Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-13. Εισαγωγή

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Εισαγωγή Από την πλευρά της θεωρίας πιθανοτήτων και της στατιστικής τα φαινόμενα χωρίζονται σε κατηγορίες: Αιτιοκρατικά: Οι συνθήκες διεξαγωγής ενός πειράματος (ή ενός φαινομένου) καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα (ισχύει ο νόμος αιτίου αιτιατού). Οι επαναλήψεις ενός αιτιοκρατικού φαινομένου οδηγούν πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα, εφ όσων οι συνθήκες διεξαγωγής του παραμένουν αμετάβλητες. Για παράδειγμα η ένωση ατόμων υδρογόνου και ενός οξυγόνου σε μόριο νερού, το σημείο βρασμού ενός υγρού κ.λ.π. Στοχαστικά: Τέτοια φαινόμενα περιέχουν στοιχεία τύχης. Δηλαδή εάν παρατηρήσουμε επαναλήψεις του φαινομένου, στα πλαίσια ενός πειράματος, τα αποτελέσματα θα διαφέρουν ακόμα ενώ οι συνθήκες διεξαγωγής παραμένουν ίδιες. Με άλλα λόγια υπάρχει αβεβαιότητα στην έκβαση του φαινομένου. Ανεξάρτητα από τον όγκο πληροφορίας που κατέχουμε σχετικά με την προïστορία του τυχαίου φαινομένου, δεν είμαστε σε θέση να καθορίσουμε την μελλοντική του εξέλιξη. Στοχαστικά πειράματα () Ρίχνουμε ζάρι και παρατηρούμε τον αριθμό που εμφανίζεται. () Ρίχνουμε νόμισμα 3 φορές και παρατηρούμε την αλληλουχία των στοιχειωδών αποτελεσμάτων Κ = κεφαλή, Γ = γράμματα.

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 (3) Ρίχνουμε k ζάρια μαζί και παρατηρούμε τα k - διανύσματα ( η,, η k ) των αποτελεσμάτων, με η 6 και k. (4) Στην σταθερή γραμμή παραγωγής m μονάδων προϊόντος, σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα (για παράδειγμα λαμπτήρες), μετράμε τον αριθμό των ελαττωματικών μονάδων. (5) Σε ένα δείγμα οικογενειών με παιδιά, με ετεροζυγωτούς γονείς που φέρουν στα χρωμοσώματα τους και τα δύο γονίδια A (κυρίαρχο) και a (υπολειπόμενο) εξετάζουμε τον γόνο της μεσογειακής αναιμίας. (6) Καταγράφουμε τον αριθμό των σωματιδίων που εκπέμπονται από μια ραδιενεργό πηγή σε μέσα σε μέσα σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα. (7) Η ωριαία καταγραφή ενός σεισμογράφου. (8) Ρίχνουμε ένα βελάκι σε κυκλικό στόχο με μοναδιαία ακτίνα, προϋποθέτοντας ότι το βελάκι πάντα προσγειώνεται στον στόχο, και μετράμε την απόσταση από το κέντρο. Πιο συγκεκριμένα με τον όρο τυχαίο πείραμα (radom expermet) εννοούμε την διεξαγωγή ενός στοχαστικού φαινομένου όπου: Δίνεται η δυνατότητα πολλαπλών επαναλήψεων με τις ίδιες συνθήκες διεξαγωγής. Δεν μπορούμε να προδικάσουμε το αποτέλεσμα από πριν, σε μια συγκεκριμένη επανάληψη Είναι γνωστό το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Δειγματικοί χώροι Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος ονομάζεται δειγματικός χώρος (sample space) ή απλά χώρος του πειράματος και θα το συμβολίζουμε με Ω. Τα στοιχεία ω του Ω (ω Ω), καλούνται στοιχειώδη ενδεχόμενα (ή δειγματικά σημεία sample pots).

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τον αριθμό των στοιχείων τους, χωρίζονται σε πεπερασμένους, άπειρα αριθμήσιμους και άπειρα μη αριθμήσιμους (δηλαδή συνεχείς) Ω Όταν ο χώρος του πειράματος έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, δηλαδή πληθικό αριθμό N = # Ω< - λέγεται πεπερασμένος. Για τα προηγούμενα παραδείγματα τυχαίων πειραμάτων δίνουμε τον δειγματικό χώρo Ω και με N συμβολίζουμε τον αντίστοιχο πληθικό αριθμό # Ω { } Ω =,, 6 N = 6 { KKK, KK,, } { πππ π { K }} Ω = Γ ΓΓΓ Ω = 3 =, Γ N = 3 {(,,, ), (,,, ),, ( 6, 6,, 6) } {( π π π ) π { }} =,,,, 6 = 6 k k N3 { } Ω = 0,,, m N = m+ 4 4 3 3

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 { αα α α } Ω =, Α, Α, ΑΑ, N = 4 5 5 { } { µη αρνητικοι ακεραιοι} Ω = 0,,, = =, 6 0 N = το απειρο των φυσικων αριθµων = ' διακριτο ασυνεχες απειρο ' 7 6 { gt ( ) οπου g: [ 0, ] συνεχης συναρτηση} C[ 0, ] N το απειρο του συναρτησιακου χωρου C[ ] Ω = = = 0, = ' συνεχες απειρο ' 8 7 { x 0 x } [ 0, ] Ω = = 8 [ ] N = το απειρο του 0, = το απειρο του = ' συνεχες απειρο ' Όταν τα στοιχεία του χώρου ενός πειράματος Ω μπορούν να αντιστοιχηθούν με το σύνολο των φυσικών αριθμών με μια ένα προς ένα και επί απεικόνιση ο χώρος Ω καλείται άπειρα αριθμήσιμος για παράδειγμα ο χώρος Ω 6 Όταν τα στοιχεία ενός δειγματόχωρου μπορούν να αντιστοιχηθούν με τα σημεία ενός διαστήματος του (ή πιο γενικά του ) ο δειγματικός χώρος καλείται συνεχής ή άπειρα μη αριθμήσιμος για παράδειγμα οι χώροι Ω 7, και Ω 8. Σε ένα τυχαίο πείραμα δεν μας ενδιαφέρουν μόνο τα στοιχειώδη ενδεχόμενα, αλλά και συνδυασμοί τους, υποσύνολα δηλαδή του Ω, που ονομάζουμε ενδεχόμενα ή γεγονότα. A Ω, { " " " "} A= περισσοτερες φορες κεφαλη απο γραµµατα περιγραφη = { ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} αναγραφη Λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται, όταν το στοιχειώδες ενδεχόμενο ω Ω που προκύπτει από την εκτέλεση του πειράματος περιέχεται σε αυτό το ενδεχόμενο ( ω A ). Παράδειγμα Ένα σύνολο έχει την ισχύ του συνεχούς όταν τα στοιχεία του μπορούν να αντιστοιχηθούν με ένα ℵ0 υποσύνολο του. Ο πληθάριθμος ενός τέτοιου συνόλου είναι c = 4

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Εάν σε μια επανάληψη του πειράματος της ρίψης 3 νομισμάτων το δειγματικό σημείο ω = ΚΚΓ πραγματοποιηθεί λέμε ότι το ενδεχόμενο A πραγματοποιήθηκε. Εάν όμως πραγματοποιηθεί το ω = ΚΓΓ, θα έχει πραγματοποιηθεί το γεγονός του συμπληρώματος του Α ως προς το Ω, το Ω\ Α=Α. Λέμε τότε ότι πραγματοποιήθηκε το Α. Επειδή # A = 4, λέμε ότι υπάρχουν 4 τρόποι για την πραγματοποίηση του A. Επειδή Ω Ω,, το και το Ω είναι και αυτά ενδεχόμενα. Το κενό σύνολο είναι το αδύνατο ενδεχόμενο ενώ Ω το βέβαιο ενδεχόμενο. Παράδειγμα Αγοράζει κάποιος μετοχές μιας εταιρείας και μετράει στις ημερήσιες συνεδριάσεις τις τιμές κλεισίματος του Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών έως ότου η μετοχή παρουσιάσει κέρδος για πρώτη φορά σε σχέση με την τιμή που την αγόρασε. Ποιος ο χώρος Ω του τυχαίου πειράματος? Θέτουμε: Α = αποτυχία = η μετοχή δεν παρουσίασε κέρδος, Ε = επιτυχία = η μετοχή παρουσίασε κέρδος για πρώτη φορά, τότε τα στοιχειώδη ενδεχόμενα θα έχουν την μορφή: k ω, k Ω ωk = A AE = A E με k. k k Ω= ω, ω,, ω k +, = E, AE,, A E, Το { } { } σύνολο. είναι άπειρα αριθμήσιμο Πράξεις με ενδεχόμενα Επειδή τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του Ω, συμπεράσματα που αναφέρονται σε ενδεχόμενα μπορούν να διατυπωθούν στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων και αντίστροφα. Έτσι παίρνομε μια άλγεβρα ενδεχομένων αντίστοιχη με την άλγεβρα συνόλων.. A B Η πραγματοποίηση του ενδεχομένου A συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομένου B 5

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3. A= B A B B A 3. A B Πραγματοποίηση του A ή του B ή και των μαζί, δηλαδή, τουλάχιστον ενός από τα ενδεχόμενα A και B. 4. 5. A B Ταυτόχρονη πραγματοποίηση των A και B. Εάν A B=, τα A και B είναι γεγονότα ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα (mutually dsjot evets) τα A και B δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα 3. A Η μη πραγματοποίηση του A είναι ένα ενδεχόμενο. Στην γλώσσα της θεωρίας συνόλων A = { ω Ω ω A} = {το 4 συμπλήρωμα του A ως προς το Ω } = Ω \ A. Ισχύει ότι A A =Ω και AA = 6. A\ B Ταυτόχρονη πραγματοποίηση του ενδεχομένου A και μη πραγματοποίηση του ενδεχομένου B. Δηλαδή A \ B = { ω Ω ω A ω B} = AB 7. A B Η συμμετρική διαφορά των A και B = το ενδεχόμενο που συμβαίνει εάν πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A και B (Ακριβώς ένα από τα A και B ) (ή το A ή το B ). Συμβολικά θα έχουμε: A B = ( A \ B) ( B \ A) = AB A B. 8. j= A j Πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός ενδεχομένου της ακολουθίας ενδεχομένων A, A, A3, 5 9. Aj Ταυτόχρονη πραγματοποίηση όλων των A A 3 j=,, A, Παράδειγμα Ένας διαφορετικός συμβολισμός για την ένωση δύο ενδεχομένων A και B είναι ο A+ B 3 Ένας πιο εύχρηστος συμβολισμός για την τομή δύο ενδεχομένων A και B είναι ο AB 4 C Άλλοι συμβολισμοί A, A 5 Η οικογένεια ή συλογή{ A, A, A3, } = { A j } j = = { A j } j αποτελεί μια ακολουθία ενδεχομένων. 6

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Έστω Ω= και έστω η οικογένεια ενδεχομένων { j} j A A = ( a /, a+ / ) τότε A (, ) = a a+, και { } = A = a ενώ A = A Ar ακολουθία συνόλων A j είναι φθίνουσα (cotractg). με δηλαδή η Ταυτότητες Ω=, =Ω, ( A ) = A Ω A=Ω, Ω A= A A A=Ω, AA =. Αντιμετάθεση (Commutatve laws) A B = B A, AB = BA Προσεταιρισμός (Assocatve laws) A ( B C) = ( A B) C, A( BC) = ( AB) C Επιμερισμός (Dstrbutve laws) A( B C) = AB AC, A ( BC) = ( A B)( A C) Οι νόμοι του De Morga Aj A = j, j= j= A = j j= j= A j (0.) Άσκηση Δείξτε τις σχέσεις (0.) Για την η σχέση έχουμε: ( A ) j ( Aj) A A A A ( A j ) ω ω ω ω ω ω ω Για την η σχέση έχουμε: ω A ω A ω A ω A ω A ω A ω A ( j) ( j) ( j ) Για να αποδείξουμε την η σχέση θα μπορούσαμε να έχουμε χρησιμοποιήσει την η. Πιο συγκεκριμένα αν αντικαταστήσουμε στην πρώτη από τις σχέσεις (0.) το A j με A j παίρνουμε: 7

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 ( ) A j A j A j Aj A = = j = Aj j= j= j= j= j= j= Η αρχή του δυïσμού στην θεωρία συνόλων λεει ότι κάθε σχέση μεταξύ γεγονότων εξακολουθεί να ισχύει, εάν:. οι τομές αντικατασταθούν με ενώσεις και οι ενώσεις με τομές,. τα γεγονότα με τα συμπληρωματικά τους και 3. αντιστραφούν τα σύμβολα περιεκτικότητας σε, και σε. Παραδείγματα. A B A B. ω A ω A 3. Οι νόμοι του De Morga. Σημείωση ω A ω A ω A το ω ανήκει σε τουλάχιστον ένα από = τα A. = ω A ω A ω A. το ω δεν ανήκει σε κανένα από τα A = ω A ω A ω A. το ω ανήκει ταυτόχρονα σε όλα τα A = ω A ω A ω A. το ω δεν ανήκει σε τουλάχιστον ένα από τα A Πολυώνυμα ενδεχομένων () Έστω A, =,, ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω δηλαδή A Ω. Κάθε άλλο ενδεχόμενο που εκφράζεται συναρτήσει των A και των πράξεων της τομής της ένωσης και του συμπληρώματος λέγεται πολυώνυμο των ενδεχομένων A, A,, A. () Ένα βασικό πολυωνυμικό ενδεχόμενο είναι της μορφής Γ Γ Γ =ΓΓ Γ όπου Γ είναι ένα από τα ενδεχόμενα A 8

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 ή A για =,. Υπάρχουν τέτοια ενδεχόμενα, και όλα μαζί συνθέτουν το σύνολο των βασικών πολυωνύμων με ενδεχόμενα που συμβολίζουμε με I δηλαδή I = { Γ Γ Γ : Γ είναι ένα από τα ενδεχόμενα A ή A για =,, } (3) Κάθε πολυωνυμικό ενδεχόμενο εκφράζεται με μοναδικό τρόπο σαν ένωση βασικών πολυωνυμικών ενδεχομένων. (4) Η ένωση όλων των βασικών πολυωνυμικών γεγονότων δίνει το Ω και κάθε φορά μπορεί να πραγματοποιηθεί ένα και μόνο ένα γεγονός του I Δηλαδή τα του I είναι ανά ασυμβίβαστα. Για = : { A, A} = { AB, } τότε I = { A B A B A B A B },,, Για παράδειγμα τα ενδεχόμενα «συμπλήρωμα του Β ως προς Α» και «συμμετρική διαφορά των Α και Β» εκφράζονται σαν συνάρτηση των συνόλων AA,, Bκαι B και των πράξεων της τομής και της ένωσης εφόσον A \ B = AB και A B = AB A B. Για = υπάρχουν 4 βασικά πολυώνυμα που είναι ανά ξένα μεταξύ τους και ο δειγματικός χώρος Ω μπορεί να αναπαρασταθεί σαν: Ω= ( A A )( B B ) = AB AB A B A B Για = 3: { A, A, A3} = { ABC,, } Υπάρχουν 8 βασικά πολυώνυμα ανά ξένα μεταξύ τους και ο δειγματικός χώρος Ω μπορεί να αναπαρασταθεί σαν την ένωση 8 ασυμβίβαστων ενδεχομένων: Ω= ( A A )( B B )( C C ) = ( AB AB A B A B )( C C ) = ABC ABC AB C AB C A BC A BC A B C A B C 9

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Παράδειγμα Δείξτε ότι το ενδεχόμενο A\ ( A\ ( B\ ( B\ C ))) γράφεται με την βοήθεια του συνόλου I 3 σαν ABC. Η απόδειξη θα γίνει αρχίζοντας από τις εσώτερες παρενθέσεις και προχωρώντας προς τα έξω. Κάνοντας χρήση της σχέσης B \ C = BC έχουμε ότι B \( B \ C) = B \( BC ) = B( BC ), ενώ από τους νόμους του De Morga παίρνουμε B \( B \ C) = B( B C) = BB BC = BC = BC αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι A \( B \( B \ C) ) = A \( BC ) = A( BC ) = A( B C ) = AB AC έτσι η αρχική παράσταση γίνεται A \ A \( B \( B \ C) ) A \[ AB AC ] A( AB AC ) = = = A( A B)( A C) = ( AA AB)( A C) = ( AB)( A C) = AB( A C) = ABA ABC = ABC = ABC Παρατηρείστε ότι στο προηγούμενο παράδειγμα κυκλική εναλλαγή A B C A είτε A C B A δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. ( ( ( ))) ( ( )) ( ) A \ A \ B \ B \ C = ABC B \ B \ C \ C \ A = BCA = ABC Άσκηση 0

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Να εκφραστούν με την βοήθεια βασικών πολυωνύμων (περίπτωση = 3) τα γεγονότα: ) ( A B)( B C) ) AB AC BC ) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο διάγραμμα Ve έχουμε ( A B)( B C) = = AB C ABC ABC A BC A BC Αναλυτικά θα έχουμε: ( A B)( B C) = ( AB B) ( AC BC) = AC ( B AB BC) B (0.) στην τελευταία παρένθεση παρατηρούμε ότι AB, BC B B AB BC = B και έτσι ( A B)( B C) = AC B. Για να εμφανίσουμε τα βασικά πολυώνυμα στο δεξιό μέλος της προηγούμενης σχέσης παρεμβάλουμε το Ω. Δηλαδή AC B= AΩC ΩBΩ= A( B B ) C ( A A ) B( C C ) = ABC AB C A BC ABC A BC ) Χρησιμοποιώντας διάγραμμα Ve παίρνουμε: AB AC BC = = ABC A BC AB C ABC Αναλυτικά έχουμε: AB AC BC = AB( C C ) A( B B ) C ( A A ) BC = ABC A BC AB C ABC

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Οι τρεις βασικοί ορισμοί της πιθανότητας Υπάρχουν τρεις βασικοί ορισμοί της πιθανότητας ενός ενδεχομένου ο κλασικός, ο εμπειρικός, και ο αξιωματικός. o Ο κλασικός ξεκίνησε από τη μελέτη των προβλημάτων που εμφανίζονται στα τυχερά παιγνίδια (πεπερασμένοι δειγματικοί χώροι με ισοπίθανα δειγματικά σημεία) όπου μπορούμε να γνωρίζουμε από πριν (χωρίς πρώτα την διεξαγωγή κάποιου πειράματος) την πιθανότητα εμφάνισης των στοιχειωδών ενδεχομένων ενός δειγματικού χώρου (a pror probablty). o Ο εμπειρικός ορισμός στηρίζεται στην εμπειρία από τις προηγούμενες επαναλήψεις τυχαίων πειραμάτων. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι η σχετική συχνότητα με την οποία το ενδεχόμενο παρουσιάζεται σε ένα συνολικό αριθμό διεξαγωγών του πειράματος. Με τον εμπειρικό ορισμό δεν χρειάζεται η εκ των προτέρων γνώση της πιθανότητας στοιχειωδών ενδεχομένων. Η πειραματικά υπολογιζόμενη πιθανότητα εξαρτάται από τον συνολικό αριθμό διεξαγωγών του πειράματος, πράγμα που δυσχεραίνει την ανάπτυξη θεωρίας πιθανοτήτων βασισμένη σε αυτόν τον ορισμό. o Ο αξιωματικός (ή μαθηματικός) ορισμός είναι μαθηματικό δημιούργημα, και είναι συμβιβαστός με τους προηγούμενους δύο ορισμούς. Σε αυτόν τον ορισμό είναι που έχει αναπτυχθεί ολόκληρη η θεωρία πιθανοτήτων. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας 6 Έστω Ω= { ω, ω,, ω } ένας πεπερασμένος δειγματικός χώρος όπου όλα τα στοιχειώδη ενδεχόμενα ω έχουν τις ίδιες ευκαιρίες να εμφανιστούν, είναι δηλαδή ισοπίθανα (το κλασικό σχήμα) και Σ συλλογή 7 0 ενδεχομένων από το Ω. Τότε η συνάρτηση P ( ) : Σ που ορίζεται 8 πάνω στα υποσύνολα A του Ω έτσι ώστε: 6 Ορισμός της πιθανότητας κατά Laplace ή εκ των προτέρων ορισμός 7 Σύνολο με στοιχεία σύνολα οικογένεια υποσυνόλων του Ω. 8 Επειδή η συνάρτηση P : Σ απεικονίζει υποσύνολα του Ω στο είναι μια συνολοσυνάρτηση.

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 N( A) πληθος ευνοικων για το Aαποτελεσµατων PA ( ) = = A Ω N ( Ω) πληθος ολων των δυνατων αποτελεσµατων πληθος των τροπων µε τους οποιους µπορει να πραγµατοποιηθει το A = πληθος ολων των δυνατων αποτελεσµατων ονομάζεται μέτρο πιθανότητας. Οι πιθανότητες που υπολογίζονται με την προηγούμενη σχέση λέγονται κλασικές. Η συνάρτηση P : Σ έχει τις εξής ιδιότητες: () PA ( ) 0, Α Ω () P( Ω ) = () PA ( B) = PA ( ) + PB ( ), AB, Σ, AB=. Η ιδιότητα (), η ονομάζεται απλή προσθετική ιδιότητα, και ισχύει επειδή #( A B) = # A + # B όταν AB =. Μπορούμε να επεκτείνουμε την ιδιότητα () επαγωγικά στην P A = P( A), AA j =, j = = Επειδή P( Ω ) = θα έχουμε ( ) ( ) ( P { ω ), ω,, ω} = P { ω} { ω} = P( ω ) + + P( ω ) = P( ω ) = P( ω ) = /, =,, Εάν το A μπορεί να πραγματοποιηθεί με # A= k τρόπους, δηλαδή A = { ω, ω,, ω } τότε. k P A = P k ( ) ({ ω} { ω } { }) ω k = ( ) Ο εμπειρικός ή στατιστικός ορισμός της πιθανότητας 9 Η εμπειρία έχει δείξει ότι η σχετική συχνότητα f( A, ) (frequecy) με την οποία εμφανίζεται κάποιο ενδεχόμενο A Ω μετά από πολλές επαναλήψεις ενός τυχαίου πειράματος οριακά σταθεροποιείται σε κάποια συγκεκριμένη τιμή την οποία παίρνουμε σαν την πιθανότητα P( A ) του ενδεχομένου A. Αυτή η παρατήρηση αποτελεί τη βάση του εμπειρικού ορισμού της πιθανότητας και λέγεται στατιστική ομαλότητα. 9 Ή αλλιώς στατιστικός ορισμός της πιθανότητας ή ορισμός της πιθανότητας κατά Vo Msses ή εκ των υστέρων ορισμός. 3

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Εάν λοιπόν A είναι ο αριθμός των πραγματοποιήσεων ενός ενδεχομένου A σε επαναλήψεις του τυχαίου πειράματος, τότε το πηλίκο f( A, ) = A / ονομάζεται σχετική συχνότητα του A μετά από επαναλήψεις. Ορίζουμε την πιθανότητα του A σαν το όριο ( ) = lm A (0.3) P A Η σχέση (0.3) ικανοποιεί ιδιότητες ανάλογες αυτών του κλασσικού ορισμού. Παράδειγμα Από απλή τυχαία δειγματοληψία έχουμε τις απαντήσεις =406 κατόχων αυτοκινήτου σχετικά με την προέλευση του αυτοκινήτου τους από έναν πληθυσμό N ατόμων (οι 0 δεν απάντησαν καθόλου). Οι απόλυτες συχνότητες f = βρίσκονται στην στήλη Frequecy, ενώ οι ποσοστιαίες σχετικές συχνότητες 00 f / στην στήλη Vald Percet στον παρακάτω πίνακα απλής εισόδου (-way table) Η εμπειρική (ή πειραματική) κατανομή αποτελείται από τις αναλογίες f /, και αποτελούν μια πειραματική μέτρηση της πιθανότητας. Εφόσον 4 f / =. Ελπίζουμε ότι, όσο το δείγμα μεγαλώνει ( N) οι σχετικές = συχνότητες τείνουν στις πληθυσμιακές πιθανότητες ( f / π ). Coutry of Org Vald Mssg Total Amerca Europea Japaese Total System Cumulatve Frequecy Percet Vald Percet Percet 44 60, 6,6 6,6 73 8,0 8,4 80, 79 9,5 9,9 00,0 396 97,5 00,0 0,5 406 00,0 Σημείωση: 4

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 () () Απλή τυχαία δειγματοληψία ονομάζεται η μέθοδος επιλογής δειγματικών σημείων από έναν πληθυσμό N, ώστε κάθε δυνατό δείγμα μεγέθους να είναι ισοπίθανο. Κάθε φορά που παίρνομε μια απάντηση θεωρούμε ότι εκτελούμε ένα τυχαίο πείραμα, με Ω={Amerca =, Europea =, Japaese = 3, Mssg observato = Δεν απάντησε = 4}. () Επειδή τα κατηγορικά δεδομένα (δηλαδή παρατηρήσεις που δεν επιδέχονται οποιαδήποτε μεταξύ τους διάταξη) έχουν κωδικοποιηθεί με ακέραιες τιμές παρουσιάζεται στα δεξιά και η ποσοστιαία (δεξιόστροφη αθροιστική) συνάρτηση κατανομής F = 00 ( f + + f ) / (Cumulatve Percet). Ο μαθηματικός 0 ορισμός της πιθανότητας Ο κλασσικός και ο εμπειρικός ορισμός της πιθανότητας έχουν σοβαρές αδυναμίες γιατί η υπόθεση του ισοπίθανου είναι μη ρεαλιστική και του ορίου του f( A, ) τις περισσότερες φορές ασαφής. Μόνο πειράματα τύχης οδηγούν σε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα (ρίψεις ζαριών, νομισμάτων, τυχερά παιγνίδια). Σε πολλές περιπτώσεις # Ω =. Το δεν είναι πραγματικός αριθμός. Έτσι στην πράξη τις περισσότερες φορές μπορούμε να γνωρίζουμε μόνο κάποιο άνω και κάτω φράγμα για το όριο του f( A, ) πράγμα που κάνει την ανάπτυξη μια πιθανοθεωρίας βασισμένης στον εμπειρικό ορισμό πολύ δύσκολη. Από την άλλη μεριά όμως θέλουμε έναν ορισμό που να περιέχει την έννοια του μέτρου πιθανότητας πάνω στα περισσότερα υποσύνολα του Ω και να είναι συμβιβαστός με τους προηγούμενους δύο ορισμούς. Ο επόμενος ορισμός έχει αυτές τις ιδιότητες: 0 Αξιωματικός `ορισμός της πιθανότητας. 5

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Εάν Σ είναι μια συλλογή υποσυνόλων (ενδεχομένων) του Ω ονομάζουμε την τριάδα ( ΩΣ,, P) με P : Σ χώρο πιθανότητας, εάν ισχύουν οι επόμενες 6 συνθήκες. Ω Σ.. A, A,, A Σ A Σ,. = 3. AB, Σ A\ B Σ. 4. A Σ, PA ( ) 0. A, A,, A Σ, AA =, j P A = P( A). 5. 6. P( Ω ) =. j = = αµοιβαια ξενα µεταξυ τους Τα στοιχεία ω του Ω ονομάζονται στοιχειώδη γεγονότα, ενώ τα στοιχεία A του Σ ονομάζονται ενδεχόμενα. Οποιοδήποτε στοιχειώδες γεγονός ω Ω μπορεί να θεωρηθεί ενδεχόμενο εάν ξέρουμε ότι το μονοσύνολο { ω} Σ. Το Ω είναι το βέβαιο γεγονός, ενώ το είναι το αδύνατο γεγονός (το ανήκει στο Σ εφ όσων =Ω\ Ω Σ). Το γεγονός A =Ω\ A Σ ονομάζεται το συμπλήρωμα του A (ως προς το Ω ), ενώ ο μη αρνητικός πραγματικός αριθμός PA ( ) ονομάζεται πιθανότητα (probablty) του A. Μία συλλογή που ικανοποιεί τις συνθήκες (.) έως και (3.) ονομάζεται σ-πεδίο (σ feld) Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σ -πεδίο που ικανοποιεί τις συνθήκες (4.) έως και (6.) ονομάζεται μέτρο πιθανότητας. Παρατηρήστε ότι και οι τομές ανήκουν σε ένα σ-πεδίο διότι εάν A,, A Σ με θα έχουμε:,,,, = ( A ) A A Σ A A Σ A Σ Σ A Σ = = Τα σ-πεδία χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν δομές πληροφορίας. Τα στοιχεία του Ω είναι τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος. Ένα σ-πεδίο, που εξ ορισμού είναι ένα σύνολο υποσυνόλων του Ω είναι κατά Ο μαθηματικός ορισμός της πιθανότητας βασίστηκε στην θεωρία μέτρου και χρησιμοποιείτε από το 930 οι συνθήκες (4.) έως και (6.) ονομάζονται αξιώματα του Kolmogorov. 6

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 κάποιο τρόπο το σύνολο όλων των πιθανών ερωτήσεων που μπορεί κάποιος να θέσει για το πείραμα. Δηλαδή το σ-πεδίο είναι η συνολική πληροφορία που έχουμε για το στοχαστικό πείραμα. Οι ιδιότητες του σ-πεδίου έχουν επιλεχθεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε αν κάποιος μπορεί να κάνει τις ερωτήσεις:. Μπορεί να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A Ω και. μπορεί να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο B Ω τότε να μπορεί να κάνει και τις ερωτήσεις:. μπορεί να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β? (να πραγματοποιηθεί δηλαδή το A B). μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα τα Α και Β? (να πραγματοποιηθεί δηλαδή το A B) 3. μπορεί να μη συμβεί το Α? (να πραγματοποιηθεί δηλαδή το A ) Έτσι το πεδίο ορισμού του μέτρου πιθανότητας με «φυσικό» τρόπο είναι ένα σ-πεδίο. Συνέπειες του μαθηματικού ορισμού της πιθανότητας () PA ( ) = PA ( ). () 0 PA ( ). (3) P( ) = 0. (4) PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PAB ( ). (0.4) (5) PA ( \ B) = PA ( ) PAB ( ). (6) A B PA ( ) PB ( ). (7) P( A B) PA ( ) + PB ( ) (ανισότητα του Boole). (8) PAB ( ) PA ( ) + PB ( ) (ανισότητα του Bofero). Αποδείξεις. Ω= A A = P( Ω ) = PA ( ) + PA ( ) PA ( ) = PA ( ). 7

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] P A = P A 0 P A P A 0,. 3. P( Ω ) = P( Ω ) = P( ) + P( Ω) P( ) = 0. 4. Το γεγονός A B μπορεί να διαμεριστεί (να γραφτεί δηλαδή σαν ένωση ξένων μεταξύ τους συνόλων) με 3 διαφορετικούς τρόπους: AB AB A B P( AB ) + P( AB) + P( A B) A B= A AB PA ( B) = PA ( ) + PAB ( ) AB B P( AB ) + P( B) προσθέτοντας κατά μέλη την η και 3 η σχέση και αφαιρώντας την η έχουμε ότι: P( A B) = P( A) + P( B) P( AB). 5. A\ B= AB = A = AB AB AB A \ B PA ( ) = PAB ( ) + PA ( \ B) PA ( \ B) = PA ( ) PAB ( ) 6. PBA ( \ ) 0 B A PB ( \ A) = PB ( ) PA ( ) PB ( ) PA ( ). 7. Από την (4.) έχουμε PAB ( ) = PA ( ) + PB ( ) P( A B) και επειδή P( A B) παίρνουμε PAB ( ) PA ( ) + PB ( ). Παρατήρηση Σε επόμενα κεφάλαια θα δούμε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις ισχύει κάτω από συγκεκριμένες προϋποθέσεις ότι P( AB) = P( A) P( B). Λέμε τότε ότι το ζεύγος ενδεχομένων A και B είναι στοχαστικά ανεξάρτητο. Η ανισότητα Bofero τότε επαληθεύεται ταυτοτικά P( A) P( B) P( A) + P( B) ή ότι ( P( A) )( P( B) ) 0 που ισχύει πάντα για αριθμούς P( A ) και P( B ) στο [0,]. 8

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Άσκηση Εάν τα A και B είναι ενδεχόμενα του Ω (σε γενική θέση) βρείτε το μικρότερο σ -πεδίο Σ που περιέχει τα A και B. Το σύνολο Σ θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε εάν AB Σ, τότε A B Σ και A, B Σ. Επίσης θα πρέπει Ω Σ.. Αρχίζουμε με την συλλογή υποσυνόλων: { AB} Σ 0 =,,,. Αυξάνοντας την Σ 0 με τα συμπληρώματα των στοιχείων της παίρνομε την συλλογή: { AA BB } Σ =,,,,, Ω. 3. Στη συνέχεια εισάγοντας όλες τις δυνατές ενώσεις με στοιχεία από την Σ παίρνουμε: { AA BB A BA B A BA B } Σ =,,,,,,,,, Ω. Η συλλογή Σ δεν είναι ακόμα σ -πεδίο διότι δεν περιέχει τα υποσύνολα: ( A B) = AB, ( A B ) = AB, ( A B) = AB, ( ) A B = AB, AB A B και ( AB A B ) = A B AB Τελικά δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι το παρακάτω σύνολο: Σ= {, A, A, B, B, A B, A B, A B, A B, AB, AB, AB, AB, AB AB, AB AB, Ω }, είναι το ζητούμενο σ - πεδίο. Μπορεί κάποιος να παρατηρήσει ότι το εν λόγω σ-πεδίο είναι και το μικρότερο δυνατό που περιέχει τα ενδεχόμενα A και B (δηλαδή υπάρχουν και άλλα σ -πεδία Σ που περιέχουν τα A και B, αλλά για όλα όμως Σ Σ ). Το τελευταίο δηλώνεται με τον εξής συμβολισμό Σ= σ { AB, }. 9

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Άσκηση Ποία τα σ -πεδία: σ { A} =? σ { AB, } =? για AB = και A B=Ω σ { ABC,, } =? για ABC,, ανά δύο ασυμβίβαστα και A B C =Ω { A} = { Ω,, AA, } σ { AB, } {,, AB, } σ = Ω { ABC,, } {,, ABC,,, A BA, CB, C} σ = Ω Άσκηση 4 Να δειχθεί η γενικευμένη ανισότητα Bofero, δηλαδή ότι: ( ) P AA A P( A) ( ) (0.5) = Δείχνουμε την σχέση (0.5) με επαγωγή. Για = θα έχουμε: PA ( A) = PA ( ) + PA ( ) PAA ( ) PAA ( ) = PA ( ) + PA ( ) PA ( A) PA ( ) + PA ( ). Δεχόμαστε ότι η σχέση (0.5) ισχύει για και την αποδεικνύουμε για + : (( ) ) ( ) ( ) ( ) = + ( ) P AA A A+ = P AA A + P A+ P AA A A+ P( A ) ( ) Παρατήρηση: = PA ( ) 0

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Η ανισότητα Bofero δεν θα μας έδινε καμία πληροφορία εάν P( A) γιατί τότε η σχέση (0.6) απλά θα έδινε το προφανές = P A 0. ( = ) Άσκηση Δίνονται οι πιθανότητες PA= ( ) 0.90, PB ( ) = 0.80 και P( AB ) = 0.75. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων A B, AB, AB, AB και να επαληθεύσετε αριθμητικά ότι τα βασικά πολυώνυμα ενδεχομένων στα A και B διαμερίζουν το χώρο του πειράματος. Τέλος εάν P( C ) = 0.7 βρείτε ένα κάτω φράγμα της πιθανότητας του ενδεχομένου ABC. ) Επειδή P( A B) = P( A) + P( B) P( AB) έχουμε P( A B) = 0.90 + 0.80 0.75 = 0.95. ) Επειδή A = AB AB P ( A) = P ( AB) P ( AB ) P( AB ) = 0.5 3) Επειδή B= AB AB P( B) = P( AB) P( AB ) P( AB ) = 0.05 4) Επειδή ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB = A B P AB = P A B = P A B = 0.05 5) = P( Ω ) = 0.75 + 0.05 + 0.5 + 0.05 = P( AB) + P( AB ) + P( AB ) + P( AB ) 6) Από την ανισότητα Bofero για = 3 θα έχουμε P ( ABC ) P ( A) + P ( B) + P ( C) = 0.4 Άσκηση Αποδείξτε την ανισότητα Boole για ενδεχόμενα: P A PA ( ) = = Απόδειξη Γράφουμε το A σαν ένωση ξένων μεταξύ τους συνόλων. = A A ( ) ( ) ( ) A A= A AA AAA A A A 3 τότε A A A3

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 ( ) ( ) ( ) P A P( A) P A = + A = + P A A A + + P A A A επειδή AA A P AA PA ( ) 3 ( ) ( ) AAA A P AAA PA ( ) 3 3 3 3 ( ) A A A A P A A A P( A ), (0.7) προσθέτοντας κατά μέλη τις προηγούμενες ανισότητες καταλήγουμε στην Boole. Άσκηση Έστω { A } j j= μια ακολουθία ενδεχομένων του Σ τότε: Εάν η ακολουθία είναι αύξουσα: A A A A + έχουμε: lm PA ( ) = P Aj j = Εάν η ακολουθία είναι φθίνουσα: A A A A + έχουμε lm PA ( ) = P Aj j =. Επειδή { Aj} j { j} j B B έχουμε B που ορίζεται από = A = AA = B A A A = A ενώ η ακολουθία των ενδεχομένων j = έχει όρους αμοιβαία ξένους μεταξύ τους δηλαδή BB j =, j. Από τα παραπάνω ισχύει ότι: B = A, και B = A. j j j j j= j= j= j= P Aj = P Bj = P( Bj) = lm P( Bj) = lm P Bj j= j= j= j= j= j

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 = lm P Aj = lm PA ( ). j =. Όταν η ακολουθία των A j είναι φθίνουσα, η ακολουθία των A j είναι αύξουσα { Aj} j { A j } j (.) για την ακολουθία A j παίρνουμε. Χρησιμοποιώντας έτσι το αποτέλεσμα lm P( A ) = P A j lm P( A) = P A j j= j= και επειδή ( ) (0.8) lm PA ( ) = P Aj. j = A j = Aj, η σχέση (0.8) μας δίνει j= j= Άσκηση Δείξτε ότι για κάθε τριάδα ενδεχομένων του Ω έχουμε ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) P A A A P A P A P A P AA P AA P A A P AA A 3 3 3 3 3 Χρησιμοποιούμε την προσθετική ιδιότητα για τα ενδεχόμενα A A και A : 3 (( ) 3) = ( ) + ( 3) (( ) 3). P A A A P A A P A P A A A Όμως (( ) 3) ( 3 3) ( 3) ( 3) ( 3) P A A A = P AA A A = P AA + P A A P AA A. Τελικά αντικαθιστώντας την πιθανότητα του A B παίρνουμε την προς απόδειξη σχέση. Παράδειγμα Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζεται ένα δίκτυο διακοπτών. Κάθε διακόπτης s=,,3,4 είναι ισοπίθανα ανοιχτός ή κλειστός. Περιγράψτε 3

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 τον δειγματικό χώρο και βρείτε την πιθανότητα το δίκτυο από το a στο b να είναι κλειστό. Ο δειγματικός χώρος Ω 4 αποτελείται από 6 = S δειγματικά σημεία που είναι 3 της μορφής ω = ( s, s, s 3, s 4 ) όπου κάθε s παίρνει την τιμή 0 S ή ανάλογα με το εάν ο S 4 διακόπτης S είναι ανοικτός ή κλειστός. Δηλαδή Ω= {( s, s, s3, s4) s = 0,, =,, 3, 4}, ενώ όλα τα στοιχεία του Ω μπορούμε να τα αναγράψουμε χρησιμοποιώντας ένα δυαδικό δέντρο βάθους 4. 0 0 S 0 0 0 0000 00 0 0 00 0 Ορίζουμε τα γεγονότα A = { το κυκλωµα ab ειναι κλειστο}, A = { ο διακοπτης s ειναι κλειστος}, =,,3,4 Το κάθε ενδεχόμενο A μπορεί να πραγματοποιηθεί με ακριβώς 8 τρόπους, για παράδειγμα A = ( s, s,, s ) s { 0, }, =,, 4. { } 3 4 Παρατηρούμε ότι το Α πραγματοποιείται όταν τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα A, AA 3, AA 4 πραγματοποιηθεί A= A AA 3 AA 4 4

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της προσθέσεως για τρία ενδεχόμενα (βλέπε προηγούμενο παράδειγμα) έχουμε: PA ( ) = PA ( ) + PAA ( ) + PAA ( ) ( PAAA ( ) + PAAA ( ) + PAAA ( )) + PAAAA ( ) 3 4 3 4 3 4 3 4 Οι πληθικοί αριθμοί των παραπάνω γεγονότων υπολογίζονται εύκολα. Για παράδειγμα AA = {( s,,, s) s = 0,} N( AA) = 4. 3 4 3 Τότε PA= ( ) ( 8 + 4 + 4 + ) = 0.688 6 6 Άσκηση Στο παρακάτω δίκτυο διακοπτών, κάθε διακόπτης S για 6 είναι ισοπίθανα ανοιχτός ή κλειστός. Περιγράψτε τον δειγματικό χώρο και βρείτε την πιθανότητα το δίκτυο από το a στο b να είναι κλειστό. Άσκηση Ρίχνουμε κανονικά ζάρια. Να βρεθούν οι πιθανότητες των γεγονότων A ={το άθροισμα των ενδείξεων είναι το πολύ 0}, B k ={δεν εμφανίζεται κανένα k }, όπου k =,, 6, C k ={εμφανίζεται ακριβώς ένα k }, όπου k =,, 6, Παρατηρούμε ότι =Ω \{(5,6),(6,5),(6,6)} = {(5,6),(6,5),(6,6)} και έτσι A 3 = P (5,6),(6,5),(6,6) = 0.967 36 ( ) { } P A Εάν αναγράψουμε τον δειγματικό χώρο Ω σαν ένα 6 6 πίνακα με στοιχεία j (, j) Ω= ω j, τότε το ενδεχόμενο B k περιέχει όλα ω =, δηλαδή ( ) 5

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 τα στοιχεία του Ω εκτός από αυτά που βρίσκονται στην k - γραμμή και 5 k -στήλη. Έτσι P( B k ) = =. 36 36 Επειδή B k ={εμφανίζεται τουλάχιστον ένα k }, θα έχουμε C = B \{( kk, )} και έτσι PC ( k) PB ( k ) 5 0 = = = 36 36 36 36 Συνδυαστική (κλασσικοί χώροι πιθανότητας) Σύνθετα πειράματα Πολλές φορές ένα πείραμα μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από ή και περισσότερα επιμέρους πειράματα. Ένα τέτοιο πείραμα είναι σύνθετο. Ένα πείραμα αποτελείται από 0 όμοια τεστ (εργαστηριακές δοκιμές), καθένα από τα οποία έχει ή και περισσότερα δυνατά αποτελέσματα. Η εκλογή χωρίς επανατοποθέτηση ενός δείγματος μεγέθους από πληθυσμό μεγέθους N είναι ένα σύνθετο πείραμα που αποτελείται από επιμέρους πειράματα όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα () () ( ) Π Π Π k k Ν Ν Ν + Όπου N, N,, N ( ) οι αριθμοί των επιμέρους δυνατών αποτελεσμάτων στις διαδοχικές εκτελέσεις των πειραμάτων. Η θεμελιώδης αρχή της απαρίθμησης Αν r τυχαία πειράματα π, π διεξάγονται έτσι ώστε:, r. Το πρώτο πείραμα π μπορεί να καταλήξει σε m δυνατά Ω,, = ω ωm, αποτελέσματα, δηλαδή έχει χώρο { } 6

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3. και εάν για κάθε τέτοιο αποτέλεσμα ω το ο πείραμα π μπορεί να καταλήξει σε δυνατά αποτελέσματα δηλαδή έχει χώρο Ω,, = ω ωm, { } 3. και εάν για κάθε αποτέλεσμα (, j) ω ω των πρώτων πειραμάτων το 3 ο πείραμα μπορεί να καταλήξει σε 3 αποτελέσματα δηλαδή έχει 3 3 χώρο Ω 3 = { ω,, ωm } 4. κ. λ. π Τότε ο δειγματικός χώρος του σύνθετου πειράματος 3 π = π π r θα είναι ( ) ( ) Ω=Ω Ω και # Ω= # Ω # Ω = m m. r r r Παράδειγμα Εφαρμόζοντας την θεμελιώδη αρχή της απαρίθμησης βρίσκουμε ότι ο αριθμός των διαφορετικών δειγμάτων μεγέθους, χωρίς επανατοποθέτηση από ένα πληθυσμό μεγέθους N είναι ( N) = N( N ) ( N + ). Παράδειγμα Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί κυκλοφορίας υπάρχουν με 3 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου και 4 αριθμούς της μορφής Π=ΓΓΓΑΑ 3 ΑΑ 3 4 () () Εάν η επανάληψη σε γράμματα και αριθμούς επιτρέπεται. Εάν δεν επιτρέπεται () Όταν επιτρέπεται η επανατοποθέτηση θα έχουμε: 3 4 # Π= #( Γ Γ Γ ) #( A A A A ) = 4 0 = 38, 40, 000 3 3 4 () Όταν δεν επιτρέπεται η επανατοποθέτηση θα έχουμε: ( ) ( A A A A ) ( )( )( ) 3 3 4 ( ) (( )( )( )( )) # Π= # Γ Γ Γ # = 4 3 0 9 8 7 = 6, 05, 760. 7

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Παράδειγμα Πόσα είναι τα δυνατά ενδεχόμενα σε ένα δειγματικό χώρο Ω με δειγματικά σημεία? Πώς μπορούμε να αναγράψουμε αλγοριθμικά όλα τα δυνατά υποσύνολα του? Συμβολίζουμε με Ω ( ) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του δείξουμε ότι # Ω ( ) = ακριβώς στοιχεία. Ω. Θα Το Ω ( ) μπορεί να παραγοντοποιηθεί σαν το καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Ω Ω = { A, A },, A = { το ω ανήκει στο υποσύνολο}, A = { το ω δεν ανήκει στο υποσύνολο}. Έτσι Ω =Ω Ω Ω, ( ) και από την θεμελιώδη αρχή της απαρίθμησης παίρνουμε ( ) ( ) # Ω = # Ω =. Εφαρμόζοντας το προηγούμενο αποτέλεσμα για = 3 θα έχουμε ({ ωωω,, 3} ) { A, A } { A, A } { A3, A 3} {( A, A, A3),( A, A, A 3),( A, A, A3),( A, A, A 3) ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) = = Για παράδειγμα =,,,,,,,,,,, }. 3 3 3 3 ( A, A, A ) = { ωωω,, }, ( A, A, A ) = { ω }, ενώ ( A, A, A ) 3 3 3 = 3 Η οικογένεια όλων των υποσυνόλων του Ω δηλαδή η Ω ( ) ονομάζεται δυναμοσύνολο του Ω, ένας άλλος συμβολισμός που θα χρησιμοποιούμε είναι και ο Ω ( Ω ) 8

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Διατάξεις χωρίς επανατοποθέτηση (arragemets wth o replacemet) Θεωρήστε διαφορετικά αντικείμενα. Εάν πάρουμε k από αυτά και τα κατατάξουμε σε μια σειρά τότε λέμε ότι παίρνουμε μία διάταξη των αντικειμένων ανά k. Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε το σύνολο { abcde,,,,}. Μία διάταξη των 5 γραμμάτων ανά 3 είναι η abc ενώ μια δεύτερη και μια τρίτη είναι οι cba και cda. Για να βρούμε το πλήθος όλων των διατάξεων των 5 γραμμάτων ανά 3, αρκεί να σκεφτούμε ότι το πρώτο γράμμα μπορούμε να το διαλέξουμε από 5 διαφορετικά γράμματα. Το δεύτερο γράμμα από 4 διαφορετικά γράμματα (εφόσον ένα έχει ήδη χρησιμοποιηθεί στην πρώτη θέση). Το τρίτο γράμμα από 3 διαφορετικά γράμματα (εφόσον δύο έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί στην πρώτη και δεύτερη θέση) κ.λ.π. Τελικά το πλήθος των διαφορετικών διατάξεων 5 αντικειμένων ανά 3 θα είναι (5) = 5 4 3 = 60. 3 Γενικεύοντας, εύκολα βλέπουμε ότι το πλήθος των διαφορετικών διατάξεων αντικειμένων ανά k ( ) θα είναι ( ) = ( ) ( ( k )). (0.9) k Παράδειγμα Έχουμε ήδη διαπιστώσει ότι ο αριθμός των διαφορετικών δειγμάτων μεγέθους από ένα πληθυσμό μεγέθους N είναι ( N. ) Διατάξεις με επανατοποθέτηση (arragemets wth replacemet) Εάν στην προηγούμενη διαδικασία επιτραπεί η επανάληψη των αντικειμένων, σε κάθε φάση θα έχουμε δυνατότητες. Έτσι το πλήθος των διαφορετικών διατάξεων αντικειμένων ανά k με επανάληψη θα είναι: k k A =. Εδώ το k μπορεί να είναι μικρότερο ίσο ή και μεγαλύτερο του. Παράδειγμα 9

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Στο παιγνίδι του προπό κάποιος συμπληρώνει δελτίο με m διπλές και τριπλές (και 3 m stadard). Ποια η πιθανότητα για 3άρι εάν συμπλήρωσε το δελτίο στην τύχη? Το πλήθος των διαφορετικών διανυσμάτων (στηλών) με 3 συνιστώσες όπου κάθε συνιστώσα μπορεί να είναι ένα από τα 3 αποτελέσματα 3 3 {,, X } στο παιγνίδι του προπό με 3 αγώνες είναι A 3 = 3 =,594,33. Δηλαδή ο χώρος Ω θα είναι της μορφής: {( ω ) { } } { } 3,, ω3 ω,, X,, 3,, X Ω= = = Το ενδεχόμενο A ={αυτός που συμπλήρωσε τις στήλες πέτυχε 3άρι} θα m έχει 3 στοιχεία και έτσι m P( A) =, 3 3 Μεταθέσεις (permutatos) Μία μετάθεση αντικειμένων, είναι μία διάταξη αντικειμένων ανά. Το πλήθος των διαφορετικών μεταθέσεων αντικειμένων δίνεται από την σχέση (0.9) για k = M = ( ) = ( ) ( ( )) =!. Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε το σύνολο { abc,,}. Οι 3! = 6 μεταθέσεις των 3 αντικειμένων είναι: Κύκλος Κύκλος abc bca cab acb bac cba Παρατήρηση Οι προηγούμενες 6 μεταθέσεις μπορούν να χωριστούν σε ομάδες μεταθέσεων. Εάν θεωρήσουμε τις μεταθέσεις abc και acb όλες οι άλλες μπορούν να βρεθούν με κυκλική εναλλαγή των γραμμάτων a b c a. 30

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Κυκλικές μεταθέσεις Ας θεωρήσουμε και πάλι το σύνολο των αντικειμένων { abc,,}. Σε κάθε κυκλική μετάθεση abc και acb αντιστοιχούν 3 απλές μεταθέσεις οι abc,bca, cab και acb,bac, cba αντίστοιχα. Δηλαδή το πλήθος των κυκλικών μεταθέσεων είναι! = 3!/ 3. Η γενίκευση του προηγουμένου αποτελέσματος είναι άμεση. Θεωρούμε το σύνολο των αντικειμένων { a, a,, a } και παρατηρούμε ότι aa a a aa aa aa a a, 3 δηλαδή το πλήθος των κυκλικών μεταθέσεων είναι K = M / =!/ = ( )! Συνδυασμοί (combatos) Ας θεωρήσουμε το σύνολο αντικειμένων { abcde,,,,}. Ξέρουμε ήδη ότι υπάρχουν (5) 3 = 5 4 3 = 60 διατάξεις των 5 αντικειμένων ανά 3. Για παράδειγμα τα 3 πρώτα γράμματα, ομάδα abc, συνεισφέρουν κατά 3! διατάξεις (δηλαδή όλες οι μεταθέσεις του abc ). Έτσι εάν δεν ενδιαφερόμαστε για την διάταξη αλλά μόνο για το πόσες τέτοιες διαφορετικές ομάδες 3 αντικειμένων υπάρχουν, θα έχουμε (5) 3 / 3! = 0. Γενικά ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τον οποίο μπορούμε να διαλέξουμε k αντικείμενα από, όταν δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη της εκλογής, είναι για k C k = ( k ) επειδή δεχόμαστε ότι 0! ( ) k ( ) ( k+ )! = = =, k! k! k!( k)! = θα έχουμε ( ) =, για κάθε 0. 0 Παράδειγμα Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης ΑΛΛΑ. Επειδή έχουμε σύμβολα που επαναλαμβάνονται ξαναγράφουμε την λέξη με την μορφή ΑΛΛ Α. Οι δυνατοί αναγραμματισμοί τώρα είναι 4!. Όμως τα Α και Λ επαναλαμβάνονται από φορές και έτσι οι δυνατοί 4 αναγραμματισμοί της λέξης ΑΛΛΑ θα είναι 4!/ (!! ) =6 ΑΛΛΑ ΑΛΛ Α, ΑΛΛΑ, ΑΛ ΛΑ, ΑΛΛΑ = ( ) 3

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 ΛΑΑΛ ΛΑΑ Λ, ΛΑΑΛ, ΛΑΑ Λ, ΛΑΑΛ ΛΑΛΑ ΛΑΛΑ, ΛΑΛΑ, ΛΑΛΑ, ΛΑΛΑ ΛΛΑΑ ΛΛΑΑ, ΛΛΑΑ, ΛΛΑΑ, ΛΛΑΑ ΑΑΛΛ ΑΑ ΛΛ, ΑΑΛΛ, ΑΑ ΛΛ, ΑΑΛ Λ ΑΛΑΛ ΑΛΑΛ, ΑΛΑΛ, ΑΛ ΑΛ, ΑΛ ΑΛ Άσκηση () Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της «λέξης» x x x x x x = k k ( x ) ( x ) k k () Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της «λέξης» r ( x ) ( x ) ( x ) r με = + r () Έστω η «λέξη» x x x k x x xk. Τότε υπάρχουν! μεταθέσεις των διαφορετικών συμβόλων x και x j. Θέτοντας όμως x = x για k και x = x για j k θα πρέπει να διαιρέσομε το! με το ( k)!! j k k. Έτσι οι αναγραμματισμοί της «λέξης» x y k θα είναι ( k ) () Τώρα έχουμε r ομάδες από διαφορετικά αντικείμενα και οι r r x x x θα είναι αναγραμματισμοί της «λέξης» ( ) ( ) ( ) (!)(!) (!)! r Παράδειγμα Στο παιγνίδι του Joker η νικήτρια στήλη αποτελείται από δείγμα 5 αριθμών από το έως το 50 (χωρίς επανάθεση) και αριθμό από το έως το 0. Ένας συνδυασμός στηλών του Joker είναι ένα σύνολο m αριθμών από την πρώτη ομάδα και αριθμών από την δεύτερη. Ο m αριθμός των στηλών που δημιουργείται έτσι είναι ( 5 ) και έστω A m αυτό το ενδεχόμενο. Ο δειγματικός χώρος του παιγνίου είναι ( 50 # Ω= 0 ) 5 και έτσι 3

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 m ( 5 ) P( A m ) = 50 0( 5 ). Άσκηση Παρατηρώντας 8 αυτοκίνητα που περνούν από ένα συγκεκριμένο σημείο διαπιστώνουμε ότι 3 έχουν κόκκινο χρώμα. Ποια η πιθανότητα των ενδεχομένων Α={Να περάσουν τα 3 κόκκινα αυτοκίνητα διαδοχικά το ένα ακριβώς μετά το άλλο}. Β={Να υπάρχουν άλλου χρώματος αυτοκίνητα ανάμεσα στα πρώτα κόκκινα και άλλου χρώματος ανάμεσα στο ο και 3 ο κόκκινο αυτοκίνητο}. Ο δειγματικός χώρος είναι Ω={όλες οι μεταθέσεις των συμβόλων ΚΚΚΧΧΧΧΧ} όπου Κ = {κόκκινο αυτοκίνητο} και Χ = {μη κόκκινο αυτοκίνητο}. Υπάρχουν 8! μεταθέσεις των συμβόλων ΚΚΚΧΧΧΧΧ. 3 3 4 5 Εάν μεταθέτουμε τα Κ και τα Χ μεταξύ τους παίρνουμε 3! και 5! μεταθέσεις αντίστοιχα, άρα υπάρχουν 8! 8 = ( 3 ) = 56 = N ( Ω) 3! 5! στοιχειώδη ενδεχόμενα στον Ω. Επειδή Α={ ΚΧ 3 5, ΧΚΧ 3 4,, ΧΚ 5 3 }, δηλαδή N( A ) = 6 και έτσι PA= ( ) 6 / 56, ενώ Β={ ( ΚΧΧΚΧΚ ) ΧΧ, Χ( ΚΧΧΚΧΚ ) Χ, ΧΧ( ΚΧΧΚΧΚ ) }, N( B ) = 3 που δίνει PB ( ) = 3/ 56. Άσκηση Δείξτε ότι στην γενική περίπτωση ( αυτοκίνητα που περνούν από ένα συγκεκριμένο σημείο διαπιστώνουμε ότι k έχουν κόκκινο χρώμα) η πιθανότητα του A δίνεται από την σχέση ( ) P A k! k+ = = k ( ) ( + ) ( k ) Άσκηση 33

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Από τον πληθυσμό Π={ X,, XN} παίρνουμε τυχαίο δείγμα μεγέθους k με επανατοποθέτηση. ) Ποια η πιθανότητα να διαλέξουμε δείγμα μεγέθους k όπου δύο τουλάχιστον στοιχεία του δείγματος να είναι ίδια? ) Σε δείγμα k ατόμων, ποία η ελάχιστη τιμή του k έτσι ώστε η πιθανότητα του ενδεχομένου B k ={ τουλάχιστον άτομα έχουν την ίδια μέρα γενέθλια} να είναι μεγαλύτερη του 0.5 Ω ={όλα τα δείγματα μεγέθους k με επανατοποθέτηση} Α={τα δείγματα μεγέθους k, έτσι ώστε όλα τα στοιχεία κάθε δείγματος είναι μεταξύ τους διαφορετικά} τότε B= A ={τα δείγματα μεγέθους k, έτσι ώστε τουλάχιστον στοιχεία του κάθε δείγματος είναι ίδια} Ο αριθμός των δειγμάτων μεγέθους k με επανατοποθέτηση από k πληθυσμό μεγέθους N είναι # Ω= N. Μπορούμε να δημιουργήσουμε κάθε στοιχείο του A παίρνοντας τα στοιχεία του δείγματος ένα ένα από τον πληθυσμό χωρίς επανάθεση. Δηλαδή # A= ( N) = N( N ) ( N k+ ) και k ( N k ) k NN N k+ j PA ( ) = = = k (0.0) N N N N j= N Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [ ab, ] και παραγωγίσιμη στο ( ab,, ) τότε, από το θεώρημα του Taylor με υπόλοιπο, για b= a+ h υπάρχει ενδιάμεσο σημείο a+ ϑh ( aa, + h) με ϑ ( 0,) έτσι ώστε f ( a+ h) = f ( a) + h fa ( + ϑ h). Δηλαδή για μικρό h το ϑ h γίνεται αμελητέο και έχουμε a f ( a+ h) f ( a) + hf ( a). Αντικαθιστώντας, το f( a ) με e και παίρνουμε στο a = 0 τον προσεγγιστικό τύπο a e, για e ± h ± h. Εφαρμόζοντας το προηγούμενο αποτέλεσμα στη σχέση (0.0) παίρνουμε προσεγγιστικό τύπο για την πιθανότητα του B 34

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 k k k j j kk ( ) PB ( ) = exp = exp j = exp j= N j= N N j= N kk ( ), για k N. N Έστω ότι Π={,,365}. Ζητάμε το ελάχιστο k για το οποίο kk ( ) P( B k ) > 0.5, και N = 365. Που δίνει ( k+ 8.65)( k 9.65) > 0 N ή ότι k 0. Παράδειγμα Ένα δοχείο περιέχει 0 συνολικά σφαιρίδια 4 άσπρα και 6 μαύρα. Επιλέγουμε τυχαίο δείγμα 3 σφαιριδίων από το δοχείο χωρίς επανατοποθέτηση. Ποία η πιθανότητα:. Να επιλεγούν άσπρο και μαύρα σφαιρίδια.. Να επιλεγούν άσπρα και μαύρο σφαιρίδιο. 3. Τα σφαιρίδια να είναι όλα άσπρα. 4. Τα σφαιρίδια να είναι όλα μαύρα. 5. Γενικεύστε το παράδειγμα. Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αποτελείται από τριάδες ( s, s, s 3) όπου κάθε s είναι της μορφής α,, α4 (άσπρο σφαιρίδιο έως 4) ή µ,, µ 6 (μαύρο σφαιρίδιο έως 6). Το πλήθος των δειγματικών σημείων έτσι, είναι N ( Ω ) = ( 0) 3 = 70. Συμβολίζουμε τα ενδεχόμενα στα ερωτήματα έως 4 με A,, A,, A 3,0 και A 0,3 αντίστοιχα. 3 (). Υπάρχουν ( ) = 3 τρόποι επιλογής των σφαιριδίων ως προς το χρώμα: Χρώμα Μ Μ Α Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων 6 5 4 Χρώμα Μ Α Μ Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων 6 4 5 Χρώμα Α Μ Μ Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων 4 6 5 35

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Δηλαδή ο αριθμός των ευνοïκών περιπτώσεων για το A, θα είναι 3 ( )( 4) ( 6 ) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3! ( )( ) ( ) 4 6!! P( A ) = = = = 0 3 3 4 6 4 6, 0 0 3 3 3 δηλαδή μπορούμε να εργαστούμε μόνο με συνδυασμούς.. Η πιθανότητα να επιλεγούν άσπρα και μαύρο σφαιρίδιο είναι 4 6 ( )( ) 3 P( A,) = = 0 0 ( 3 ) 3. Η πιθανότητα τα σφαιρίδια να είναι όλα άσπρα δίνεται από 4 6 ( 3)( 0) P( A 3,0 ) = = 0 30 ( 3 ) 4. Ενώ η πιθανότητα όλα να είναι μαύρα 4 6 ( 0)( 3) P( A 0,3) = = 0 6 ( 3 ) 3 Παρατηρούμε ότι P( A,3 ) = 0 = βάση τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα { 0,3,,,,, 3,0, } 3 Ω= A = 0,3., έτσι το Ω μπορεί να διαμεριστεί με A A A A δηλαδή 6. Γενικεύουμε εάν ζητήσουμε στο δοχείο να υπάρχουν N συνολικά σφαιρίδια από τα οποία a να είναι άσπρα και τα υπόλοιπα N a μαύρα. Εάν τώρα επιλέξουμε τυχαία ένα δείγμα μεγέθους χωρίς επανάθεση, ποια η πιθανότητα x από τα σφαιρίδια να είναι άσπρα? Από τις ειδικές περιπτώσεις (.) έως και (4.) γίνεται φανερό ότι: ( x, x) a N a ( x)( x ) P A = (0.) N ( ) Όπως είδαμε στο προηγούμενο θα μπορούσαμε να εργαστούμε με διατάξεις αλλά ισοδύναμα και με συνδυασμούς εφόσον 36

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 ( x, x) ( a) ( N a) ( N ) P A = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )! ( )! x x x x = ( x) = ( x) = ( x) =! ( )( ) ( ) a N a a N a a N a x x x x x x N N N x Ενώ εάν επιτρέψουμε την επανάθεση και θέσουμε Bx, x το ενδεχόμενο να πάρουμε δείγμα, μεγέθους με x άσπρα σφαιρίδια και x μαύρα παίρνουμε ( x, x) x ( ) P B = ( ) ( ) ( ) x x x a N a a a = x = x = x N N N pq x x a όπου p = και q = p οι πιθανότητες άσπρου και μαύρου σφαιριδίου N στον πληθυσμό των N σφαιριδίων. Παρατήρηση Εάν στο προηγούμενο παράδειγμα συμβολίσουμε με X την τυχαία μεταβλητή που μετράει τον αριθμό των άσπρων σφαιριδίων σε δείγμα σφαιριδίων, όπου γνωρίζουμε ότι a είναι άσπρα και N a είναι μαύρα, και δεν επιτρέπεται η επανάθεση, θα έχουμε: { X = x} { ω : X ( ω) x} Ax x Ω = =, και { x} PX = = ( a x) N a x N λέμε τότε ότι η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την υπεργεωμετρική (hypergeometrc) κατανομή με παραμέτρους α, και N. Συμβολικά d (, α, ) X = Hy N. Όπου το d = σημαίνει ισότητα σε κατανομή (dstrbuto) 37

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Προσοχή στην περίπτωση της υπεργεομετρικής κατανομής ο χώρος των καταστάσεων θα είναι: X Ω = ( ) { max(0, ( N a)),...,m( a, )} Αυτό διότι: ο αριθμός των άσπρων σφαιριδίων στο δείγμα θα πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος του αριθμού των άσπρων σφαιριδίων στον πληθυσμό. Έτσι x a και επειδή x θα έχουμε x m( a, ). ο αριθμός των μαύρων σφαιριδίων στο δείγμα θα πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος του αριθμού των μαύρων σφαιριδίων στον πληθυσμό. Έτσι x N a και επειδή x 0 θα έχουμε x max(0, ( N a)). Παρατήρηση Εάν συμβολίσουμε με X την τυχαία μεταβλητή που μετράει τον αριθμό των άσπρων σφαιριδίων στο ω Ω, όταν επιτρέπεται η επανάθεση, θα έχουμε { X x} B και έτσι: = =, x x x P{ X x } ( x ) p ( p) x = =, λέμε τότε ότι η τυχαία μεταβλητή η ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους p και. Συμβολικά X (, ) d = B p. Άσκηση Έστω δοχείο με άσπρα και m μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία ένα προς ένα τα σφαιρίδια χωρίς επανάθεση. Ποια η πιθανότητα να μείνουν τελικά στο δοχείο μόνο άσπρα σφαιρίδια. Φυσικά για να καταλήξουμε μόνο με άσπρα σφαιρίδια θα πρέπει να έχουμε αφαιρέσει όλα τα μαύρα σφαιρίδια μαζί και 0 x άσπρα 38

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 σφαιρίδια. Έστω A x = { αφαιρείται η τελευταία μαύρη μπάλα κατά την m+ x προσπάθεια } (τότε είναι που απομένουν στο δοχείο x άσπρα σφαιρίδια). Έτσι εάν A = { μένουν τελικά στο δοχείο μόνο άσπρα σφαιρίδια }, τότε A = A, AA =, j = 0 j Θεωρώντας σαν στοιχεία του Ω όλες τις δυνατές μεταθέσεις με m+ σύμβολα { M M A A } μετράμε τις μεταθέσεις με την ιδιότητα A x. m m ( ) ( ) ( )( x ) # A = m+ x x x m+ x x Ο πρώτος παράγοντας είναι ο αριθμός των μεταθέσεων m μαύρων και x άσπρων σφαιριδίων μαζί. Ο δεύτερος παράγοντας είναι ο αριθμός των μεταθέσεων x άσπρων σφαιριδίων. Ο τρίτος παράγοντας είναι ο αριθμός με τον οποίο μπορούμε να διαλέξουμε την τελευταία μαύρη μπάλα που αφαιρούμε από το δοχείο. Ο τελευταίος παράγοντας είναι ο αριθμός των τρόπων με τους μπορούμε να διαλέξουμε τις x άσπρες μπάλες που αφαιρούνται από τις. Έτσι ( ) P( A ) P A = = x x= 0 x= 0 m = + +! ( m) x= 0 ( m+ x m ) ( x) ( )( x ) m+ x x ( + m) ( m x! ) ( x)! ( x ) + m Το διωνυμικό θεώρημα 39

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Το ανάπτυγμα του ( a+ b) όταν το είναι μη αρνητικός ακέραιος μπορεί να πραγματοποιηθεί με την χρήση των συνδυασμών ( k ) ως εξής: ( ) ( k ) k k a k = 0 a+ b = b (0.) Η σχέση αυτή είναι γνωστή σαν το διώνυμο του Newto (ή αλλιώς το διωνυμικό θεώρημα) Παρατηρήσεις Ο αριθμός των όρων του αθροίσματος (0.) είναι ίσος με +. Αντικαθιστώντας στο άθροισμα (0.), a = b= παίρνουμε την σχέση: Οι αριθμοί ( ) ( 0) ( ) ( k) ( ) = + + + + +. (0.3) k δεν είναι τίποτε άλλο από τον αριθμό των διαφορετικών υποσυνόλων του Ω (με # Ω= ) με k στοιχεία. Απόδειξη του διωνυμικού θεωρήματος Αποδεικνύουμε την σχέση (0.) επαγωγικά Το θεώρημα ισχύει για =. Υποθέτουμε ότι ισχύει για, και τo αποδεικνύουμε για +. + ( ) ( )( ) ( ) k k a+ b = a+ b a+ b = a+ b ( k ) a b k = 0 k k k k = ( ) a k ( ) + b + a b k + k= 0 k= 0 ( ) a k ( k) a k= k= 0 ( ) a k ( k ) a + k+ b k k b k+ b + = + + + a k b k k b k b = + + + + a + + + k= k= ( k) ( k ) + k + k + = a + + b + b k = + ( k ) k = + ( + ) ( k ) a a a = a + b + b + ( + ) k k + + = k = 0 Παρατηρήστε ότι: b k k. 40

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 Η σχέση = k k + + k αντικατοπτρίζει τον κανόνα δημιουργίας του τριγώνου του Pascal: k k k k + + + + + k k k + + + + k k + + Παράδειγμα 8 Να δειχθούν οι παρακάτω σχέσεις s r = 0, s (0.4) r r I. ( ) r= s ( )( ) + m r m II. ( r ) k = 0( k)( r k) = (0.5) (Ι) Παραγωγίζοντας την σχέση ( x) r= 0( r ) r + = x, s φορές παίρνουμε s ( ) ( ( ) )( + ) = ( ) ( ( ) ) ( ) s x r r r s r= s r x ( ) ( r) s διαιρώντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης με s! παίρνουμε ( s s )( x) r s( r s)( = r ) r s + = x. Αντικαθιστώντας x = και μετά πολλαπλασιάζοντας με ( ) s η r r τελευταία σχέση δίνει ( ) r= s ( )( ) = 0, s r s (II) Χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα η σχέση + m m ( + x) = ( + x) ( + x) δίνει: s r s ή ότι + m k k m k ( k ) x k x = k x + m m, (0.6) k= 0 k= 0 k= 0 4

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 + m k m k k ( k ) x = k k x + + m m k= 0 k= 0k= 0 Είναι εμφανές ότι ο συντελεστής βαθμού k στο αριστερό μέλος είναι m ( ) k + ενώ στο δεξί θα είναι το άθροισμα όλων των δυνατών τρόπων για τους οποίους k k k { } + = δηλαδή ( k, k ) ( k, 0 ),( k, ),,( 0, k) έτσι:. k + m k = r= 0 m ( r )( k r) Εναλλακτικά: m Έστω τα πολυώνυμα A( x) = a0 + ax + + ax και Bm( x) = b0 + bx + + bmx. m Τότε εμφανώς A( x) Bm( x) = c0 + cx + + c mx + +. Κάνοντας τις πράξεις στο αριστερό μέλος της προηγούμενης σχέσης, έχουμε ( ) ( ) r ab ab ab x ab ab ab x = c 0 + cx + + cx + r 0 0+ 0 + 0 + + 0 r + r + + r 0 +, r δηλαδή εξισώνοντας στην προηγούμενη σχέση τον συντελεστή του x και από τα δύο μέλη, παίρνουμε r cr= ab, 0 0 k r k r + m (0.7) k = Θέτοντας A ( x) = ( + x) και Bm ( x) ( x) η σχέση (0.7) δίνει τη ζητούμενη σχέση m = + δηλαδή k ( k ) + m r m ( r ) k = 0( k)( r k) m a = και br k= ( r k) =. (0.8) r Ο τύπος του Strlg Ένα χρήσιμο αναλυτικό εργαλείο που μας επιτρέπει την εύκολη και με καλή προσέγγιση της ποσότητας! είναι ο τύπος του Strlg που εδώ δίνουμε χωρίς απόδειξη 4

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 ( π ) /,! e (0.9) Το σύμβολο ~ στην προηγούμενη σχέση σημαίνει ότι η ποσότητα στο αριστερό μέλος είναι πρακτικά ίση με την ποσότητα στο δεξί μέλος για τιμές του αρκετά μεγαλύτερες της μονάδας. Ένας ισοδύναμος τρόπος να εκφράσουμε το προηγούμενο είναι! lm e π ( ) / = Κατανέμοντας σφαιρίδια σε κυψέλες Υπάρχουν r δυνατά αποτελέσματα όταν διακριτά σφαιρίδια κατανέμονται σε r διακριτές κυψέλες και αυτό συμβαίνει γιατί κάθε σφαιρίδιο μπορεί να τοποθετηθεί σε μια από τις r κυψέλες. Κάθε αποτέλεσμα θα μπορούσε να παρασταθεί από το στοιχειώδες ενδεχόμενο ΘΘ Θ, όπου Θ r, δηλώνει την θέση (κυψέλη) που έχει τοποθετηθεί το σφαιρίδιο για. Έτσι Ω= { ΘΘ Θ Θ r, }, από όπου γίνεται και πάλι εμφανές ότι N( Ω ) = r. Τώρα θέτουμε τον εξής περιορισμό. Ζητάμε σφαιρίδια στην η κυψέλη, σφαιρίδια στην η κυψέλη κ.λ.π. r σφαιρίδια στην r η κυψέλη με + + + r =. Με άλλα λόγια ζητάμε να καταμετρήσουμε τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχομένου A Ω, όπου A το σύνολο των στοιχειωδών ενεχομένων ΘΘ Θ με επαναλήψεις του, επαναλήψεις του κ.λ.π. r επαναλήψεις του r. Έχουμε 43

Σ. Ι. Χατζησπύρος - Πιθανότητες 03-Dec-3 N( A ) = (αριθμός των αναγραμματισμών της λέξης r r )= ( ) + + + r!! =. Ένας άλλος τρόπος να πάρουμε!! r!!! r! το προηγούμενο αποτέλεσμα θα ήταν: N( A ) = (# τρόπων τοποθέτησης σφαιριδίων στην κυψέλη )(# τρόπων τοποθέτησης σφαιριδίων στην κυψέλη ) (# τρόπων τοποθέτησης r! =!!!. σφαιριδίων στην κυψέλη r )= ( )( ) ( r ) r Εάν όμως δεν διακρίναμε μεταξύ των σφαιριδίων, τα σφαιρίδια ήταν όλα όμοια, το αποτέλεσμα του πειράματος της κατανομής των σφαιριδίων στις κυψέλες θα χαρακτηριζόταν από ένα διάνυσμα ( x, x,, x r ), με r μη αρνητικές συντεταγμένες x 0 και x, με κάθε x να συμβολίζει τον αριθμό των σφαιριδίων στην κυψέλη (the occupacy umber) έτσι ώστε x + x + + x r =. Γίνεται λοιπόν σαφές ότι ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων κατανομής ομοίων σφαιριδίων σε r κυψέλες (που θα τον συμβολίζουμε με E r ) θα είναι ίσος με τον αριθμό των ακέραιων λύσεων της εξίσωσης: γράφουμε δηλαδή 3 x+ x + + x =, x 0 r (0.0) E = #{( x, x,, x ) x + x + + x =, x 0, x }. r r r Θα δείξουμε ότι ο E r δίνεται από την σχέση: E r + r ( r ) = (0.). Πρώτα όμως θα πρέπει να υπολογίσουμε το ( E ) * r τον αριθμό των θετικών λύσεων τις εξίσωσης (0.0) δηλαδή ( E ) * = #{( x, x,, x ) x + x + + x =, x > 0, x } r r r. Έχουμε αντικείμενα και θέσεις μεταξύ τους. Σε όλες αυτές τις ενδιάμεσες θέσεις μπορούν να μπουν διαχωριστικά. Έτσι ώστε καμία r 3 Ένας εναλλακτικός συμβολισμός για τον πληθικό αριθμό του συνόλου A είναι # A, δηλαδή # A= N( A) 44