Κεφάλαιο 4. Quantum Bits και Quantum Registers 4.. Ένα qubit, μία σφαίρα Bloch Σο στοιχειώδες μέτρο κβαντικής πληροφορίας είναι το quantum binary digit δηλαδή το quantum bit, δηλαδή το qubit. Ψς ένα qubit μπορεί να θεωρηθεί ένα κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων (πιο αυστηρά, qubit είναι ένα κβαντικό σύστημα του οποίου οι καταστάσεις ανήκουν σε ένα δισδιάστατο χώρο Hilbert, και πιο γενικά ακόμη, ένα κβαντικό σύστημα «έχει» n qubits αν οι καταστάσεις του ανήκουν σε ένα χώρο Hilbert n διαστάσεων και έτσι έχει, άρα, n αλληλο-ορθογώνιες κβαντικές καταστάσεις). Γυρνώντας στο ένα qubit, ονομάζουμε τη μία κατάσταση του και την άλλη. Κατά τα γνωστά, η αντιστοιχεί στην (,) Σ και η αντιστοιχεί (,) Σ. Οι δύο καταστάσεις είναι βάση του χώρου Hilbert. τη τρέχουσα συζήτηση δεν μας απασχολεί ποιες ακριβώς είναι οι φυσικές ιδιότητες που αναπαριστούν οι καταστάσεις (φωτονικές πολώσεις, ηλεκτρονιακά σπιν, κλπ). Η γενική μορφή μιας δισδιάστατης κατάστασης, που δεν μας απασχολεί το μήκος της (και που άρα το θέτουμε ίσο με τη μονάδα), ούτε μια συνολική φάση, (γενική μορφή δηλαδή δισδιάστατης ακτίνας) γράφεται (όπου έχουμε ξεκινήσει βεβαίως από τη τετραπαραμετρική Q = α + β με α,β μιγαδικά), ως: Q = cos(θ/) + sin(θ/) e iφ (4. - ) Μία τέτοια κατάσταση «ζει» πάνω στην επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας (άκρη του ανύσματος μπλε χρώματος στο σχήμα 4.). Η σφαίρα αυτή καλείται σφαίρα Bloch. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 96/6
Σχήμα 4.α. Η σφαίρα Bloch ενός δισδιάστατου κβαντικού συστήματος. Η κατάσταση Q «ζει» πάνω στη σφαίρα και προσδιορίζεται από τις παραμέτρους θ και φ. Οι δύο καταστάσεις της βάσης {, } βρίσκονται στους πόλους της σφαίρας. Η σφαίρα Bloch δεν «υπάρχει» πουθενά 49, αλλά είναι μία επιτρεπτή (και βολική) οπτικοποίηση της παραμετροποίησης (4. - ). Για να χτίσουμε το πυρήνα ενός κβαντικού υπολογιστή, τον κβαντικό register ή qu-register, θέλουμε πολλά τέτοια qubits. Όταν τέτοια qubits συντίθενται σε ένα σύστημα, ο χώρος Hilbert του είναι το γινόμενο. Για να κατανοήσουμε αυτό το χώρο καλύτερα είναι χρήσιμο να δούμε ποια είναι η βάση που τον καλύπτει. α φυσική βάση για ένα τέτοιο χώρο λαμβάνουμε τη βάση των ακόλουθων n ανυσμάτων:............... (4. - )...... n -...... n - η οποία καλείται και «υπολογιστική βάση» ή και «λεξικογραφική βάση». Έτσι, κλασσικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους n, θα αντιστοιχούν σε n-qubit κβαντικές καταστάσεις: 49 «Τπάρχει» όσο «υπάρχουν», για παράδειγμα, και οι σφαιρικές αρμονικές Y lm. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 97/6
i i i 3... i n i i i 3...i n i i i 3 i n (4. - 3) Για παράδειγμα, για 3 qubits έχουμε τη βάση {,,,,,,, }, η οποία σημειώστε μπορεί να γραφεί και {,,, 3, 4, 5, 6, 7 }, εξ ου και ο χαρακτηρισμός «υπολογιστική βάση». Ένα σύστημα από πολλά qubits, όπως π.χ. αυτό που θα αναπαριστά τη (4. - 3) καλείται quantum register ή quregister, σε αναλογία με τους κλασσικούς registers που είδαμε στο μέρος. Μια οπτικοποίηση ενός qu-register με σφαίρες Bloch σε τανυστικό γινόμενο φαίνεται στο σχήμα 4..... Σχήμα 4.. Ένας quregister σαν τανυστικό γινόμενο από σφαίρες Bloch. [Άσκηση 4. - : Επιβεβαιώστε ότι η μήτρα j σχέσης (4. - ) περί τον j άξονα, με j=x, y, z. ] ισοδυναμεί με στροφή κατά π της κατάστασης Q της Σχήμα 4.β. Οι καταστάσεις του πίνακα.3 επί της σφαίρας Bloch. ημειώστε ότι από την (4. - ) έχουμε Q = Q Q = cos( ) cos ( θ ) θ sin ( ) θ eiφ cos( ) θ sin ( θ ) e-iφ sin ( θ ) (4. - 4) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 98/6
στη βάση {, }. Σο πολύ σημαντικό είναι ότι η τελευταία σχέση μας οδηγεί στην εξίσωση 5 Q = Q Q = ( + α ) (4. - 5) όπου α = (α x, α y, α z ), α =, ένα κλασσικό άνυσμα μέτρου μονάδας (οπότε και τώρα έχoυμε δύο ελεύθερες παραμέτρους, όπως είχαμε πριν τα θ και φ), και = ( X, Y, Z ) η τριάδα των πινάκων του Pauli (βλέπε σχέση (.8 - ) για τον ορισμό της πράξης ). Σο άνυσμα α καλείται άνυσμα Bloch. Η ισότητα των (4. - 4) και (4. - 5) συμβαίνει διότι η (4. - 5) αναπτύσσεται ως Q = Q Q = +α z α x +i α y α x -i α y -α z (4. - 6) και οι δύο μήτρες (4. - 4) και (4. - 6) είναι ίσες αν επιβάλουμε κάποιες απλές σχέσεις στις συνιστώσες του α: α x = α x (θ,φ), α y = α y (θ,φ), α z = α z (θ,φ), όπως π.χ. α z = cos(θ). [Άσκηση 4. - : Βρείτε τις άλλες δύο σχέσεις.] Παρατηρείστε εν τάχει κάτι που θα ξανασυζητήσουμε αργότερα: = Q Q =Tr( Q) =Tr( ( +α )) = Tr + Tr( (α )) =α (4. - 7) Δηλαδή, η ποσότητα α είναι η αναμενόμενη τιμή του ανυσματικού τελεστή. Ας μην τον πούμε αποκλειστικά «τελεστή του σπιν», διότι η φυσική ιδιότητα που θα αναπαριστούν οι ιδιοτιμές του, μπορεί να μην σχετίζονται με την ιδιοστροφορμή (θυμηθείτε για παράδειγμα τα δύο διαμερίσματα του κιτίου στην άσκηση του κεφαλαίου.9.). Αποδείξτε, για διασκέδασή σας, αλλά και για να αποκτήσετε εξοικείωση με τον τελεστή, τη φοβερή σχέση 5 ημειώστε επίσης ότι και κάθε x χαμιλτονιανή μπορεί να γραφεί ως = /h ( ) Ψ + Ω περίπτωση καλείται άνυσμα Rabi., όπου το Ω σε αυτή τη ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 99/6
(a ) (b ) = (a Σ b) + i (axb). (4. - 8) Η απόδειξη της (4. - 8) χρειάζεται τις σχέσεις μετάθεσης και αντιμετάθεσης των α: [ α, β] = i ε αβγ γ και (4. - 9) α β + α β = δ αβ. (4. - ) Με βάση τη σχέση (4. - 8) έχουμε (μεταξύ πολλών άλλων) για παράδειγμα Q= 4( + α +α +α α ) = 4 ( +α +(ασ α) + i(αxα) ) = Q (4. - ) αφού α Σ α = και αxα =. Η σχέση (4. - 5) είναι σημαντική διότι μας ανοίγει τα φτερά στη μηχανική των σφαιρών Bloch. Θα μπορέσουμε έτσι να κάνουμε εύκολα ανέλπιστες γενικεύσεις και να εμβαθύνουμε στη δομή της Q και των γενικεύσεών της, περισσότερο από όσο μπορούμε να φανταστούμε απλά παρατηρώντας τη (4. - ). Παράδειγμα 4. - : Δύο καταστάσεις γράφονται [39]: α = ( + α ) και β = ( + β ) όπου γενικά έχουμε α = α και β = β. Οι ιδιοτιμες του α είναι ( α ) και του β είναι ( β ). Η fidelity, σχέση (3.9-7) μεταξύ των δύο, είναι f( α, β) = ( Tr α β α ) = + ασ β + - α - β. την ειδική περίπτωση που α = και β = τότε έχουμε καθαρές καταστάσεις. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε α = Χ α Χ α και β = Χ β Χ β, και έτσι Χ α Χ β = Tr α β = ( + ασ β ) = f ( α, β), ή αν προτιμάτε, δείτε την τελευταιά ακολουθία ισοτήτων με την αντίστροφη σειρά. 4.. Μηχανική σφαιρών Bloch τις τρεις διαστάσεις (δηλαδή σε σύστημα με χαμιλτονιανή 3 καταστάσεων, όπου το σύστημα καλείται qutrit ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6
και όχι qubit), η (4. - 5) γίνεται = 3 ( + 3 α ) (4. - ) όπου το α είναι διάνυσμα οκτώ συνιστωσών, και η ποσότητα αναπαριστά τις οκτώ μήτρες Gell-Mann: =, = i -i, 3 = -, 4 =, 5 = i -i, 6 =, 7 = i -i, 8 = 3 - (4. - 3) Οι μήτρες i ικανοποιούν τις σχεσεις: Tr( i j ) = δ ij, [ i, j] = i C ijk k, και i j + j i = (4/3) δ ij + D ijk k, όπου C ijk και D ijk είναι σταθερές ποσότητες. τις d διαστάσεις (δηλαδή σε σύστημα d καταστάσεων), έχουμε = d ( + f(d) α ) (4. -4) όπου το α είναι (d -)-διάστατο, η f(d) είναι απλή συνάρτηση του d και οι μήτρες ικανοποιούν την άλγεβρα Lie του (d). είναι dxd μήτρες που Έστω ότι τώρα έχουμε τρεις καταστάσεις Q, Q και Q 3. Βεβαίως κατά τα γνωστά θα έχουμε τρεις Qi που για απλότητα γράφουμε,, 3 και τα αντίστοιχα α, α και α 3. ημειώστε ότι για την συζήτηση αυτή δεν μας ενδιαφέρει το d, το οποίο μπορεί να είναι, μπορεί να είναι και μεγαλύτερο. Για απλότητα των πράξεων πάντως, διαλέγουμε σε ότι ακολουθεί d =. Έστω λοιπόν, ότι η κάθε Q i, έχει συσχετισμένη μια κλασσική πιθανότητα p i, (με p + p + p 3 = ), οπότε έχουμε μία συνολική στη λογική της μικτής κατάστασης ως ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6
= p Q Q + p Q Q + p 3 Q 3 Q 3 = p + p + p 3 3 (4. - 5) Η έτσι όπως ορίστηκε μπορεί να αντιστοιχίσει σε ένα δικό της άνυσμα Bloch α ως α = p α + p α + p 3 α 3 (4. - 6) Εισάγουμε τώρα μια ποσότητα που καλείται περίμετρος P, ως P := α - α + α - α 3 + α 3 - α = 6 - (α T α + α T α 3 + α 3 T α ) (4. - 7) Σχήμα 4.3. Η περίμετρος P, για τρία δικαστασιακά ανύσματα. Όταν d=, τότε, Q Q = σημαίνει ότι οι δύο καταστάσεις είναι πάντα ακτινικά αντίθετες στον ίδιο παράλληλο επί της σφαιρας Bloch. Συνεπώς, τρεις καταστάσεις μέγιστα «καθετο-ποιημένες», βρίσκονται στην ίδια μέγιστη κυκλική διατομή (φ -φ =), όμως δεν θα έχουν ποτέ Q i Q j =, αλλά Q Q = cos(θ / - θ /) = cos(π/3) = - /. Άρα, Q max = 3/4 και P max =9. [Άσκηση 4. -3: Κάντε τις πραξεις]. Η ποσότητα P μας λέει πόσο διαφέρουν κατά μέσο όρο οι τρεις καταστάσεις. Όσο πιο ορθογώνιες είναι τόσο μεγαλύτερο είναι και η P. Η τελευταία πρόταση μπορεί να δειχθεί ως εξής Q := Q Q + Q Q 3 + Q 3 Q = Tr + Tr 3 + Tr 3 = + α Σ 3 α = 3 - P 4 = ( + ασ α ) + ( + ασ α ) 3 + ( ) (4. - 8) Εάν οι καταστάσεις ταυτίζονται, τότε έχουμε Q min = 3 και συνεπώς P min =. Εάν οι καταστάσεις είναι όσο το δυνατόν πιο ορθογώνιες τότε έχουμε Q max = 3/4 και P max = 9. Σο P max = 9 προκύπτει από τη περίμετρο του μέγιστου ισόπλευρου τριγώνου εντός της σφαίρας, δηλαδή εντός ενός μέγιστου κύκλου (αυτό το ισόπλευρο ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6
σπάει σε τρία ισοσκελή με κοινή κορυφή το κέντρο της σφαίρας, στη κορυφή έχουμε μοίρες, και από το θεώρημα του συνημίτονου προκύπτει άμεσα το 3 για το μήκος της βάσης του κάθε ισοσκελούς, οπότε 3 x 3 =9). [Άσκηση 4. - 4: δείξτε το.] Ας θεωρήσουμε τώρα όχι τρεις, αλλά t ισοπίθανες καταστάσεις (με p i =/t δηλαδή). Πάντα d =. Πάντα θα έχουμε μία που θα ορίζει τη γενική μικτή κατάσταση. Η κατάσταση αυτή έχει μία Von Neumann εντροπία ίση με (βλέπε σχέση (.3-34)): S( ) = -Tr( ln ). (4. - 9) Για να βρούμε πόση είναι αυτή και πως σχετίζεται με τη περίμετρο, θα πρέπει να διαγωνοποιήσουμε τη, να βρούμε δηλαδή τις ιδιοτιμές της. Αν π.χ. οι ιδιοτιμές της είναι χ + και χ -, τότε, πολύ απλά θα έχουμε S = -χ + ln χ + - χ - ln χ - (4. - ) Σώρα, θα έχουμε α = (α + α +... + α t )/t (4. - ) και θα έχουμε για τις ιδιοτιμές: χ = α = ( ) ασ α (4. - ) Επειδή τώρα α Σ α = (t + α α + α α 3 + + α t- α t )/t = t - P t (4. - 3) λαμβάνουμε S = - + t - P t ln + t - P t - - t - P t ln - t - P t (4. - 4) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 33/6
το παρακάτω σχήμα φαίνεται η σχέση μεταξύ εντροπίας και περιμέτρου στις δύο διαστάσεις για t=3. ε παραπάνω διαστάσεις τα πράγματα μπερδεύονται. S P Σχήμα 4.4. Η σχέση εντροπίας και περιμέτρου επι της σφαίρας Bloch. Εδώ d = και t = 3. Οι t καταστάσεις είναι ισοπίθανες και P max =9. Είναι ενδιαφέρον ότι η εντροπία μιας μικτής κατάστασης σχετίζεται με μια αύξουσα συνάρτηση μίας κατάλληλα ορισμένης περιμέτρου (ακόμη και αν η περίμετρος δεν ανήκει σε «φυσικό» αντικείμενο). Μας θυμίζει αυτό την εντροπία Bekenstein-Hawking μιας μαύρης τρύπας S = 4 c 3 h/g A = 4 Α l P (4. - 5) όπου A είναι η επιφάνεια της μαύρης τρύπας και l P το μήκος Plank. Ενώ όμως η σχέση Bekenstein-Hawking ίσως ξεκαθαρίζει κάπως από την «ολογραφική αρχή» του Gerard t Hooft (περί τα 994) που λέει ότι η πληροφορία μιας φυσικής κατάστασης στο εσωτερικό μιας περιοχής μπορεί να αναπαρασταθεί επί του συνόρου αυτής της περιοχής και περιορίζεται από την επιφάνεια αυτού του συνόρου, η σχέση εντροπίας και περιμέτρου (4. - 4), παρότι ενδιαφέρουσα, είναι μάλλον συμπτωματική. 5 5 Διακοπή για τροχαδάκι εδώ. Η πληροφορία και οι μαύρες τρύπες είναι ένα τεράστιο θέμα. Θα το αγγίξουμε στο μέρος 6 του βιβλίου. Η ιστορία έχει ως εξής: Μια επιφάνεια Α δεν έχει άπειρη διαμέριση, αλλά υπάρχει κατώτατη μονάδα επιφανείας, Α, το τετράγωνο του μήκους Plank. Άρα, υφίστανται, στις n = Α/Α θέσεις της επιφάνειας της μαύρης τρύπας, κβαντικές οντότητες που δύνανται να αποθηκεύσουν πληροφορία. Οι οντότητες αυτές είναι qubits, και πιο ακριβέστερα κατάλληλες αναπαραστάσεις των ιδιοανυσμάτων του τελεστή επιφάνειας (στα πλαίσια της κβαντικής βαρύτητας). Επειδή μια ομάδα n qubits έχει εκθετικά εκρηγνυόμενη ικανότητα αναπαράστασης πληροφορίας ( n ), και επειδή η μονάδα επιφάνειας Plank είναι μια ικανά μικρή ποσότητα, αρχίζουμε να συνειδητοποιούμε τον πολύ μεγάλο όγκο πληροφορίας που μια μαύρη τρύπα μπορεί να «αποθηκεύσει» στην επιφάνειά της. (Μια μαύρη τρύπα διαμέτρου mm δίνει n 64 ). ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 34/6
Επειδή η που αντιστοιχεί σε μία Χ δεν αποτελείται από ποσότητες που θα μπορούσαν οι πειραματικοί να μετρήσουν κατ ευθείαν στο εργαστήριο, τίθεται το ζητούμενο: να βρεθεί μία αναπαράσταση της Χ που να είναι άμεσα συσχετίσιμη με μετρήσιμα δεδομένα. Για κβαντικά συστήματα με πεπερασμένο πλήθος ενεργειακών επιπέδων, όπου η διάσταση d του αντίστοιχου χώρου Hilbert είναι πεπερασμένη, το άνυσμα Bloch είναι μία καλή αναπαράσταση της Χ. Αν i (i =,, 3,, d -) λοιπόν είναι οι ορθογώνιοι γεννήτορες της..4.ε σχετικά) τις σχέσεις: (d), που ικανοποιούν (βλέπε κεφάλαιο i+ = i (4. - 6) Tr( i ) = (4. - 7) Tr( i + j) = δ ij (4. - 8) και αφού οι i μαζί με την αποτελούν βάση για το χώρο των γραμμικών τελεστών, ένας τελεστής πυκνότητας μπορεί να γραφεί: = d - ( ) d Tr( ) + Tr( i) i = i = d + d - i = i i (4. - 9) όπου έχει γίνει χρήση της Tr( ) = και Tr( i) = i. Από φυσική άποψη αυτό σημαίνει ότι χρειάζεται μόνο να ξέρουμε τις αναμενόμενες τιμές των i για να καθορίσουμε την κατάσταση (τον τελεστή πυκνότητας). Αξίζει να σημειώσουμε πριν προχωρήσουμε ότι η ιδιότητα (4. - 6) επάγει ότι τα i είναι παρατηρήσιμα, η (4. - 7) ότι τα i και το είναι κάθετα, ενώ ο (4. - 8) ότι τα i είναι κάθετα μεταξύ τους. Επίσης, τα i είναι γεννήτορες της (d), αφού κάθε μήτρα (d) «γεννιέται» από τα i με βάση τη σχέση: = exp i d - j = u j j με u j. (4. - 3) Και τώρα πίσω στη. Αφού λοιπόν όλα τα i μπορούν να δώσουν την κατάσταση (το τελεστή πυκνότητας), μπορούν αυτά τα ίδια να ορίσουν ένα άνυσμα που θα αναπαριστά πλήρως τη κατάσταση. Αυτό το άνυσμα ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 35/6
είναι το άνυσμα Bloch, β, β d - με στοιχεία β = β β β d - = d- (4. -3) Έτσι β και είναι πλήρως ισοδύναμα μέσω της σχέσης: = d - d + β i i = i = d + d β (4. - 3) Παρόλο που αυτός ο ορισμός του β είναι απλός, ο προσδιορισμός της υπερσφαίρας, πιο σωστά της πολλαπλότητας που ανήκει, δεν είναι εύκολη υπόθεση και η δομή συστημάτων με πολλά ενεργειακά επίπεδα είναι πολύ πιο περίπλοκη υπόθεση από ότι είδαμε για τα δι-επίπεδα συστήματα, που εκεί ο χώρος είναι η σφαίρα Bloch. Σο πιο σημαντικό σημείο του ανύσματος Bloch είναι ότι αποτελείται από πειραματικά δεδομένα. Για περισσότερες πληροφορίες μπορεί κανείς να ανατρέξει στα [9-3]. 4..3 Τι είναι λοιπόν ένα qubit; Σι είναι λοιπόν ένα qubit; Ένα qubit στην ουσία ορίζεται διαμέσου του τρόπου με τον οποίο κάποιος μπορεί να λάβει πληροφορία από αυτό, και για τον έλεγχό του αλλά και για τη μέτρησή του. Σα qubits συνήθως σχετίζονται με τελεστές που περιγράφονται από τις τυπικές μήτρες του Pauli, που ικανοποιούν τις (4. - 9) και (4. - ). Αυτή είναι όμως μία περιορισμένη θέαση των πραγμάτων διότι υπάρχουν πολλές αναπαραστάσεις της (). Η αναπαράσταση διαστάσεων είναι αυτή των πινάκων Pauli. Τπάρχει όμως και τρισδιάστατη [3], η [3] = [3] = i -i i = ( ) + 6 (4. - 33α) -i = ( ) + 7 (4. - 33β) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 36/6
3[3] = - = 3 + 3 8 (4. - 33γ) όπου οι μήτρες i είναι εδώ οι μήτρες Gell-Mann. [Άσκηση 4. - 5: Αυτό που λέμε παραπάνω είναι ότι οι (4. - 33) ικανοποιούν τις (4. - 9) και (4. - ). Δείξτε λοιπόν, για παράδειγμα ότι [ [3], [3] ] = i 3 [3]. ] Όπως λοιπόν γράφουμε [] = ( + α [] ) (4. - 34) έτσι μπορούμε και να γράψουμε (το α πάντα άνυσμα στις τρεις διαστάσεις): [3] = 3 ( + α [3] ) (4. - 35) Κάθε χειρισμός της [] δισδιάστατη αναπαράσταση της (). μπορεί να βρει μίμηση 5 στη [3]. Ένα qubit είναι σαφώς κάτι πολύ παραπάνω από τη Παρόλο που η φράση αυτή λέει ότι το d=3 «καλύπτει» το d=, θα δούμε ανακλάσεις αυτής της φράσης όταν αργότερα, στους κβαντικούς κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων, θα κωδικοποιούμε λογικά qubits της d= σε παραπάνω από ένα φυσικά qubits ώστε να κάνουμε τα λογικά qubits ανθεκτικά σε παραμορφώσεις (βλέπε π.χ παράγραφο 4..6, για έναν τέτοιο 3-qubit κώδικα). [Άσκηση 4. - 6: Έστω ότι ένα qubit είναι στη κατάσταση, και μετράμε το παρατηρήσιμο Φ. Ποια είναι η μέση τιμή του Φ; Ποια είναι η αβεβαιότητα του Φ; ] [Άσκηση 4. - 7: Έστω ένα μοναδιαίο διάνυσμα α (με α =). Η ποσότητα α καλείται καμμιά φορά «μέτρηση του σπιν κατά την διεύθυνση α». (α) Δείξτε ότι οι ιδιοτιμές του τελεστή α είναι πάντα, όποιο 5 Ένα παρατηρήσιμο μέγεθος στην -διάστατη αναπαράσταση είναι το [] = m + m [] (βλέπε π.χ. σχέση με άνυσμα Rabi). Η μέση τιμή του είναι: Tr( [] [] ) = m +m T α. Για την 3-διάστατη αναπαράσταση μπορούμε να ορίσουμε το παρατηρήσιμο [3] = m + (3/4) m [3] με μέση τιμή και πάλι Tr( [3] [3] ) = m +m T α. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 37/6
και αν είναι το μοναδιαίο α. (β) Δείξτε επίσης ότι οι ποσότητες := ( α ) είναι οι προβολικοί τελεστές στους αντιστοιχούντες ιδιοχώρους των ιδιοτιμών. ] [Άσκηση 4. - 8: Τπολογίστε την πιθανότητα p(+) λήψης του αποτελέσματος + μετά από μέτρηση του α (με α =), με δεδομένο ότι η αρχική κατάσταση είναι η κατάσταση. Ποια είναι η κατάσταση του συστήματος μετά την λήψη του αποτελέσματος της μέτρησης; ] ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 38/6
Κεφάλαιο 4.3 Η τετραγωνική ρίζα της άρνησης και άλλες κβαντικές λογικές πύλες 4.3. Υπολογισμοί σε ένα qubit και η φοβερή μοναδιακότητα Πως μπορεί κάποιος να πραγματώσει υπολογισμούς επί των qubits; Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση f που με είσοδο το αριθμό (ή τη συμβολοσειρά) i i i 3...i n δίδει σαν έξοδο τον αριθμό f(i i i 3...i n ), δηλαδή f: i i i 3...i n f(i i i 3...i n ), από τα n qubits στα n qubits. Ουσιαστικά, θέλουμε το φυσικό σύστημα που χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση των qubits να εξελιχθεί με κάποιο τρόπο ως: Χ = i i i 3...i n i i i 3...i n = f(i i i 3...i n ) = Χ (4.3 - ) με τη πάροδο κάποιου πεπερασμένου χρονικού διαστήματος t. τη περίπτωση του ενός qubit, βλέπουμε στο σχήμα 4.5 τι σημαίνει ακριβώς ένας «υπολογισμός για ένα qubit». Κατά μία προσέγγιση είναι μια «στρέψη της κατάστασης Χ του φυσικού συστήματος επί της μοναδιαίας σφαίρας σε μια νέα θέση Χ. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 39/6
Σχήμα 4.5. Αναπαράσταση ενός κβαντικού υπολογισμού. Προσοχή βέβαια στο ότι το σχήμα 4.5 είναι περιγραφικό, διότι οι γενικές Χ και Χ πολλών qubit ανήκουν σε υπερσφαίρα Bloch. Πρέπει λοιπόν να βρούμε τη χαμιλτονιανή που θα παράγει αυτή την εξέλιξη μέσω της εξίσωσης του Schrödinger (4. - 4). Πρέπει δηλαδή να βρούμε την ξέροντας τη. Λύση για την υπάρχει πάντα, αν η είναι μοναδιακή. Πρέπει κανείς να προσέξει το θέμα της μοναδιακότητας. Σο κβαντικό ανάλογο μιας κλασσικής πράξης θα είναι μοναδιακό εάν η f είναι ένα-προς-ένα, ή αντιστρέψιμη. Άρα, αντιστρέψιμες κλασσικές συναρτήσεις μπορούν να υλοποιηθούν από φυσικές χαμιλτονιανές. Έχει επίσης αποδειχθεί ότι κάθε κλασσική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως μία αντιστρέψιμη συνάρτηση χρησιμοποιώντας λίγα παραπάνω bit. Επιπλέον, αν η f μπορεί να υπολογισθεί κλασσικά με (πολυωνυμικά πολλά) στοιχειώδη αντιστρέψιμα βήματα, τότε η αντίστοιχη είναι επίσης αποδομήσιμη σε μια ακολουθία (πολυωνυμικά πολλών) στοιχειωδών μοναδιακών μετασχηματισμών. Άρα, τα κβαντικά συστήματα μπορούν να μιμηθούν όλους τους κλασσικούς υπολογισμούς. τοιχειώδεις μοναδιακές πράξεις σε qubits καλούνται «κβαντικές λογικές πύλες». Για παράδειγμα, εάν ένα qubit εξελίσσετε ως Αν τότε Αν τότε e iωt (4.3 - ) τότε, μπορούμε να πούμε ότι, μετά από χρόνο t, η πράξη ή η κβαντική λογική πύλη (θ) = iθ (4.3-3) e έχει τελεστεί επί του qubit με θ = ωt. Αυτό μπορεί επίσης να γραφεί ως (θ) := + e iθ (phase shift) (4.3-4) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6
και να αναπαρασταθεί το ισοδύναμο «κύκλωμα», γραφικά, όπως στο σχήμα 4.6. Σχήμα 4.6. Γραφική αναπαράσταση του «κυκλώματος» της πρώτης σημαντικής κβαντικής λογικής πύλης που συναντούμε, της πύλης phase-shift. Σημειώστε τη σχηματική απόδοση χώρου και χρόνου στο σχήμα. Επίσης: α {,}. Γενικά, μία Κβαντική Λογική Πύλη είναι μία «συσκευή» που τελεί μία δεδομένη μοναδιακή πράξη σε επιλεγμένα qubits σε μία δεδομένη πεπερασμένη χρονική περίοδο, ενώ ένα Κβαντικό Δίκτυο Πυλών είναι μία συσκευή αποτελούμενη από κβαντικές λογικές πύλες των οποίων τα υπολογιστικά βήματα είναι συγχρονισμένα. Οι έξοδοι κάποιων εκ των πυλών του δικτύου διασυνδέονται με «καλώδια» με κάποιες εισόδους άλλων πυλών. Σο μέγεθος του δικτύου παρέχεται από το πλήθος των πυλών που εμπεριέχει. Μερικές άλλες στοιχειώδεις κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα μόνο qubit, είναι οι: := + = = (ταυτότητα) (4.3-5) και := + = = (άρνηση, NOT) (4.3-6) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6
Σχήμα 4.7. Γραφική αναπαράσταση της κβαντικής λογικής πύλης. Επίσης: α {,}. Η κβαντική NOT πηγαίνει το στο και το στο και έτσι είναι ανάλογη της κλασσικής ΝΟΣ. Η πύλη αυτή καλείται και, διότι είναι η πρώτη μήτρα του Pauli που παραδοσιακά σχετίζεται με την καρτεσιανή διάσταση x. Προτού προχωρήσετε πρέπει να καταλάβετε πολύ καλά γιατί ονομάζουμε τον τελεστή και «πύλη NOT». Προφανώς όλη η ουσία βρίσκεται στο κβαντικό τελεστή και όχι στο τι γράφουμε μέσα στις ετικέτες των ιδιοανυσμάτων του. Συχαίνει όμως με έξυπνη, και όχι τυχαία έξυπνη, επιλογή των ετικετών, να «πραγματώνουμε» επί των ετικετών την κλασσική πύλη NOT. [Άσκηση 4.3 - : Δείξτε το αυτό όσο πιο αναλυτικά νιώθετε ότι πρέπει]. Μια πολύ ενδιαφέρουσα παραλλαγή στο θέμα της άρνησης, που όμοια της δεν υπάρχει κλασσικά, είναι το εξής. Κβαντικά μπορούμε να ορίσουμε μία πύλη, που ούτε λίγο ούτε πολύ είναι η τετραγωνική ρίζα της άρνησης: := +i -i -i +i (τετραγωνική ρίζα της άρνησης) (4.3-7) Αφού ( Υ ) = Υ (4.3-8) Βλέποντας τον πίνακα. του πρώτου μέρους, είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι η τετραγωνική ρίζα της άρνησης ταυτίζεται με τη μήτρα μετασχηματισμού από την κεκλιμένη βάση στη βάση στρέψης. Μια φιλοσοφικότερη θέαση της μας θυμίζει την (. - 73) και πως εκεί επεκτείναμε τους πραγματικούς αριθμούς προς τους μιγαδικούς με τη εισαγωγή και χρήση της τετραγωνικής ρίζας του -, τη τετραγωνική ρίζα της απλούστερης δηλαδή άρνησης: της αρνητικής μονάδας! Και εδώ, η κβαντική λογική μας δίνει τέτοιες αναπάντεχες επεκτάσεις της κλασσικής λογικής. Μια πολύ σημαντική πύλη είναι η ακόλουθη: ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6
:= (( ) ) + +( ) - = = - = ( + 3 ) (Haddamard, Beam-Splitter, στροφή) (4.3-9) Σχήμα 4.8. Γραφική αναπαράσταση της κβαντικής λογικής πύλης Haddamard. Βλέποντας τον πίνακα. του πρώτου μέρους, είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι ο τελεστής του Haddamard ταυτίζεται με τη μήτρα μετασχηματισμού από την XY-βάση στη κεκλιμένη βάση. τα σχήματα 4.9α και 4.9β παρακάτω, φαίνονται διάφορες φυσικές όψεις του μετασχηματισμού Haddamard. Σχήμα 4.9. Φυσικές όψεις του μετασχηματισμού Haddamard. [Άσκηση 4.3 - : την πειραματική υλοποίηση της κβαντικής υπολογιστικής με τεχνικές πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού (NMR), η πύλη Hadamard, υλοποιείται ως στροφή π περί τον άξονα ( ^x + ^z ) /. Δείξτε για ποιο λόγο κάτι τέτοιο είναι δυνατό. ] Άλλες δύο σημαντικές πύλες, πολύ στενά δεμένες με τις μήτρες του Pauli: := = - = - = 3 (phase shift π, (π)) (4.3 - ) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 33/6
:= = - = - = -i (4.3 - ) [Άσκηση 4.3-3: Δείξτε όλες τις παραπάνω ισότητες]. Παρατηρήστε ότι με τις και μπορούμε να κατασκευάσουμε και τις και. Αυτό θα αποδειχθεί πολύ χρήσιμο αργότερα, όταν θα συζητήσουμε τους κβαντικούς κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων (QECC quantum error correcting codes). ημειώστε ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός κβαντικών στοιχειωδών λογικών πυλών σε αντίθεση με την κλασσική υπολογιστική όπου μόνο δύο λογικές πύλες είναι επιτρεπτές για ένα μόνο bit: η ταυτότητα και η λογική άρνηση (ΝΟΣ). Οι πύλες και μπορούν να συνδυαστούν στο σειριακό κύκλωμα της ακόλουθης ακριβούς μορφής: (φ+π/) (θ), το οποίο μπορεί να δώσει τη γενική κατάσταση του ενός qubit: Q =e iθ (cosθ +sinθ e iφ ). Σχήμα 4.. Παραγωγή της σχέσης (4. - ). Η αρχική κατάσταση είναι η. Η συνολική φάση δεν μας ενοχλεί. Αν μάλιστα βάζαμε τη πύλη (θ) αντί της (θ) θα παίρναμε ακριβώς την (4. - ). Άρα, οι πύλες και μπορούν να παράγουν κάθε μοναδιακό μετασχηματισμό ενός μόνο qubit. ημειώστε τέλος ότι =, =, =. (4.3 - ) και ότι οι πύλες του συνόλου {,,, } σχηματίζουν ομάδα κάτω από τον πολλαπλασιασμό. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 34/6