Άλγεβρες ιεργασιών και Τροπικές Λογικές Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Οι λογικές HML και WHML Ο λογικός χαρακτηρισµός των ~ και Η λογική CTL- ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-1
Ισοδυναµία και διατήρηση ιδιοτήτων Όταν δύο διεργασίες δεν είναι ισοδύναµες υπάρχουν κάποιες ιδιότητες που ικανοποιούνται από µόνο µια από αυτές. Αντίστοιχα, όταν δύο διεργασίες είναι ισοδύναµες θα αναµέναµε να ικανοποιούν τις ίδιες ιδιότητες. Ποια κατηγορία ιδιοτήτων χαρακτηρίζει διαφορετικές ισοδυναµίες; Θα απαντήσουµε αυτό το ερώτηµα για τις σχέσεις ~ και. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-2
Ηχρονική λογική HML H λογική HML (Hennessy Milner Logic) είναι µια χρονική λογική που επιτρέπει τη διατύπωση τροπικών ιδιοτήτων κατάλληλη για έλεγχο αλγεβρών διεργασιών. Έχει δειχθεί από τους Hennessy και Milner να χαρακτηρίζει τη σχέση ~. ηλαδή: ύο διεργασίες είναι ισοδύναµες αν και µόνο αν ικανοποιούν ακριβώς τις ίδιες HML ιδιότητες. Εποµένως αν P ~ Q τότε υπάρχει ΗΜL ιδιότητα που ικανοποιείται από τη µια και όχι από την άλλη. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-3
Ησύνταξη της HML ΗΗΜLορίζεται ως το µικρότερο σύνολο ιδιοτήτων που παράγονται ως εξής, όπου Κ Act: Φ :: = true Φ Φ Ψ K Φ Η ιδιότητα K Φ εκφράζει τη δυνατότητα εκτέλεσης κάποιας ενέργειας από το σύνολο Κ και στη συνέχεια ικανοποίηση της ιδιότητας Φ. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-4
Ορίζουµετη σχέση = όπου Σηµασιολογία της ΗΜL P = Φ αν και µόνο αν η ιδιότητα Φ ικανοποιείται από την διεργασία P, ως εξής: P = tt για κάθε P P = Φ αν και µόνο αν δεν ισχύει ότι P = Φ P = Φ Ψ αν και µόνο αν (P = Φ) ή (P = Ψ) P = Κ Φ αν και µόνο αν a P P', α K και P = Φ ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-5
Άλλοι τελεστές Φ Ψ ff [K] Φ ( Φ Ψ) tt ( K ( Φ)) Ηιδιότητα[a] Φεκφράζει αναγκαιότητα. Συντοµογραφίες: - για Act -K για Act K ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-6
Παραδείγµατα Ε = tick tt H διεργασία Ε µπορεί να κάνει tick Ε = tick tοck tt H διεργασία Ε µπορεί να κάνει tick και µετά tοck Ε = {tick, tοck} tt H διεργασία Ε µπορεί να κάνει tick ή tοck Ε = [tick]ff H διεργασία Ε δεν µπορεί να κάνει tick Ε = tick ff Αυτό είναι ισοδύναµο µε ff!! Ε = [tick]tt Αυτό είναι ισοδύναµο µε tt!! ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-7
Παραδείγµατα Ποιες από τις πιο κάτω ιδιότητες ικανοποιούνται; α.0 = a tt α.(b.0 + c.0) = a b tt α.b.0 + a.c.0 = a ( b tt c tt) α.(b.0 + c.0) = [a] b tt α.b.0 + a.c.0 = [a] b tt 0 = [a]ff ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-8
HML και ~ Παρόλο που η HML δεν είναι ιδιαίτερα εκφραστική λογική, έχει την εξής ιδιότητα: Ορίζουµε τη σχέση P = HML Q αν και µόνο αν για κάθε ιδιότητα Φ, P = Φανκαιµόνο αν Q = Φ Θεώρηµα: P = HML Q αν και µόνο αν P ~ Q. Με άλλα λόγια P ~ Q αν και µόνο αν οι P και Q ικανοποιούν τις ίδιες ΗΜL ιδιότητες. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-9
HML και ~ Ποιες HML ιδιότητες ξεχωρίζουν τις πιο κάτω µη-ισοδύναµες διεργασίες. a.b.0 και a.c.0 a.(b.0 + c.0) και a.c.0 a.(b.0 + c.0) και a.b.0 + a.c.0 ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-10
Χαρακτηρισµός της σχέσης Τα πιο πάνω αποτελέσµατα µεταφέρονται και στη σχέση µεχρήση του πιο κάτω λήµµατος: Λήµµα: Ησχέση είναι η µεγαλύτερη σχέση που για κάθε a Act ικανοποιεί τα πιο κάτω: 1. Αν τότε Q a ) P a ) Q' και P Q 2. Αν τότε P a ) Q a ) P' Q' P' και P Q ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-11
WHML ΟρίζουµετηνWΗΜL (Weak HML) ως το µικρότερο σύνολο ιδιοτήτων που παράγονται ως εξής, όπου a Act: Φ :: = true Φ Φ Ψ a Φ όπου η ιδιότητα a Φ εκφράζει τη δυνατότητα εκτέλεσης της ενέργειας µε ερµηνεία: a ) P = a Φ ανκαι µόνο αν και P = Φ Παραγόµενος τελεστής [[a]] Φ a Φ. Θεώρηµα: Ορίζοντας τη σχέση = WHML ανάλογα µε τη = HML έχουµε ότι P = WHML Q αν και µόνο αν P Q. P a ) P' ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-12
CTL Η CTL ορίζεται ως το µικρότερο σύνολο ιδιοτήτων που παράγονται ως εξής: Φ :: = true Φ Φ Ψ K Φ EF Φ EG Φ Μια CTL ιδιότητα µπορεί να είναι είτε µια HML ιδιότητα ή να περιλαµβάνει τους CTL τελεστές EF (υπάρχει εκτέλεση όπου στο µέλλον ) EG (υπάρχει εκτέλεση όπου πάντα. Παραγόµενοι τελεστές: AG Φ = (EF Φ) AF Φ = (EG Φ) ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-13
Σηµασιολογία της CTL Εκτέλεση µιας διεργασίας Ε 0 είναι µια ακολουθία από µεταβάσεις της µορφής a1 a2 a3 E0 E1 E2... η οποία είναι πλήρης µε την έννοια ότι, αν είναι πεπερασµένη, τότε η τελική διεργασία δεν µπορεί να εκτελέσει οποιαδήποτε µετάβαση. Η συνάρτηση σηµασιολογία = επεκτείνεται ως εξής. Ε 0 = EF Φ αν και µόνο αν υπάρχει εκτέλεση a1 a2 E0 E1... και i 0 τέτοια ώστε Ε i = Φ Ε 0 = EF Φ αν και µόνο αν υπάρχει εκτέλεση a1 a2 E0 E1... τέτοια ώστε για κάθε i 0 Ε i = Φ ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-14
Ε = AG - tt Παραδείγµατα Η διεργασία Ε δεν φθάνει ποτέ σε αδιέξοδο (δεν τερµατίζει) Ε = ΑF - ff H διεργασία Ε οπωσδήποτε τερµατίζει Ε = ΑG [request] AF ( granted tt granted tt) Όλατααιτήµατα τελικά θα ικανοποιηθούν ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-15
Παραδείγµατα Έστω οι διεργασίες P def = a. P + b. Q Q def = c. Q Ποιες από τις πιο κάτω ιδιότητες ικανοποιούνται από την Ρ; EF c tt AG c tt AF c tt EG c tt AG EF c tt AF EG c tt EF AG c tt EG AF c tt ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων 10-16