ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις
Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή, το κόστος από το κεφάλαιο και την εργασία, οι δαπάνες από τα διαθέσιμα και τις ανάγκες, κλπ. Την εξάρτηση αυτή μεταξύ δύο μεγεθών, στα μαθηματικά την ονομάζουμε συνάρτηση του ενός μεγέθους σε σχέση με το άλλο ή τα άλλα μεγέθη. Ονομάζουμε λοιπόν στα μαθηματικά συνάρτηση μιας μεταβλητής ή συνάρτηση πολλών μεταβλητών αντίστοιχα.
συμβολισμός Οι συναρτήσεις συμβολίζονται με ένα αγγλικό γράμμα, ακολουθούμενο από μια παρένθεση, μέσα στην οποία γράφονται τα μεγέθη που επηρεάζουν κάποιο άλλο μέγεθος. Το εξαρτώμενο μέγεθος (μόνο ένα!) εκφράζεται με το αποτέλεσμα της συνάρτησης. Π.χ. F(x), f(x,y), g(z,v), h(a,b,c) κλπ. η ζήτηση εξαρτώμενη από την τιμή, θα γραφεί σαν συνάρτηση Q(p) το κόστος εξαρτώμενο από το κεφάλαιο και την εργασία, θα γραφεί σαν συνάρτηση C(k,l)
Τύπος συνάρτησης Εκτός από τον συμβολισμό, σε μια συνάρτηση υπάρχει και η αναλυτική μαθηματική σχέση μεταξύ των μετρούμενων μεγεθών, η οποία λέγεται τύπος της συνάρτησης ή απλά επικράτησε να λέγεται «συνάρτηση». Ο μαθηματικός αυτός τύπος, μας βοηθάει να υπολογίσουμε την «τιμή» του εξαρτώμενου μεγέθους, αν γνωρίζουμε την τιμή των μεγεθών από τα οποία εξαρτάται. (αυτά ονομάζονται ανεξάρτητες μεταβλητές).
Πεδίο ορισμού Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, ονομάζεται το αριθμητικό σύνολο που περιέχει όλες τις δυνατές τιμές των μεταβλητών της συνάρτησης, για τις οποίες μπορεί να γίνει υπολογισμός του «τύπου» της συνάρτησης, δηλαδή μπορεί να υπολογισθεί ή εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης. Συνήθως το πεδίο ορισμού κάθε μεταβλητής είναι το σύνολο R των πραγματικών αριθμών εκτός και αν οι μεταβλητές αφορούν οικονομικά μεγέθη που δεν μπορούν να πάρουν αρνητικές τιμές κάποιες μεταβλητές είναι στον παρανομαστή, δεν μπορούν να υπολογισθούν όταν ο παρανομαστής γίνει 0. κάποιες μεταβλητές είναι σε ρίζα ή σε λογάριθμο, δεν μπορούν να υπολογισθούν όταν η ποσότητα γίνει αρνητική
Παραδείγματα για πεδίο ορισμού α) Αν f (x, y)=1/(x-y) τότε το πεδίο ορισμού είναι D = {( x, y ) R 2, x y} β) Αν f ( x, y, z)= 1/(x+y+z) τότε το πεδίο ορισμού είναι D = {( x, y, z ) R 3, (x, y, z) (0,0,0 )} γ) Αν f ( x, y, z)= λογ(1-x 2 + y 2 + z 2 ) τότε το πεδίο ορισμού είναι D = {( x, y, z ) R 3, x 2 + y 2 + z 2 1}.
Γραφική παράσταση Η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών γίνεται σε τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (τρεις άξονες x,y,z κάθετοι ανά δύο που τέμνονται σε ένα σημείο). Σ αυτό παριστάνουμε τριάδες (x, y, z), όπου το z υπολογίζεται από z = f ( x, y), ( x, y ) D, και D είναι το πεδίο ορισμού της f. 1000 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 6
Ισοϋψείς καμπύλες Στις οικονομικές εφαρμογές, πολλές φορές μας ενδιαφέρουν οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών, οι οποίες έχουν την ίδια σταθερή τιμή, αλλά με διαφορετικούς συνδυασμούς των δύο μεταβλητών. Π.χ. συνάρτηση παραγωγής σε σχέση με Κεφάλαιο και Εργασία Συνάρτηση χρησιμότητας καταναλωτή σε σχέση με τις ποσότητες αγαθού Α και αγαθού Β.
Γράφημα ισοϋψών καμπυλών 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 Στο παραπάνω γράφημα παρουσιάζεται η καμπύλη ln(x 1 *x 2 )=3,40 και οι καμπύλες που βρίσκονται δεξιά παρουσιάζουν τις ln(x 1 *x 2 )=5,60 και ln(x 1 *x 2 )=7 Αν πρόκειται για συνάρτηση χρησιμότητας, κάθε ισοϋψής καμπύλη ονομάζεται καμπύλη αδιαφορίας. Στην περίπτωση συνάρτησης παραγωγής, κάθε ισοϋψής καμπύλη ονομάζεται καμπύλη ίσου προϊόντος.
Παραγώγιση ισοϋψών Κάθε ισοϋψής καμπύλη μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, αντιστοιχεί σε μια εξίσωση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Μπορεί να θεωρηθεί σαν συνάρτηση της μιας μεταβλητής σε σχέση με τη δεύτερη, και έτσι μπορούμε να βρούμε την παράγωγό της και το ρυθμό μεταβολής της. Η κλίση των ισοϋψών καμπυλών σε κάποιο σημείο, ονομάζεται οριακός λόγος υποκατάστασης
ασκήσεις Να βρείτε την κλίση των παρακάτω ισοϋψών καμπυλών: f(x,y)=x -2 y=3 στο σημείο (1,3) g(x,y)=x 2 +xy=18 στο σημείο (3,3) Ένα προϊόν Q παράγεται με εργασία L και κεφάλαιο Κ, με τη σχέση Q=L 1/2 K 1/4. Να υπολογίσετε τον οριακό λόγο υποκατάστασης πάνω στην καμπύλη ίσου προϊόντος Q=3, όταν χρησιμοποιείται 1 μονάδα κεφαλαίου και 9 μονάδες εργασίας.
μερική παράγωγος Στην περίπτωση συναρτήσεων με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές υπολογίζουμε μια παράγωγο συνάρτηση για κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές όταν οι άλλες θεωρούνται σταθερές. Κάθε τέτοια παράγωγος συνάρτηση ονομάζεται μερική παράγωγος. Συμβολίζεται με ειδικό σύμβολο ακολουθούμενο από το σύμβολο της συνάρτησης με μια κάθετη γραμμή ακολουθούμενη από και το όνομα της ανεξάρτητης μεταβλητής. (π.χ. f/ x, f/ y, f/ v). Άλλος τρόπος συμβολισμού είναι με ένα δείκτη στο σύμβολο της συνάρτησης. (π.χ. fx, fy, fv) Η μερική παράγωγος εκφράζει το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της εξαρτημένης μεταβλητής, που οφείλεται σε μεταβολή μιας από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, ενώ οι υπόλοιπες ανεξάρτητες μεταβλητές παραμένουν σταθερές. Σημείωση: Η μερική παράγωγος είναι και αυτή συνάρτηση, στην οποία μπορούμε να αντικαταστήσουμε διάφορες τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών, και να υπολογίσουμε την τιμή του ρυθμού μεταβολής για τις τιμές αυτές.
Μερική παράγωγος δευτέρου βαθμού Αν έχουμε υπολογίσει τη μερική παράγωγο, μπορούμε να ξαναυπολογίσουμε μερική παράγωγο για τη συνάρτηση της μερικής παραγώγου, οπότε προκύπτει η μερική παράγωγος δευτέρου βαθμού της αρχικής συνάρτησης. Συμβολίζεται με ειδικό σύμβολο 2 ακολουθούμενο από το σύμβολο της συνάρτησης με μια κάθετη γραμμή ακολουθούμενη από και το όνομα της ανεξάρτητης μεταβλητής ή των ανεξάρτητων μεταβλητών. (π.χ. 2 f/ x 2, 2 f/ y 2, 2 f/ x y, 2 f/ y x). Άλλος τρόπος συμβολισμού είναι με διπλό δείκτη στο σύμβολο της συνάρτησης. (π.χ. fxx, fyy, fxy, fyx)
Υπολογισμός μερικής παραγώγου Στην πράξη, για να βρούμε τη μερική παράγωγο μίας συνάρτησης ως προς μία ανεξάρτητη μεταβλητή, κρατάμε σταθερές όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές εκτός από αυτή για την οποία θέλουμε να βρούμε τη μερική παράγωγο και παραγωγίζουμε ως προς αυτή με βάση τους κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής.
Ασκήσεις μερικών παραγώγων Να βρεθούν όλες οι μερικές παράγωγοι των συναρτήσεων: 1) f ( x, y )= x 2 x 2 y + 4xy y 2) f ( x, y )= xηµ y x+συνx +xy 3) f ( x, y )= ln x +συν y + 2xy 4) Να δείξετε ότι για τη συνάρτηση f(x, y)= ln (x 2 + 3xy + y 2 ) ισχύει x f/ x + y f/ y = 2.
Λύσεις ασκήσεων μερικών παραγώγων 1) f / x = 2x 2xy + 4y 2 f / x 2 = 2 2y f / y= x 2 + 4x 1 2 f / y 2 = 0 2 f / y x= -2x+4 2) f / x =ηµ y 1 ηµ x + y, f / y= xσυν y + x, 2 f / y x= συν y+1 2 f / x y= συν y+1 3) f / x =1/x + 2y, f / y = ηµ y + 2x, 4) f / x= (2x+3y) / ( x 2 + 3xy + y 2 ) f / y= (3x+2y) / ( x 2 + 3xy + y 2 ) Αντικαθιστώντας στη ζητούμενη σχέση έχουμε x f / x + y f / y= x (2x +3y) /(x 2 + 3xy + y 2 ) +y (3x+2y) / ( x + 3xy + y )= =(2x 2 +3xy+3xy+2y 2 ) / (x 2 + 3xy + y 2 )= 2(x 2 + 3xy + y 2 )/ (x 2 + 3xy + y 2 )=2
ακρότατα Για να βρούμε τα ακρότατα μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών εργαζόμαστε ως εξής: Λύνουμε το σύστημα fx = 0 και fy = 0. Έστω το σημείο (x 0,y 0 ) είναι μία λύση του συστήματος. Υπολογίζουμε την ποσότητα D(x 0,y 0 ) D(x 0,y 0 ) = 2 f(x 0,y 0 )/ x 2 * 2 f(x 0,y 0 )/ y 2 - [ 2 f(x 0,y 0 )/ x y] 2 και διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Πρόσημο D Πρόσημο δεύτερης μερικής παραγώγου D(x 0,y 0 ) >0 2 f (x 0,y 0 )/ x 2 <0, 2 f (x 0,y 0 )/ y 2 <0 Ακρότατο σημείο (x 0,y 0 ) Τοπικό μέγιστο D(x 0,y 0 ) <0 D(x 0,y 0 ) =0 2 f (x 0,y 0 )/ x 2 >0, 2 f (x 0,y 0 )/ y 2 >0 Τοπικό ελάχιστο Αυχενικό ή σαγματικό σημείο Κανένα συμπέρασμα
Παράδειγμα ακρότατα Έστω f(x, y )= x 2 +y 2 +1. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα αυτής. Λύση: Είναι f x = 2x, f y = 2y, f xx = 2 =f yy και f yx = 0. Άρα 2x=0 και 2y=0 ( x 0, y 0 )=(0,0 ) είναι το πιθανό σημείο για ακρότατο Έχουμε D(0,0) = 2 f (0,0) / x 2 2 f(0,0)/ y 2 - [ 2 f (0,0)/ x y] 2 = 2 * 2-0=4 Και επειδή 2 f(0,0)/ x 2 =2>0, 2 f(0,0)/ y 2= 2>0 το σημείο (0,0) είναι σημείο τοπικού ελαχίστου με τιμή f (0,0)= 1.
Ασκήσεις ακρότατα (1) Έστω f ( x, y )=xe y. Να δείξετε ότι xf x f y = 0. Λύση: Είναι xf x f y = x e y x e y = 0. (2) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f (x, y)= x 2 y 2 + xy x 1. Λύση: Είναι f x = 2x + y 1, f y = 2y + x, f xx = 2 f yy =-2, f yx = 1. Άρα: f x = 0 2x + y 1 = 0 και f y = 0 2y+x= 0 (-2/3, -1/3) η λύση και το πιθανό σημείο ακροτάτου Έχουμε D = 2 f(-2/3,-1/3)/ x 2 * 2 f(-2/3,-1/3)/ y 2 - [ 2 f (-2/3, -1/3)/ x y ] 2 = =(-2) (-2) 1 2 = 4-1=3 > 0 και 2 f(-2/3,-1/3)/ x 2 =-2<0, 2 f(-2/3,-1/3) / y 2 =-2 <0 Επομένως το (-2/3, -1/3) είναι σημείο τοπικού μεγίστου με τιμή f (-2/3, -1/3) = 2/3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Για τις ακόλουθες συναρτήσεις 2 μεταβλητών: Να υπολογισθούν οι τιμές τους όταν x=1, y=0 και όταν x=1, y=1 Να υπολογισθούν οι μερικές παράγωγοι ως προς x και ως προς y. 1. f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + 3x 3y + 4, 2. f (x, y) = x 2 + 3xy + 3y 2 6x + 3y 6, 3. f (x, y) = 5xy 7x 2 + 3x 6 y + 2, 4. f (x, y) = 2xy 5x 2 2 y 2 + 4x + 4y 4, 5. f (x, y) = x 2 + xy + 3x + 2y + 5, 6. f (x, y) = y 2 + xy 2x 2y + 2, 7. f (x, y) = 2xy 5x 2 2y 2 + 4x 4, 8. f (x, y) = 2xy x 2 2y 2 + 3x + 4, 9. f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + 3y + 3, 10. f (x, y) = 3x 2 + 6xy + 7 y 2 2x + 4y, 11. f (x, y) = 2x 2 + 3xy + 4y 2 5x + 2y, 12. f (x, y) = 4x 2 6xy + 5y 2 20x + 26y, 13. f (x, y) = x 2 4xy + y 2 + 5x 2y, 14. f (x, y) = x 2 + y 2 2x + 4y + 6, 15. f (x, y) = x 2 y 2 2x + 4y + 6, 16. f (x, y) = x 2 2xy + 2 y 2 2x + 2y +1, 17. f (x, y) = x 2 + 2xy, 18. f (x, y) = 3 + 2x + 2 y 2x 2 2xy y 2, 19. f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + x 4y + 5, 20. f (x, y) = x 2 xy + y 2 + 2x + 2y 4.