Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015

Σχετικά έγγραφα
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r

ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΥΗΜΑΣΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕ ΓΧΝΙΕ

ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. 1. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. z2. Να απνδεηρζεί όηη:

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ

A

ΓΗΑΓΩΝΗΜΑ ΣΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ 38. Ύλη: Σρίγωνα, Παράλληλες εσθείες, Παραλληλόγραμμα-Σραπέζια

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.

ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. (δει. ν n έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν 2,..., n 1

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ. Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):

ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

3. Τα ΑΒΓΓ θαη ΔΒΕΖ είλαη ηεηξάγσλα, ΑΔ=2cm θαη ΔΒ=5cm. Τν εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ζρήκαηνο είλαη: είλαη: (Γ) 10

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1

: :

Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Καζεγεηήο: Υαηδόπνπινο Μάθεο Δπαλαιεπηηθά θύιια εξγαζίαο

f x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

Άζκηζη Προζομοίωζης (μονάδα παραγωγής ενέργειας)

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

Μεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο:

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )

ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ

ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α

ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 1 από 18 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1

Θέμα 3 ο v. Θέμα 5 ο Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ z γηα ηνπο νπνίνπο

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη

Transcript:

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από το. Αν οι αριθμοί και 70 είναι πρώτοι μεταξύ τους (, 70 1), να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του. Πρόβλημα 2 Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με τον αριθμό ; Πρόβλημα 3 Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 96. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 16 και το εμβαδόν του τριγώνου είναι 12. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου. Πρόβλημα 4 Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε 4 ώρες ενώ το άλλο σε 5 ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις 6 μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με τον αριθμό ; Πρόβλημα 2 Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος. 2 10 3 5 3 5 Πρόβλημα 3 Αν 1,, να υπολογιστεί η τιμή του, ώστε το πολυώνυμο 1 2 2 να διαιρείται με το 1. Πρόβλημα 4 Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο 90. Η διαγώνιος είναι κάθετη στην στο σημείο. Αν 6 και 10, να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Αν,, πραγματικοί αριθμοί με 2 3 0, να δείξετε ότι: (α) 4 9 2 9 2 (β) 16 81 2 9 2 (γ) 4 9 2 16 81 Πρόβλημα 2 Δίνεται τρίγωνο και έστω, τυχαία σημεία στις πλευρές, αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο. Να δείξετε ότι: 2 Πρόβλημα 3 (α) Αν 1,, να υπολογιστεί η τιμή του, ώστε το πολυώνυμο 1 2 2 να διαιρείται με το 1. (β) Να λυθεί η εξίσωση: 7 6 0 Πρόβλημα 4 Αν,, ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση: 16 30

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέηαζηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Δίλνληαη νη παξαζηάζεηο θαη Να απνδείμεηε όηη: α) β) γ) Πρόβλημα 2: Να βξείηε όινπο ηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο αξηζκνύο έηζη ώζηε ην λα είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο θαη ην λα δηαηξεί ην. Πρόβλημα 3: Σε θύθιν ε είλαη δηάκεηξνο θαη ην ηπραίν ζεκείν ηνπ θύθινπ. Με πιεπξά θαηαζθεπάδνπκε ηζόπιεπξν ηξίγσλν, εθηόο ηνπ θύθινπ θαη θέξνπκε ηελ. (α) Να δείμεηε όηη. (β) Αλ θαη ηα κέζα ηνπ θαη, αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη ην είλαη ξόκβνο. Πρόβλημα 4: Οη καζεηέο κηάο ηάμεο Λπθείνπ ξώηεζαλ ηνλ θαζεγεηή ηνπο ησλ Μαζεκαηηθώλ λα ηνπο πεί ηηο ειηθίεο ησλ ηξηώλ παηδηώλ ηνπ. Εθείλνο ηνπο απάληεζε σο εμήο: «Το γινόμενο ηος πενηαπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μικπόηεπος παιδιού μος επί ηο ηεηπάγωνο ηος ηπιπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεζαίος παιδιού μος ιζούηαι με ηον κύβο ηος διπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεγαλύηεπος παιδιού μος. Ακόμα ηο γινόμενο ηων ηλικιών και ηων ηπιών παιδιών μος είναι μικπόηεπο ηος». Να βξείηε ηηο ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέηαζηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύζεηε όλα ηα θέμαηα.κάθε θέμα βαθμολογείηαι με 10 μονάδερ. 2. Να γπάθεηε με μπλε ή μαύπο μελάνι (ηα ζσήμαηα επιηπέπεηαι με μολύβι) 3. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη διοπθυηικού ςγπού. 4. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη ςπολογιζηικήρ μησανήρ. Πρόβλημα 1: Δίνεηαι η ζςνάπηηζη με ηύπο α) Να βπείηε ηο πεδίο οπιζμού ηηρ ζςνάπηηζηρ και να αποδείξεηε όηι δεν ςπάπσει ηο β) Να αποδείξεηε όηι: αν, ηόηε Πρόβλημα 2: Να βπείηε όλοςρ ηοςρ θεηικούρ ακέπαιοςρ απιθμούρ έηζι ώζηε ηο να είναι πενηατήθιορ απιθμόρ και ηο να διαιπεί ηο. Πρόβλημα 3: Οι μαθηηέρ μιάρ ηάξηρ Λςκείος πώηηζαν ηον καθηγηηή ηοςρ ηυν Μαθημαηικών να ηοςρ πεί ηιρ ηλικίερ ηυν ηπιών παιδιών ηος. Εκείνορ ηοςρ απάνηηζε υρ εξήρ: «Το γινόμενο ηος πενηαπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μικπόηεπος παιδιού μος επί ηο ηεηπάγωνο ηος ηπιπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεζαίος παιδιού μος ιζούηαι με ηον κύβο ηος διπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεγαλύηεπος παιδιού μος. Ακόμα ηο γινόμενο ηων ηλικιών και ηων ηπιών παιδιών μος είναι μικπόηεπο ηος». Να βπείηε ηιρ ηλικίερ ηυν παιδιών ηος καθηγηηή. Πρόβλημα 4: Δίνονηαι δύο ίζοι κύκλοι και με κένηπα και ανηίζηοισα οι οποίοι ηέμνονηαι ζηα ζημεία και. Από ηο ζημείο θέποςμε κάθεηη ζηην εςθεία η οποία ηέμνει ηον κύκλο ξανά ζηο ζημείο. Με κένηπο ένα ηςσαίο ζημείο ηος και ακηίνα θέποςμε κύκλο πος ηέμνει ηοςρ κύκλοςρ και ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Αν η εςθεία ηέμνει ηον ζηο ζημείο και ηον ζηο ζημείο, να αποδείξεηε: α) Το ηεηπάπλεςπο είναι παπαλληλόγπαμμο. β) γ) Τα ζημεία είναι ομοκςκλικά.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύζεηε όλα ηα θέμαηα.κάθε θέμα βαθμολογείηαι με 10 μονάδερ. 2. Να γπάθεηε με μπλε ή μαύπο μελάνι (ηα ζσήμαηα επιηπέπεηαι με μολύβι) 3. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη διοπθυηικού ςγπού. 4. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη ςπολογιζηικήρ μησανήρ. Πρόβλημα 1: Να βπείηε ηο άθποιζμα όλυν ηυν θεηικών ακεπαίυν απιθμών να είναι πενηατήθιορ απιθμόρ και ηο να διαιπεί ηο., έηζι ώζηε ηο Πρόβλημα2: Αν, να δείξεηε όηι. Πρόβλημα 3: Δίνονηαι δύο ίζοι κύκλοι και με κένηπα και ανηίζηοισα οι οποίοι ηέμνονηαι ζηα ζημεία και. Από ηο ζημείο θέποςμε κάθεηη ζηην εςθεία η οποία ηέμνει ηον κύκλο ξανά ζηο ζημείο. Με κένηπο ένα ηςσαίο ζημείο ηος και ακηίνα θέποςμε κύκλο πος ηέμνει ηοςρ κύκλοςρ και ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Αν η εςθεία ηέμνει ηον ζηο ζημείο και ηον ζηο ζημείο, να αποδείξεηε: α) Το ηεηπάπλεςπο είναι παπαλληλόγπαμμο. β) γ) Τα ζημεία είναι ομοκςκλικά. Πρόβλημα 4: Να βπείηε ηον επόμενο, καθώρ και ηον μεγαλύηεπο όπο ηηρ ακολοςθίαρ δικαιολογώνηαρ ηην απάνηηζή ζαρ.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από το. Αν οι αριθμοί και 70 είναι πρώτοι μεταξύ τους (, 70 1), να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του. Προτεινόμενη Λύση Είναι: 11 10 81 70 35 77 70 162 78, 79, 80,, 160, 161 70 70 Το 70 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως 70 2 5 7. Συνεπώς, ο αριθμός δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο των αριθμών 2, 5 και 7, αφού, 70 1. Το πλήθος των στοιχείων του συνόλου είναι 84. Στο σύνολο υπάρχουν: 42 πολλαπλάσια του 2 17 πολλαπλάσια του 5 12 πολλαπλάσια του 7 9 πολλαπλάσια του 10 6 πολλαπλάσια του 14 2 πολλαπλάσια του 35 1 πολλαπλάσιο του 70 Άρα, ο αριθμός δεν μπορεί να πάρει 42 17 12 9 6 2 1 55 τιμές του συνόλου. Τελικά, το πλήθος των τιμών του συνόλου που μπορεί να πάρει το είναι 84 55 29.

Πρόβλημα 2 Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με τον αριθμό ; Προτεινόμενη Λύση Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Συνεπώς, ο διαιρεί τις διαφορές των αριθμών αυτών ανά δύο, δηλαδή ο είναι διαιρέτης των αριθμών 238 95 143, 260 95 165 και 260 238 22. Είναι: 143 11 13 165 3 5 11 22 2 11 Παρατηρούμε ότι οι μόνοι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 22, 143 και 165 είναι οι αριθμοί 1 και 11. (α) Αν 1, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με το 1 είναι 0. (β) Αν 11, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με το 11 είναι 7. Πρόβλημα 3 Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 96. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 16 και το εμβαδόν του τριγώνου είναι 12. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου. Προτεινόμενη Λύση Είναι: 96:2 48, 48 16 32 Συνεπώς, και 2. Ομοίως, είναι: 96:2 48, 48 12 36 Συνεπώς, και 3.

Άρα, 3. Είναι: 96 3 4 96 8 Τελικά, έχουμε 24 και: 96 24 16 12 96 52 44 Πρόβλημα 4 Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε 4 ώρες ενώ το άλλο σε 5 ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις 6 μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου; Προτεινόμενη Λύση Έστω το αρχικό μήκος των δύο κεριών και ο χρόνος που πρέπει να περάσει, ώστε τα δύο κεριά να έρθουν στη ζητούμενη κατάσταση, 0 4. Τη χρονική στιγμή 0, έχουμε το ταυτόχρονο άναμμα των δύο κεριών. Μετά από ώρες, το ένα κερί θα χάσει το του αρχικού μήκους του ενώ το άλλο το. Τα μήκη των δύο κεριών στη ζητούμενη κατάσταση είναι και, με. Έχουμε: 2 5 2 4 5 2 2 2 2 3 5 10 10 3 Συνεπώς, αν θέλουμε το υπόλοιπο του ενός κεριού να είναι το διπλάσιο από το υπόλοιπο του άλλου, θα πρέπει να ανάψουμε ταυτόχρονα τα δύο κεριά 3 ώρες και 20 λεπτά πριν τις 6 μ.μ., δηλαδή στις 2: 40 μ.μ.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με τον αριθμό ; Προτεινόμενη Λύση Οι αριθμοί 95, 238 και 260 όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Συνεπώς, ο διαιρεί τις διαφορές των αριθμών αυτών ανά δύο, δηλαδή ο είναι διαιρέτης των αριθμών 238 95 143, 260 95 165 και 260 238 22. Είναι: 143 11 13 165 3 5 11 22 2 11 Παρατηρούμε ότι οι μόνοι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 22, 143 και 165 είναι οι αριθμοί 1 και 11. (α) Αν 1, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με το 1 είναι 0. (β) Αν 11, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 117 με το 11 είναι 7. Πρόβλημα 2 Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος. 2 10 3 5 3 5 Προτεινόμενη Λύση Παρατηρούμε ότι 0. Θα υπολογίσουμε τον. Είναι:

2 10 3 5 3 5 2 2210 10 9 65 5 3 5 12 45 14 65 3 5 4 3 5 14 65 4 9 65 5 14 65 4 14 65 14 65 4 196 180 4 16 64 Αφού, έχουμε (συγκεκριμένα 8). Πρόβλημα 3 Αν 1,, να υπολογιστεί η τιμή του, ώστε το πολυώνυμο 1 2 2 να διαιρείται με το 1. Προτεινόμενη Λύση Το 1 διαιρεί το πολυώνυμο. Συνεπώς, το 1 είναι ρίζα του, δηλαδή 1 0. Είναι: 1 2 2 1 1 0 1 Έχουμε: 2 8 2 1 9 2 1 1 1 1 1 1 2 Συνεπώς, από την 1, είναι: 9 2 2 2 0 7 Πρόβλημα 4 Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο 90. Η διαγώνιος είναι κάθετη στην στο σημείο. Αν 6 και 10, να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου. Προτεινόμενη Λύση Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 100 36 64 64 8

Φέρουμε την και έστω,. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 36 1 Επιπλέον, από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 100 8 2 Από 1 και 2, έχουμε: 36 100 8 136 16 64 16 72 9 2 81 4 36 225 4 15 2 Το εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου είναι: 8 25 6 2 41 2 2 3 123 61,5 2 Τέλος, η περίμετρος του ορθογωνίου τραπεζίου είναι: 8 6 25 15 34 2 2

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 12/12/2015 Ώρα Εξέτασης: 09:30 12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Αν,, πραγματικοί αριθμοί με 2 3 0, να δείξετε ότι: (α) 4 9 2 9 2 (β) 16 81 2 9 2 (γ) 4 9 2 16 81 Προτεινόμενη Λύση (α) Γνωρίζουμε ότι 2 3 0. Είναι: 2 3 0 2 3 2 9 4 4 9 4 4 9 2 9 4 9 2 9 4 4 9 2 9 2 (β) Από το (α) ερώτημα, έχουμε: 4 9 4 4 9 4 16 8 81 72 16 16 81 2 81 72 8 16 81 2 81 36 4 16 81 2 9 2 (γ) Από το (α) ερώτημα έχουμε: 4 9 2 9 2 4 9 4 9 2 4 9 2 16 81

Πρόβλημα 2 Δίνεται τρίγωνο και έστω, τυχαία σημεία στις πλευρές, αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο. Να δείξετε ότι: 2 Προτεινόμενη Λύση Είναι: ως εξωτερική γωνία του τριγώνου. Ομοίως, είναι: ως εξωτερική γωνία του τριγώνου. 1 2 Από 1 και 2, έχουμε: 2 3 Φέρουμε την που διέρχεται από το σημείο. Είναι: ως εξωτερική γωνία του τριγώνου. Ομοίως, είναι: ως εξωτερική γωνία του τριγώνου. Από 4 και 5, έχουμε: 4 5 6 Όμως, και (, διχοτόμοι των γωνιών,, αντίστοιχα). Άρα, από 3 και 6 είναι: 2

Πρόβλημα 3 (α) Αν 1,, να υπολογιστεί η τιμή του, ώστε το πολυώνυμο 1 2 2 να διαιρείται με το 1. (β) Να λυθεί η εξίσωση: 7 6 0 Προτεινόμενη Λύση (α) Το 1 διαιρεί το πολυώνυμο. Συνεπώς, το 1 είναι ρίζα του, δηλαδή 1 0. Είναι: 1 2 2 1 1 0 1 Έχουμε: 2 8 2 1 9 2 1 1 1 1 1 1 2 Συνεπώς, από την 1, είναι: 9 2 2 2 0 7 (β) A Τρόπος Θεωρούμε το πολυώνυμο 7 6. Μια προφανής ρίζα του πολυωνύμου αυτού είναι ο αριθμός 1 (δηλαδή 1 0). Συνεπώς, το 1 είναι παράγοντας του. Είναι: : 1 6 1 3 2 Επομένως, οι άλλες δύο λύσεις της εξίσωσης 0 είναι οι λύσεις της εξίσωσης 6 0. Είναι: 6 0 3 2 0 3 ή 2 Τελικά, οι λύσεις της εξίσωσης 7 6 0 είναι οι αριθμοί 3, 1 και 2. Β Τρόπος Είναι: 7 6 0 7 7 1 0 1 7 1 0 1 1 7 1 0 1 6 0 1 3 2 0 1 ή 3 ή 2

Πρόβλημα 4 Αν,, ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση: 16 30 Προτεινόμενη Λύση Εύκολα παρατηρούμε ότι οι και είναι είτε και οι δύο άρτιοι, είτε και οι δύο περιττοί. Έστω 2, 2 με,. Η εξίσωση γράφεται: 4 4 16 30 4 30, άτοπο, αφού το 30 δεν είναι πολλαπλάσιο του 4. Έστω 2 1, 2 1 με,. Έχουμε: 2 1 2 1 16 30 4 4 1 4 4 1 16 30 4 4 4 4 16 28 4 7 1 1 4 7 άτοπο, αφού το αριστερό μέλος της πιο πάνω εξίσωσης είναι πολλαπλάσιο του 2 (εύκολα μπορούμε να δούμε ότι 1 2, ). Συνεπώς, η εξίσωση 16 30 δεν έχει ακέραιες λύσεις.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέηαζηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Δίλνληαη νη παξαζηάζεηο θαη Να απνδείμεηε όηη: α) β) γ) Λύση: α) Η παξάζηαζε γξάθεηαη Επεηδή όκσο β) Θα έρνπκε ζα πάξνπκε γ)

Πρόβλημα 2: Να βξείηε όινπο ηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο αξηζκνύο έηζη ώζηε ην λα είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο θαη ην λα δηαηξεί ην. Λύση: Θα έρνπκε όηη Αλαιύνληαο ην ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ ζα έρνπκε Γηα λα είλαη ην δεύηεξν κέξνο ηέιεην ηεηξάγσλν ζα πξέπεη λα έρνπκε Τόηε Αθνύ όκσο ην είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο ζα πάξνπκε Αληηθαζηζηώληαο ην ζα έρνπκε Επεηδή ζα έρνπκε Επνκέλσο ην παίξλεη ηηκέο θαη άξα Πρόβλημα 3: Σε θύθιν ε είλαη δηάκεηξνο θαη ην ηπραίν ζεκείν ηνπ θύθινπ. Με πιεπξά θαηαζθεπάδνπκε ηζόπιεπξν ηξίγσλν, εθηόο ηνπ θύθινπ θαη θέξνπκε ηελ. (α) Να δείμεηε όηη. (β) Αλ θαη ηα κέζα ηνπ θαη, αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη ην είλαη ξόκβνο. Λύση: Καη αξρήλ ε είλαη κεζνθάζεηνο ηνπ, δηόηη θαη. Άξα Τν ζεκείν αλήθεη ζηνλ θύθιν, αθνύ ε είλαη δηάκεηξνο. (α) Φέξνπκε ην απόζηεκα ηεο ρνξδήο θαη ηόηε ην είλαη ην κέζνλ ηεο. Σην νξζνγώλην ηξίγσλν είλαη : (1). Σην ηξίγσλν, ην είλαη ην κέζνλ ηεο θαη ην είλαη ην κέζνλ ηεο. Άξα : (2). Από (1), (2) έρνπκε. (β) Σην ηξίγσλν, ην είλαη ην κέζνλ ηεο θαη ην είλαη ην κέζνλ ηεο, άξα : (3). Σην ηξηγσλν ην είλαη ην κέζνλ ηεο θαη ην είλαη ην κέζνλ ηεο, άξα : (4). Από (3), (4) έρνπκε, άξα

ην είλαη παξαιιειόγξακκν. Τέινο, ζην ηξίγσλν, ην Θ είλαη ην κέζνλ ηεο ΜΗ θαη ην Ζ είλαη ην κέζνλ ηεο ΟΗ, άξα. Σπλεπώο ην είλαη ξόκβνο. Πρόβλημα 4: Οη καζεηέο κηάο ηάμεο Λπθείνπ ξώηεζαλ ηνλ θαζεγεηή ηνπο ησλ Μαζεκαηηθώλ λα ηνπο πεί ηηο ειηθίεο ησλ ηξηώλ παηδηώλ ηνπ. Εθείλνο ηνπο απάληεζε σο εμήο: «Το γινόμενο ηος πενηαπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μικπόηεπος παιδιού μος επί ηο ηεηπάγωνο ηος ηπιπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεζαίος παιδιού μος ιζούηαι με ηον κύβο ηος διπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεγαλύηεπος παιδιού μος. Ακόμα ηο γινόμενο ηων ηλικιών και ηων ηπιών παιδιών μος είναι μικπόηεπο ηος». Να βξείηε ηηο ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή. Λύση: Αλ νλνκάζνπκε ηελ ειηθία ηνπ κηθξόηεξνπ παηδηνύ, ηελ ειηθία ηνπ κεζαίνπ παηδηνύ θαη ηελ ειηθία ηνπ κεγαιύηεξνπ παηδηνύ ηόηε από ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο ζα έρνπκε: { Από ηελ ζα έρνπκε Άξα από ηελ ηειεπηαία ζα έρνπκε όηη Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ κε θαη έρνπκε Επεηδή ε ηειεπηαία εμίζσζε γίλεηαη Από ηελ ζα έρνπκε Η ιόγσ ηεο γίλεηαη Αλ αθνύ ζα έρνπκε άηνπν ιόγσ ηεο. Επνκέλσο, θαη αθνύ ζα πάξνπκε Άξα, Από ηελ παίξλνπκε Δειαδή * +. Αληηθαζηζηώληαο ζηελ ζα έρνπκε Δνθηκάδνληαο ηηο ηηκέο * + ε κόλε πεξίπησζε ν λα είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο είλαη όηαλ θαη ηόηε Άξα νη ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή ζα είλαη

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέηαζηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο θαη λα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ην β) Να απνδείμεηε όηη: αλ, ηόηε. Λύση: α) Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην ζύλνιν * + * + * +. Ο ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο, κεηά ηελ απαινηθή ησλ απνιύησλ, γξάθεηαη: Γηα ην όξην ζην 1, έρνπκε: θαη {, ) Άξα δελ ππάξρεη ην όξην ζην 1. β). Άξα. Επίζεο,

Οη αληζόηεηεο (1) θαη (2) είλαη νκνηόζηξνθεο θαη έρνπλ ζεηηθά κέιε θαη ζπλεπώο, αλ ηηο πνιιαπιαζηάζνπκε θαηά κέιε, παίξλνπκε: Δειαδή. ( ) ( )( ) Πρόβλημα 2: Να βξείηε όινπο ηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο αξηζκνύο έηζη ώζηε ην λα είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο θαη ην λα δηαηξεί ην. Λύση: Θα έρνπκε όηη Αλαιύνληαο ην ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ ζα έρνπκε Γηα λα είλαη ην δεύηεξν κέξνο ηέιεην ηεηξάγσλν ζα πξέπεη λα έρνπκε Τόηε Αθνύ όκσο ην είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο ζα πάξνπκε Αληηθαζηζηώληαο ην ζα έρνπκε Επεηδή ζα έρνπκε Επνκέλσο ην παίξλεη ηηκέο θαη άξα

Πρόβλημα 3: Οη καζεηέο κηάο ηάμεο Λπθείνπ ξώηεζαλ ηνλ θαζεγεηή ηνπο ησλ Μαζεκαηηθώλ λα ηνπο πεί ηηο ειηθίεο ησλ ηξηώλ παηδηώλ ηνπ. Εθείλνο ηνπο απάληεζε σο εμήο: «Το γινόμενο ηος πενηαπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μικπόηεπος παιδιού μος επί ηο ηεηπάγωνο ηος ηπιπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεζαίος παιδιού μος ιζούηαι με ηον κύβο ηος διπλάζιος ηηρ ηλικίαρ ηος μεγαλύηεπος παιδιού μος. Ακόμα ηο γινόμενο ηων ηλικιών και ηων ηπιών παιδιών μος είναι μικπόηεπο ηος». Να βξείηε ηηο ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή. Λύση: Αλ νλνκάζνπκε ηελ ειηθία ηνπ κηθξόηεξνπ παηδηνύ, ηελ ειηθία ηνπ κεζαίνπ παηδηνύ θαη ηελ ειηθία ηνπ κεγαιύηεξνπ παηδηνύ ηόηε από ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο ζα έρνπκε: { Από ηελ ζα έρνπκε Άξα από ηελ ηειεπηαία ζα έρνπκε όηη Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ κε θαη έρνπκε Επεηδή ε ηειεπηαία εμίζσζε γίλεηαη Από ηελ ζα έρνπκε Η ιόγσ ηεο γίλεηαη Αλ αθνύ ζα έρνπκε άηνπν ιόγσ ηεο. Επνκέλσο, θαη αθνύ ζα πάξνπκε Άξα, Από ηελ παίξλνπκε Δειαδή * +. Αληηθαζηζηώληαο ζηελ ζα έρνπκε Δνθηκάδνληαο ηηο ηηκέο * + ε κόλε πεξίπησζε ν λα είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο είλαη όηαλ θαη ηόηε Άξα νη ειηθίεο ησλ παηδηώλ ηνπ θαζεγεηή ζα είλαη

Πρόβλημα 4: Δίλνληαη δύν ίζνη θύθινη θαη κε θέληξα θαη αληίζηνηρα νη νπνίνη ηέκλνληαη ζηα ζεκεία θαη. Από ην ζεκείν θέξνπκε θάζεηε ζηελ επζεία ε νπνία ηέκλεη ηνλ θύθιν μαλά ζην ζεκείν. Με θέληξν έλα ηπραίν ζεκείν ηνπ θαη αθηίλα θέξνπκε θύθιν πνπ ηέκλεη ηνπο θύθινπο θαη ζηα ζεκεία θαη αληίζηνηρα. Αλ ε επζεία ηέκλεη ηνλ ζην ζεκείν θαη ηνλ ζην ζεκείν, λα απνδείμεηε: α) Τν ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. β) γ) Τα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά. Λύση: Καη αξρήλ ε είλαη εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην θαη έηζη θαη ζπλεπώο ε είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. Επίζεο, επεηδή νη θύθινη και είλαη ίζνη, ηα ηόμα θαη είλαη ίζα θαη ζπλεπώο (ζρήκα). α), άξα. θαη αθνύ, κε αθαίξεζε παίξλνπκε, απ όπνπ. Από ηηο (1) θαη (2) πξνθύπηεη όηη ην είλαη παξαιιειόγξακκν. β) Επεηδή ην είλαη παξαιιειόγξακκν, νη δηαγώληνί ηνπ δηρνηνκνύληαη, άξα. Τν είλαη παξαιιειόγξακκν είλαη παξαιιειόγξακκν, δηόηη:, άξα θαη, άξα. Σπλεπώο νη δηαγώληνη ηνπ δηρνηνκνύληαη, απ όπνπ. Από ηηο (3), (4) έρνπκε. γ) είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ θαη, αθνύ ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο θαη εμσηεξηθή ηνπ γσλία. Άξα, ζπλεπώο ην ηεξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν, δειαδή ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 12/12/15 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Να βξείηε ην άζξνηζκα όισλ ησλ ζεηηθώλ αθεξαίσλ αξηζκώλ λα είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο θαη ην λα δηαηξεί ην., έηζη ώζηε ην Λύση: Θα έρνπκε όηη Αλαιύνληαο ην ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ ζα έρνπκε Γηα λα είλαη ην δεύηεξν κέξνο ηέιεην ηεηξάγσλν ζα πξέπεη λα έρνπκε Τόηε Αθνύ όκσο ην είλαη πεληαςήθηνο αξηζκόο ζα πάξνπκε Αληηθαζηζηώληαο ην ζα έρνπκε Επεηδή ζα έρνπκε Επνκέλσο ην παίξλεη ηηκέο θαη άξα Οη αξηζκνί απηνί απνηεινύλ Αξηζκεηηθή πξόνδν κε πξώην όξν δηαθνξά Άξα. θαη Πρόβλημα2: Αλ, λα δείμεηε όηη. Λύση:. Άξα..

Πρόβλημα 3: Δίλνληαη δύν ίζνη θύθινη θαη κε θέληξα θαη αληίζηνηρα νη νπνίνη ηέκλνληαη ζηα ζεκεία θαη. Από ην ζεκείν θέξνπκε θάζεηε ζηελ επζεία ε νπνία ηέκλεη ηνλ θύθιν μαλά ζην ζεκείν. Με θέληξν έλα ηπραίν ζεκείν ηνπ θαη αθηίλα θέξνπκε θύθιν πνπ ηέκλεη ηνπο θύθινπο θαη ζηα ζεκεία θαη αληίζηνηρα. Αλ ε επζεία ηέκλεη ηνλ ζην ζεκείν θαη ηνλ ζην ζεκείν, λα απνδείμεηε: α) Τν ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. β) γ) Τα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά. Λύση: Καη αξρήλ ε είλαη εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην θαη έηζη θαη ζπλεπώο ε είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. Επίζεο, επεηδή νη θύθινη και είλαη ίζνη, ηα ηόμα θαη είλαη ίζα θαη ζπλεπώο (ζρήκα). α), άξα. θαη αθνύ, κε αθαίξεζε παίξλνπκε, απ όπνπ. Από ηηο (1) θαη (2) πξνθύπηεη όηη ην είλαη παξαιιειόγξακκν. β) Επεηδή ην είλαη παξαιιειόγξακκν, νη δηαγώληνί ηνπ δηρνηνκνύληαη, άξα. Τν είλαη παξαιιειόγξακκν είλαη παξαιιειόγξακκν, δηόηη:, άξα θαη, άξα. Σπλεπώο νη δηαγώληνη ηνπ δηρνηνκνύληαη, απ όπνπ. Από ηηο (3), (4) έρνπκε. γ) είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ θαη, αθνύ ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο θαη εμσηεξηθή ηνπ γσλία. Άξα, ζπλεπώο ην ηεξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν, δειαδή ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά.

Πρόβλημα 4: Να βξείηε ηνλ επόκελν, θαζώο θαη ηνλ κεγαιύηεξν όξν ηεο αθνινπζίαο δηθαηνινγώληαο ηελ απάληεζή ζαο. Λύση: Παξαηεξνύκε όηη νη αξηζκεηέο ησλ θιαζκάησλ γξάθνληαη δειαδή απνηεινύλ αθνινπζία κε γεληθό όξν Επίζεο νη παξνλνκαζηέο ησλ θιαζκάησλ ηεο αθνινπζίαο γξάθνληαη δειαδή απνηεινύλ αθνινπζία κε γεληθό όξν Επνκέλσο ν γεληθόο όξνο ηεο δεδνκέλεο αθνινπζίαο είλαη Άξα ν επόκελνο ησλ δεδνκέλσλ όξσλ ηεο αθνινπζίαο ζα είλαη Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηνλ κέγηζην όξν ζεσξνύκε ηελ ζπλάξηεζε Παξαγσγίδνληαο ηελ ζπλάξηεζε έρνπκε Πηζαλά αθξόηαηα ζα έρνπκε γηα Επεηδή γηα θαη γηα ηόηε ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα ( ), γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα ( ) θαη αθνύ ε είλαη ζπλερήο ζην, ζα έρνπκε νιηθό κέγηζην γηα ηελ ζην Παξαηεξνύκε επίζεο όηη Επνκέλσο ν κεγαιύηεξνο όξνο ηεο αθνινπζίαο είλαη ν