Παίγνια. Κώστας Ρουµανιάς. Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. 14 Μαΐου 2015

Κώστας Ρουµανιάς Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Οικονοµικό ανεπιστήµιο Αθηνών 14 Μαΐου 21 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 1 / 6

Ορισµός Τί είναι παίγνιο; αίγνιο: Μαθηµατική (αυστηρή) αναπαράσταση/ανάλυση συµπεριφοράς δρώντων όταν υπάρχουν ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΑΛΛΗΛΕΙ ΡΑΣΕΙΣ. αραπάνω ορισµός: Γενικός. Χρειαζόµαστε κάποια συστατικά για να περιγράψουµε ένα παίγνιο. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 2 / 6

Ορισµός Από τί αποτελείται ένα παίγνιο; Για να περιγράψουµε ένα παίγνιο χρειαζόµαστε να ξέρουµε: 1 Τους παίκτες: οιοι συµµετέχουν..χ. λευρά Α και πλευρά Β σε ένα παίγνιο εξοπλισµών. Η δύο ή περισσότερα µέρη σε µία διµερή ή πολυµερή διαπραγµάτευση. Ασπρος-µαύρος στο σκάκι. 2 Τους κανόνες: οιος κινείται και πότε; Τί γνώση έχει ο κάθε παίκτης τη στιγµή που κινείται. οιες κινήσεις επιτρέπονται κλπ..χ. κινείται πρώτα ο µαύρος και πρέπει να κινήσει πιόνια ή ίππους... 3 Τις πιθανές εκβάσεις του παιγνίου: Μπορεί να νικήσει ο Α, ο Μ ή να έρθουν ισοπαλία. 4 Τις αποδόσεις: όσο αποτιµά ο κάθε παίκτης την κάθε πιθανή έκβαση..χ. στοίχηµα 1 για κορώνα γράµµατα: U(Κορώνα) = 1, U(Γράµµατα) = 1. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 3 / 6

Είδη παιγνίων Είδη παιγνίων: Συνεργατικά και µή συνεργατικά παίγνια. Με κριτήριο το αν οι παίκτες µπορούν να συνάψουν δεσµευτικά συµβόλαια τα παίγνια διακρίνονται σε: 1 Συνεργατικά (δυνατή η σύναψη δεσµευτικών συµφωνιών) 2 Μή συνεργατικά (δε γίνεται να συναφθούν δεσµευτικές συµφωνίες). Εµείς ϑα ασχοληθούµε µόνο µε µη συνεργατικά παίγνια. Γιατί; Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 4 / 6

Είδη παιγνίων Είδη παιγνίων: Στατικά και δυναµικά παίνγια. Με κριτήριο το αν τα παίνγια παίζονται ταυτόχρονα ή δοµούνται στο χρόνο, διακρίνονται σε: 1 Ταυτόχρονα ή στατικά παίγνια (έτρα ψαλίδι χαρτί) 2 υναµικά παίγνια: (π.χ. παίγνια απειλής και αντίδρασης). Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 / 6

Είδη παιγνίων Είδη παιγνίων: αίγνια τέλειας και ατελούς πληροφόρησης. Με κριτήριο το αν οι παίκτες έχουν τέλεια ή ατελή πληροφόρηση, τα παίγνια διακρίνονται σε: 1 αίγνια τέλειας πληροφόρησης. 2 αίγνια ατελούς πληροφόρησης. Εµείς ϑα ασχοληθούµε µόνο µε παίγνια τέλειας πληροφόρησης. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 6 / 6

Είδη παιγνίων αίγνια Συνεργατικά Μη συνεργατικά Τέλειας πληροφόρησης Ατελούς πληροφόρησης Στατικά Δυναμικά Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 7 / 6

Είδη παιγνίων Μορφές αναπαράστασης παιγνίων: αίγνια στρατηγικής ή κανονικής µορφής. Για τα στατικά παίγνια 2 παικτών χρησιµοποιούµε µια απλή µορφή απεικόνισής τους: πίνακας αποδόσεων. χ. αίκτης1 (γραµµή) έχει τρεις κινήσεις:, Μ ή Κ. αίκτης 2 (στήλη) έχει τρεις κινήσεις: Α ή : Κάθε κελί του πίνακα αντιστοιχεί σε µία έκβαση. Μέσα σε κάθε κελί γράφουµε τις αποδόσεις των δύο παικτών (πρώτα του γραµµή). Στα στατικά παίγνια κάθε κίνηση αποτελεί και τη στρατηγική του παίκτη. Α 1,1,3 Μ 3, 2,2 Κ 21, 22,2 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 8 / 6

Κυριαρχία Λύσεις παιγνίων: Κυριαρχία. Μερικές ϕορές κάποια παίγνια έχουν προφανή τρόπο να παιχθούν: Μία στρατηγική µου είναι πάντοτε καλύτερη από τις υπόλοιπες: Θα παίξω αυτήν. Μια τέτοια στρατηγική ονοµάζεται κυρίαρχη. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 9 / 6

Κυριαρχία Κυριαρχούµενες/Κυρίαρχες στρατηγικές Το δίληµµα του κρατουµένου. «ύο κρατούµενοι ανακρίνονται χωριστά. Αν και οι δύο δε µιλήσουν (αν συνεργαστούν µεταξύ τους), ϕυλακίζονται για ένα χρόνο. Αν ο ένας δώσει στις αρχές ενοχοποιητικά στοιχεία (προδώσει), τότε αυτός που πρόδωσε ελευθερώνεται ενώ ο άλλος ϕυλακίζεται για 9 χρόνια. Αν και οι δύο προδώσουν, τότε ϕυλακίζονται για έξι χρόνια. Οι προτιµήσεις τους εξαρτώνται µόνο από το χρόνο ϕυλάκισης που εκτίουν». αίκτες: Οι δύο κρατούµενοι N = {1, 2}. Στρατηγικές: Τα σύνολα στρατηγικών είναι S i = {Σ,} για κάθε παίκτη i {1, 2}. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 1 / 6

Κυριαρχία Κυριαρχούµενες/Κυρίαρχες στρατηγικές Ας δούµε τις αποδόσεις τους σε πίνακα στρατηγικής µορφής: Σ Σ 1, 1 9,, 9 6, 6 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 11 / 6

Κυριαρχία Κυρίαρχες στρατηγικές στο δίληµµα του κρατουµένου Σ Σ -9-9 -6-6 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 12 / 6

Κυριαρχία Κυρίαρχες στρατηγικές στο δίληµµα του κρατουµένου Το είναι αυστηρώς κυρίαρχη στρατηγική για κάθε παίκτη. Το Σ είναι αυστηρώς κυριαρχούµενη στρατηγική. ηλαδή το είναι προτιµότερο του Σ ανεξαρτήτως του τί κάνει ο αντίπαλος. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 22 / 6

Το δίληµµα του κρατουµένου Συνεργασία σε περιβάλλον που υποθάλπει την αθέτηση. Γιατί το δίληµµα του κρατουµένου έχει χαίρει τόσης αναγνωρισιµότητας; Αποτυπώνει ευκρινώς καταστάσεις στις οποίες και τα δύο µέρη µπορεί να ωφεληθούν από συνεργασία, αλλά και οι δύο έχουν κίνητρο να «κλέψουν». Κούρσα εξοπλισµών. Σκεφτείτε µια παραλλαγή του διλήµµατος. ύο γείτονες χώρες µε τεταµένες σχέσεις αποφασίζουν αν ϑα επενδύσουν περαιτέρω σε εξοπλισµούς. Αν κανείς από τους δύο δεν επενδύσει και οι δύο µπορούν να κατευθύνουν πόρους σε άλλες δραστηριότητες που προτιµούν. Ωστόσο ό,τι κι αν κάνει ο αντίπαλος ατοµικά προτιµούν να επενδύσουν: αν επενδύσω µόνος µου χαίρω ηγεµονίας. Αν επενδύσεις εσύ ϑέλω να επενδύσω κι εγώ για να αποφύγω την κηδεµονία σου. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 23 / 6

Το δίληµµα του κρατουµένου Εξοπλιστικός ανταγωνισµός ως δίληµµα του κρατουµένου Ηνωµένες ολιτείες Αφοπλισµός Εξοπλισµός Σοβιετική Ενωση Αφοπλισµός 3, 3 1, 4 Εξοπλισµός 4, 1 2, 2 Γιατί µας ενδιαφέρει στρατηγική σε πιθανή διαπραγµάτευση; Βλέπουµε ότι ενώ µια συµφωνία σε [Αφοπλισµός, Αφοπλισµός] ϐελτιώνει τη ϑέση και των δύο, έχουµε και οι δύο κίνητρο να ϕύγουµε για να αυξήσουµε τις αποδόσεις µας ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΣ ΤΟΥ ΤΙ ΚΑΝΕΙ Ο ΑΛΛΟΣ. ώς µπορούµε να κινηθούµε προς συµφωνία; Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 24 / 6

Το δίληµµα του κρατουµένου ιδάγµατα από το. του Κ. Το. του Κ. µας δίνει µια καλή αποτύπωση των αντίρροπων δυνάµεων ανάµεσα σε συνεργασία και παρέκκλιση. αρά τα προφανή ωφέλη της συνεργασίας σε ΣΤΑΤΙΚΟ περιβάλλον, όταν το παίγνιο παίζεται µόνο µια ϕορά, υπάρχει ισχυρή ϱοπή προς την παρέκκλιση και τον ανταγωνισµό. Θα πρέπει να ξαναδούµε το Ϲήτηµα υπό το πρίσµα µιας σταθερής διαχρονικής συνεργασίας. Η προοπτική του µέλλοντος (χρόνος) αλλάζει πολλά. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 2 / 6

Το δίληµµα του κρατουµένου Επαναλαµβανόµενη διαγραφή κυριαρχούµενων στρατηγικών Οταν µια στρατηγική είναι κυριαρχούµενη σηµαίνει ότι ανεξαρτήτως του τί παίζουν οι άλλοι παίκτες, η στρατηγική αυτή είναι χειρότερη από τουλάχιστον µία άλλη. αρένθεση. Οταν είναι κυρίαρχη, είναι καλύτερη από ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ, ανεξαρτήτως του τι παίζουν οι άλλοι παίκτες. Αυτό σηµαίνει ότι µια κυριαρχούµενη (αυστηρώς) στρατηγική δε ϑα την επιλέγει ποτέ ένας ορθολογικός παίκτης. Ας πούµε ότι ο παίκτης 1 είναι ορθολογικός. Αυτό σηµαίνει ότι αν έχει κυριαρχούµενη στρατηγική, µπορούµε να τη διαγράψουµε. Αρα και ο παίκτης 2 ϑα ξέρει ότι η κυριαρχούµενη στρατηγική του παίκτη 1 δε ϑα παικτεί ποτέ και άρα είναι σα να διαγράφεται από το παιχνίδι. Στο νέο παιχνίδι που µένει µπορούµε να διαγράψουµε τις στρατηγικές που είναι κυριαρχούµενες κ.ο.κ. έως ότου να µην υπάρχουν πια κυριαρχούµενες στρατηγικές. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 26 / 6

Το δίληµµα του κρατουµένου Επαναλαµβανόµενη διαγραφή κυριαρχούµενων στρατηγικών Α Κ Δ -2 4 4 6 3 M 3 6 Κ 2 8 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 27 / 6

Ισορροπία Nash Η µάχη των ϕύλων ολλές ϕορές δεν είναι προφανές ότι πρέπει να παίξουµε πάντοτε (ό,τι κι αν κάνει ο αντίπαλος) µε ένα συγκεκριµένο τρόπο. Ο Γιάγκος και η Βαλεντίνη είναι ένα νέο Ϲευγάρη που ϑέλει να ϐγει το ϐράδυ. Βασικό τους µέληµα να ϐρεθούν. Εχουν δύο επιλογές: Box ή Opera. Ο Γιάγκος (γραµµή) και η Βαλεντίνη (στήλη) έχουν τις εξής αποδόσεις: Βαλεντίνη Box Opera Γιάγκος Box 2, 1, Opera, 1, 2 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 36 / 6

Ισορροπία Nash Η µάχη των ϕύλων Βαλεντίνη Box Opera Γιάγκος Box 2, 1, Opera, 1, 2 Τώρα δεν είναι ξεκάθαρο ότι ο Γιάγκος ή η Βαλεντίνη προτιµάει πάντοτε τη µία στρατηγική. Το τί ϑέλει να παίξει εξαρτάται και από το τί ϑα παίξει ο άλλος παίκτης (στρατηγική αλληλεξάρτηση). Αν είµαστε σίγουροι ότι η Βαλεντίνη ϑα παίξει Opera ( εξιά), προτιµάµε να παίξουµε κι εµείς Opera, γιατί ενδιαφερόµαστε πιο πολύ να ϐρεθούµε. Βασικός στόχος να «ϐρεθούµε» και δευτερευόντως στο χώρο που προτιµάµε. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 37 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Ισορροπία Nash Βαλεντίνη Box Opera Γιάγκος Box 2, 1, Opera, 1, 2 εν υπάρχει καταφανώς κυρίαρχη στρατηγική. ώς λύνεται το παίγνιο; ΙΣΟΡΡΟΙΑ NASH. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 38 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Ισορροπία Nash Βαλεντίνη Box Opera Γιάγκος Box 2, 1, Opera, 1, 2 Το {Box, Box} είναι ισορροπία Nash. Το ίδιο και το {Opera, Opera } (δύο ισορροπίες στο παίγνιο). Ισορροπία Nash: Κανένας δε ϑέλει να ϕύγει ΜΟΝΟΜΕΡΩΣ. Το {Box} είναι άριστο για το Γιάγκο δεδοµένου του {Box} της Ιταλίας και αντιστρόφως. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 39 / 6

αραδείγµατα παιγνίων αίγνιο σύγκρουσης: Chicken ή το γεράκι και το περιστέρι ύο µέλη µιας συµµορίας διεκδικούν την αρχηγία. Κινούνται ο ένας προς τον άλλον µε ταχύτητα µέσα σε αυτοκίνητα. Κάθε µαχητής µπορεί είτε να συνεχίσει επιθετικά ως το τέλος (να παίξει το «γεράκι»), είτε να υποταχθεί (να παίξει «περιστέρι»). Αν και οι δύο παίξουν περιστέρι µοιράζονται την αρχηγία. Αν ο ένας παίξει γεράκι και ό άλλος περιστέρι, το γεράκι νικάει το περιστέρι. Αν και οι δύο παίξουν Γεράκι, διαλύουν τα αυτοκίνητά τους, καταλήγουν στο νοσοκοµείο και χάνουν την αρχηγία. αίκτες: Οι δύο µαχητές. N = {1, 2}. Στρατηγικές: κάθε παίκτης επιλέγει Γεράκι ή εριστέρι: S i = {Γεράκι, εριστέρι} για i = 1, 2. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 4 / 6

αραδείγµατα παιγνίων αραδείγµατα Ισορροπιών Nash. Chicken ή «το γεράκι και το περιστέρι» Αποδόσεις: δίνονται από τον παρακάτω πίνακα µαζί µε τις ισορροπίες Nash. Γεράκι εριστέρι Γεράκι 1, 1 1, εριστέρι, 1, Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 41 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Οταν η δύναµη είναι αδυναµία αράδειγµα από ψυχολογία Ϲώων. Τα γουρούνια εδραιώνουν σχέσεις κυριαρχίας. Μεταξύ δύο γουρουνιών το ένα είναι κυρίαρχο και το άλλο υποτελές Βιολόγοι έβαλαν 2 γουρούνια σε µακρόστενο κλουβί. Στη µία άκρη µοχλός που ελευθέρωνε ϕαΐ στην άλλη άκρη. οιο γουρούνι ϑα έσπρωχνε το µοχλό και ποιο ϑα έτρωγε το ϕαΐ; Με έκπληξη διαπιστώθηκε ότι το κυρίαρχο γουρούνι τραβούσε το µοχλό και το υποτελές έτρωγε τη µερίδα του «λέοντος». Γιατί; Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 42 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Οταν η δύναµη είναι αδυναµία και το αντίστροφο Κυρίαρχο Γουρούνι εν πιέζει ιέζει Υποτελές γουρούνι εν πιέζει, 4, 1 ιέζει 1, 2, 3 Το υποτελές γουρούνι (γραµµή) συγκρίνει τις στρατηγικές του και ϐλέπει ότι το συµφέρει να µην πιέσει. Αν πιέσει το κυρίαρχο ϑα προλάβει να πάει στο ϕαΐ και το υποτελές ϑα υποστεί το κόστος του να πιέσει χωρίς να ϕάει. Συγκρίνει (,4) µε ( 1, 2) και ϐλέπει ότι το συµφέρει να µην πιέσει. Αν το κυρίαρχο γουρούνι µπορούσε να κρατηθεί και να αφήσει το υποτελές να ϕάει, το υποτελές ϑα ήθελε να πιέσει. Αλλά δε µπορούν να υπογράψουν συµβόλαιο και δε µπορούν να πάψουν να είναι γουρούνια! Μοναδική ισορροπία Nash το [ εν πιέζει, πιέζει]. Το υποτελές τρώει το περισσότερο ϕαΐ. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 43 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Κυνήγι ελαφιού/λαγού Κυνήγι ελαφιού: υο κυνηγοί ταυτόχρονα αποφασίζουν αν ϑα κυνηγήσουν ελάφι ή λαγό. Για να πιάσουν ελάφι χρειάζεται συντονισµός: πρέπει και οι δύο να κυνηγήσουν µαζί στην ίδια περιοχή. Το ελάφι δίνει πολύ κρέας. Λαγό µπορεί να κυνηγήσει ο καθένας µόνος αλλά ϑα έχει λιγότερο κρέας, ιδιαίτερα αν κυνηγήσουν και οι δύο λαγό. αίκτες: Οι δύο κυνηγοί N = {1, 2}. Στρατηγικές: Τα σύνολα στρατηγικών είναι S i = {Ε, Λ} για κάθε παίκτη i {1, 2}. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 44 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Το κυνήγι του ελαφιού και του λαγού ληρωµές. Ας δούµε τις πληρωµές τους σε πίνακα στρατηγικής µορφής: Ε Λ Ε 1,1,3 Λ 3, 2,2 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 4 / 6

αραδείγµατα παιγνίων ροφίλ στρατηγικών Ορισµός (ροφίλ στρατηγικών) Για ένα παίγνιο n παικτών, προφίλ στρατηγικών είναι ένα διάνυσµα n στρατηγικών, µίας για κάθε παίκτη. αραδείγµατος χάριν, ένα προφίλ ϑα µπορούσε να είναι για το παίγνιο του ελαφιού το διάνυσµα {Ε,Λ}. Ενα άλλο προφίλ το διάνυσµα {Λ,Λ} κ.ο.κ. Αν ο π.αίκτης 1 έχει 3 στρατηγικές και ο παίκτης 2 στρατηγικές, ϑα έχουµε συνολικά 2 3 = 6 προφίλ στρατηγικών στο παίγνιο. Ενα προφίλ (αµιγών) στρατηγικών συµβολίζεται [s 1, s 2..., s i..., s n ] Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 46 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Αριστες αποκρίσεις Ορισµός ( Αριστη απόκριση) Αριστη απόκριση για τον παίκτη i είναι ένας κανόνας που µας δίνει ποια είναι η πιο συµφέρουσα στρατηγική για τον i ως απάντηση σε ένα προφίλ στρατηγικών όλων των άλλων παικτών ( i). Με άλλα λόγια: Η άριστη συνάρτηση δίνει τη άριστη στρατηγική s i του παίκτη i όταν οι άλλοι παίκτες παίζουν s i. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 47 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Αριστες αποκρίσεις-best responses: το κυνήγι του ελαφιού Ας δούµε όµως τις άριστες αποκρίσεις των παικτών. ληρωµές: Οι πληρωµές (κάτω αριστερά για τον γραµµή και πάνω δεξιά για τον στήλη) είναι η συνάρτηση χρησιµότητας του καθενός: u : S R. Ε Λ Ε 1 1 3 Λ 3 2 2 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 48 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Αριστες αποκρίσεις Ας συµβολίσουµε τις άριστες αποκρίσεις του γραµµή µε πράσινο. Ε Λ Ε 1,1,3 Λ 3, 2,2 και τις άριστες αποκρίσεις του στήλη µε κόκκινο. Ε Λ Ε 1,1,3 Λ 3, 2,2 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 49 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Αριστες αποκρίσεις Ας δούµε άριστες αποκρίσεις για το παιχνίδι έτρα, Ψαλίδι, Χαρτί. Ψ Χ, 1,,1 Ψ,1, 1, Χ 1,,1, ίνακας : Το παιχνίδι πέτρα, ψαλίδι, χαρτί σε κανονική µορφή. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 / 6

αραδείγµατα παιγνίων Αριστες αποκρίσεις Ορισµός (Ισορροπία Nash-σε αµιγείς στρατηγικές) Μια ισορροπία Nash ενός παιγνίου είναι ένα προφίλ στρατηγικών s S τέτοιο ώστε για κάθε παίκτη i N: u i (s i, s i ) u i(s i, s i ) 3 ερµηνείες της ισορροπίας Nash: Η ισορροπία Nash είναι ένα προφίλ στρατηγικών (µια για κάθε παίκτη), τέτοιο ώστε η στρατηγική του κάθε παίκτη είναι άριστη απόκριση στις υπόλοιπες στρατηγικές του προφίλ. Αν δηλαδή οι υπόλοιποι παίκτες παίζουν το προφίλ ισορροπίας, τότε και ο παίκτης i ϑέλει να παίξει τη στρατηγική του προφίλ. Αλλιώς: αν όλοι παίζουν το προφίλ, κανένας δεν ϑέλει να ϕύγει από το προφίλ ΜΟΝΟΜΕΡΩΣ. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 1 / 6

Τί προσφέρει η ισορροπία Nash; Ισορροπία Nash όσο καλή λύση είναι; Μπορούµε να δούµε την ισορροπία Nash ως πρόβλεψη του πώς ϑα παιχτεί ένα παίγνιο; ολλές ϕορές σε παίγνια υπάρχουν δύο ισορροπίες Nash. Αυτό σηµαίνει ότι το παίγνιο παίζεται µε δύο τρόπους; Εν µέρει ναι. Σκεφτείτε το πώς οδηγούµε. Ας πούµε ότι δεν υπήρχε νόµος να οδηγούµε δεξιά και αύριο το πρωί ϑα έπρεπε δύο από εµάς να επιλέξουν σε ποια πλευρά του δρόµου ϑα οδηγούσαν. Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 2 / 6

Τί προσφέρει η ισορροπία Nash; Απόφαση πλευράς οδήγησης Α Α 1, 2 1, 1 1, 1 1, 2 Αν οι δύο παίκτες συντονιστούν (παίξουν (Α,Α) ή (, ) ) ϑα ϕτάσουν στη δουλειά τους. Ο γραµµή ϑα κερδίσει µισθό 1 και ο στήλη µισθό 2. Αν δε συντονιστούν ϑα συγκρουστούν και ϑα πληρώσουν από 1 για επισκευές των αυτοκινήτων τους. Ισορροπίες Nash: (Α,Α) και (, ). Η ισορροπία ash προβλέπει ότι κάποιοι ϑα συντονιστούν αριστερά (Ελλάδα) και κάποιοι δεξιά (Αγγλία). ροβλέπει ότι ως κοινωνική σύµβαση ϑα υιοθετήσουµε ή τη µία ή την άλλη ισορροπία. ε µπορεί να προβλέψει µε ποιον από τους δύο τρόπους ϑα παιχτεί αλλά λέει ότι ϑα παιχτεί µε έναν από τους δύο. Οπως και παίζεται σε όλες τις χώρες του κόσµου! Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 3 / 6

Τί προσφέρει η ισορροπία Nash; Ισορροπία Nash όσο καλή λύση είναι; Οταν δεν υπάρχει ισορροπία σε ένα παίγνιο; Σκεφτείτε το παίγνιο ενός τερµατοφύλακα µε έναν επιθετικό που χτυπάει πέναλτυ. Ας απλουστεύσουµε υποθέτοντας ότι αν ο τερµατοφύλακας πέσει στη σωστή µεριά πιάνει τη µπάλα, ενώ αν όχι µπαίνει γκολ. Το στοίχηµα είναι 1 Τερµατοφύλακας Α Επιθετικός Α 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 4 / 6

Τί προσφέρει η ισορροπία Nash; Οταν δεν υπάρχει ισορροπία Αποκλείεται και οι δύο να ϑέλουν να µείνουν στο ίδιο κελί. εν υπάρχει ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές. άντοτε κάποιος ϑέλει να ϕύγει ΜΟΝΟΜΕΡΩΣ. Α Τερματοφύλακας Δ Α 1 1 Επιθετικός Δ 1 1 Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 / 6

Τί προσφέρει η ισορροπία Nash; Οταν δεν υπάρχει ισορροπία Τερµατοφύλακας Α Επιθετικός Α 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 Αυτό σηµαίνει ότι η ϑεωρία παιγνίων δεν προβλέπει πώς ϑα παιχτεί το παίγνιο; Οχι, προβλέπεται ότι ϑα παιχτεί στην τύχη. Ορίζονται ισορροπίες Nash σε µεικτές (τυχαίες) στρατηγικές. Οπως αποδεικνύεται κάνουν προβλέψεις πολύ κοντά στην αλήθεια. Αλλά αυτό είναι έξω από το αντικείµενό µας... Κώστας Ρουµανιάς (Ο..Α.) αίγνια 14 Μαΐου 21 6 / 6