ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΧ ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Καθηητής ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 04 Θέματα (& Λύσεις) Εξετάσεων Φεβρουαρίου 04: ΘΕΜΑ (6 μονάδες) Συμπιέζουμε αέρα (τέλειο αέριο) από τις συνθήκες (Τ t, t ) στις (Τ t5, t5 ), με δύο τρόπους: (α) Με ένα μονοβάθμιο αξονικό συμπιεστή (δείκτες θέσεων 6 5) Συμβολίστε με η M και η Μ τους πολυτροπικούς βαθμούς απόδοσης της βαθμίδας και της κινητής της πτερύωσης, αντίστοιχα (β) Με ένα διβάθμιο αξονικό συμπιεστή ( η πρώτη βαθμίδα, 4 5 η δεύτερη) Για την πρώτη βαθμίδα, συμβολίστε με η και η τους πολυτροπικούς βαθμούς απόδοσης της πρώτης βαθμίδας και της κινητής της πτερύωσης, αντίστοιχα Οι αντίστοιχες ποσότητες ια τη δεύτερη βαθμίδα συμβολίζονται με η και η Ισχύει η η Σε κάθε βαθμίδα, είτε του μονοβάθμιου είτε του διβάθμιου, η αύξηση εντροπίας ισομοιράζεται μεταξύ της κινητής και της σταθερής πτερύωσης Δείξτε ότι η Μ η η και η Μ η η Κάντε το θερμοδυναμικό διάραμμα και ια τις δύο περιπτώσεις, με κοινά σημεία τα και 5 Να φανούν οι επιπτώσεις των ισοτήτων που αποδείξατε στο διάραμμα (καθαρό σκίτσο, χωρίς διφορούμενα σημεία) Μην αλλάξετε τα σύμβολα που ορίστηκαν παραπάνω ΘΕΜΑ (4 μονάδες) Ακτινικός συμπιεστής κινείται από ηλεκτρικό κινητήρα ισχύoς 550 kw χωρίς μηχανικές απώλειες και συμπιέζει αέρα (τέλειο αέριο) που δέχεται απευθείας από το περιβάλλον Η ταχύτητα περιστροφής της πτερωτής είναι 0000 PM Η σχετική ταχύτητα στην έξοδο της πτερωτής (σε διάμετρο ίση με 46cm) σχηματίζει, με την ακτινική κατεύθυνση, ωνία 5 μοιρών με φορά αντίθετη της περιστροφής Στην ίδια θέση της πτερωτής που έχει 7 πτερύια, η ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας είναι 8ms Βρείτε την παροχή μάζας που διακινείται και, με βάση τη σχέση του tanitz, τα όρια (κάτω και πάνω) μέσα στα οποία μπορεί να βρίσκεται η τιμή του παράοντα ολίσθησης σ
ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΧ ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Καθηητής ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 04 Λύση Θέματος : Το παρακάτω σκαρίφημα δείχνει τη θερμοδυναμική μεταβολή στο μονοβάθμιο ( 6 5) και διβάθμιο ( η πρώτη και 4 5 η δεύτερη βαθμίδα του) συμπιεστή Οι κατακόρυφες ραμμές-οδηοί (σταθερής εντροπίας) ισαπέχουν Μιας και θα δειχθεί ότι όλες οι κινητές πτερυώσεις έχουν ίδιο πολυτροπικό βαθμό απόδοσης, έχει προσεχθεί ώστε το σημείο να κείται στην καμπύλη της πολυτροπικής μεταβολής 6 Τα σημεία που σχεδιάζονται είναι ολικά και ο δείκτης ttotal παραλείπεται σε όλη την άσκηση η οποία δεν ασχολείται με τα αντίστοιχα στατικά σημεία Η λεπτότερη καμπύλη ραμμή είναι η πολυτροπική μεταβολή των δύο συμπιεστών (με βάση αυτό που θα αποδειχθεί) Υπάρχουν αρκετοί τρόποι ια να λυθεί η άσκηση Παρακάτω επιλέεται ένας από αυτούς Για την πρώτη βαθμίδα του διβάθμιου συμπιεστή, όπου ( ), είναι ln C, ln C με C,, η και η και με αντικατάσταση προκύπτει ότι ln ln η η ή τελικά η η () Προφανώς, τα ίδια ισχύουν και στη δεύτερη βαθμίδα αλλά και στο μονοβάθμιο συμπιεστή, δηλαδή h 5 4 6
ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΧ ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Καθηητής ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 04 η η () η M η M () Αφού η η, από τις () και () συνάεται ότι η η Επειδή οι μεταβολές και 5 διέπονται από τον ίδιο εκθέτη πολυτροπικής μεταβολής, ο ίδιος εκθέτης θα διέπει και τη συνολική μεταβολή 5, άρα θα είναι η M η η Τέλος, συνδυάζοντας τις () και () ή () και (), άμεσα απορρέει ότι η M η η Σχόλια από τη διόρθωση: Τα σημεία και 6 πρέπει να είναι στην ίδια ισεντροπική (κατακόρυφο) Πολλοί σπουδαστές δεν το έλαβαν υπόψη ή δεν το σχεδίασαν σωστά Η πολυτροπική μεταβολή πρέπει να είναι «πάνω» στην 6 Αλλιώς δεν θα είχαν το ίδιο πολυτροπικό βαθμό απόδοσης Επίσης συνηθισμένο λάθος
ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΧ ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Καθηητής ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 04 Λύση Θέματος : Ο αέρας εισέρχεται στο συμπιεστή απευθείας από το περιβάλλον, άρα χωρίς συστροφή (V u 0msec), και η ισχύς P που συναλλάσσει ρευστό και πτερωτή (είναι η ισχύς του ηλεκτρικού κινητήρα, αφού ο μηχανικός βαθμός απόδοσης είναι 00% ή, αλλιώς, η μετάδοση ίνεται χωρίς μηχανικές απώλειες) διέπεται από την εξίσωση του Euler στη μορφή P mu & Vu Στην έξοδο της πτερωτής είναι V r 8 και m πν d π 0000 0,46 U 48,7m 60 60 ενώ β -5 ο Από το εκεί τρίωνο ταχυτήτων ο Wu Vr tan β 8 tan( 5 ) 55,0m Vu Wu + U 55,0 + 48,7 46,69m Οπότε, η διακινούμενη παροχή μάζας είναι P m& UVu 550000,676kg 48,7 46,69 Κατά tanitz, ο παράοντας ολίσθησης είναι 0,6π σ n + Φ tan β () όπου n7 (πτερύια) και ο συντελεστής παροχής είναι V 8 Φ r 0,45 U 48,7 ο Λόω του φαινομένου της ολίσθησης της ροής στη θέση, θα είναι πάντα β > β ή β > 5 ή ο tan( β) > tan( 5 ) Με βάση την τελευταία ανισότητα και τη σχέση () καταλήουμε στην ανισότητα σ > 0, 8685 Δεδομένου ότι η θεωρητικά μέιστη τιμή του παράοντα ολίσθησης είναι η σ, τότε τα όρια (κάτω και πάνω) μέσα στα οποία μπορεί να βρίσκεται η τιμή του παράοντα ολίσθησης είναι 0,8685 < σ < Σχόλια από τη διόρθωση: Η έκφραση «συμπιεστής κινείται από ηλεκτρικό κινητήρα χωρίς μηχανικές απώλειες» δεν μπορεί να σημαίνει ότι η ροή είναι ισεντροπική (άχρηστη παραδοχή, έτσι κι αλλιώς), όπως κάποιοι θεώρησαν!
ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΧ ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Καθηητής ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 04 Η έκφραση «η σχετική ταχύτητα στην έξοδο της πτερωτής σχηματίζει, με την ακτινική κατεύθυνση, ωνία 5 μοιρών με φορά αντίθετη της περιστροφής» μεταφράζεται προφανώς σε β -5 ο Προσοχή στο πρόσημο! Για άλλη μια φορά, ένα μη-αμελητέο ποσοστό των ραπτών αστόχησε στην πρώτη αριθμητική αντικατάσταση, αυτή ια την εύρεση του U, μη διαιρώντας τη διάμετρο δια δύο, οπότε όλα τα αριθμητικά αποτελέσματα της άσκησης να είναι εξωπραματικά! Παραπάνω δόθηκε ως απάντηση στο δεύτερο ερώτημα η ανισότητα 0,8685 < σ < Κατά τη διόρθωση έιναν δεκτές, ως απόλυτα σωστές, αιτιολοημένες απαντήσεις σπουδαστών που λχ δέχθηκαν ότι, αφού β -5 ο, τα πτερύια είναι οπισθοκλινή, άρα η μεαλύτερη τιμή που μπορεί ο να λάβει η ωνία μετάλλου στη θέση είναι η β 0 Δεδομένου ότι, όπως δείχθηκε, ο β 5 >, η διπλή ανισότητα ια την ποσότητα σ o ο 0 > β > 5 οδήησε σε ίδιο κάτω και διαφορετικό άνω όριο ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα οκτασέλιδα τυπολόια που επιτρέπεται να έχετε μαζί σας στις εξετάσεις πρέπει να είναι άραφα Περιέχουν ότι ακριβώς χρειάζεστε ια να λύσετε τα θέματα των εξετάσεων Δεν υπάρχει λόος να ρισκάρετε