KATANOMEΣ- ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KATANOMEΣ- ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Στατιστικές Συλλογές. Κατανομή Gibbs 3. Από την Κατανομή Gibbs στις Κατανομές Maxwell & Boltzmann 4. Κατανομή Maxwell 4.1 Χαρακτηριστικές ταχύτητες της Κατανομής Maxwell 4. Εξάρτηση της Κατανομής Maxwell από τη θερμοκρασία 4.3 Εξάρτηση της Κατανομής Maxwell από το είδος του αερίου 4.4 Η ατμόσφαιρα των πλανητών 4.5 Ποσοστό σωματιδίων 4.6 Ασκήσεις 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Ένα πολύ μεγάλο πλήθος από πανομοιότυπα συστήματα, απομονωμένα, ονομάζεται ΜΙΚΡΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΣΥΛΛΟΓΗ. 1. Στατιστικές Συλλογές Ένα πολύ μεγάλο πλήθος από πανομοιότυπα συστήματα, τα οποία ανταλλάσουν ενέργεια, ονομάζεται ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΣΥΛΛΟΓΗ. Ένα πολύ μεγάλο πλήθος από πανομοιότυπα συστήματα, τα οποία ανταλλάσουν ενέργεια αλλά και σωματίδια ονομάζεται ΜΕΓΑΛΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΣΥΛΛΟΓΗ. Αδιαπέρατα τοιχώματα ως προς την ενέργεια Αδιαπέραστα τοιχώματα ως προς τα σωματίδια περατά τοιχώματα ως προς την ενέργεια Αδιαπέρατα τοιχώματα ως προς τα σωματίδια περατά τοιχώματα ως προς την ενέργεια πέρατα τοιχώματα ως προς τα σωματίδια

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Έστω σύστημα Ενέργειας Ε ο. Κατανομή Gibbs Εστω υποσύστημα του συνολικού συστήματος ενέργειας Ε Για απλοποίηση θα θεωρήσουμε ότι το υποσύστημα αποτελείται από ένα σωματίδιο ενέργειας Ε. Η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο σε μία κατάσταση με ενέργεια Ε έως Ε + de αποδεικνύεται να είναι: E k dp Ae d 3

Κατανομή Gibbs ως προς τις ενέργειες E k dp Ae d Κανονική Πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο σε μία κατάσταση με ενέργεια Ε έως Ε + de. Στοιχειώδης Όγκος στον χώρο των φάσεων. Ουσιαστικά είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων με ενέργειες από Ε έως Ε + de (στο χώρο των θέσεων ορμών) Σταθερά Κανονικοποίησης d drdp 3 p x dp dx x p y dp dy y p z dp z dz Σε καρτεσιανές συντεταγμένες γράφεται x y z d dxdydzdpxdpydpz 3 4

3. Από την Κατανομή Gibbs στις Κατανομές Maxwell & Boltzmann Η ενέργεια σωματίδιου (υποσυστήματος) ενός αερίου είναι: Ε = Κ + U Όπου, Κ είναι η κινητική του ενέργεια: K 1 m Ενώ, U είναι η δυναμική ενέργεια που έχει λόγω ενός εξωτερικού δυναμικού πεδίου. Η πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο σε μία κατάσταση με ενέργεια Ε έως Ε + de δίνεται από την κατανομή Gibbs που μπορεί να γραφεί ως: k 1 x y z U k dp A e dp dp dp A e dxdydz Όπου A A 3 1 Επειδή η κινητική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τις ταχύτητες (ορμές), ενώ η δυναμική ενέργεια μόνο από τη θέση U = U(x,y,z), θα έχει ως αποτέλεσμα η πιθανότητα να χωρίζεται σε δύο νέες ανεξάρτητες πιθανότητες. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 5

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 dp k 1 x y pz U k A e dp dp d A e dxdydz dpx, y,z,p x,p y,pz 1 x y z dp p,p,p dp x, y,z Αυτή η πιθανότητα οδηγεί στην κατανομή Maxwell Αυτή η πιθανότητα οδηγεί στην κατανομή Boltzmann Όπου προσδιορίζει την πιθανότητα να έχει ένα σωματίδιο ταχύτητες από υx έως υx + dυx, υy έως υy + dυy, υz έως υz + dυz, Όπου προσδιορίζει την πιθανότητα το σωματίδιο να βρεθεί σε όγκο dv = dxdydz στο σημείο (x,y,z) 6

4. Κατανομή Maxwell k dp Ae dpxdpydpz Το γινόμενο dp x dp y dp z αποτελεί τον στοιχειώδη όγκο στον χώρο των ορμών εκφρασμένο σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Ο όγκος αυτός γραμμένος σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται: 3 dpxdpydpz p sin dpd d m sin d d d Όπου p είναι το μέτρο της ορμής και είναι p = mυ και dp = mdυ Έτσι έχουμε: Όπου Β = m 3 A ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 m k dp e sin d d d Παραλείπονται οι δείκτες H Πιθανότητα αυτή σχετίζεται τόσο με το μέτρο της ταχύτητας (υ) όσο με την διεύθυνσή της (θ,φ). Αν μας ενδιαφέρει μόνο το μέτρο της ταχύτητας, ολοκληρώνουμε σε όλες τις γωνίες (θ,φ) και αυτό θα μας δώσει απλά έναν παράγοντα 4π, έτσι: m k dp e 4 d 7

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Για τον υπολογισμό της σταθεράς κανονικοποίησης Β, ολοκληρώνουμε την πιθανότητα σε όλες τις δυνατές τιμές της, επειδή, είναι εκφρασμένη σε σφαιρικές συντεταγμένες (το μέτρο της ταχύτητας) υ[,+ ), επομένως: dp 1 m k 1 e 4 d n x e rx m m kt 4B e d 1 dx 1 n 1 mr m n1 n,m,r m kt 3 3/ 4B 1 3 4B 1 B 1 3/ 3/ m m m kt kt kt B m kt 3/ Άρα: 3/ m m k dp e 4 d kt 8

dp 3/ m m k e 4 d kt f(υ) = dp(υ)/dυ είναι η πυκνότητα πιθανότητας f(υ)dυ είναι η κατανομή Maxwell Όπου Είναι η πιθανότητα ένα σωματίδιο να έχει (μέτρο ταχύτητας) ταχύτητα από υ έως υ + dυ m είναι η μάζα του ενός σωματιδίου (μόριο ή άτομο) του αερίου k είναι η σταθερά Boltzman Τ η απόλυτη θερμοκρασία [σε Kelvin] υ το μέτρο της ταχύτητας [σε m/s] 4πυdυ είναι το στοιχείο του όγκου στο χώρο των ταχυτήτων στις σφαιρικές συντεταγμένες ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 9

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 dp dn n dn N Παρατηρήσεις Σχετική συγκέντρωση των σωματιδίων με ταχύτητες υ έως υ + dυ dn = dn/v n = N/V Είναι η συγκέντρωση των σωματιδίων με ταχύτητες υ έως υ + dυ Είναι η συγκέντρωση των σωματιδίων του αερίου (σε όγκο V) Σχετικός αριθμός των σωματιδίων με ταχύτητες υ έως υ + dυ dn N Είναι o αριθμός των σωματιδίων με ταχύτητες υ έως υ + dυ Είναι ο αριθμός των σωματιδίων του αερίου 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η πυκνότητα πιθανότητας της Κατανομής Maxwell f(υ) 3/ m k m f 4 e kt είναι θετική όταν υ το f(υ) όταν υ το f(υ) έχει τουλάχιστον ένα μέγιστο υ Επίσης το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη και τον άξονα υ ισούται με την μονάδα, λόγω κανονικοποίησης f d 1 11

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 4.1 Χαρακτηριστικές ταχύτητες της Κατανομής Maxwell f(υ) υ H ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης ονομάζεται πιθανότερη ταχύτητα και ισούται με: kt m H μέση ταχύτητα είναι η μέση τιμή των ταχυτήτων των σωματιδίων του αερίου: 8kT m Η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων των ταχυτήτων των σωματιδίων του αερίου ονομάζεται ενεργός ταχύτητα και είναι rms 3kT m 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Παρατηρήσεις Συχνά, σε διάφορες κατανομές, η μέση τιμή ενός μεγέθους συμπίπτει με την πιθανότερη τιμή του μεγέθους. Στην κατανομή Maxwell η <υ> είναι μεγαλύτερη της υ π, γιατί προβλέπονται μόρια, έστω και λίγα, με πολύ μεγάλες ταχύτητες (δεν υπάρχει όριο στις ταχύτητες των μορίων). Ισχύει: 13

4. Εξάρτηση της Κατανομής Maxwell από την θερμοκρασία f(υ) Τ 1 Τ 1 < Τ < Τ 3 Τ Θεωρούμε ίδιο αέριο σε διάφορες θερμοκρασίες Τ 3 υ Όταν η θερμοκρασία του αερίου αυξάνεται, η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά και η κορυφή της χαμηλώνει. Αυτό συμβαίνει γιατί όσο αυξάνει η θερμοκρασία η ενεργός ταχύτητα αυξάνεται, ενώ η πυκνότητα πιθανότητας ελαττώνεται. Τέλος ο αριθμός των μορίων στη νέα πιθανότερη ταχύτητα είναι μικρότερος στην υψηλότερη θερμοκρασία. 14

4.3 Εξάρτηση της Κατανομής Maxwell από το είδος του αερίου f(υ) m 1 < m < m 3 m 3 Ο Θεωρούμε διαφορετικά αέρια στην ίδια θερμοκρασία m Ν m 1 Η υ Η πυκνότητα πιθανότητας της κατανομής Maxwell δείχνει πως τα μόρια του αερίου με το μικρότερο μοριακό βάρος έχουν μεγαλύτερες ταχύτητες επομένως η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά και γίνεται πιο αμβλεία. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 15

4.4 Η ατμόσφαιρα των πλανητών Για να διαφύγει κάθετα ένα σώμα από το βαρυτικό πεδίο ενός πλανήτη, πρέπει η ταχύτητά του να είναι μεγαλύτερη της ταχύτητας διαφυγής Αν ο πλανήτης έχει μάζα ίση με Μ και ακτίνα R, τότε η ταχύτητα διαφυγής για κάθε πλανήτη δίνεται από την σχέση: f(υ) m 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 m υ δ m 1 Η υ GM R h Όπου εξαρτάται μόνο από αυτά τα χαρακτηριστικά του πλανήτη και το ύψος h όπου βάλλεται το σωματίδιο από την επιφάνεια του. m 1 : υπάρχει μεγάλος αριθμός μορίων που έχουν υ > υ δ έτσι διαφεύγουν στην ατμόσφαιρα και ένα τέτοιο αέριο δεν θα μπορούσε να δομήσει την ατμόσφαιρα. m : υπάρχει ένας αριθμός μορίων που έχουν υ > υ δ ένα τέτοιο αέριο θα μπορούσε να δομήσει την ατμόσφαιρα αλλά μετά από κάποιο χρόνο θα διέφευγαν και από αυτό όλα τα μόρια του. m 3 : όλα τα μόρια έχουν υ < υ δ ένα τέτοιο αέριο δομή την ατμόσφαιρα διότι όλη η ποσότητα του παραμένει στην ατμόσφαιρα δίχως να διαφεύγει. 16

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 4.5 Ποσοστό σωματιδίων υ 1 υ Η πιθανότητα ένα σωματίδιο (το ποσοστό των σωματιδίων) να έχει ταχύτητες από υ 1 έως υ είναι το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν και υπολογίζεται από τη σχέση: 1, f d 1 Η πιθανότητα ένα σωματίδιο (το ποσοστό των σωματιδίων) να έχει ταχύτητες από υ έως υ + dυ είναι το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν και υπολογίζεται από τη σχέση: d f d 17

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 1 4.5 Ασκήσεις Δίνεται η ακανονικοποίητη κατανομή Maxwell: Να βρεθεί η σταθερά κανονικοποίησης Ν. m kt f d Ne 4 d Το ολοκλήρωμα dp θα πρέπει να ισούται ίσο με 1, με άλλα λόγια, για τον υπολογισμό της σταθεράς κανονικοποίησης, ολοκληρώνουμε την κατανομή σε όλες τις δυνατές τιμές της, επειδή, είναι εκφρασμένη σε σφαιρικές συντεταγμένες (το μέτρο της ταχύτητας) υ[,+ ), επομένως: f ( )d 1 3/ 1 3/ m kt m kt 3 4 e d 1 m kt Άρα η κατανομή Maxwell κανονικοποιημένη είναι: 3/ 3/ m m kt f d e 4 d kt 3 4 1 m kt n x e 4 1 3/ m kt rx m 1 n 1 dx n1 mr m m n,m,r kt 18

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η κατανομή Maxwell: Να βρεθεί η πιθανότερη ταχύτητα υ πιθ. 3/ m m kt f d e 4 d kt Η πιθανότερη ταχύτητα είναι αυτή που αντιστοιχεί στο μέγιστο της κατανομής, άρα αυτή θα υπολογιστεί από την απαίτηση η πρώτη παράγωγος της κατανομής να μηδενίζεται. Στο σημείο όπου μηδενίζεται είναι και η πιθανότερη ταχύτητα, δηλαδή: 3/ m 3/ m df d m m d Όμως kt kt e 4 4 e d d kt kt d 3/ m m m m kt kt 4 e e kt kt f(υ) df m kt 1 d kt m df d Άρα k m υ π υ 19

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να βρεθεί η μέση ταχύτητα <υ>. 3/ m 3/ m kt m 3 m kt f ( )d 4 e d 4 e d kt kt 3/ 3/ 3/ m m 3 m 1 4 m 1 kt 4 e d 4 4 kt kt kt m m kt kt 3 4 1 1 3/ 1/ m m m kt 8kT kt kt kt m m Άρα 8kT f(υ) m n rx m 1 n 1 x e dx n1 mr m m n 3,m,r kt υ <υ>

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθεί η μέση τετραγωνική ταχύτητα <υ >. 3/ m 3/ m kt m 4 m kt f ( )d 4 e d 4 e d kt kt 3/ 3/ 3/ m m 4 m 1 5 m 1 3 kt 5 5 kt kt kt 4 4 e d 4 m m kt kt 3/ 3/ 3 m 1 3 kt 3kT 5/ kt m m m n kt rx m 1 n 1 x e dx n1 3kT mr m Άρα f(υ) m m n 4,m,r kt υ 5 3 3 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 4 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρεθεί η διασπορά και η σχετική διακύμανση της ταχύτητας των μορίων. Η διασπορά της ταχύτητας είναι: 1 m m m 3 Η σχετική διακύμανση της ταχύτητας είναι: 3kT 8kT 3kT 8 3kT 8 1 1 3kT 3 m m 3 8

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να δείξετε ότι η κατανομή Maxwell για την συνιστώσα της ταχύτητας υ x είναι: 1/ m m x kt x x x f d e d kt 3/ m m kt f d e 4 d Η κατανομή Maxwell είναι: kt Αυτή είναι γραμμένη σε σφαιρικές συντεταγμένες. Αν θέλουμε όμως να την γράψουμε σε καρτεσιανές συντεταγμένες θα έχουμε: 4 d dxdydz x z y Συνεπώς σε καρτεσιανές συντεταγμένες μπορεί να γραφεί: 3/ mx y z m kt f d e dxdydz kt m x y mz 1/ m 1/ 1/ kt kt kt e d x e d y e d z m m m kt kt kt f d f d f d x x y y z z f(υ x ) υ x Άρα 1/ m m x kt x x x f d e d kt 3

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρεθεί η μέση ταχύτητα στον άξονα x, <υ x >. f(υ x ) υ x Από την μορφή και μόνο της κατανομής ταχυτήτων, παρατηρούμε ότι η μέση ταχύτητα στον άξονα x είναι μηδέν. Διαφορετικά: 1/ m m x kt x x x x x x kt f ( )d e d Π Α Το ολοκλήρωμα είναι μηδέν, διότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι περιττή και ολοκληρώνεται σε συμμετρικά όρια. Π Και γενικά x y z Το ότι βγάζουμε αυτό το αποτέλεσμα δεν σημαίνει ότι όλες οι ταχύτητες είναι μηδέν, αλλά όσα μόρια κινούνται προς την θετική κατεύθυνση άλλα τόσα κινούνται προς την αρνητική κατεύθυνση. 4

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 8 Να βρεθεί η μέση ταχύτητα των μορίων που κινούνται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα του x, <υ x+ >. 1/ m x 1/ m kt m 1 x x x x x x kt kt m 1/ 1/ 1 f ( )d e d 1 m 1 m m kt kt m kt kt m kt kt Άρα x kt m Παρατήρηση: x y z kt m n x e rx m 1 n 1 dx n1 mr m m n 1,m,r kt 5

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 9 Να βρεθεί η μέση τετραγωνική ταχύτητα των μορίων που κινούνται στον άξονα του x, <υ x >. 1/ m x 1/ kt x xf ( x )d x xe d x 3 m 1/ m m 1 3 kt kt m 1 1 kt kt kt 3 kt m m m kt n rx m 1 n 1 x e dx n1 mr m m n,m,r kt Παρατήρηση: x y z kt m 3kT m x y z 6

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Παρατηρήσεις Ιδιότητες μέσης τιμής < f + g > = < f > + < g > Παραδείγματα 1 1 1 m m m 1 kt 3 m3 kt m x y z x y z < f g > = < f > < g > Ισχύει μόνο όταν οι f,g εξαρτώνται από διαφορετικές μεταβλητές x y x y x y x y x x διότι x z y 7

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 1 Να δείξετε ότι η κατανομή Maxwell ως προς της ενέργειες είναι: 1 E 1 kt f EdE E e de kt Η Ενέργεια ενός μορίου ιδανικού αέριου είναι ίση με την κινητική του ενέργεια, δηλαδή: m d 1 de E Άρα: και d m de E m Em m Αντικαθιστώντας στην κατανομή Maxwell, έχουμε: 3/ m m kt f d e 4 d kt 3/ E m E de kt e 4 kt m Em 3 1 E 1 kt E e de f EdE kt 1 E 1 kt Άρα f EdE E e de kt 3 3 f(ε) Τ 1 Τ Τ 1 < Τ < Τ 3 Τ 3 8 Ε

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 11 Να βρεθεί η πιθανότερη ενέργεια για την κατανομή Maxwell. Η πιθανότερη ενέργεια είναι αυτή που αντιστοιχεί στο μέγιστο της κατανομής, άρα: Όμως, df E de EE 3 3 E 1 E kt kt df E 1 1 1 1 e E e de kt E kt kt Απαιτώντας να είναι ίσο με μηδέν έχουμε: df E de 3 3 E 1 E kt kt 1 1 1 1 e E e kt E kt kt f(ε) 1 1 1 E E kt 1 E 1 E kt kt E kt Άρα, η πιθανότερη ταχύτητα είναι: E Ε π 9 Ε

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 1 Να βρεθεί η μέση ενέργεια για την κατανομή Maxwell. 3 3 1 E 3 E 1 1 kt kt f E de E e de E e de kt kt 3 1 1 1 5 1 3 3k 5 kt 1 kt 4 kt Άλλως τρόπος E m m m m 3kT 3kT m n x e rx m 1 n 1 dx n1 mr m 1 n 3/,m 1,r kt 5 3 3 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 4 3

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 13 Να βρεθεί η μέση τιμή του τετραγώνου της ενέργειας για την κατανομή Maxwell και η σχετική διακύμανση της ενέργειας των σωματιδίων. 3 3 1 E 5 E 1 1 kt kt f E de E e de E e de kt kt 3 1 1 7 1 15 15k 7 kt 1 kt 8 4 kt Η σχετική διακύμανση της ενέργειας είναι: n x e rx m 1 n 1 dx n1 mr m 1 n 5/,m 1,r kt 7 5 5 5 15 1 8 15k 9k T 4 4 E 3kT 3 E E 6 31

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΣΚΗΣΗ 14 Να βρεθεί ο σχετικός αριθμός W των μορίων ιδανικού αερίου η κινητική ενέργεια των οποίων διαφέρει από την πιθανότερη ενέργεια Ε π όχι περισσότερο από 1%. 1.1E W.99E,1.1E f d.99e 3 1 E 1 kt f f.e Ee.E kt 3 3 3 3 E kt 1 kt 1 kt kt. Ee. e kt kt 1. f(ε) e 4.84 1 3 kt E.99Ε π 1.1Ε π * 3 Ε