.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται ως εξής: Γ ημγ = απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα, (ημγ = γ α ) β α συνγ = προσκειμενη καθετη πλευρα υποτεινουσα, (συνγ = β α ) Α γ Β εφγ = απεναντι καθετη πλευρα προσκειμενη καθετη πλευρα, (εφγ = γ β ) σφγ = προσκειμενη καθετη πλευρα καθετη καθετη πλευρα, (σφγ = β γ ) Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5
Στο Γυμνάσιο έχουμε γνωρίσει πώς μπορούμε να παρουσιάσουμε το σχηματισμό μιας θετικής γωνίας ωˆ στο ορθογώνιο σύστημα Οx. Η γωνία ωˆ σχηματίζεται από την ημιευθεία Οx, όταν αυτή περιστραφεί γύρω από το Ο αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού ή, όπως λέμε, κατά τη θετική φορά, μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΜ. Αν η Οx συνεχίσει να περιστρέφεται παρόμοια και μετά τον ημιάξονα Ο, θα παίρνουμε γωνίες όχι μόνο μεγαλύτερες από 90 ο αλλά και από 60 ο. Με αυτήν την έννοια αν κ είναι το πλήθος των περιστροφών που πραγματοποιεί η ημιευθεία Ox μέχρι να συμπέσει με την ΟΜ, η γωνία ω δίνεται από τον τύπο ωˆ =60 ο κ+θ ο, όπου κ είναι μη αρνητικός ακέραιος και 0 θ 60 ο. Αν η ημιευθεία Οx, περιστραφεί γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά τότε παίρνουμε αρνητικές γωνίες που υπολογίζονται όπως οι θετικές. Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας γίνεται από τους παρακάτω τύπους: ημω = ρ, συνω = x ρ Μ(x,) + ρ Ο ω x εφω = x, σφω = x Όπου ρ = x + > 0 η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) Σε κάθε περίπτωση η ημιευθεία Οx λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ενώ η τελική του θέση λέγεται τελική πλευρά της γωνίας Γενικά για κάθε κ Z ισχύει: ημ (κ 60 0 + ω) = ημω συν (κ 60 0 + ω) = συνω εφ (κ 60 0 + ω) = εφω σφ (κ 60 0 + ω) = σφω Αναφερθείτε στον τριγωνομετρικό κύκλο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 6 ω Ο + x Μ(x,)
Τριγωνομετρικό κύκλο ονομάζουμε ένα κύκλο που: Είναι προσανατολισμένος με θετική φορά την αντίθετη από την κίνηση των δεικτών του ρολογιού, στον οποίο έχουμε ορίσει ένα σημείο Α για αρχή μέτρησης των τόξων Έχει ακτίνα ρ =. Είναι εφοδιασμένος με ένα σύστημα αξόνων έτσι ώστε το κέντρο του να συμπίπτει με την αρχή των αξόνων και η αρχή μέτρησης των τόξων να συμπίπτει με τον άξονα Οx. M( x, ) ρ= x O ω + x Α OA= Πως βρίσκουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς με την βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου; Α ΠΑΝΤΗΣΗ Για να υπολογίσουμε το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας x στον τριγωνομετρικό κύκλο τοποθετούμε την μια πλευρά της γωνίας πάνω στην ΟΑ. Τότε η άλλη θα τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο Μ(α, β). Οπότε έχουμε: β β ημx = = = β ρ α α συνx = = = α ρ Δηλαδή: η τετμημένη του Μ είναι το συνημίτονο της γωνίας και η τεταγμένη του Μ το ημίτονο της γωνίας. Β Δ(x Δ, ) Γ(, E ) Φέρνουμε μια ευθεία παράλληλη στον που διέρχεται από το σημείο Α(,0) και μια ευθεία παράλληλη στον xx που διέρχεται από το σημείο Β(0,). Προεκτείνουμε την δεύτερη πλευρά της γωνίας που τέμνει στα Γ και Δ τις δύο προαναφερθείσες ευθείες αντίστοιχα. Τότε: Α εφω = Γ, σφω = x Δ Ποιοι είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών; Α ΠΑΝΤΗΣΗ Για τους τριγωνοκαι μετρικούς αριθμούς ημ, συν ισχύει: ημx συνx 7
ω 0 0 0 0 0 π/6 45 0 π/4 60 0 π/ 90 0 80 0 70 0 π/ π π/ ημω 0 0 - Β (0,) συνω 0-0 Α (-,0) Α (,0) εφω 0-0 - Β (0,-) σφω - 0-0 80 0 = π 90 0 = π/ 70 0 = π/ Ως μονάδα μέτρη- η σης της γωνίας εκτός από την μοίρα είναι το ακτίνιο ή rad. To ακτίνιο είναι γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ) βαίνει σε τόξο μήκους ρ. Παρατηρήσεις. Για να βρούμε τα συνημίτονα ή τα ημίτονα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο. Δηλαδή βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείο όπου τελειώνει το αντίστοιχο τόξο στον τριγωνομετρικό κύκλο. Η τετμημένη του είναι το συνημίτονο και η τεταγμένη το ημίτονο. Αν μια γωνία είναι μ 0 και α rad ισχύει μ α = 80 π Με τον παραπάνω τύπο μετατρέπω τις μοίρες σε rad και αντίστροφα 8
Για παράδειγμα το τόξο των 90 0 (π/) τελειώνει στο σημείο με συντεταγμένες (0, ). Οπότε ημ(π/) = και ημ(π/) = 0. Υπάρχει ο παρακάτω μνημονικός κανόνας για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των ημιτόνων και συνημιτόνων: ημ(0 0, 0 0, 45 0, 60 0, 90 0 ) = συν(0 0, 0 0, 45 0, 60 0, 90 0 ) = Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Α ΠΑΝΤΗΣΗ 0,,,,4 4,,,,0 Α/Α Ταυτότητα Περιορισμός. ημ ω + συν ω = ημ ω = συν ω συν ω = ημ ω - Ο τριγωνομετρικός κύκλος χωρίζεται σε τέσσερα μέρη που λέγονται τεταρτημόρια.. ημω εφω = συνω συνω σφω = ημω. εφω σφω = 4. συν ω = ημ ω = +εφ ω εφ ω +εφ ω εφω = σφω σφω = εφω συνω 0 ημω 0 συνω 0 και ημω 0 συνω 0 συνω 0 0 0 Η Ο 4 Ε Σ 0 0 Το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών στα τεταρτημόρια προκύπτει πολύ εύκολα από την τριγωνομετρικό κύκλο. Ένας μνημονικός κα- νόνας για τα πρόσημα είναι: που σημαίνει: Όλα θετικά στο 0, Ημίτονο θετικό στο 0, Εφαπτομένη θετική στο 0 Συνημίτονο θετικό στο 4 0, 9
Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο. Α ΠΑΝΤΗΣΗ Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να γίνει με την βοήθεια πινάκων που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών από 0 0 έως 90 0. ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ ΓΩΝΙΕΣ Έστω φ και θ δύο αντίθετες γωνίες. Τότε φ = θ. Όπως βλέπουμε στο διπλανό σχήμα, τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΜΛ και ΟΜΛ είναι ίσα, αφού έχουν όλες τους τις αντίστοιχες γωνίες ίσες και μία πλευρά ρ=. Το ΟΑ είναι το συνφ, αλλά και το συνθ. ΙΙ + Μ Λ x θ Α Ο φ x Λ ΙΙΙ Μ Ι ΙV Οι τεταγμένες των σημείων Λ και Λ είναι αντίθετες. Επειδή ημθ=ολ και ημφ=ολ συμπεραίνουμε ότι τα αντίθετα τόξα έχουν αντίθετα ημίτονα. Απαλείφοντας το φ από τις σχέσεις έχουμε: ημ( θ) = ημθ και συν( θ) = συνθ, ημ( θ) ημθ Επειδή εφ( θ) = = = εφθ συν( θ) συνθ συν(- θ) συνθ σφ(- θ ) = = = -σφθ, ημ(- θ) -ημθ και ανάλογα έχουμε: εφ( θ) = εφθ και σφ( θ) = σφθ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ Δύο γωνίες φ και θ είναι συμπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα 90 ο, δηλαδή φ+θ = 90 ο. Στο διπλανό σχήμα τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΜ M και OM M είναι ίσα, διότι έχουν ίση μία πλευρά (υποτείνουσα ρ=) και η μία οξεία γωνία του ενός είναι ίση με την αντίστοιχη οξεία γωνία του άλλου. Απέναντι από τις ίσες τους γωνίες κείνται ίσες πλευρές. Έτσι M M = M M και M M = M M =ΟM. Αλλά Μ M = OM = συνφ και Μ M = OM = ημθ. M θ M φ O Μ (x, ) Μ (x, ) θ M M 0
Όμοια M M =ΟM = ημφ και M M = ΟM = συνθ. Άρα, αφού φ =90 ο θ τότε ημ(90 ο θ) = συνθ και συν(90 ο θ) = ημθ, εφ(90 ο θ) = σφθ και σφ(90 ο θ) = εφθ. ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ Δύο γωνίες φ και θ είναι παραπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα 80 ο, δηλαδή φ+θ = 80 ο. Στο διπλανό σχήμα τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΜ Μ και OM Μ είναι ίσα διότι έχουν τις αντίστοιχες γωνίες ίσες και την υποτείνουσα ρ=. Πάλι, όπως πριν, έχουμε απέναντι από τις ίσες τους γωνίες ίσες πλευρές. Έτσι Μ Μ = M Μ ή ημφ=ημθ. Όμοια, ΟΜ α, αφού φ = 80 ο.= ΟΜ ή συνφ = συνθ. Άρ θ, τότε: ημ(80 ο θ) = ημθ και συν(80 ο θ) = συνθ, εφ(80 ο θ) = εφθ και σφ(80 ο θ) = σφθ ο Αναγωγή στο τεταρτημόριο με την βοήθεια εμπειρικών κανόνων. Μ (x, ) M Μ (x, ) φ θ φ M O M ΠΑΝΤΗΣΗ Α Η αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο μπορεί να γίνει με την βοήθεια του διπλανού σχήματος. Όμως η αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο γίνεται και με εμπειρικούς τρόπους. Ένας τέτοιος είναι και ο παρακάτω:. Για τυχαίο ακέραιο κ ισχύει ότι: ημ(κπ ± θ) = ± ημθ συν(κπ ± θ) = ± συνθ εφ(κπ ± θ) = ± εφθ σφ(κπ ± θ) = ± σφθ π-ω ω π+ω -ω α) Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών της μορφής x = κπ δεν αλλάζουν (τα ημίτονα παραμένουν ημίτονα κ.λ.π.) ± θ
β) Το πρόσημο στο β μέλος εξαρτάται: από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x (χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα μπορούμε να π θεωρούμε ότι θ 0, από το πρόσημο του συγκεκριμένου τριγωνομετρικού αριθμού x στο τεταρτημόριο αυτό.. Για τυχαίο περιττό ακέραιο κ ισχύει ότι: κπ ημ( ± θ) = ± συνθ Παραδείγματα: ημ(π-θ) = ημ(π + π-θ) = ημ(π-θ) = ημθ συν( κπ ± θ) = ± ημθ εφ( 5 π - θ) = εφ(π κπ εφ( ± θ) = ± σφθ κπ σφ( ± θ) = ± εφθ κπ α) Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών της μορφής x = ± θ αλλάζουν από ημίτονα σε συνημίτονα (και αντίστροφ α), από εφαπτομένες σε συνεφαπτομένες (και αντίστροφα). β) Το πρόσημο στο β μέλος εξαρτάται: από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x (χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα μπορούμε να π θεωρούμε ότι θ 0, ) από το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού του α μέλους στο τεταρτημόριο αυτό. π π + - θ) = εφ( -θ) = σφθ σφ( 7 π + θ) = π σφ(π + + θ) = σφ(π + π + θ) = σφ( π + θ) = εφθ Όλοι οι παραπάνω τριγωνομετρικοί αριθμοί μπορούν να υπολογισθούν απλούστερα με τον εμπειρικό τρόπο που περιγράψαμε δίπλα.