Περιγραφικές Λογικές Αναπαράσταση γνώσης στο Σημασιολογικό Ιστό Γ. Στάμου
Τυπικές γλώσσες και αναπαράσταση γνώσης Υπάρχει τυπικός (formal) (μαθηματικός) τρόπος για την καταγραφή της ανθρώπινης γνώσης; Η χρήση της φυσικής γλώσσας αντιβαίνει στην αυστηρότητα και την τυπικότητα των μαθηματικών Παράδειγμα «Χτύπησε το παιδί με το ξύλο» Παρόλο που οι επιμέρους έννοιες της πρότασης, όπως είναι το παιδί, το ξύλο κλπ επιδέχονται μοναδικής ερμηνείας η σύνδεση των εννοιών εισάγει αβεβαιότητα και αμφισημία! Λύση από γλώσσες αναπαράστασης γνώσης (knowledge representation languages) Βασικά στοιχεία τους: αλφάβητο (alphabet) συντακτικό (syntax) σημασιολογία (semantics) θεωρία αποδείξεων (proof theory) ή μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων (reasoning mechanism) Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 2
Μέθοδοι αναπαράστασης γνώσης Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) ΕΑΝ «ο Πέτρος είναι αρσενικό» «ο Πέτρος έχει παιδί τη Μαρία» «η Μαρία είναι άνθρωπος» ΤΟΤΕ «ο Πέτρος είναι πατέρας» Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξης (First-Order Predicate Logic) Χ (Πατέρας(Χ) Αρσενικό(Χ) Υ(έχειΠαιδί(Χ,Υ) Άνθρωπος(Υ))) Λογικός Προγραμματισμός (Logic Programming) Χ,Υ Αρσενικό(Χ) έχειπαιδί(χ,υ) Άνθρωπος(Υ) Πατέρας(Χ) Περιγραφικές Λογικές (Description Logics) Πατέρας Αρσενικό έχειπαιδί.άνθρωπος Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 3
Περιγραφικές Λογικές Αλφάβητο (alphabet) ατομικές έννοιες (atomic concepts) C ατομικοί ρόλοι (atomic roles) ή αλλιώς σχέσεις (relations) R άτομα (individuals) I Συντακτικό (syntax) Περιγραφές εννοιών (concept descriptions) ή περίπλοκες έννοιες (complex concepts) δημιουργούνται από τις ατομικές έννοιες και τους ρόλους με τους κατασκευαστές εννοιών Ορισμοί στιγμιοτύπων (instances) μέσω της σύνδεσης ατόμων με έννοιες Ορισμοί περιορισμούς ρόλων (role restrictions), όπως η μεταβατικότητα, η αντιστροφή ο περιορισμός πληθικότητας κλπ Περιγραφές ρόλων (role descriptions) ή περίπλοκοι ρόλοι (complex role) δημιουργούνται από τους ατομικούς ρόλους με τους κατασκευαστές ρόλων Συνήθως χρησιμοποιούμε Α, Β για ατομικές έννοιες, R, S για ρόλους, a, b για άτομα, C, D για περίπλοκες έννοιες ενώ χρησιμοποιούμε λέξεις που ξεκινούν με κεφαλαία για την αναπαράσταση εννοιών, πρωτογενών ή μη, π.χ. Άνθρωπος, ενώ λέξεις που ξεκινούν με μικρό για την αναπαράσταση ρόλων, π.χ. έχειπαιδί Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 4
Η γλώσσα AL (attributive language) Σύνολο κατασκευαστών: {,,, } Έννοιες και (καθολική και κενή έννοια) Αφηρημένη σύνταξη: C, D A A C D R.C R. όπου η καθολική έννοια (universal concept, top), η κενή έννοια (bottom concept), C D τομή (intersection), A άρνηση (negation) (μόνο σε ατομικούς ρόλους), R.C περιορισμός τιμής (universal restriction, universal restriction), R. περιορισμένος υπαρξιακός περιορισμός (limited existential restriction) Παραδείγματα Πρωτογενείς έννοιες: {Άνθρωπος, Θηλυκό} Σύνθετες έννοιες: {Άνθρωπος Θηλυκό, Άνθρωπος Θηλυκό, Άνθρωπος εχειπαιδι. Θηλυκό, Άνθρωπος εχειπαιδι., Άνθρωπος εχειπαιδι.,... Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 5
Σημασιολογία της γλώσσας AL Απόδοση μίας συγκεκριμένης ερμηνείας στην κάθε έννοια και ρόλο για να αποκτήσουν νόημα Η διαδικασία ερμηνείας πρέπει να είναι αυστηρά μαθηματικά ορισμένη για να μπορεί να είναι μονοσήμαντα και κοινά κατανοητή από ανθρώπους και υπολογιστές Μία ερμηνεία (interpretation) I ορίζεται ως ένα ζεύγος ( I, I), όπου I είναι ένα μηκενό σύνολο που ονομάζεται χώρος ερμηνείας (domain of interpretation) και περιέχει τα παρακάτω στοιχεία: Ένα σύνολο αντικειμένων (objects) Μια συνάρτηση ερμηνείας (interpretation function) I που ερμηνεύει κάθε ατομική έννοια Α ως ένα υποσύνολο Α I του I (Α I I ) και κάθε ρόλο R ως ένα υποσύνολο R I του I I (R I I I ) Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 6
Σημασιολογία σύνθετων εννοιών στη γλώσσα AL Οι σύνθετες έννοιες ερμηνεύονται με βάση τις παρακάτω σχέσεις: I = I I = ( A) I = I A I (C D) I = C I D I ( R.C) I = {a I b I. (a,b) R I b C I } ( R. ) I = {a I b I. (a,b) R I } Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 7
Παράδειγμα σημασιολογίας στη γλώσσα AL Ερμηνεία της έννοιας Άνθρωπος εχειπαιδι. Θηλυκό Άνθρωπος I έχειπαιδί I έχειπαιδί I έχειπαιδί I ( έχειπαιδί. Θηλυκό) I ( Θηλυκό) I Θηλυκό I I Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 8
Αυξάνοντας την εκφραστικότητα (1) Η γλώσσα ALU Προσθέτουμε στην AL τον κατασκευαστή ένωσης (union), με ερμηνεία Παράδειγμα Πατέρας Μητέρα (C D) I = C I D I Η γλώσσα ALΕ Προσθέτουμε στην AL πλήρη υπαρξιακό περιορισμό R.C, με ερμηνεία ( R.C) I = {a I b I. (a,b) R I και b C I } Παράδειγμα Άνθρωπος έχειπαιδί.θηλυκό Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 9
Αυξάνοντας την εκφραστικότητα (2) Η γλώσσα ALUN Προσθέτουμε στην ALU τους κατασκευαστές περιορισμού πληθικότητας (number restriction) το-πολύ (at-most) με σύνταξη nr και το-λιγότερο (at-least) με σύνταξη nr, όπου n φυσικός αριθμός και R ρόλος, με ερμηνεία ( nr) I = {a I #{b (a,b) R I } n} ( nr) I = {a I #{b (a,b) R I } n} Παράδειγμα Άνθρωπος (( 3έχειΠαιδί έχειπαιδί.θηλυκό) ( 2 έχειπαιδί έχειπαιδί.αρσενικό) Στην περίπτωση που επιτρέπουμε μόνο την τιμή πληθικότητας 1 ο κατασκευαστής ονομάζεται συναρτησιακός περιορισμός πληθικότητας (functional number restriction) και συμβολίζεται με το γράμμα F Δεν μπορούμε να περιγράψουμε την έννοια των ανθρώπων που έχουν πολλά θηλυκά παιδιά αφήνοντας ανοικτό το ενδεχόμενο να υπάρχουν και άλλα παιδιά που είναι είτε θηλυκά είτε αρσενικά! Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 10
Αυξάνοντας την εκφραστικότητα (3) Η γλώσσα ALUQ Προσθέτουμε στην ALU τον προσοντούχο περιορισμό πληθικότητας (qualified number restriction), με ερμηνεία ( nr.c) I = {a I #{b (a,b) R I και b C I } n} Παράδειγμα Άνθρωπος ( 3έχειΠαιδί.Θηλυκό 2 έχειπαιδί.αρσενικό) Η γλώσσα ALC Προσθέτουμε στην AL άρνηση (negation) σε περίπλοκες έννοιες, με ερμηνεία ( C) I = I C I Παράδειγμα Άνθρωπος ( έχειπαιδί. ), ή ως (Πατέρας Μητέρα) Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 11
Ιδιότητες κατασκευστών και πλεονασμοί Η εκφραστικότητα της άρνησης (χωρίς περιορισμούς) Η εισαγωγή άρνησης σε ένα DL κάνει κάποιες από τις προαναφερθείσες γλώσσες να μην είναι διακριτές μεταξύ τους, αξιοποιώντας τους νόμους του De Morgan (C D ( C D) και R.C R. C) Παραδείγματα Άνθρωπος έχειπαιδί., αντί για Άνθρωπος ( έχειπαιδί. ) Πατέρας Μητέρα αντί για (Πατέρας Μητέρα) Η εκφραστικότητα του προσοντούχου περιορισμού τιμής Ο κατασκευαστής Q έχει τέτοια εκφραστική δυνατότητα που μπορεί να περιγράψει τον πλήρη υπαρξιακό περιορισμό αλλά και τον περιορισμό τιμής, καθώς ισχύουν οι ακόλουθες ισοδυναμίες: R.C 1R.C, R.C 0R. C! Οποτεδήποτε αναφερόμαστε στη γλώσσα ALC θα θεωρούμε και την ύπαρξη των κατασκευαστών ένωσης και πλήρους υπαρξιακού περιορισμού χωρίς να χρειάζεται να ονομάζουμε τη γλώσσα ALUEC, ενώ γράφουμε ALQ υπονοώντας ουσιαστικά τους κατασκευαστές που ορίζονται από τη γλώσσα ALEQ Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 12
Ορολογίες Είναι απαραίτητη η απόδοση ονομάτων σε περίπλοκες έννοιες που θέλουμε να περιγράψουμε, αλλά και η περιγραφή σχέσεων ανάμεσά τους Aξιώματα υπαγωγής (subsumption axioms, inclusion axioms) Έστω C και D είναι DL έννοιες τότε τα αξιώματα υπαγωγής έχουν τη μορφή με ερμηνεία C I D I C D Aξιώματα ισοδυναμίας (equivalence axioms) Έστω C και D είναι DL έννοιες τότε τα αξιώματα υπαγωγής έχουν τη μορφή με ερμηνεία C I D I C D Σώμα ορολογίας T (terminological box, T-box) είναι ένα σύνολο αξιωμάτων υπαγωγής και ισοδυναμίας (τα οποία ονομάζονται και αξιώματα ορολογίας) Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 13
Παράδειγμα T-box Γυναίκα Άντρας Μητέρα Πατέρας Γονιός Πολύτεκνος Άνθρωπος Θηλυκό Άνθρωπος Γυναίκα Γυναίκα έχειπαιδί.άνθρωπος Άντρας έχειπαιδί.άνθρωπος Πατέρας Μητέρα Γονιός 3έχειΠαιδί Άντρας Πολύτεκνος Πατέρας 3έχειΠαιδί (?) έχειπαιδί. Γυναίκα Γονιός (?) Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 14
Σώμα ισχυρισμών Τα DL μας επιτρέπουν να κάνουμε και υποθέσεις όσον αφορά τα άτομα του κόσμου τον οποίο μοντελοποιούμε, δηλαδή να καθορίζουμε σχέσεις στιγμιοτύπου (instance relations) ανάμεσα σε ένα άτομο (ζευγάρι ατόμων) και μια έννοια (ρόλο), οι οποίες ονομάζονται ισχυρισμοί (assertions). Ισχυρισμοί εννοιών (concept assertions) Έχουν τη σύνταξη a:c ή C(a) και ερμηνεία a I C I Παράδειγμα Γιώργος:Άνθρωπος ή Άνθρωπος(Γιώργος) Ισχυρισμοί ρόλων (role assertions) Έχουν τη σύνταξη (a,b):r ή R(a,b) και ερμηνεία (a I,b I ) R I Παράδειγμα (Γιώργος,Πηνελόπη):έχειΠαιδί ή έχειπαιδί(γιώργος,πηνελόπη) Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 15
DL Βάσεις Γνώσης Μία DL βάση γνώσης (knowledge base) ορίζεται ως το ζεύγος K=(T, A), όπου T ένα TBox και A ένα Abox Λέμε ότι μια ερμηνεία I ικανοποιεί ένα σώμα ισχυρισμών A με βάση το (μβτ) σώμα ορολογίας T αν η I είναι μοντέλο του A αλλά και ταυτόχρονα μοντέλο του T Παράδειγμα Στο προηγούμενο Tbox προσθέτουμε τους ισχυρισμούς: Γιώργος:Άνθρωπος Μαρία:Γυναίκα Πηνελόπη:Θηλυκό έχειπαιδί(μαρία, Πηνελόπη) έχειπαιδί(γιώργος, Πηνελόπη) Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 16
Υπηρεσίες συλλογιστικής σε Tbox Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Η έννοια C είναι ικανοποιήσιμη (satisfiable) μβτ T αν υπάρχει μοντέλο I του T τέτοιο ώστε C I. Υπαγωγή (subsumption) Η έννοια C υπάγεται στην έννοια D (subsumed by) μβτ T αν C I D I για κάθε μοντέλο I του T. Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε T C D. Ισοδυναμία (equivalence) Η έννοια C είναι ισοδύναμη (equivalent) με την έννοια D μβτ T αν CI=DI για κάθε μοντέλο I του T. Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε T C D. Ξένες Έννοιες (disjointness) Η έννοια C είναι ξένη με την έννοια D (disjoint with) μβτ T αν C I D I = για κάθε μοντέλο I του T. Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 17
Παραδείγματα συλλογιστικής σε Tbox Άντρας Άντρας δεν είναι ικανοποιήσιμη μβτ κενό TBox Άντρας Γυναίκα είναι ικανοποιήσιμη μβτ κενό TBox Άντρας Γυναίκα δεν είναι ικανοποιήσιμη μβτ TBox του παραδείγματος εχειπαιδι.αρσενικό εχειπαιδι. Αρσενικό είναι ικανοποιήσιμη μβτ κενό TBox εχειπαιδι.αρσενικό εχειπαιδι. Αρσενικό είναι ικανοποιήσιμη μβτ κενό TBox Η έννοια Μητέρα δεν υπάγεται στην έννοια Γονιός μβτ κενό TBox Μητέρα Γονιός μβτ το TBox του παραδείγματος Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 18
Αναγωγή στη μη-ικανοποιησιμότητα Αν το DL υποστηρίζει άρνηση όλες οι υπηρεσίες εξαγωγής συμπερασμάτων μπορούν να αναχθούν στο πρόβλημα της μη-ικανοποιησιμότητας (unsatisfiability) Η έννοια C υπάγεται στην έννοια D αν και μόνο αν η έννοια C D είναι μηικανοποιήσιμη. Η έννοιες C και D είναι ισοδύναμες ανν και οι δυο έννοιες C D και C D είναι μη-ικανοποιήσιμες. Οι έννοιες C και D είναι ξένες μεταξύ τους ανν η έννοια C D είναι μηικανοποιήσιμη. Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να εξετάσουμε αν ισχύει R.C R.D 1R R.(C D) μβτ κενό TBox Τότε μετασχηματίζουμε το ερώτημα υπαγωγής στην ικανοποιησιμότητα της έννοιας R.C R.D 1R ( R.(C D)) μβτ κενό TBox Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 19
Υπηρεσίες συλλογιστικής σε Αbox Συνέπεια (consistency): Το Α είναι συνεπές (consistent) μβτ T αν υπάρχει μοντέλο του T το οποίο είναι και μοντέλο του Α. Συνεπαγωγή (entailment): Το Α συνεπάγεται (entails) έναν ισχυρισμό φ μβτ T, αν κάθε μοντέλο του Α και του T ικανοποιεί τον ισχυρισμό. Σε αυτήν την περίπτωση γράφουμε T, Α φ Παραδείγματα Το ABox Α ={Άντρας(Γιώργος), Γυναίκα(Γιώργος)} είναι συνεπές μβτ κενό TBox. Το παραπάνω ABox δεν είναι συνεπές μβτ TBox του παραδείγματος. Έστω Α ={εχειπαιδι(πέτρος,γιώργος), Άντρας(Γιώργος)}. Τότε Α Πέτρος: εχειπαιδι.άντρας μβτ κενό TBox. Έστω το προηγούμενο ABox. Τότε το Α δε συνεπάγεται τον ισχυρισμό Πέτρος: εχειπαιδι.άντρας μβτ κενό TBox. Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 20
Αναγωγή στην ασυνέπεια Αν το DL υποστηρίζει άρνηση το πρόβλημα της συνεπαγωγής μπορεί να αναχθεί στο πρόβλημα της ασυνέπειας (inconsistency) με βάση την παρακάτω αναγωγή: Α φ μβτ TBox T ανν το Α { φ} είναι ασυνεπές (inconsistent) μβτ T Το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας μιας έννοιας C μβτ T μπορεί και αυτό να αναχθεί στο πρόβλημα της συνέπειας ενός ABox Α μβτ T με βάση την παρακάτω αναγωγή: C ικανοποιήσιμο μβτ T ανν το Α ={C(a)} είναι συνεπές μβτ T, όπου a νέο άτομο Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 21
Απαλοιφή του Tbox Ερώτημα: Mε ποιον τρόπο μπορούμε να λάβουμε υπόψη μας τη γνώση που μας περιγράφει ένα TBox όταν λύνουμε το πρόβλημα της συνέπειας ενός Abox; Εφαρμόζοντας μια προ-επεξεργασία πάνω σε ένα TBox μπορούμε να το εξαλείψουμε πλήρως και να ανάγουμε τα προβλήματα μας μβτ κενό TBox Οι μέθοδοι απαλοιφής Tbox χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Μέθοδοι ξεδιπλώματος (unfolding) που εφαρμόζονται σε απλά (simple) TBox που περιέχουν μόνο αξιώματα της μορφής A C και A C, όπου Α είναι μια πρωτογενής έννοια και C είναι μια οποιαδήποτε DL έννοια Μέθοδοι εσωτερίκευσης (internalization) που εφαρμόζονται σε γενικευμένα (general) ή/και κυκλικά (cyclic) Tbox. Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 22
Μέθοδος ξεδιπλώματος Η διαδικασία της απαλοιφής ολοκληρώνεται σε δύο φάσεις: Αρχικά, κάθε αξίωμα υπαγωγής της μορφής A C αντικαθίσταται από ένα αξιώμα ισοδυναμίας της μορφής A Α C, όπου Α είναι μια νέα πρωτογενής έννοια που δεν εμφανίζεται πουθενά στο Tbox Στη συνέχεια αν η έννοια C είναι περίπλοκη και σχηματίζεται από επιμέρους πρωτογενείς έννοιες, σαρώνουμε το TBox ψάχνοντας για τον ορισμό των εννοιών αυτών και κάνουμε τις αντίστοιχες αντικαταστάσεις στο C Προσοχή Η διαδικασία επέκτασης ενός TBox μπορεί να οδηγήσει σε ένα νέο TBox που είναι εκθετικά μεγαλύτερο από το αρχικό TBox. Ένα παράδειγμα είναι το Tbox T ={C i = R.C i+1 S.C i+1 } για 1 i n-1 Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με την τεχνική του αργού ξεδιπλώματος (lazy unfolding) Η διαδικασία ξεδιπλώματος δεν τερματίζει αν υπάρχουν κυκλικά αξιώματα, ενώ δεν υπάρχουν οι ορισμοί που απαιτούνται στη δεύτερη φάση αν υπάρχουν γενικευμένα Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 23
Μέθοδος εσωτερίκευσης Η διαδικασία της απαλοιφής ολοκληρώνεται στις παρακάτω φάσεις: Αρχικά, κωδικοποιούνται όλοι οι σημασιολογικοί περιορισμοί που περιγράφονται από τα αξιώματα υπαγωγής και ισοδυναμίας σε μία και μοναδική έννοια, θεωρώντας γενικά ότι C D ανν κάθε άτομο a ανήκει ή στην έννοια C ή στην έννοια D, άρα δηλαδή στην έννοια C D Στη συνέχεια παίρνουμε το συνδυασμό των εννοιών και σχηματίζουμε ένα και μοναδικό γενικευμένο αξίωμα το οποίο ο αλγόριθμος συλλογιστικής μπορεί να χειριστεί αποδοτικά. Έτσι λοιπόν ένα γενικευμένο και/ή κυκλικό TBox της μορφής T={C i D i } για 1 i n μετασχηματίζεται στην έννοια: C T ( C 1 D 1 ) ( C 2 D 2 ) ( C n D n ) Τέλος, δημιουργούμε το γενικευμένο αξίωμα C T για να υποδηλώσουμε ότι οι παραπάνω περιορισμοί πρέπει να εφαρμοστούν σε όλα τα άτομα του κόσμου μας Έμπειρα Συστήματα και Εφαρμογές στη Ρομποτική Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές 24