Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ανάλυση ροής φορτίου Υπεύθυνος μαθήματος thpapad@ee.duth.gr Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ
Περιεχόμενα Μαθήματος Γενικά Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος ροής φορτίου Αξιολόγηση μεθόδων Επίλυση του προβλήματος ροής φορτίου Παράδειγμα
Γενικά
Ροή φορτίου /1 Βασικά κριτήρια λειτουργίας ενός συστήματος ηλεκτρικής ισχύος: - Παραγωγή = Ζήτηση + Απώλειες - Τάσεις και συχνότητα στους ζυγούς κοντά στις ονομαστικές του τιμές (εντός ορίων) - Οι γεννήτριες να λειτουργούν μέσα στα όρια ενεργού και άεργου ισχύος - Pmin P Pmax, Qmin Q Qmax - Οικονομικά βέλτιστη λειτουργία του συστήματος - Οι γραμμές μεταφοράς (ΓΜ) να μην υπερφορτίζονται και να μην λειτουργούν κοντά στο όριο ευστάθειας τους - Οι μετασχηματιστές να μην υπερφορτίζονται. - Να ικανοποιούνται υποχρεώσεις προγραμματισμού ισχύος ως προς τις γραμμές διασύνδεσης με τα γειτονικά συστήματα
Ροή φορτίου / Η μέθοδος που χρησιμοποιείται για να υπολογίσουμε και να εξασφαλίσουμε τα προηγούμενα λέγεται ροή ισχύος ή ροή φορτίου (power flow). Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε: - Μέτρο και γωνία τάσης σε κάθε ζυγό - Ενεργό και άεργο ισχύ σε κάθε γραμμή μεταφοράς - Απώλειες - Άλλα (π.χ. tap settings) Το συνολικό πρόβλημα της ροής ισχύος διαιρείται σε δύο επί μέρους προβλήματα: - Διαμόρφωση κατάλληλου μαθηματικού μοντέλου - Επίλυση του προβλήματος με μεθόδους αριθμητικής ανάλυσης
Ροή φορτίου /3 Παρόλο που το δίκτυο είναι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, δεν μπορούμε να βρούμε τη λύση του προβλήματος με ανάλυση βρόγχων ή κόμβων. Σε ένα ηλεκτρικό δίκτυο έχουμε ένα μεγάλο αριθμό μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που τις λύνουμε με τη βοήθεια υπολογιστών. Άρα, η ανάλυση ροής φορτίου σε ένα σύστημα είναι πολύ σημαντικό γιατί επιτρέπει: - το σχεδιασμό και λειτουργία του συστήματος - την οικονομική λειτουργία του συστήματος - σχεδιασμό μελλοντικών επεκτάσεων - συνεργασία μεταξύ εταιρειών για ανταλλαγή ισχύος - άλλες σημαντικές εφαρμογές (π.χ. Contingency studies) - καθορισμός βέλτιστου μεγέθους και θέσης πυκνωτών αντιστάθμισης - καθορισμός βέλτιστου μεγέθους και θέσης ΣΠΗΕ, ΔΠ, ΥΣ, ΓΜ
Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου
Το πρόβλημα /1 Η ανάλυση ροής φορτίου είναι βασικά μια μέθοδος υπολογισμού του μέτρου της τάσης και της γωνίας σε κάθε ζυγό του συστήματος, κάτω από συμμετρικές τριφασικές συνθήκες σε σταθερή κατάσταση. Δεδομένα εισόδου: - Δεδομένα ζυγών - Δεδομένα γραμμών μεταφοράς και μετασχηματιστών - Μέγεθος, τύπος και τοποθεσία φορτίων
Το πρόβλημα / Κάθε ζυγός έχει τέσσερις μεταβλητές συνδεδεμένες με αυτόν: 1) Συνολική ενεργός ισχύς P (active power) ) Συνολική άεργος ισχύς Q (reactive power) 3) Μέτρο φασικής τάσης (voltage magnitude) 4) Γωνία φασικής τάσηςδ (phase angle) Για σύστημα n ζυγών: - n εξισώσεις ροής φορτίου - 4n μεταβλητές Περιορισμός μεταβλητών: - μεταβλητές ανά ζυγό είναι ανεξάρτητες μεταβλητές - Οι υπόλοιπες προκαθορίζονται I = P U * jq
Ζυγοί του συστήματος Τύπος ζυγού Γνωστές Μετβαλητές Άγνωστες Μεταβλητές Ταλάντωσης ή αναφοράς (slack bus) Ζυγός ελεγχόμενος από τάση (PV) U=1, θ=0 ο P, Q P, U Q, θ Ζυγός φορτίων (PQ) P, Q U, θ
Εξισώσεις δικτύου /1 Έστω ότι έχουμε το πιο κάτω δίκτυο (για ευκολία αγνοούμε τις αντιστάσεις)
Εξισώσεις δικτύου / Μετατρέποντας όλες τις αντιδράσεις (impedances) σε σύνθετες αγωγιμότητες (admittances): y ij 1 1 = = z r + jx ij ij ij
Εξισώσεις δικτύου /3 Εξισώσεις στους κόμβους του συστήματος: Κόμβος 1 I = y V + y V V + y V V ( ) ( ) 1 10 1 1 1 13 1 3 Κόμβος ( ) ( ) I = y V + y V V + y V V 0 1 1 3 3 Κόμβος 3 0 = y V V + y V V + y V V ( ) ( ) ( ) 13 3 1 3 3 34 3 4 Κόμβος 4 0 = y V V ( ) 34 4 3
Εξισώσεις δικτύου /4 Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να γραφτούν και ως εξής: ( ) ( ) ( ) I = y + y + y V y V y V 1 10 1 13 1 1 13 3 I = yv+ y + y + y V yv 1 1 0 1 3 3 3 0 = yv yv+ y + y + y V yv 0 = y V + y V 13 1 3 13 3 34 3 34 4 34 3 34 4 Γράφοντας τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα: ( ) I1 y10 + y1 + y13 y1 y13 0 V1 I 1 ( 0 1 3 ) 3 0 V y y + y + y y = 0 y13 y3 ( y13 + y3 + y34 ) y34 V3 0 0 0 y y V 34 34 4
Εξισώσεις δικτύου /4 Εξισώσεις του δικτύου σε μορφή πίνακα: ( ) I1 y10 + y1 + y13 y1 y13 0 V1 I 1 ( 0 1 3 ) 3 0 V y y + y + y y = 0 y13 y3 ( y13 + y3 + y34 ) y34 V3 0 0 0 y y V 34 34 4
Εξισώσεις δικτύου /5 Άρα, μπορούμε να βρούμε τα στοιχεία του πίνακα αγωγιμότητας (bus admittance matrix) χρησιμοποιώντας: n Y = y, j i, self-admittance ii j= 0 ij Y = Y = y, i j, mutual admittance ij ji ij Επομένως, μπορούμε να γράψουμε σε γενική μορφή: I1 Y11 Y 1... Y1 n V1 I Y1 Y... Y n V = => I = YV.................. I Y Y... Y V n n1 n nn n
Εξισώσεις δικτύου /6 Το πρόβλημα επομένως για την περίπτωση π.χ. του ζυγού i από τους συνολικά n γράφεται: n I = Y U i im m m= 1 Αλλιώς συναρτήσει της ισχύος: n * i i = i im m m= 1 P jq U Y U - n εξισώσεις που απαρτίζουν ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα - για την επίλυσή του συστήματος, ανάλογα με τον τύπο του ζυγού, υπολογίζονται οι άγνωστοι με χρήση μια επαναληπτικής μεθόδου αριθμητικής ανάλυσης
Μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος ροής φορτίου
Γενικά Επαναληπτικές μέθοδοι ή μέθοδοι ανακυκλώσεως: - Επαναληπτική μέθοδος Gauss - Gauss-Seidel - Newton-Raphson Επίλυση: - Προτείνεται μια αρχική λύση - Η αρχική λύση δίνει μια κλύτερη νέα λύση χρησιμοποιώντας την - Η δεύτερη λύση χρησιμοποιείται για την έυρεση τρίτης λύσης κ.τ.λ. f( x ) = 0
Περιοριστικά όρια: Περιορισμοί (constraints) - Τα μέτρα των τάσεων των ζυγών να βρίσκονται μέσα σε συγκεκριμένα όρια ανοχής - Οι γωνιακές διαφορές ορισμένων ζυγών να παραμένουν κάτω από ορισμένο όριο, το οποίο υπαγορεύεται από λόγους ηλεκτρικής ευστάθειας - Οι ισχείς παραγωγής να βρίσκονται μέσα σε συγκεκριμένα όρια - Πρόσθετοι περιορισμοί ώστε το σύστημα να λειτουργεί κατά το βέλτιστο οικονομικά τρόπο (οικονομικοί περιορισμοί) U < U < U imin i imax δi δ j < δi δj P < P < P max G1,min G1 G1,max Q < Q < Q G1,min G1 G1,max
Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /1 Έστω ότι θέλουμε να βρούμε μια λύση της εξίσωσης: 3 3 f ( x) = x + x x 1= 0 Γράφουμε την εξίσωση σε μορφή: x = ( ) g x Επομένως: 3 x x x 3 = + 1
Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss / Για να υπολογίσουμε το x χρησιμοποιούμε επαναληπτική διαδικασία (iterative procedure) και υποθέτουμε μια αρχική τιμή x0. Άρα: Και σταματούμε όταν (κριτήριο σύγκλισης): n x n 0 0-1 -1 1-0.5 0.5 3-0.75 0.5 4-0.5781 0.1719 5-0.6919 0.1138... x n+ 1 x n x + x < ε n 1 3 3 x = n 1 x + + n xn 1 n Έστω ότι x0=0 και ε=0.01, συνεχίζοντας τη λύση παίρνουμε: x = -0.6446
Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /3 Αν τώρα έχουμε ένα σύστημα: x y = 1 x+ 3y z = 8 y+ z = 5 Πρέπει να φέρουμε το σύστημα στη μορφή: yn 1 xn+ 1 = + 1 1 8 yn+ 1 = xn + zn + 3 3 3 1 5 zn+ 1 = yn
Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /4 Άρα, αν έχουμε x 0 =y 0 =z 0 =0: n xn yn zn 0 0 0 0 1 0.5 8/3-5/ 1.833-1.167 3 1.5.89-1.5 4 1.945.667-1.055 5 1.8335.963-1.167 0 3-1 yn 1 xn+ 1 = + 1 1 8 yn+ 1 = xn + zn + 3 3 3 1 5 zn+ 1 = yn
Μέθοδος Gauss-Seidel Παρόμοια με την Gauss, όμως χρησιμοποιεί τις νέες τιμές των αγνώστων σε κάθε επανάληψη (iteration), αν υπάρχουν. Άρα συγκλίνει πιο γρήγορα. Το ίδιο παράδειγμα: yn 1 xn+ 1 = + 1 1 8 yn+ 1 = xn+ 1+ zn + 3 3 3 1 5 zn+ 1 = yn+ 1 Έστω ότι x0=y0=z0=0 και ε=0.001 n xn yn zn 0 0 0 0 1 0.5.833-1.083 1.9165.9445-1.08 3 1.97.981-1.009 4 1.9905.9938-1.003 5 1.9969.9980-1.001 6 1.9990.9993-1.0003 7 1.99965.9998-1.0001 8 1.9999.9999-1.0000
Μέθοδος Newton-Raphson /1 - Χρησιμοποιείται πολύ συχνά λόγω της μη γραμμικότητας του δικτύου. - Βασίζεται σε μια αρχική τιμή κοντά στη ρίζα της συνάρτησης και στη σειρά Taylor (Taylor series). - Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση f(x)=0 και ότι μια από τις ρίζες της είναι η - Έστω ότι υποθέτουμε μια αρχική τιμή για το x, x0, και η διαφορά του x0 από την πραγματική ρίζα είναι Δx: Χρησιμοποιώντας τη σειρά Taylor:
Μέθοδος Newton-Raphson / Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους: Αφού x1=x0+δx, τότε το πραγματική ρίζα. πρέπει να είναι καλύτερη προσέγγιση για την
Μέθοδος Newton-Raphson /3
Παράδειγμα: Μέθοδος Newton-Raphson /4 n x 0 1 1 0.5379 0.5670 3 0.5671 Αρχική τιμή για n=0
Μέθοδος Newton-Raphson /5 Αν αυτή την ιδέα τη γενικεύσουμε για την περίπτωση που έχουμε πέραν του ενός αγνώστου, δηλαδή: και έστω ότι η λύση μας είναι ώστε και τότε μπορούμε να γράψουμε τις ίδιες εξισώσεις με τη σειρά Taylor όπως και προηγουμένως:..
Μέθοδος Newton-Raphson /6 J(x0): Jacobian matrix (nxn) (αφού ) Για κάθε επανάληψη δημιουργείται ένας νέος Ιακωβιανός πίνακας Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να πληρωθεί το όριο ανοχής για όλες των x i Οι εκτιμήσεις αν είναι μακρυά από τη λύση μπορεί να οδηγήσουν σε μεγάλο σφάλμα διακοπής σειράς
Παράδειγμα με Newton-Raphson /1 Παράδειγμα από προηγούμενο μάθημα: Βρείτε το ούτως ώστε x x 1 = x f ( x ) = 0 όπου ( ) f x = x + x 8= 0 1 1 ( ) f x = x x + xx 4= 0 1 1
Παράδειγμα με Newton-Raphson / Ο Ιακωβιανός πίνακας γράφεται: ( ) J x ( ) ( ) df1 x df1 x dx1 dx 4x1 x = = df ( ) ( ) x1 x x x 1 x df x + + dx1 dx n+ 1 n n n 1 1 n+ + n n n + n 1n ( x ) n 1 f 1 x1 x1 4x1 x = x x x x x x f x ( ) n
Παράδειγμα με Newton-Raphson /3 Έστω ότι (αρχικές συνθήκες): 0 x 1 = 1 x x 1 1 1 4 5 1. = 1 = 3 1 3 13. 1. 84. 6. 51. 1884. = 13. = 55. 05. 145. 11. 1...και συνεχίζουμε μέχρι τη σύγκλιση
Αξιολόγηση μεθόδων
Σύγκριση μεθόδων /1 Μειονεκτήματα Newton-Raphson: Πρέπει να βρίσκουμε το Jacobian matrix σε κάθε βήμα (χρονοβόρο) Περισσότερος χώρος μνήμης και χρόνος σε σύγκριση με τη μέθοδο Gauss- Seidel Όμως η Newton-Raphson συνήθως συγκλίνει, σε αντίθεση με την Gauss-Seidel που πολλές φορές αποκλίνει. Η Newton-Raphson προτιμάται στην ανάλυση ροής ισχύος γιατί: συγκλίνει (συνήθως σε λιγότερες από 10 επαναλήψεις) υπάρχουν τρόποι να μειώσουμε το χρόνο σε κάθε επανάληψη και να αποφύγουμε τα matrix iterations.
Σύγκριση μεθόδων / Τύπος προβλήματος Gauss-Seidel Newton-Raphson Συστήματα με μεγάλο φορτίο Συστήματα με αρνητικές αντιδράσεις, πχ ΜΣ τριών τυλιγμάτων Συστήματα με ζυγό ταλάντωσης σε συγκεκριμένη θέση Μακριές και κοντές γραμμές που τερματίζουν στους ίδιους ζυγούς Ακτινικό σύστημα μεγάλου μήκους Συνήθως δεν επιλύει συστήματα με διαφορά φάσης μεγαλύτερη των 70 o Ανίκανη να τα επιλύσει Συχνά απαιτούνται δοκιμές trial & error για τον εντοπισμό του slack bus Συνήθως δεν μπορεί να το επιλύσει Δυσκολία επίλυσης Eπιλύει συστήματα με διαφορά φάσης μεγαλύτερη των 70 o Τα επιλύει με ευκολία Περισσότερο ανεκτική στη θέση του slack bus Μπορεί να έπιλύσει τα περισσότερα συστήματα Επιλύει ευρεία περιοχή τέτοιων συστημάτων Συντελεστές επιτάχυνσης Καθοριστική σημασία Δεν απαιτούνται
Επίλυση του προβλήματος ροής φορτίου
Βήματα Newton-Raphson power flow /1 1. Ορισμός προβλήματος - Slack bus: ορίζουμε τη γωνία της τάσης μηδέν μοίρες και την τάση στην επιθυμητή τάση της γεννήτριας - Ζυγοί γεννητριών: Τάση στην επιθυμητή τάση και γωνία μηδέν μοίρες - Ζυγοί φορτίων: Ισχύς στις επιθυμητές τιμές. Υπολογισμός διαφοράς ισχύος (power mismatches) n n - Ζυγοί φορτίων: Υπολογίζουμε τα P k και Q k από τις εξισώσεις ροής ισχύος χρησιμοποιώντας τις γνωστές και υπολογιζόμενες (estimated) τάσεις n - Ζυγοί γεννητριών: Υπολογίζουμε την P n n k - Υπολογίζουμε τα P και Q σε κάθε ζυγό. 3. Δημιουργούμε την Jacobian από τις διαφορικές εξισώσεις. 4. Επιλύουμε την εξίσωση: P J1 J δ Q = J3 J 4 V Από αυτό τη βήμα υπολογίζονται τα δ και V. Τρόποι επίλυσης: Α) Με την αντιστροφή της Jacobian (αν είναι μικρή) Β) Χρησιμοποιώντας Gaussian elimination Γ) Άλλες τεχνικές (π.χ. Sparsity techniques)
Βήματα Newton-Raphson power flow / 5. Υπολογίζουμε τις νέες τιμές για το μέτρο και τη γωνία της τάσης, n + 1 n + 1 V,δ 6. Συνεχίζουμε τη διαδικασία από το βήμα () μέχρις ότου τα mismatches είναι μικρότερα από την προκαθορισμένη ακρίβεια ε. P n k ε Q n k ε 7. Υπολογίζουμε τις ροές σε κάθε μεριά της γραμμής. Άρα: Απώλειες γραμμής= S ij + S ji Επίσης, υπολογίζουμε τα: P και Q στο slack bus Q στα PV buses.
Παράδειγμα δικτύου
Πίνακες αγωγιμοτήτων Το 1 ο βήμα για το power flow είναι να βρούμε τον πίνακα αγωγιμότητας (Υbus). Άρα, μετατρέπουμε τα impedances σε admittances: y y y 1 13 3 1 1 = = = 10 j0 p.u. z 0. 0 + j 0. 04 1 1 1 = = = 10 j30 p.u. z 0. 01+ j 0. 03 13 1 1 = = = 16 j3 p.u. z 0. 015 + j 0. 0 3 Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις στα δεξιά για τα διαγώνια και τα άλλα στοιχεία του πίνακα αγωγιμότητας: n Y = y, j i, self-admittance ii j= 0 ij Y = Y = y, i j, mutual admittance ij ji ij ( ) y13 + y1 y1 y13 0 j50 10 + j0 10 + j30 Ybus = y1 ( y1 y3 ) y 3 10 j0 6 j5 16 j3 + = + + y13 y3 ( y13 + y3 ) 10 + j30 16 + j3 6 j6
Είδαμε ότι: I Για το ζυγό k: = YV I Εφαρμογή μεθόδου NR /1 N = YV k kn n n= 1 Η ισχύς που παράγεται από το ζυγό k είναι:
Εφαρμογή μεθόδου NR / Αν ξεχωρίσουμε το πραγματικό από το φανταστικό: N ( ) P = V Y V cos δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 N ( ) Q = V Y V sin δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 Άρα, για κάθε ζυγό έχουμε δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους. Το πρόβλημα είναι ότι έχουμε να λύσουμε ταυτόχρονα ένα μεγάλο αριθμό μη γραμμικών εξισώσεων. Για να το καταφέρουμε αυτό χρησιμοποιούμε μια επαναληπτική μέθοδο, όπως τον αλγόριθμο Newton-Raphson
Εφαρμογή μεθόδου NR /3 Έστω ότι το slack bus είναι το bus 1 του οποίου ορίζουμε το μέτρο και τη γωνία τάσης. Άρα, οι άγνωστοι μας είναι τα μέτρα και οι γωνίες της τάσης στους υπόλοιπους ζυγούς.
J Εφαρμογή μεθόδου NR /4 dp dp dp dp...... dδ dδn dv dv n... J1......... J...... dpn dpn dpn dpn...... dδ dδ dv dv J J = => = dq dq dq dq...... dδ dδn dv dv n... J3......... J4...... dqn dqn dqn dq n...... d δ dδn dv dvn n n 1 J J3 J 4
Εφαρμογή μεθόδου NR /5 Πρέπει να βρούμε τα στοιχεία της Jacobian: J1: N ( ) P = V Y V cos δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 N ( ) Q = V Y V sin δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 J:
Εφαρμογή μεθόδου NR /6 J3: J4:
P 1 Q = J3 J 4 V Εφαρμογή μεθόδου NR /7 J J δ k k k x = x + x power mismatches n+ 1 n n scheduled n P = P P scheduled n Qk = Qk Qk δ δ δ = + V V V n+ 1 n n δ δ J1 J P => = + V V J3 J 4 Q n+ 1 n 1 n
Παράδειγμα
Παράδειγμα /1
( ) Παράδειγμα / y13 + y1 y1 y13 0 j50 10 + j0 10 + j30 Ybus = y1 ( y1 y3 ) y 3 10 j0 6 j5 16 j3 + = + + y13 y3 ( y13 + y3 ) 10 + j30 16 + j3 6 j6 53. 9 < 1. 19. 4 <. 03 31. 6 < 1. 89 => Y bus =. 4 <. 03 58. 1 < 1. 11 35. 8 <. 03 31. 6 < 1. 89 35. 8 <. 03 67. < 1. 17
Παράδειγμα /3 Βήμα 1 ο : Ορισμός προβλήματος V =. < V 1 3 0 1 05 0 (slack bus) = < 0 1 0 (flat start) V =. < 0 1 04 0 (flat start) Επίσης ισχύει: S P P B = 100MVA = 4 p.u. (load) δ sch = p.u. (gen) δ sch 3 3 Q =. 5 p.u. (load) V sch
Παράδειγμα /4 Βήμα ο :Yπολογισμός power mismatches Τύποι ροής ισχύος: N ( ) P = V Y V cos δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 N ( ) Q = V Y V sin δ δ θ k k kn n k n kn n= 1 - Για τον υπολογισμό των mismatches στο φορτίο (bus ) θα χρειαστούμε τα P και Q. - Για τον υπολογισμό των mismatches στο ζυγό γεννήτριας (bus 3) θα χρειαστούμε τα P3. - Άρα, πρέπει να βρούμε την έκφραση αυτών των ισχύων χρησιμοποιώντας τις πιο πάνω σχέσεις.
Οι σχέσεις είναι: Παράδειγμα /4 ( δ ) ( δ δ ) P = 3. 5 V cos. 03 + 5. 83 V + 37. 3 V cos. 03 3 ( δ ) ( δ δ ) Q = 3. 5 V sin. 03 + 5. 04 V + 37. 3 V sin. 03 3 ( δ ) ( δ δ ) P = 34. 51cos 1. 89 + 37. 3 V cos. 03 + 8. 36 3 3 3 Θα χρησιμοποιήσουμε τις πιο πάνω σχέσεις για να δημιουργήσουμε τον Jacobian πίνακα.
Βήμα 3 ο : Δημιουργία Jacobian Παράδειγμα /5 J P P P δ δ V J J P P P 3 1 3 3 3 = J3 J = 4 δ δ3 V Q Q Q δ δ V 3
J1: P δ P 3 δ P δ P δ 3 3 3 Παράδειγμα /6 ( δ ) ( δ δ ) = 3. 5 V sin. 03 37. 3 V sin. 03 3 ( δ ) ( δ δ ) = 34. 51sin 1. 89 37. 3 V sin. 03 3 3 ( δ δ ) = 37. 3 V sin. 03 3 ( δ δ ) = 37. 3 V sin. 03 3
P Παράδειγμα /7 J: = 51. 67 V + 3. 5cos ( δ. 03) + 37. 3cos ( δ δ. 03) V P V Q 3 3 ( δ δ ) = 37. 3cos. 03 3 J3: = 3. 5 V cos ( δ. 03) + 37. 3 V cos ( δ δ3. 03) δ Q δ 3 ( δ δ ) = 37. 3 V cos. 03 3 Q J4: = 104. 08 V + 3. 5sin ( δ. 03) + 37. 3sin ( δ δ3. 03) V
Βήμα 4 ο : Επίλυση εξίσωσης Παράδειγμα /8 P J J δ 1 Q = J3 J 4 V S P P B = 100MVA = 4 p.u. (load) δ sch = p.u. (gen) δ sch 3 3 Q =. 5 p.u. (load) V sch sch P P P 4 P sch P 3 P 3 P 3 P = = 3 Q Q Q 5. Q sch n n n Πρώτη επανάληψη: V δ δ 0 0 0 3 = 1p.u. = 0 = 0 από τις εξισώσεις ροής ισχύος P = 1. 09 p.u. 0 Q =. 4 p.u. 0 P = 1. 03p.u. 0 3
Παράδειγμα /9 P 4 1. 09. 91 P = 1. 03 = 0. 97 3 Q 5. 4. 008. 0 0 1 1 δ J1 J P = V J J Q 3 4 0 0 54. 46 33. 37 4. 74. 91 0. 0537 δ => 33. 37 66. 14 16. 50 0. 97 0. 0185 = = V 1 6. 93 16. 50 50. 34 0. 08 0. 043 0 0. 0537 0. 0537 δ δ δ 0 0. 0185 0. 0185 = + = + = V V V 1 0 1 1 0. 043 0. 9757 1 Λύση πρώτης επανάληψης
Δεύτερη επανάληψη Παράδειγμα /10 Αντικαθιστώντας τις λύσεις της πρώτης επανάληψης στις εξισώσεις ροής ισχύος Pk και Qk παίρνουμε: ' P = 3. 81p.u. P 4 3. 91 0. 09 ' P 3 = 1. 976 p.u. P 3 1. 976 0. 04 => = = ' Q 5 43 007 =. 43p.u. Q... 1 0.. Πρέπει να θέσουμε ένα κριτήριο σύγκλισης (tolerance). Έστω ότι: ε 10 3.. Συνεχίζουμε μέχρι τη σύγκλιση...
Παράδειγμα /11 Η ανάλυση ροής ισχύος γίνεται με υπολογιστές και όχι στο χέρι. Επίσης υπάρχουν τεχνικές που κάνουν το πρόβλημα πιο εύκολο να λυθεί. Για παράδειγμα, οι J και J3 είναι συνήθως μικρές, επομένως λέμε ότι είναι μηδέν και το πρόβλημα μας γίνεται μη συζευγμένο (decoupled): P δ = P δ Decoupled power flow 1 Q V = Q V O λόγος που οι J και J3 είναι συνήθως μικρές είναι ότι: το ΔP είναι πιο ευαίσθητο σε αλλαγές της φασικής γωνίας (J1) και λιγότερο σε αλλαγές στο μέτρο της τάσης (J) αντίστοιχα το ΔQ είναι πιο ευαίσθητο σε αλλαγές στο μέτρο της τάσης (J4) και λιγότερο σε αλλαγές της φασικής γωνίας (J3). 1
Παράδειγμα /1 Αφού βρούμε τις τάσεις και τις γωνίες σε κάθε ζυγό με τον αλγόριθμο μας, πρέπει να υπολογίσουμε τη ροή ισχύος στην κάθε γραμμή και τις απώλειες στη γραμμή. Έστω ότι έχουμε την πιο κάτω γραμμή: Vi Vj Iij IL Iji Iio yij Ijo yio yjo
Παράδειγμα /13 Vi Vj Iij IL Iji Η ροή ισχύος υπολογίζεται σε κάθε Iio yij Ijo άκρο της γραμμής. yio yjo Για τη ροή από το ζυγό i στο ζυγό j: ( ) I = I + I = y V V + yv ij L io ij i j io i * ( ) * * * ij = i ij = i ij + io i ij j S VI V y y VyV Απώλειες: Sloss = Sij + Sji Για τη ροή από το ζυγό j στο ζυγό i: ( ) I = I + I = y V V + y V ji L jo ij j i jo j * ( ) * * * ji = j ji = j ij + jo j ij i S VI V y y VyV
Πηγές - Αναφορές Μ. Παντελή, Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ισχύος, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Κύπρου Α. Σαφιγιάννη, Σημειώσεις ΣΗΕ, ΤΗΜΜΥ, ΔΠΘ. 65