Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες πεπερασµένων οµάδων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες πεπερασµένων οµάδων"

Νέμεσις Κουταλιανός
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Αθήνα, Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

2 1 Αναπαραστάσεις Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

3 Ορισµός H χώρος Hilbert πεπερασµένης διάστασης και G οµάδα. Μια unitary αναπαράσταση π της G είναι µια απεικόνιση G B(H) τέτοια ώστε: 1 x π(x) είναι οµοµορφισµός οµάδων 2 π(x) π(x) = π(x)π(x) = I, x G. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

4 Προβλήµατα Θεωρίας Αναπαραστάσεων 1 Να υπολογιστεί το Ĝ. 2 Να µελετηθεί η λ. 3 Για f L 1 (G) να ϐρεθεί η f απο τα π(f). όπου αν (π, H) αναπαράσταση της G, f L 1 (G). π(f) = f(x)π(x) x G Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

5 Αναπαραστάσεις Πρόταση G οµάδα, (π 1, H 1 ), (π 2, H 2 ) irreducible αναπαραστάσεις της G, και A B(H 1, H 2 ) τ.ω. Aπ 1 (x) = π 2 (x)a για κάθε x G. Τότε 1 Αν οι π 1, π 2 δεν είναι ισοδύναµες, A = 0. 2 Αν π 1 = π 2, A = λi. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

6 Πρόταση G οµάδα, (π, H) αναπαράσταση της G. Τότε τα ε.ε.ι.: 1 A B(H), Aπ(x) = π(x)a για κάθε x G, τότε A = λi. 2 π irreducible. Απόδειξη Αν π οχι irreducible η προβολή σε έναν αναλλοίωτο υπόχωρο ικανοποιεί Aπ(x) = π(x)a. Πρόταση G αβελιανή οµάδα, (π, H) irreducible αναπαράσταση της G. Τότε dim H = 1. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

7 Πρόταση G οµάδα, (π, H 1 ), (ρ, H 2 ) irreducible αναπαραστάσεις της G. Τότε 1 Αν οι π, ρ δεν είναι ισοδύναµες, π ij (x)ρ kl (x 1 ) = 0. x G 2 π ij (x)π kl (x 1 ) = δ il δ kj G /d π x G όπου d π είναι η διάσταση του χώρου της αναπαράστασης π. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

8 Απόδειξη Εστω A B(H 2, H 1 ) και A G = x G π(x)aρ(x 1 ). Εχουµε π(y)a G = x G π(yx)aρ(x 1 ) = x G π(x)aρ(x 1 )ρ(y) = A G ρ(y). Αρα A G = 0. Αν A ο πίνακας που έχει 0 σε κάθε ϑέση εκτός από την jk όπου έχει 1, παίρνουµε (A G ) il = 0 και π ij (x)ρ kl (x 1 ) = 0. x G Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

9 Εστω A B(H 1 ) και A G = x G π(x)aπ(x 1 ). Εχουµε π(y)a G = x G π(yx)aπ(x 1 ) = x G π(x)aπ(x 1 )π(y) = A G π(y). Αρα A G = λi. Αν A ο πίνακας που έχει 0 σε κάθε ϑέση εκτός από την jk όπου έχει 1 και i l, τότε (A G ) il = 0 και άρα x G π ij (x)π kl (x 1 ) = 0 αν i l. Αν A ο πίνακας που έχει 0 σε κάθε ϑέση εκτός από την jk όπου έχει 1 και j k παίρνουµε tr(a G ) = x G tr π(x)aπ(x 1 ) = x G tr A = 0. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

10 Αρα επειδή ο A G είναι διαγώνιος, (A G ) ii = 0, δηλαδή x G π ij (x)π ki (x 1 ) = 0 αν j k. Τέλος αν A ο πίνακας που έχει 0 σε κάθε ϑέση εκτός από την jj όπου έχει 1 έχουµε tr(a G ) = x G tr π(x)aπ(x 1 ) = x G tr A = G και άρα επειδή ο A G είναι διαγώνιος, (A G ) ii = G /d π, δηλαδή x G π ij (x)π ji (x 1 ) = G /d π. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

11 Ορισµός G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση της G. Λέµε χαρακτήρα της π την συνάρτηση χ π : G C, που ορίζεται χ π (x) = tr π(x) Πρόταση G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση της G. 1 χ π (e) = d π 2 χ π (x 1 ) = χ π (x) 3 χ π (yxy 1 ) = χ π (x) 4 Αν οι π και οι ρ είναι ισοδύναµες, χ π (x) = χ ρ (x). Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

12 Ορίζουµε το ακόλουθο εσωτερικό γινόµενο στον L 2 (G): Πρόταση (f g) = 1 G f(x)g(x) x G G οµάδα, π, ρ unitary irreducible αναπαραστάσεις της G. 1 Αν οι π και ρ δεν είναι ισοδύναµες, (χ π χ ρ ) = 0. 2 Αν οι π και ρ είναι ισοδύναµες, (χ π χ ρ ) = 1. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

13 Απόδειξη Αν οι π και ρ δεν είναι ισοδύναµες έχουµε π(x) = π ij (x), ρ(x) = ρ kl (x), χ π (x) = i π ii (x), χ ρ = k ρ kk (x) και (χ π χ ρ ) = 1 G = 1 G 1 G χ π (x)χ ρ (x) x G ( ) ( ) π ii (x) ρ kk (x) x G = 1 G i ( ) π ii (x)ρ kk (x) i k x G ( ) π ii (x)ρ kk (x 1 ) = 0. i k x G k Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

14 Αν οι π και ρ είναι ισοδύναµες έχουµε (χ π χ ρ ) = (χ π χ π ) = 1 G = 1 G χ π (x)χ π (x) x G ( ) ( ) π ii (x) π jj (x) x G i ( ) ( ) = 1 π ii (x)π jj (x) = 1 π ii (x)π jj (x 1 ) G G i j x G i j x G ( ) 1 π ii (x)π ii (x 1 ) = 1 ( G /d π ) = 1. G G i x G j i Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

15 Πόρισµα G οµάδα, (ρ, H) unitary αναπαράσταση τ.ω. ρ = π n1 1 πn πnk k µε π i unitary irreducible αναπαραστάσεις µη ισοδύναµες ανά δύο. Τότε 1 (χ πi χ ρ ) = n i. 2 (χ ρ χ ρ ) = n n n 2 k. Πόρισµα G οµάδα, ρ unitary αναπαράσταση. Τότε η ρ είναι irreducible αν και µόνον αν (χ ρ χ ρ ) = 1. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

16 Πόρισµα G οµάδα, π, ρ unitary αναπαραστάσεις. Τότε οι π και ρ είναι ισοδύναµες αν και µόνον αν χ π = χ ρ. Απόδειξη π = π n1 1 πn πnk k ρ = π m1 1 π m π mk k µε π i unitary irreducible αναπαραστάσεις µη ισοδύναµες ανά δύο. Τότε n i = (χ π χ πi ) = (χ ρ χ πi ) = m i. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

17 Πρόταση G οµάδα, π unitary irreducible αναπαράσταση. Τότε η π είναι υποαναπαράσταση της λ µε πολλαπλότητα d π. Απόδειξη χ λ (x) = y G λ(x)e y, e y = y G e xy, e y. Αρα χ λ (x) = 0 αν x e και χ λ (x) = G αν x = e. Εχουµε (χ λ χ π ) = 1 G x G χ λ (x)χ π (x) = 1 G χ λ(e)χ π (e) = d π. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

18 Πρόταση G οµάδα. Τότε λ = π Ĝ π dπ Πόρισµα G έχει πεπερασµένο πλήθος unitary irreducible αναπαράστάσεων π 1, π 2,..., π k. Επιπλέον G = d 2 π 1 + d 2 π d 2 π k Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

19 Ποιό είναι το k; Συµβολίζουµε H(G) τον χώρο των class functions. H(G) = {f : G C : f(yxy 1 ) = f(x), x, y G} Οι ανήκουν στον H(G). Πρόταση dim H(G) = c, όπου c το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G. Πρόταση π 1, π 2,..., π k οι unitary irreducible αναπαραστάσεις της G και χ 1, χ 2,..., χ k οι αντίστοιχοι. Τότε οι χ 1, χ 2,..., χ k αποτελούν ϐάση του H(G). Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

20 Λήµµα f H(G), π unitary αναπαράσταση. Τότε π(f) {π(x) : x G}. Αν π irreducible τότε π(f) = (χ π f) G I d π Απόδειξη του Λήµµατος π(x)( f(g)π(g)) = f(g)π(xg) = g G g G g G f(x 1 g)π(g) = f(gx 1 )π(g) = f(g)π(gx) = ( f(g)π(g))π(x) g G g G g G Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

21 Αν π irreducible τότε π(f) = λi είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού και λ = tr π(f)/d π. Εχουµε tr π(f) = tr( f(g)π(g)) = f(g)χ π (g) = (χ π f) G g G g G Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

22 Απόδειξη της Πρότασης Από το Λήµµα (χ π f) = 0 π(f) = 0 για κάθε π Ĝ. Αρα λ(f) = 0. Εχουµε λ(f)e e = 0 x G f(x)λ(x)e e x G f(x)e x = 0 f = 0. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

23 Θεώρηµα Ĝ = S, όπου S το σύνολο των κλάσεων συζυγίας της G. Πόρισµα G αβελιανή αν και µόνον αν Ĝ = G. Απόδειξη Αν Ĝ = G, τότε οι κλάσεις συζυγίας είναι όσες η τάξη της G. Αρα κάθε κλάση συζυγίας περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

24 Παραδείγµατα G =< a > τ.ω.a 4 = e π 0 (a) = 1 π 1 (a) = i, π 2 (a) = 1, π 3 (a) = i Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

25 Παραδείγµατα G χ 0 χ 1 χ 2 χ 3 e a 1 ι -1 -ι a a 3 1 -ι -1 ι Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

26 Παραδείγµατα G =< a, b > τ.ω.a 2 = b 2 = e, ab = ba G = {e, a, b, ab} π 0 (a) = 1, π 0 (b) = 1 π 1 (a) = 1, π 1 (b) = 1, π 2 (a) = 1, π 2 (b) = 1, π 3 (a) = 1, π 3 (a) = 1, Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

27 Παραδείγµατα G χ 0 χ 1 χ 2 χ 3 e a b ab Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

28 Παραδείγµατα D 4 =< a, b > τ.ω.a 2 = b 4 = e, aba = b 1 π 0 (a) = π 0 (b) = 1 π 1 (a) = 1, π 1 (b) = 1 π 2 (a) = 1, π 2 (b) = 1 π 3 (a) = 1, π 3 (b) = 1 π 4 (a) = Ç å Ç 0 1, π 4 (b) = 1 0 å Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

29 Παραδείγµατα D 4 χ 0 χ 1 χ 2 χ 3 χ 4 e b b b a ba b 2 a b 3 a Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

30 Αναπαραστάσεις Πρόταση G οµάδα. Τότε η { d π π ij : π Ĝ, 1 i, j d π } είναι ορθοκανονική ϐάση του L 2 (G). Απόδειξη Αν οι π, ρ δεν είναι ισοδύναµες, και x G π ij (x)ρ lk (x) = x G x G π ij (x)π lk (x) = x G π ij (x)ρ kl (x 1 ) = 0. π ij (x)π kl (x 1 ) = δ il δ kj G /d π. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

31 Αν (f π ij ) = 0, τότε για κάθε π Ĝ. Αρα π(f) = 0 λ(f) = 0 f = 0 f = 0 γιατί λ(f)e e = 0 x G f(x)λ(x)e e x G f(x)e x = 0 f = 0. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

32 Πρόταση f L 2 (G) Θέτουµε Τότε ˆf(π) = (1/ G ) f(x)π(x 1 ). x G f(x) = π Ĝ d π tr(ˆf(π)π(x)). (L 2 (G) σύγκλιση) Μέτρο Plancherel του π είναι d π. Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

33 Παράδειγµα Z n Z n, ορίζουµε για k = 0, 1, 2,...n 1 π k : Z n C π k (m) = e 2πi km n Ẑ n = {π k : k = 0, 1, 2,...n 1} n 1 λ = π k k=0 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

34 Παράδειγµα f : Z n C Ορίζουµε τον µετασχηµατισµό της f ˆf : Ẑn C, ˆf(πk ) = 1 f(m)π k ( m). n m Z n Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

35 Παράδειγµα Τύπος της αντιστροφής: Ñ é 1 ˆf(πk )π k (m 0 ) = f(m)π k ( m) π k (m 0 ) n π k Zn π k Zn m Z n Ö è = 1 f(m) π k ( m)π k (m 0 ) n m Z n π k Zn Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

36 Παράδειγµα Ö = 1 f(m) e n m Z n π k Zn Αρα Κάθε σηµείο του Ẑn έχει µάζα (Μέτρο Plancherel). 2πi (m 0 m)k n è π k Zn ˆf(k)ρm0 (k) = f(m 0 ). 1. = f(m 0 ). Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

37 Παρατήρηση Αν G αβελιανή, τότε Ĝ αβελιανή όµάδα µε πράξη τον κατά σηµείο πολλαπλασιασµό. Αν x G, τότε η ρ x : Ĝ C, που ορίζεται ρ x (π) = π(x) είναι unitary irreducible αναπαράσταση της Ĝ. Κάθε unitary irreducible αναπαράσταση της Ĝ είναι της µορφής ρ x για κάποιο x G. Αρα Ĝ = G (Pontryagin duality). Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων

Σχετικά έγγραφα

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών 7 Ιουλίου 2015 1 χαρακτήρες χαρακτήρες Ορισµός G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση της G. Λέµε χαρακτήρα της π την συνάρτηση χ π : G, που ορίζεται χ(x) = tr π(x) Πρόταση G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση