην ξπζκό πεξηζηξνθήο ηνπ ζε f =l0ηz ζε ρξόλν 3,14s. Να ππνινγίζεηε: α. ηε γσληαθή επηηάρπλζε ηνπ ηξνρνύ. β. ηε γξακκηθή επηηάρπλζε ελόο ζεκείνπ ηνπ ηξνρνύ πνπ απέρεη 10cm από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. Απ: α) α=16 rad/s β) α ε =1,6 m/s 5. Η γσληαθή ηαρύηεηα ελόο ηξνρνύ πνπ ζηξέθεηαη κεηαβάιιεηαη κε ην ρξόλν, όπσο θαίλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο. Πνηα είλαη ε γσληαθή επηηάρπλζε ηνπ ηξνρνύ; Πνηα ρξνληθή ζηηγκή ε γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ηξνρνύ ζα έρεη ηηκή 0 rad/s; Απ: 0,5 rad/s, 7 s 6.'Έλαο ηξνρόο αθηίλαο R =0cm ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ ν = 0rad/s. Κάπνηα ζηηγκή ν ηξνρόο αξρίδεη λα επηβξαδύλεηαη νκαιά θαη ηειηθά αθηλεηνπνηείηαη, αθνύ δηαγξάςεη Ν=0/π πεξηζηξνθέο. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηβξάδπλζεο ηνπ ηξνρνύ. β. ην κέηξν ηεο γξακκηθήο επηβξάδπλζεο ελόο ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ. γ. ην ρξόλν κέζα ζηνλ νπνίν αθηλεηνπνηείηαη ν ηξνρόο. Απ: α. α= 5rad/s β. α =lm/s γ. t=4s ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3

7. Ο ξόηνξαο ηνπ ειεθηξηθνύ θηλεηήξα, ελόο ειεθηξνθίλεηνπ απηνθηλήηνπ, ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα σ o =400 rad/s. Γηαθόπηνληαο ηελ ιεηηνπξγία ηνπ θηλεηήξα, ν ξόηνξαο ζηακαηά κεηά από 10s.Να ππνινγίζεηε ηε γσληαθή επηβξάδπλζε ηεο θίλεζεο ηνπ ξόηνξα. Απ: α=-40 rad/s 8.'Έλα ζώκα εθηειεί πεξηζηξνθηθή θίλεζε γύξσ από ηνλ άμνλα z z γσληαθή ηαρύηεηα σ 1 =rad/s. κε Να ππνινγίζεηε: α. ηελ ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ ζώκαηνο, β. ηελ ηαρύηεηα ελόο ζεκείνπ Μ πνπ απέρεη d=cm από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο. γ. Γηα θάπνην ιόγν, ην ζώκα απηό, κεηά από ρξόλν 0,5 s πεξηζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ =3rad/s αιιά αληίζεηεο θνξάο. Πνηνο ν κέζνο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο (κέζε γσληαθή επηηάρπλζε); Απ: α)0,3 Ηz β) π Μ =0,04m/s γ)α=10 rad/s 9.Έλαο δίζθνο ζηξέθεηαη γύξσ από ζηαζεξό άμνλα, ν νπνίνο δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ. Η γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν παξηζηάλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο. α. Να ππνινγίζεηε ηε γσληαθή επηηάρπλζε ηνπ δίζθνπ θαηά ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t = 1s θαη t = 3s. β. Να ζρεδηάζεηε ηηο γσληαθέο επηηαρύλζεηο ηνπ εξσηήκαηνο (α). γ. Να ππνινγίζεηε ηε γσλία πνπ δηαγξάθεη κηα αθηίλα ηνπ δίζθνπ ζηε δηάξθεηα ηεο επηβξαδπλόκελεο θίλεζήο ηνπ. Απ: α. α=5rad/s β. α =-7,5rad/s γ.ζ=15 rad 10. Η γσληαθή επηηάρπλζε ελόο ηξνρνύ κεηαβάιιεηαη όπσο ζην δηάγξακκα. Αλ ν ηξνρόο αξρηθά εξεκεί λα ππνινγίζεηε ηε γσληαθή ηνπ ηαρύηεηα 10s κεηά ηελ έλαξμε ηεο θίλεζήο ηνπ. Απ: σ=0 rad/s ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 4

ΤΝΘΔΣΗ ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ 11. Έλα όρεκα, νη ηξνρνί ηνπ νπνίνπ έρνπλ αθηίλα r = 40 cm, θηλείηαη κε επηηάρπλζε m/s. Με πνην ξπζκό απμάλεηαη ε γσληαθή ηαρύηεηα ησλ ηξνρώλ ηνπ; Απ: 5 rad/s 1. Πνδήιαην θηλείηαη κε ζηαζεξή ηαρύηεηα 36 km/h. Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα ηνπ αλώηεξνπ ζεκείνπ ηνπ ηξνρνύ θαη ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζεκείνπ ηνπ ηξνρνύ πνπ βξίζθεηαη ζε επαθή κε ην δξόκν. Απ: 7 km/h θαη 0 13. 'Δλα όρεκα θηλείηαη επζύγξακκα κε ζηαζεξή ηαρύηεηα 0 m/s. Οη ηξνρνί ηνπ έρνπλ αθηίλα 40 cm. Υπνινγίζηε ηε γσληαθή ηαρύηεηα κε ηελ νπνία ζηξέθνληαη. Απ: 50 rad/s 14. Έλαο δίζθνο αθηίλαο 8cm θπιίεηαη πάλσ ζε νξηδόληην επίπεδν. Η ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ ηνπ δίζθνπ είλαη 5 m/s. Υπνινγίζηε: α ) ηελ ηαρύηεηα κε ηελ νπνία θηλείηαη ην αλώηεξν ζεκείν ηνπ δίζθoπ. β) ηε ζπρλόηεηα κε ηελ νπνία ζηξέθεηαη. Απ: l0m/s, 9,9Ηz 15. Τε ρξνληθή ζηηγκή κεδέλ ην θέληξν ελόο ηξνρνύ, αθηίλαο R=0 cm, πνπ θπιίεηαη, έρεη ηαρύηεηα π ν =8 m/s. Η ηαρύηεηα ηνπ ηξνρνύ κεδελίδεηαη αθνύ δηαλύζεη απόζηαζε x=0 m. Πνηα είλαη ε γσληαθή επηβξάδπλζή ηνπ; Απ: - 8rad/s 16.'Έλαο ηξνρόο θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη ζε νξηδόληην επίπεδν. Η γσληαθή, ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ έρεη κέηξν σ =50 rad/s. Η κέγηζηε ηαρύηεηα ησλ δηαθόξσλ ζεκείσλ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ έρεη κέηξν π max = 40 m/s. α. Ν α ππνινγίζεηε ηελ αθηίλα R ηνπ ηξνρνύ. β. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο ειάρηζηεο ηαρύηεηαο ησλ δηαθόξσλ ζεκείσλ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ ηξνρνύ; γ. Γύν ζεκεία Β θαη Γ κηαο θαηαθόξπθεο δηακέηξνπ ηνπ ηξνρνύ, ηα νπνία βξίζθνληαη ζε απόζηαζε r=r/ από ην θέληξν κάδαο Κ ηνπ ηξνρνύ, έρνπλ ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή ηαρύηεηεο π Β θαη π Γ, αληίζηνηρα. Πνηνο είλαη ν ιόγνο ησλ κέηξσλ, ησλ ηαρπηήησλ π Β θαη π Γ ; Απ: α. R =0,4 m β. π min =0 γ. υ υ Β Δ 3 1 ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 5

17. 'Έλα πνδήιαην θηλείηαη επζύγξακκα κε ζηαζεξή ηαρύηεηα π cm =l0m/s.ο ηξνρόο ηνπ πνδειάηνπ έρεη αθηίλα R=0,4m. Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα ελόο ζεκείνπ Μ, ηε ζηηγκή πνπ ε αθηίλα ΟΜ ζρεκαηίδεη γσλία 150 ν κε ηελ κεηαθνξηθή ηαρύηεηα ηνπ ηξνρνύ. Απ: π νι =10 3 m/s 18.Έλα όρεκα θηλείηαη επζύγξακκα ζε νξηδόληην δξόκν κε ζηαζεξή ηαρύηεηα κέηξνπ π = 0 m/s. Οη ηξνρνί ηνπ νρήκαηνο έρνπλ αθηίλα R =0,4m. α. Να ππνινγίζεηε ηε γσληαθή ηαρύηεηα κε ηελ νπνία ζηξέθνληαη νη ηξνρνί ηνπ νρήκαηνο. β. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ησλ ηξνρώλ, ην νπνίν απέρεη από ην έδαθνο απόζηαζε d 1 =R; γ. Πόζν απέρεη από ην έδαθνο ην ζεκείν ηεο πεξηθέξεηαο ησλ ηξνρώλ, ην νπνίν έρεη ηαρύηεηα κέηξνπ π = 3 π cm ; Απ: α. σ=50rad/s β. π=40m/s γ. d=0,6m 19.Έλαο ηξνρόο αθηίλαο R=0 cm θπιίεηαη κε ζηαζεξή ηαρύηεηα πάλσ ζε νξηδόληην επίπεδν, ρσξίο λα ν- ιηζζαίλεη. Η ηαρύηεηα ηνπ αλώηεξνπ ζεκείνπ Α ηνπ ηξνρνύ έρεη κέηξν π Α = 10 m/s. Να ππνινγίζεηε: α. ηελ ηαρύηεηα ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ. β. ηε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ. γ. ηνλ αξηζκό ησλ πεξηζηξνθώλ ηνπ ηξνρνύ ζε ρξόλν t= π s. Απ: α. π cm = 5 m/s β. σ = 5rad/s γ. Ν=1,5πεξ. 0.Έλα απηνθίλεην μεθηλάεη από ηελ εξεκία θαη θηλείηαη ζε νξηδόληην δξόκν κε ζηαζεξή επηηάρπλζε. Οη ηξνρνί ηνπ απηνθηλήηνπ, νη νπνίνη θπιίνληαη ρσξίο λα νιηζζαίλνπλ, έρνπλ αθηίλα R = 40 cm. Σε ρξόλν t = 5 s ην απηνθίλεην απνθηά ηαρύηεηα κέηξνπ π = 7 km/h. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο θάζε ηξνρνύ. β. ηνλ αξηζκό ησλ πεξηζηξνθώλ θάζε ηξνρνύ ζην ρξόλν t = 5 s. Απ:α. α cm =4m/s β. Ν=6,5/π πεξ. ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 6

1.'Έλα απηνθίλεην μεθηλάεη από ηελ εξεκία ηε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 θαη θηλείηαη κε ζηαζεξή επηηάρπλζε ζε νξηδόληην δξόκν. Οη ηξνρνί ηνπ απηνθηλήηνπ, νη oπνίνη θπιίνληαη ρσξίο λα νιηζζαίλνπλ, έρνπλ αθηίλα R = 0,4 m. Τε ρξνληθή ζηηγκή t = 10 s ε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ησλ ηξνρώλ έρεη κέηξν σ = 50 rad/s. α. Να απνδείμεηε όηη ε γσληαθή επηηάρπλζε ησλ ηξνρώλ έρεη ζηαζεξό κέηξν. β. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ απηνθηλήηνπ. γ.'έλα κηθξό θνκκάηη ιάζπεο απνθνιιάηαη από ηελ πεξηθέξεηα ελόο ηξνρνύ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 5 s, θαηά ηελ νπνία ε ηαρύηεηά ηνπ έρεη ηελ θαηεύζπλζε ηεο θίλεζεο ηνπ απηνθηλήηνπ. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θνκκαηηνύ ηεο ιάζπεο ηε ζηηγκή πνπ απνθνιιάηαη από ηελ ηξνρό; Απ:α. α =ζηαζ. β. α= m/s γ. π Γ = 0 m/s.μνηνζηθιεηηζηήο ηαμηδεύεη κε ηε κνηνζηθιέηα ηνπ ζε επζύγξακκν δξόκν. Κάπνηα ζηηγκή ν κνηνζηθιεηηζηήο "αλνίγεη ην γθάδη' θαη ε ηαρύηεηα ηεο κνηνζηθιέηαο απμάλεηαη όπσο ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο ηξνρνί ηεο κνηνζηθιέηαο έρνπλ αθηίλα R=40cm.Να ππνινγίζεηε: α. ηε γσληαθή ηαρύηεηα ηε ζηηγκή έλαξμεο ηεο επηηάρπλζεο, β. ηε γσληαθή επηηάρπλζε ησλ ηξνρώλ θαη γ. ηε γσληαθή ηαρύηεηα ησλ ηξνρώλ ηε ρξνληθή ζηηγκή l00s. Απ: α)σ ν =50 rad/s β) α=0,5rad/s γ) σ=100 rad/s 3. Η θηλεηηθή κεηαθνξηθή ελέξγεηα ελόο νρήκαηνο, κάδαο 1000 kg, απμάλεηαη νκαιά από 000 J ζε 4500 J. Γηα λα ζπκβεί απηό ην όρεκα κεηαηνπίδεηαη θαηά,5 m. Να ππνινγίζεηε: α. ηελ επηηάρπλζε ηνπ νρήκαηνο, β. ηε γσληαθή επηηάρπλζε ησλ ηξνρώλ ηνπ νρήκαηνο.γίλεηαη ε δηάκεηξνο ηνπ ηξνρνύ δ= 80 cm. Απ: α) α cm =1m/s β) α=,5 rad/s 4.Έλα παηίλη θηλείηαη κε ηαρύηεηα l0m/s.κάπνηα ζηηγκή ν αλαβάηεο επηβξαδύλεη νκαιά ην παηίλη θαη ηειηθά ζηακαηά αθνύ δηαηξέρεη απόζηαζε 5m. Η αθηίλα ησλ ηξνρώλ είλαη 5cm. Να ππνινγίζεηε: α. ηε γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ηξνρνύ s κεηά ηελ έλαξμε ηεο επηβξάδπλζεο, ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 7

β. ηε γσληαθή επηβξάδπλζε ηνπ ηξνρνύ, γ. ηελ ηαρύηεηα ηνπ αλώηαηνπ ζεκείνπ ηνπ ηξνρνύ s κεηά ηελ έλαξμε ηεο επηβξάδπλζεο. Απ: α) σ 1 =10 rad/s β) α=-40 rad/s γ) π Α =1m/s 5.Τξνρόο κάδαο m=0,lkg θαη αθηίλαο R=0,lm αθέζεθε λα θπιήζεη ζε θεθιηκέλν επίπεδν γσλίαο ζ κε εκζ=0,6 θαη ζπλζ=0,8. Να ππνινγίζεηε: α. ηελ επηηάρπλζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ θαη β. ηελ γσληαθή επηηάρπλζή ηνπ. Ο ζπληειεζηήο ηξηβήο ηξνρνύ - δαπέδνπ είλαη κ=0,5, g=10m/s θαη ν ηξνρόο θαηά ηελ θάζνδό ηνπ νιηζζαίλεη νξηαθά. Απ: α)α cm =4m/s β) α=40rad/s 6. Η γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ηξνρνύ ελόο απηνθηλήηνπ, ην νπνίν θηλείηαη ζε επζύ δξόκν, κεηαβάιιεηαη κε ην ρξόλν, όπσο θαίλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο. α. Να πεξηγξάςεηε ηελ θίλεζε ηνπ απηνθηλήηνπ. β. Να θάλεηε ην δηάγξακκα γσληαθήο επηηάρπλζεο- ρξόλνπ. Οη ηξνρνί ηνπ απηνθηλήηνπ έρνπλ αθηίλα R= 0,40 m. ΚΕΦ. ΚΙΝΗΗ ΣΔΡΔΟΤ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 8