5 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 5 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΜΕΡΟΣ Α Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι να κατανοήσετε τη συνέλιξη των συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. 4

Περιεχόμενα ενότητας Εύρεση της συνέλιξης βάσει του ορισμού της και με χρήση της εντολής conv Ευστάθεια συστημάτων 5

Κρουστική απόκριση Κρουστική απόκριση ονομάζεται η έξοδος ενός συστήματος όταν σε αυτό εφαρμόζεται ως είσοδο η συνάρτηση Dirac. Η κρουστική απόκριση συμβολίζεται συνήθως ως h(t). Μαθηματικά το παραπάνω δίνεται από τη σχέση : h(t) = Σ[δ(t)] 6

Πειραματικός υπολογισμός της κρουστικής απόκρισης Διεγείρουμε (δηλαδή βάζουμε ως είσοδο) στο σύστημα με ένα παλμό πολύ μεγάλου πλάτους και πολύ μικρής διάρκειας (που πρακτικά σημαίνει ότι διεγείρουμε το σύστημα με την κρουστική συνάρτηση) και παρατηρούμε -μετράμε την έξοδο του συστήματος. Η έξοδος αυτή είναι η κρουστική απόκριση h(t) του συστήματος. 7

Συνέλιξη συνεχούς χρόνου (1) Η απόκριση (έξοδος) ενός συστήματος σε οποιαδήποτε διέγερση της εισόδου υπολογίζεται από την συνέλιξη του σήματος εισόδου και της κρουστική ς απόκρισης. Έστω y(t) η έξοδος, x(t) η είσοδος και h(t) η κρουστική απόκριση του συστήματος. Η μαθηματική σχέση με την οποία συμβολίζουμε την συνέλιξη είναι η εξής : Υ(t) = x(t) * h(t) 8

Συνέλιξη συνεχούς χρόνου (2) 9

Θεωρητική Επίλυση της Συνέλιξης, Εφαρμογή Σε MATLAB (1) 10

Θεωρητική Επίλυση της Συνέλιξης, Εφαρμογή Σε MATLAB (6) ΒΗΜΑ 4) Το τέταρτο βήμα ονομάζεται ολίσθηση. Η τιμή του σήματος εξόδου y(t) δηλαδή η τιμή της συνέλιξης των σημάτων εισόδου και κρουστικής απόκρισης τη χρονική στιγμή t εξαρτάται από την αλληλοεπικάλυψη που έχουν τα δυο σήματα τη χρονική στιγμή t. Προκειμένου να βρεθεί η συνέλιξη για όλο το t θα πρέπει να μετακινήσουμε -ολισθήσουμε το σήμα h(t - τ) από το - μέχρι το + και κάθε φόρα να παρατηρούμε το είδος (ή το στάδιο) της επικάλυψης που έχουμε και να ορίσουμε για ποίες τιμές του t παρατηρούμε κάθε στάδιο. Το σήμα x(t) παραμένει ακίνητο. 15

Η συνάρτηση conv Στο Matlab υπάρχει έτοιμη μια συνάρτηση- εντολή που μας επιτρέπει να υπολογίζουμε εύκολα την συνέλιξη δυο σημάτων. Η εντολή αυτή είναι η εντολή conv. help conv CONV Convolution and polynomial multiplication. C = CONV(A, B) convolves vectors A and B. The resulting vector is length LENGTH(A)+LENGTH(B)-1. If A and B are vectors of polynomial coefficients, convolving them is equivalent to multiplying the two polynomials. 26

Η Συνάρτηση Conv Εφαρμογή σε MATLAB (1) Για να παρουσιάσουμε την διαδικασία της συνέλιξης με την εντολή conv θα χρησιμοποιήσουμε το ίδιο παράδειγμα με πριν. Ο επιτυχής υπολογισμός της συνέλιξης δυο σημάτων συνεχούς χρόνου πρέπει να ακολουθεί τέσσερις συγκεκριμένους κανόνες: 1oς κανόνας : Τα δύο σήματα (είσοδος και κρουστική απόκριση) πρέπει να είναι ορισμένο στο ίδιο χρονικό διάστημα. Θα ορίσουμε τα δυο σήματα στο χρονικό διάστημα που είναι ορισμένο το σήμα με τη μεγαλύτερη χρονική διάρκεια. Επομένως θα ορίσουμε τα σήματα x(t) και h(t) στο χρόνο 0 t 2. ως εξής: Η είσοδος θα είναι x(t) =1, 0 t 2 ενώ η κρουστική απόκριση είναι h(t) = 1-t, 0 t 1 0,1 t2 27

Η Συνάρτηση Conv Εφαρμογή σε MATLAB (2) 28

Η Συνάρτηση Conv Εφαρμογή σε MATLAB (5) Έχοντας υπολογίσει την έξοδο τον συστήματος το μόνο που απομένει είναι να την σχεδιάσουμε στο κατάλληλο χρονικό διάσημα. Όμως ο αριθμός των στοιχείων τον διανύσματος γ (έτσι όπως έχει προκύψει από την συνάρτηση σουν) δεν είναι ίσος με τον αριθμό των στοιχείων των διανυσμάτων x ή h. Για την ακρίβεια ισχύει length(y)= length (x)+ length(h)-1. 31

Η συνάρτηση deconv Μια αρκετά χρήσιμη συνάρτηση είναι η συνάρτηση deconv. Η εντολή αυτή είναι η αντίστροφη εντολή της σουν. Μας επιτρέπει εάν γνωρίζουμε την έξοδο και την είσοδο να βρούμε την κρουστική απόκριση ή εάν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση να βρούμε την είσοδο. Θα δείξουμε τη λειτουργία της εντολής deconv με τα διανύσματα εξόδου y και εισόδου x του προηγούμενου παραδείγματος. 33

Η Συνάρτηση Deconv Εφαρμογή σε MATLAB 34

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ εύρεσης της συνέλιξης με τον ορισμό και με την conv (1) 35

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ εύρεσης της συνέλιξης με τον ορισμό και με την conv (2) Θα δουλέψουμε πρώτα το θεωρητικό κομμάτι, δηλαδή θα υπολογίσουμε αναλυτικά τα ολοκληρώματα της συνέλιξης σε κάθε στάδιο. Στη συνέχεια θα παραθέσουμε δυο ελαφρά διαφορετικούς τρόπους εύρεσης της εξόδου με χρήση της συνάρτησης conv. 36

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ εύρεσης της συνέλιξης με τον ορισμό και με την conv (13) Υπολογισμός της Συνέλιξης με την Εντολή CONV 47

Ευστάθεια Συστημάτων 50

Ευστάθεια συστημάτων εφαρμογή σε MATLAB #1 (1) 51

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΔΗΓΙΕΣ: Για τις ασκήσεις που ακολουθούν σας ζητείται να συμπληρώσετε τον κώδικα και γράψετε τα σχόλια σας σε ορισμένες εντολές. Σχολιάζετε τα αποτελέσματα σας

Άσκηση 1 58

Άσκηση 1 : Επίλυση στο MATLAB (1) 59

Άσκηση 2 63

Άσκηση 3 64

Άσκηση 3: Επίλυση στο MATLAB 65

Άσκηση 4 66

Άσκηση 4 Εναλλακτικός τρόπος σχεδίασης 67

Άσκηση 5 (1) Ποιος ο προορισμός του παρακάτω προγράμματος Matlab κώδικας: n=0:40; x=sin(0.2*n); h=sin(0.5*n); y=conv(x,h); stem(n,y(1:length(n))) Απάντηση:.. 68

Άσκηση 5 (2) Σχεδιάστε το αποτέλεσμα της συνέλιξης y[n] = x[n] * h [n] 69

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΣΤΟ ΣΠΙΤΙ ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Άσκηση 1 71

Άσκηση 2 72

Ασκήσεις 3, 4, 5 73

Τέλος Ενότητας