Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα), < Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ( ), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις V Ε Ι ΙΙ Σχήµα ΑΚΠα1 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της, < µορφής V( ) = µε V > VΘ( ), Μεθοδολογία- Εξισώσεις Schrödinger Αρχικά γράφουµε τις εξισώσεις Schrödinger για τις περιοχές διαφορετικού δυναµικού Η εξίσωση Schrödingerι για την περιοχή είναι ( ) me = Eψ ( ) ( ) ( ) ψ + k ψ m d =, ενώ για την περιοχή Ι είναι ( ) mv ( E) + V ψ ( ) = Eψ ( ) ψ ( ) k ψ ( ) m d = (δέσµιες καταστάσεις, δηλαδή E < V ) Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων στις δύο περιοχές είναι προφανώς k k ψ ( ) = A cosk + B sin k, ψ ( ) = A e + B e Συνοριακές συνθήκες-εξίσωση ιδιοτιµών Ενέργειας Καθώς από την συνοριακή συνθήκη της κυµατοσυνάρτησης στο =, έχουµε ψ ( = ) =, εκτιµούµε ότι A = ψ ( = ) = A cosk + B sink = A =, ενώ από το γεγονός ότι η ( ) κυµατοσυνάρτηση για να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη πρέπει να µηδενίζεται για πολύ µεγάλα, εκτιµούµε ότι ( ( ) k k k A = ψ = A e + Be = Ae = A = ) Οι ενεργειακές καταστάσεις του πηγαδιού υπολογίζονται από την σχέση που προκύπτει από τις συνοριακές συνθήκες στη θέση = ηλαδή έχουµε k ψ ( = ) = ψ ( = ) B sink = B e ψ ( = ) = ψ ( = ) k B cosk = k B e k

ιαιρώντας τις δύο αυτές σχέσεις βρίσκουµε την συνθήκη από την οποία εκτιµούµαι τις δυνατές k ενεργειακές καταστάσεις tan k = k Η συνθήκη αυτή δεν είναι παρά η συνθήκη που έχουµε βρει για τις περιττές λύσεις του συµµετρικού τετραγωνικού πηγαδιού πάχους (βλέπε άσκηση ΠΚΠα και οποιοδήποτε βιβλίο Κβαντοµηχανικής) Καθώς οι λύσεις όπου µηδενίζεται η κυµατοσυνάρτηση στο =, είναι οι περιττές ψ ( ) = ψ( ) ψ() = ψ() ψ() = ) Ουσιαστικά οι λύσεις του προβλήµατος αυτού ( { } δεν είναι παρά ΑΚΠα) οι περιττές λύσεις του συµµετρικού τετραγωνικού πηγαδιού πάχους (σχήµα 5, 4,5 4, 3,5 3,,5, 1,5 1,,5, -,5-1, -1,5 -, - -3 - -1 1 3 V Σχήµα ΑΚΠα Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της, < µορφής V( ) = µε V > Παρατηρούµε ότι το δυναµικό αυτό VΘ( ), µπορεί να προέρθει από ένα δυναµικό συµµετρικού τετραγωνικού πηγαδιού πάχους ([-,]), όταν θεωρήσουµε ότι το µισό δυναµικό απειρίζεται Από το σχήµα αυτό γίνεται φανερό ότι οι λύσεις του συµµετρικού πηγαδιού µε άρτια αρτιότητα δεν είναι αποδεκτές λύσεις για το µη συµµετρικό πηγάδι, καθώς στην θέση = δεν µηδενίζονται Αντιθέτως, οι περιττής αρτιότητας λύσεις µηδενίζονται στην θέση = και είναι οι λύσεις του προβλήµατος αυτού Γραφική διερεύνηση λύσεων Προφανώς οι ακριβείς λύσεις του προβλήµατος ιδιοτιµών µπορούν να βρεθούν µόνο αριθµητικά (εκτός από κάποιες ειδικές ή οριακές περιπτώσεις, µπορείτε να σκεφτείτε κάποιες;) από την επίλυση ως προς k me E Ε(Ε<V, δέσµιες καταστάσεις) της εξίσωσης tan k = tan = k V E Πρώτη µέθοδο Μια προσεγγιστική εκτίµηση των ιδιοτιµών της ενέργειας µπορούµε να πάρουµε από την εξής γραφική mv µέθοδο Καθώς k + k = U, µπορούµε να θέσουµε k = U cos ϑ, k = U sinϑ, όπου ϑ µια γωνία µε τον µοναδικό περιορισµό να βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο ( ϑ π /), καθώς αµφότερα k, k > και το ίδιο θα πρέπει να ισχύει για το cos ϑ,sinϑ >

k Η σχέση tan k = γίνεται k cosϑ sin( ϑ π / ) tan k = = = tan( ϑ π / ) sinϑ cos( ϑ π / ) k= ϑ π /+ nπ, όπου n είναι ένας µη µηδενικός ακέραιος (n= δίνει αρνητικό ) Η τελευταία σχέση γράφεται ισοδύναµα, k = U cos ϑ = ϑ+ (n 1) π / Ορίζοντας την γεωµετρική (καθώς εξαρτάται από τα γεωµετρικά στοιχεία του πηγαδιού) παράµετρο λ U, οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος υπολογίζονται από την σχέση λ cos ϑ = ϑ+ mπ / cos ϑ = ϑ/ λ+ mπ /( λ ), όπου m (=1,3,5, ) θετικός περιττός ακέραιος Η ακριβής λύση της παραπάνω αλγεβρικής σχέσης γίνεται αριθµητικά Μπορούµε να έχουµε όµως µια προσεγγιστική εκτίµηση των ιδιοενεργειών του συστήµατος µέσω της γραφικής αναπαράστασης της µη γραµµικής εξίσωσης k 1,5 m=3 1,,75,5,5 m=1 cosθ,,,,4,6,8 1, 1, 1,4 1,6 1,8, θ θ π/ 3 1 θ Σχήµα ΑΚΠα3 Γραφική αναπαράσταση της µη γραµµικής εξίσωσης cos ϑ = ϑ/ λ+ mπ /( λ), από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του συστήµατος Ουσιαστικά οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης cosϑ (για ϑ π /) και της ευθείας ϑ / λ+ mπ /( λ) Στο παρόν σχήµα η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5 (τι πάχος πηγαδιού δίνει αυτή την τιµή, αν V = 4meV ;) Οι δύο ευθείες τέµνουν τον κάθετο άξονα στα σηµεία που προσδιορίζονται από το mπ /( λ ) Είναι δηλαδή 1π και 3π για m=1,3 αντίστοιχα Από τις τοµές των δύο αυτών ευθειών ϑ, ϑ στην γραφική) µε την συνάρτησης cosϑ, βρίσκουµε τις ζητούµενες γωνίες ( 1 3 Από την σχέση k = U cosϑ me = mv cosϑ E = V (cosϑ), εκτιµούµε τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας Προφανώς στο παράδειγµα του παρόντος σχήµατος, οι ιδιοκαταστάσεις είναι δύο, καθώς η επόµενη τιµή του m(=5), περιγράφει ευθεία που τέµνει τον κάθετο άξονα σε τιµή µεγαλύτερη από την µονάδα (5π ) και προφανώς δεν υπάρχει σηµείο τοµής της ευθείας αυτής µε την συνάρτηση cosϑ (το τελευταίο ισχύει εφόσον η κλίση της ευθείας είναι πάντα θετική, καθώς 1/ λ = 1/( U ) > ) εύτερη µέθοδο Προσεγγιστική εκτίµηση των ιδιοενεργειών του συστήµατος µπορεί να πραγµατοποιηθεί µέσω της k γραφικής αναπαράστασης της σχέσης tan k = Η οποία γράφεται ισοδύναµα k

k k tan k = ( k ) tan = = k k ( = U ( k ) ) λ (σχήµα ΑΚΠα4) 15 1 5-5 -1-15 1 3 4 5 6 (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠα4 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης tan = λ, από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του συστήµατος Ουσιαστικά οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης tan και της συνάρτησης λ (η οποία ορίζεται στην περιοχή [,λ], καθώς για >λ έχουµε Ε>V και η ποσότητα στην ρίζα γίνεται αρνητική) Στο παρόν σχήµα η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5 (ίδια µε αυτή του προηγούµενου σχήµατος ΑΚΠα3) Οι δύο καµπύλες τέµνονται σε δύο σηµεία πλην του τετριµµένου στην αρχή των αξόνων (περιγράφει την λύση =, που δεν έχει φυσική σηµασία καθώς µηδενίζονται και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις) Προφανώς τα δύο αυτά σηµεία περιγράφουν τις ίδιες ιδιοενέργειες µε αυτές που εκτιµήθηκαν στο σχήµα ΑΚΠα3 Πράγµατι, η δεύτερη λύση (υψηλότερης ενέργειας) αντιστοιχεί σε πολύ κοντά στο λ (βλέπε γραφική όπου η τοµή των καµπυλών είναι πολύ κοντά στην περιοχή που η καµπύλη του δεξιού µέρους απειρίζετα) ηλαδή λ k U E V Η περίπτωση αυτή αντιστοιχεί στην λύση που περιγράφεται από την γωνία θ 3 (του προηγούµενου σχήµατος) η οποία είναι κοντά στο µηδέν και δίνει E = V (cos ϑ) E V Μπορείτε να ελέγξετε, προσεγγιστικά τι συµβαίνει για την άλλη ιδιοκατάσταση της ενέργειας; Παρατηρούµε στο σχήµα ΑΚΠα5, ότι ο αριθµός των δυνατών ιδιοκαταστάσεων του κβαντικού συστήµατος εξαρτάται άµεσα από το λ (για τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής µεγαλύτερες του λ, η συνάρτηση λ δεν ορίζεται) Για λ =14, που είναι µικρότερο του π/ δεν έχουµε καµία λύση, δηλαδή στο πηγάδι δυναµικού δεν υπάρχει καµία ιδιοκατάσταση ενέργειας Όταν το λ είναι στην περιοχή π/ έως 3π/, έχουµε µία λύση κοκ Ο αριθµός των ιδιοκαταστάσεων εκτιµάται από την σχέση nt[ λ / π ] (όπου nt δίνει το ακέραιο µέρος του αριθµού, δηλαδή ο ακέραιος που προκύπτει από την αποκοπή του δεκαδικού µέρους του αριθµού) Έχουµε δηλαδή, ότι ο αριθµός εκτιµάται από την σχέση nt[ λ/ π ] + Mode( nt[ λ / π],) / (όπου Mode( nt [ λ / π ],), είναι το υπόλοιπο της ( ) διαίρεσης το ακεραίου nt[ λ / π ] µε το, όπου πρακτικά είναι όταν ο ακέραιος είναι ζυγός και 1 όταν είναι µονός) Τώρα η τιµή του λ, εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του πηγαδιού, δηλαδή από το πάχος και το ύψος του, καθώς λ ( = U = mv / ) Αν το πάχος εκτιµάται σε Ǻ

και το δυναµικό σε ev το λ υπολογίζεται από την σχέση λ = 519975 V, αν το σωµάτιο που βρίσκεται στο πηγάδι είναι ηλεκτρόνιο Στην γενική περίπτωση οποιοδήποτε σωµατιδίου µάζας m, ο τύπος διαφοροποιείται σε λ = 519975 V m/ m, όπου e m είναι η µάζα του ηλεκτρονίου e λ= 14 - -4-6 λ= 4 λ= 74 λ= 11-8 4 6 Γενικά, από την σχέση cos ϑ = ϑ/ λ+ mπ /( λ), καταλαβαίνουµε ότι για να έχουµε µία τουλάχιστον δέσµια ιδιοκατάσταση στο πηγάδι δυναµικού θα πρέπει λ > π /, δηλαδή π /( λ ) < 1 Έτσι για δεδοµένο δυναµικό η παραπάνω συνθήκη σηµαίνει > π / 8 mv (πχ για V 1meV η () 8 1 1 Σχήµα ΑΚΠα5 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης tan = λ, για διάφορες τιµές του λ Παρατηρούµε ότι ο αριθµός των δυνατών ιδιοκαταστάσεων του κβαντικού συστήµατος εξαρτάται άµεσα από το λ Ο αλγόριθµος είναι απλός, ο αριθµός των ιδιοκαταστάσεων είναι ίσος µε το µισό του ακεραίου µέρους του λόγου λ / π όταν το ακέραιο µέρος είναι άρτιος ακέραιος και ίσος µε το µισό του ακεραίου µέρους του λόγου λ / π µειωµένο κατά µία µονάδα όταν το ακέραιο µέρος είναι περιττός ακέραιος Ενδεικτικά παραθέτουµε πίνακα µε τιµές των γεωµετρικών παραµέτρων του πηγαδιού και τα αντίστοιχα λ από τα οποία εκτιµάται ο αριθµός των δέσµιων ιδιοκαταστάσεων του πηγαδιού (Ǻ) V (mev) λ Αριθµός δέσµιων ιδιοκαστάσεων 1 3 887 1 1 1619 1 1 5 361 1 3 8 4345 1 1 1 1619 5 1 146 33 3 1 48575 15 5 5 1813 58 1 1 161918 5 V συνθήκη δίνει > 97Ǻ) Ενώ για δεδοµένο πάχος, η αντίστοιχη συνθήκη είναι V > /8m (πχ για =1Ǻ η συνθήκη δίνει V = 9411m ev ) π =

Από την στιγµή που γνωρίζουµε τις ιδιοενέργειες, γνωρίζουµε και τα κυµατανύσµατα k, k Έτσι υπολογίζουµε ακριβώς τις ιδιοσυναρτήσεις Οι σχέσεις προκύπτουν από τον νορµαλισµό των ιδιοσυναρτήσεων (βλέπε πρόβληµα ΠΚΠα) Νορµαλισµός: + k B B B k 1= Ψ sin sin d + Ψ d = B k d + B e d = k + e = 4k k k B (καθώς B sin k = Be sin k 1 1 ) = + + = sin k k tank k k B ( ) sin k 1 k k + k B 1+ k k (αφού tan k = ) = + + = B = k k k k k 1 + k και k k k k k B = B sin k e = = e ( = Uo) k 1+ k k 1 + k U + k me m όπου τα k, k προσδιορίζονται από k = και k = ( V E ) Παρατηρούµε, ότι ουσιαστικά έχουµε τις εκφράσεις του τετραγωνικού δυναµικού, µε µοναδική διαφορά το αριθµητικό συντελεστή (), ο οποίος οφείλεται στο γεγονός ότι η ολοκλήρωση γίνεται στο µισό διάστηµα (,) Προσπαθήστε να επιβεβαιώσετε ότι για την περίπτωση που το πεπερασµένο δυναµικό γίνεται πολύ µεγάλο (V ), τα αποτελέσµατα µας ταυτίζονται µε αυτά του απλού απειρόβαθου πηγαδιού 1/

Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδιβ(ΑΚΠβ), > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ ( + a) Θ( a), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος V Ε Ι - -a ΙΙ a Σχήµα ΑΚΠβ1 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της, > µορφής V( ) = µε V Στο δυναµικό αυτό, όλες οι > VΘ( a) Θ ( + a), δυνατές ενεργειακές καταστάσεις είναι δέσµιες Αρχικά ασχολούµαστε µε την περίπτωση E < V Η εξίσωση Schrödingerι για τις περιοχές και ΙΙΙ είναι ( ) me = Eψ ( ) ( ) ( ) ψ + k k ψ m d =, ( ) me = Eψ ( ) ( ) ( ) ψ + k = k ψ m d =, ενώ για την περιοχή Ι είναι ( ) mv ( E) + V ψ ( ) = Eψ ( ) ψ ( ) k = γ ψ ( ) m d = (για E < V ) Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων στις τρεις περιοχές είναι προφανώς γ γ ψ ( ) = A cos k + B sin k, ψ ( ) = A e + B e, ψ ( ) = A cos k + B sink Από την συνοριακή συνθήκη της κυµατοσυνάρτησης στο =-, έχουµε ψ ( = ) =, εκτιµούµε ότι ψ ( ) = A cosk B sink= A = B tank Έτσι ψ ( ) = A cosk + B sin k = ( B / cos k)sink cos k + ( B / cos k)cosksink = C sin k( + ) Ανάλογα βρίσκουµε ότι η ψ ( ) = C sin k( ) Αµφότερες οι εκφράσεις είναι αναµενόµενες καθώς είναι αυτές που µηδενίζονται για =- και = αντίστοιχα Ακόµα, καθώς το δυναµικό είναι συµµετρικό (V( ) = V( ) ), οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος θα είναι άρτιες ή περιττές Για να συµβαίνει αυτό, καθώς ψ ( ) = C sin k( + ) =± ψ ( ) =± C sin k( ) C = C Θα πρέπει C =± C, όπου το αρνητικό(θετικό) πρόσηµο αντιστοιχεί στις άρτιες(περιττές) ιδιοκαταστάσεις

Η λύση στην ενδιάµεση περιοχή είναι προφανώς της µορφής ψ ( ) = A coshγ= D coshγ, για γ γ γ γ τις άρτιες λύσεις Καθώς ψ ( ) = Ae + Be = ψ ( ) = Ae + Be, δίνει A = B Ενώ για τις περιττές έχουµε ( ) A e γ B e γ ψ = + = ψ ( = A e γ B e γ, που εκτιµά ότι ) A = B, δηλαδή λύση της µορφής ψ ( ) = A sinhγ= D sinhγ Για να βρούµε τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας χρησιµοποιούµε τις σχέσεις από τις συνοριακές συνθήκες στα σηµεία ασυνέχειας του δυναµικού ( = ± a ) Λόγω της συµµετρίας του προβλήµατος η οποία έχει ήδη εκφραστεί στις ιδιοσυναρτήσεις µας, δεν χρειάζεται παρά να χρησιµοποιήσουµε τις συνθήκες σε ένα σηµείο ασυνέχειας (µπορείτε να αποδείξετε ότι ισχύει;) Εργαζόµαστε στο = a Άρτιες λύσεις Συνέχεια συνάρτησης, ψ ( a) = ψ ( a) D coshγa= C sin k( a ) Συνέχεια παραγώγου συνάρτησης, ψ ( a) = ψ ( a) Dγ sinhγa= Ckcos k( a ) ιορώντας τις δυο αυτές σχέσεις βρίσκουµε την συνθήκη για την εκτίµηση των ιδιοενεργειών tan k ( a) tanh γ a= k/ γ Περιττές λύσεις Συνέχεια συνάρτησης, ψ ( a) = ψ ( a) D sinhγa= C sin k( a ) Συνέχεια παραγώγου συνάρτησης, ψ ( a) = ψ ( a) Dγ coshγa= Ckcos k( a ) ιαιρώντας τις δυο αυτές σχέσεις βρίσκουµε την συνθήκη για την εκτίµηση των ιδιοενεργειών tan k ( a)coth γ a= k/ γ Για αµφότερες τις περιπτώσεις παρατηρούµε ότι όταν το πάχος του ενδιάµεσου φράγµατος γίνεται πολύ µεγάλο (a ), οι ιδιοενέργειες ταυτίζονται µε αυτές του προηγούµενου προβλήµατος(όταν προφανώς και, έτσι ώστε a) Πράγµατι, αµφότερα tanh γ a, cothγ a 1 για a και η δυο παραπάνω συνθήκες γίνονται tan k ( a) = k/ γ Η τελευταία είναι η συνθήκη που βρήκαµε στο προηγούµενο πρόβληµα και περιγράφει δυο ανεξάρτητα πηγάδια (σε άπειρη απόσταση), όπως αυτά του προηγούµενου προβλήµατος (ΑΚΠα) µε πάχος ( a) Ας προχωρήσουµε τώρα σε µια γραφική διερεύνηση των ιδιοσυναρτήσεων Αρχίζουµε µε τις περιττές ιδιοενέργειες Η εξίσωση που τις περιγράφει είναι tan k ( a)coth γ a= k/ γ, η οποία γράφεται ισοδύναµα k a tan k ( a) = tanh γa tan = tanh λ γ, όπου k ( a) κα λ a λ ( a) mv / Από την γραφική ΑΠΚβ παρατηρούµε ότι όσο ο λόγος a ( a ) = r/ a τείνει στο άπειρο (για σταθερό πάχος πηγαδιού a) η tanh a λ τείνει στην µονάδα και όπως είναι αναµενόµενο το σύστηµα γίνεται ισοδύναµο µε αυτό του προηγούµενου προβλήµατος (σύγκρινε το σχήµα ΑΚΠβ για r= και το σχήµα ΑΚΠα4) Στην περίπτωση που έχουµε ενδιάµεσες τιµές του r (πχ r=16 δηλαδή το πάχος του φράγµατος έχει 16 φορές το πάχος του πηγαδιού), παρατηρούµε ότι έχουµε δύο δυνατές ιδιοτιµές ενέργειας Μάλιστα, η πρώτη ιδιοκατάσταση έχει τιµή πρακτικά ίδια µε αυτή του προηγούµενου προβλήµατος (άπειρο φράγµα δυναµικού) Στις άλλες δύο περιπτώσεις που µελετάµε, µε φράγµα δυναµικού σχετικά µικρό (r=4) η πολύ µικρό (r=), βρίσκουµε ότι µία µόνο ιδιοκατάσταση υπάρχει στο σύστηµα Η οποία τώρα είναι διαφορετική από αυτή του µεγάλου φράγµατος δυναµικού (σύγκρινε τα σηµεία τοµής των περιπτώσεων µε r= και 4 µε το σηµείο τοµής των περιπτώσεων µε r=16 και ) Μάλιστα, όσο µικρότερο είναι το φράγµα δυναµικού τόσο περισσότερο είναι µετατοπισµένη η ιδιοτιµή της ενέργειας του συστήµατος ηλαδή, για πεπερασµένο πάχος φράγµατος η ενέργεια της περιττής ιδιοκατάστασης είναι µεγαλύτερη από την ενέργεια της θεµελιώδους κατάστασης του συστήµατος µε άπειρο πάχος

φράγµατος Οριακά όταν το r τείνει στο µηδέν το σηµείο τοµής είναι το =π (είναι αναµενόµενο; σε ποία ενέργεια αντιστοιχεί; πρακτικά έχουµε ένα απειρόβαθο πηγάδι πάχους ) Για τα µικρά φράγµατα δυναµικού (α µικρό), ( λ ) tanh r r λ (καθώς 3 tanh w ( w+ w /3)/( + w ) w), έχουµε tan = r / (δηλαδή η δεύτερη εξίσωση γίνεται γραµµική, όπως επιβεβαιώνεται στο σχήµα ΑΚΠβ) r= r=4 - -4 r=16-6 r= 1 3 4 5 6 (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠβ Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης a tan = tanh λ, από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του λ a συστήµατος για τις ιδοσυναρτήσεις µε περιττή αρτιότητα Οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης tan και της λ tanh a λ ( a) = λ tanh r λ (η οποία συνάρτησης ( ) ( ) ορίζεται στην περιοχή [,λ]) Ενώ χρησιµοποιούµε την παράµετρο r, r a/( a), η οποία είναι ο λόγος του πάχους του φράγµατος δυναµικού µε το πάχος εκάστου πηγαδιού δυναµικού (βλέπε σχήµα ΑΚΠβ1) Στο παρόν σχήµα η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5 (ίδια µε αυτή του προηγούµενου σχήµατος ΑΚΠα3 και ΑΚΠα4) Τα αποτελέσµατα σχολιάζονται στο κείµενο Συνεχίζουµε µε τις άρτιες ιδιοενέργειες Η εξίσωση που τις περιγράφει είναι tan k ( a) tanh γ a= k/ γ, η οποία γράφεται ισοδύναµα a tan = coth λ (όπου πάλι k ( a) ) Από την γραφική ΑΠΚβ3 λ a παρατηρούµε ότι όσο ο λόγος a ( a ) = r/ τείνει στο άπειρο (για σταθερό πάχος πηγαδιού a ) a η coth a λ τείνει στην µονάδα και η τιµή της ιδιοενέργειας συµπίπτει µε αυτή των περιττών λύσεων (σύγκρινε µε το σχήµα ΑΚΠβ, είναι αναµενόµενο, οι ιδιοσυναρτήσεις είναι διαφορετικές (εκφυλισµός);) Στις περιπτώσεις που µελετάµε, µε φράγµα δυναµικού σχετικά µικρό (r=4) η πολύ µικρό (r=), βρίσκουµε ότι υπάρχουν στο σύστηµα δύο ιδιοκαταστάσεις Η µικρότερης ενέργειας ιδιοκατάσταση είναι διαφορετική από αυτή του µεγάλου φράγµατος δυναµικού (σύγκρινε τα σηµεία τοµής των περιπτώσεων µε r= και 4 µε το σηµείο τοµής των περιπτώσεων

µε r=16 και ) Μάλιστα, όσο µικρότερο είναι το φράγµα δυναµικού τόσο περισσότερο είναι µετατοπισµένη η ιδιοτιµή της ενέργειας του συστήµατος ηλαδή, για πεπερασµένο πάχος φράγµατος η ενέργεια της άρτιας ιδιοκατάστασης είναι µικρότερη από την ενέργεια της θεµελιώδους κατάστασης του συστήµατος µε άπειρο πάχος φράγµατος Είναι πολύ ενδιαφέρον να παρατηρήσουµε ότι υπάρχει και δεύτερη ιδιοκατάσταση της ενέργειας, η οποία είναι κοντά στην αντίστοιχη ιδιοκατάσταση του µονού πηγαδιού (προηγούµενο πρόβληµα), αλλά είναι πάντα µικρότερη ενεργειακά (που φαίνεται αυτό;) Πάντως για r πολύ µικρό το τείνει στο 3π/ Οριακά όταν το r τείνει στο µηδέν το σηµείο τοµής είναι το =π (είναι αναµενόµενο; σε ποία ενέργεια αντιστοιχεί; έχουµε ένα απειρόβαθο πηγάδι πάχους ) Για τα µικρά φράγµατα δυναµικού (α µικρό, -α δεδοµένο, άρα r µικρό), ( λ ) coth r r λ ( λ ) 3 (καθώς coth w ( + w ) /( w+ w / 3) 1/ w), έχουµε tan = / r( ) (δηλαδή η δεύτερη εξίσωση γίνεται παραβολική) r= 16-5 r= 4 r= r= -1-15 1 3 4 5 6 (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠβ3 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης a tan = coth λ, από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του λ a συστήµατος για τις ιδοσυναρτήσεις µε άρτια αρτιότητα Οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης tan και της λ coth a λ ( a) = λ coth r λ (η οποία συνάρτησης ( ) ( ) ορίζεται στην περιοχή [,λ]) Ενώ χρησιµοποιούµε την παράµετρο r, r a/( a), η οποία είναι ο λόγος του πάχους του φράγµατος δυναµικού µε το πάχος εκάστου πηγαδιού δυναµικού (βλέπε σχήµα ΑΚΠβ1) Στο παρόν σχήµα η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5 (ίδια µε αυτή του προηγούµενου σχήµατος ΑΚΠα3 και ΑΚΠα4) Τα αποτελέσµατα σχολιάζονται στο κείµενο Γενικά παρατηρούµε ότι ενώ στο µονό πηγάδι έχουµε δύο δέσµιες ιδιοκαταστάσεις (σχήµα ΑΚΠα4) στο διπλό πηγάδι µε το ίδιο πάχος και το ίδιο βάθος µπορούµε να έχουµε δύο, τρεις ή και τέσσερις δέσµιες ιδιοκαταστάσεις Ο αριθµός των ιδιοκαταστάσεων εξαρτάται από το πάχος του φράγµατος δυναµικού Έτσι όπως γίνεται φανερό από τα σχήµατα ΑΚΠβ και ΑΚΠβ3, για πολύ µικρό r(r=), δηλαδή για πολύ µικρού πάχους φράγµα δυναµικού έχουµε µόνο δύο ιδιοκαταστάσεις (µία άρτια και µία περιττή, µε µικρότερη και µεγαλύτερη ενέργεια από την ενέργεια του µονού πηγαδιού, αντίστοιχα) Για µεγαλύτερο πάχος φράγµατος r(r=4), δηλαδή για σχετικά µικρού πάχους φράγµα δυναµικού έχουµε τρεις ιδιοκαταστάσεις ύο άρτιας αρτιότητας ιδιοσυναρτήσεις (η µία είναι η

θεµελιώδης) και µία ενδιάµεσης ενέργειας σε σχέση µε τις άλλες δύο µε περιττή αρτιότητα Για µεγαλύτερου πάχους φράγµατα δυναµικού (πχ r=16 και ), έχουµε τέσσερις δέσµιες ιδιοκαταστάσεις (δύο άρτιες και δύο περιττές) Από τον φοιτητή, αναµένουµε τα εξής: (a) Να τις παρουσιάσει σχηµατικά ( ζωγραφίσει ) για όλες τις δυνατές περιπτώσεις (από δύο µέχρι τέσσερις ιδιοκαταστάσεις) Να παρατηρήσει ότι η σειρά που εµφανίζονται είναι άρτια-περιττήάρτια-περιττή Μάλιστα να ελέγξει πόσο κοντά είναι οι δύο υψηλότερες ιδιοκαταστάσεις στο χείλος του πηγαδιού Βάσει αυτού να εξηγηθεί πότε έχουµε 3 και πότε 4 ιδιοκαταστάσεις (πότε δηλαδή η τέταρτη ιδιοκατάσταση, είναι οριακά µέσα ή έξω από το πηγάδι) (b) Να διευρευνυθούν οι ιδιοσυναρτήσεις σε σχέση µε απλούς γραµµικούς συνδυασµούς των ιδιοκαταστάσεων των απλών πηγαδιών Ξεκινήστε από την περίπτωση που το φράγµα δυναµικού είναι σε πολύ µεγάλη απόσταση και ουσιαστικά έχουµε δύο ανεξάρτητα πηγάδια (c) Να διερευνήσετε τι γίνεται σε σχέση µε την παράµετρο λ, που χαρακτηρίζει τα γεωµετρικά στοιχεία του πηγαδιού (d) Τέλος να συζητηθεί η περίπτωση που το V µηδενίζεται E > V για την περιοχή και ΙΙΙ δεν διαφοροποιείται σε σχέση µε την προηγούµενη περίπτωση ( Στην συνέχεια αναζητούµε λύσεις για την περίπτωση όπου Προφανώς η εξίσωση Schrödingerι E < V ) 4-4 6 8 1 1 (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠβ4 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης a tan tanh λ + =, από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του a λ + συστήµατος για τις ιδοσυναρτήσεις µε άρτια αρτιότητα Οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης ( ) tan tan r λ + και της συνάρτησης λ + (κόκκινη καµπύλη) Η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5, ενώ η παράµετρο r, r a/( a), η οποία είναι ο λόγος του πάχους του φράγµατος δυναµικού µε το πάχος εκάστου πηγαδιού δυναµικού έχει την τιµή Παρατηρούµε ότι υπάρχει απειρία δέσµιων καταστάσεων Ενώ για την περιοχή Ι είναι ( ) mv ( E) + V ψ ( ) = Eψ ( ) ψ ( ) k = γ ψ ( ) m d =

Η εξίσωση αυτή διαφέρει από την προηγούµενη στο ότι έχουµε στην θέση του γ το γ Έτσι πρακτικά µπορούµε να ακολουθήσουµε την προηγούµενη µεθοδολογία και στα τελικά αποτελέσµατα να αντικαταστήσουµε το γ = γ µε το iγ = γ Έτσι η λύση στην περιοχή ΙΙ είναι i i ( ) D cosh i D ( e γ γ ψ = γ = + e ) / = D cosγ, για τις άρτιες λύσεις και ( i i i i ( ) D sinh i D ( e γ γ e )/ id e γ ψ = γ = = e γ )/i= id sinγ για τις περιττές Ανάλογα έχουµε για τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας Άρτιες λύσεις Την συνθήκη tan k ( a)tanh ia γ = k/ iγ tan k ( a)tan γa= k/ γ Περιττές λύσεις Την συνθήκη tan k( a)coth iγ a= k/ iγ tan k( a)cot γa= k/ γ Προχωράµε στην γραφική εκτίµηση των λύσεων για τις άρτιες λύσεις Παρατηρούµε ότι υπάρχουν άπειρα σηµεία τοµής των συναρτήσεων του αριστερού και του δεξιού µέρους της εξίσωσης ιδοτιµών Ανάλογα αποτελέσµατα βρίσκουµε για τις περιττές λύσεις Τέλος συζητάµε σύντοµα την περίπτωση που το V µηδενίζεται Στην περίπτωση αυτή το υπό µελέτη σύστηµα αναµένεται ταυτίζεται µε αυτό του απειρόβαθου δυναµικού Προφανώς για V =, γ = k, και έχουµε για τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας Άρτιες λύσεις tan k ( a) tan γ a= k/ γ tan k ( a) tan ka= 1 tan k ( a) = cot ka= tan( π / ka), δίνει ότι k ( a) = ( π / ka) + nπ k= (n+ 1) π /, όπου το n παίρνει τιµές,1, Περιττές λύσεις Η συνθήκη tan k ( a)cot γ a= k/ γ tan k ( a)cotka= 1 tan k ( a) = tanka= tan( π ka), δίνει ότι k ( a) = ( π ka) + nπ k= ( n+ 1) π, όπου το n παίρνει τιµές,1, Οι παραπάνω συνθήκες είναι οι συνθήκες για απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού πάχους (k = mπ, αλλά µε m=1,,3, ) Τι γίνεται στην περίπτωση πού E = V εξίσωση Schrödingerι για την περιοχή Ι είναι ; Ας αναζητηθεί από τον φοιτητή, λαµβάνοντας υπόψη ότι η ( ) + V ψ ( ) = Eψ ( ) ψ ( ) = m d Τέλος αναµένεται από τον σπουδαστή να συζητηθεί αν υπάρχει η δυνατότητα το δυναµικό V να το χειριστούµε ως διαταραχή Σίγουρα, αυτό έχει νόηµα όταν έχουµε πεπερασµένο δυναµικό για το µεγάλο πηγάδι και όχι απειρόβαθο (πχ V 1 δυναµικό), οπότε η θεωρία διαταραχών εφαρµόζεται όταν V V 1