«ΜΕΛΕΤΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΜΠΟΤΣΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΕ «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ, ΥΛΟΠΟΙΗΣΕΙΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» «ΜΕΛΕΤΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΜΠΟΤΣΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΟΝ ΜΕΛΟΣ ΔΕΠ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΜΠΕΡΜΠΕΡΙΔΗΣ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΜΠΕΡΜΠΕΡΙΔΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΒΑΡΒΑΡΙΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΤΟΥΜΠΑΚΑΡΗΣ ΠΑΤΡΑ, ΜΑΙΟΣ 2013

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου Κ. Μπερμπερίδη και τα παιδιά του εργαστηρίου Ε.Βλάχο και Χ.Τσίνο για την βοήθειά τους στην εκπόνηση της μεταπτυχιακής εργασίας. Οφείλω, επίσης, να ευχαριστήσω τους Ε.Βαρβαρίγο και Δ.Τουμπακάρη για την τιμή που μου έκαναν με τη συμμετοχή τους στην τριμελή επιτροπή. Θα ήθελα, τέλος, να ευχαριστήσω την οικογένειά μου που με τις δικές τις στερήσεις στηρίζει τις προσπάθειές μου καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου.

Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ-ΟΡΓΑΝΩΣΗ... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑΣ ΤΑΞΗΣ... 13 ΕΝΟΤΗΤΑ 2.1: Μοντέλο συστήματος... 13 ΕΝΟΤΗΤΑ 2.2: Βελτιστοποίηση κριτηρίων... 15 Ενότητα 2.2.1: Ελαχιστοποίηση της ενέργειας μετάδοσης με ταυτόχρονη ικανοποίηση του SNR (κριτήριο 1)... 15 Ενότητα 2.2.2: Μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμό της ολικής ενέργειας (κριτήριο 2)... 19 Ενότητα 2.2.3: Μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια ανά ενδιάμεσο κόμβο (κριτήριο 3)... 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ... 32 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.1: Μοντέλο επικοινωνίας... 32 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.2: Εκτίμηση καναλιού... 36 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.3: Κβάντιση... 39 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.4: Μοντέλο καναλιού... 40 Ενότητα 3.4.1: Παράγοντες υποβάθμισης σήματος... 41 Ενότητα 3.4.2: Κανάλια Rayleigh... 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ... 48 ΕΝΟΤΗΤΑ 4.1: Ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας με ταυτόχρονο περιορισμό του SNR... 49 ΕΝΟΤΗΤΑ 4.2: Μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ολική ενέργεια μετάδοσης... 57 Ενότητα 4.2.1: Μέθοδος εργασίας [1]... 60 Ενότητα 4.2.2: Μέθοδος εργασίας [2]... 63 ΕΝΟΤΗΤΑ 4.3: Μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια ανά κόμβο... 66 Ενότητα 4.3.1: Μέθοδος Διχοτόμησης [1]... 70 Ενότητα 4.3.2: Απλοποιημένη μέθοδος [1]... 73 Ενότητα 4.3.3: SDP μέθοδος [2]... 76 Ενότητα 4.3.4: Επαναληπτική μέθοδος [3]... 79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ... 85 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 86 1

2

ΠΕΡΙΛΗΨΗ-ΟΡΓΑΝΩΣΗ Σκοπός αυτής της εργασίας είναι η μελέτη τεχνικών κατανεμημένου προσανατολισμού σε πραγματικές συνθήκες. Πιο συγκεκριμένα σε αυτά στα συστήματα θεωρείται ότι ο κόμβος-πομπός δεν έχει τη δυνατότητα να μεταδόσει απευθείας στον κόμβo-προορισμό, χωρίς δραματική αύξηση της ενέργειας μετάδοσης. Παρόλα αυτά με τη χρήση κατανεμημένου προσανατολισμού δίνεται η δυνατότητα να βελτιωθεί σημαντικά η κατανάλωση ενέργειας. Για την ακρίβεια, ο πομπός χρησιμοποιεί μία ομάδα από ενδιάμεσους και ανενεργούς κόμβους, οι οποίοι εκπέμπουν ταυτόχρονα το μήνυμά του με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε η μετάδοση να είναι προσανατολισμένη σε μία κατεύθυνση. Με αυτό τον τρόπο επιτυγχάνεται κέρδος ποικιλομορφίας (diversity gain), μικρότερη κατανάλωση ενέργειας και μικρότερη παρεμβολή (λόγω μικρότερης ενέργειας μετάδοσης και λόγω προσανατολισμού). Σαν σχήμα με το οποίο οι ενδιάμεσοι κόμβοι χειρίζονται το μήνυμα που λαμβάνουν από τον πομπό, θεωρήθηκε το σχήμα της ενίσχυσης και προώθησης (Amplify and Forward) με την οποία οι συνεργατικοί κόμβοι απλώς ενισχύουν και στην συνέχεια επαναμεταδίδουν το μήνυμα. Συνεπώς, ζητούμενο στο σχήμα αυτό είναι η εύρεση των μιγαδικών βαρών με το οποίο πρέπει ο κάθε συνεργαζόμενος κόμβος χωριστά να ενισχύσει το σήμα. Η αναζήτηση των μιγαδικών βαρών πρέπει να γίνει με βάση κάποιο κριτήριο βελτιστοποίησης. Στην εργασία αυτή οι τεχνικές κατανεμημένου προσανατολισμού που χρησιμοποιήθηκαν είχαν ως κριτήρια την ελαχιστοποίηση της ενέργειας μετάδοσης με ταυτόχρονη ικανοποίηση ενός κάτω κατωφλίου για το SNR, και μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια μετάδοσης. Την πρώτη περίπτωση ελαχιστοποίησης της ενέργειας μετάδοσης την εξετάζουμε σε συστήματα με ένα ζευγάρι πομπού-προορισμού και στη συνέχεια την εξετάζουμε σε συστήματα με περισσότερα ζευγάρια. Την δεύτερη περίπτωση, μεγιστοποίησης του SNR, την εξετάζουμε σε δύο υποπεριπτώσεις: στην μία έχοντας περιορισμένη την ολική ενέργεια μετάδοσης και στην δεύτερη και πιο πραγματική έχοντας περιορισμένη την ενέργεια μετάδοσης σε κάθε κόμβο. Η μελέτη του συστήματός μας περιορίζεται σε μετάδοση δύο βημάτων. Στο πρώτο βήμα ο κόμβος-πομπός στέλνει τα δεδομένα στους ενδιάμεσους κόμβους και στο δεύτερο βήμα οι συνεργαζόμενοι κόμβοι στέλνουν τα δεδομένα με την ενίσχυση στον προορισμό. Από τη φύση του προβλήματος, ο κατανεμημένος προσανατολισμός αναμένεται να έχει μεγάλη απήχηση σε συστήματα με πολλούς διασκορπιστές και εμπόδια, όπως σε ένα αστικό περιβάλλον. Συνεπώς, η θεώρηση ότι τα κανάλια του συστήματος είναι Rayleigh, δηλαδή ασυσχέτιστα χωρίς οπτική επαφή (LOS-line of sight) είναι μία πιθανή και έγκυρη προσέγγιση ενός συστήματος σε πραγματικές συνθήκες. Ένα τέτοιο μοντέλο καναλιού που μπορεί να συνδυάσει διαλείψεις και κίνηση των ενδιάμεσων κόμβων με αρκετά καλή ακρίβεια είναι το μοντέλο Jakes, το οποίο και χρησιμοποιείται στην εργασία για τη δημιουργία των καναλιών του συστήματος. 3

Η εύρεση του διανύσματος των βέλτιστων μιγαδικών βαρών πρέπει να έχει την ακριβή γνώση των στιγμιαίων καναλιών. Αυτό φυσικά είναι αδύνατο να επιτευχθεί και κατά συνέπεια πιο ρεαλιστική είναι η προσέγγιση του προβλήματος με τα στατιστικά του καναλιού, τα οποία χρησιμοποιούν οι μέθοδοι που υλοποιούμε στην εργασία για την εύρεση του διανύσματος. Φυσικά, για την μελέτη πραγματικού συστήματος, ακόμα και αυτό δεν είναι αρκετό. Μείωση στην απόδοση θα έχουμε λόγω της μη τέλειας εκτίμησης του καναλιού, που μπορεί να οφείλεται στη χρονική μεταβλητότητα του καναλιού ή και σε σφάλματα κβαντισμού. Η εκτίμηση καναλιού, εφόσον θεωρούμε ότι έχουμε Gaussian λευκό θόρυβο γίνεται με την χρήση του βέλτιστου γραμμικού εκτιμητή (Best Linear Unbiased Estimator). Η επίδραση των σφαλμάτων εκτίμησης του καναλιού μελετάται για δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση, θεωρούμε ότι το κανάλι μεταξύ συνεργαζόμενων κόμβων και προορισμού είναι αμοιβαίο, δηλαδή ισχύει ότι το κανάλι που διανύει το σήμα από τον συνεργαζόμενο κόμβο στον προορισμό είναι ίδιο με το κανάλι που διανύει το σήμα από τον προορισμό στον συνεργαζόμενο κόμβο. Η εκτίμηση του καναλιού σε αυτή την περίπτωση δύναται να γίνει μέσω της αποστολής μιας ακολουθίας εκμάθησης από τον προορισμό στους ενδιάμεσους κόμβους. Στην δεύτερη περίπτωση, μελετάμε την επίδραση των σφαλμάτων κβαντισμού, στην περίπτωση που δεν υπάρχουν αμοιβαία κανάλια, δηλαδή ισχύει ότι το κανάλι που διανύει το σήμα από τον συνεργαζόμενο κόμβο στον προορισμό είναι διαφορετικό από το κανάλι που διανύει το σήμα από τον προορισμό στον συνεργαζόμενο κόμβο. Τότε, η εκτίμηση γίνεται με τον εξής τρόπο: οι ενδιάμεσοι κόμβοι θα πρέπει να στείλουν ακολουθία εκμάθησης στον προορισμό και ο προορισμός να μεταδώσει πίσω μέσω ανατροφοδότησης κβαντισμένους τους συντελεστές των καναλιών. Σημειώνεται ότι ο δεύτερος τρόπος εκτίμησης καναλιού μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση που είναι αμοιβαία τα κανάλια, όμως τότε, όπως διαπιστώνεται και από τις μετρήσεις, η μέθοδος της εκτίμησης με τον πρώτο τρόπο, δίνει πολύ καλύτερα αποτελέσματα και οπότε συμφέρει η αξιοποίηση των αμοιβαίων καναλιών όταν αυτά υπάρχουν. Συνεπώς, στην εργασία διακριτοποιούμε τις δύο περιπτώσεις ως εξής: για την εκτίμηση καναλιού με τον πρώτο τρόπο ότι το σύστημα είναι με αμοιβαία κανάλια και για την εκτίμηση με τον δεύτερο τρόπο ότι το σύστημα είναι χωρίς αμοιβαία κανάλια. Το βιβλίο κωδίκων που χρησιμοποιείται δημιουργείται μέσω της ομοιόμορφης κβάντισης στο πεδίο ορισμού των καναλιών. Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μία εισαγωγή στον κατανεμημένο προσανατολισμό, καθώς και μία γενική επισκόπηση γύρω από τις σημαντικότερες εργασίες που ασχολήθηκαν με αυτό το ζήτημα. Στο κεφάλαιο 2 αναλύεται το μοντέλο του συστήματος και, επίσης, παρουσιάζονται ομαδοποιημένες ανά κριτήριο βελτιστοποίησης και περιγράφονται οι τεχνικές που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία. Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται ένα σύστημα υπό πραγματικές συνθήκες και μελετάται επακριβώς η διαδικασία μετάδοσης. Στο κεφάλαιο 4 εξηγείται η διαδικασία προσομοιώσεων της εργασίας και εξάγονται τα συμπεράσματα. Στο κεφάλαιο 5 αναφέρουμε συγκεντρωτικά τα συμπεράσματα και, τέλος, στο κεφάλαιο 6 αναφέρουμε εκτιμήσεις για μελλοντικές εργασίες. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟ Ο κατανεμημένος προσανατολισμός (distributed beamforming) έχει τη δυνατότητα να βελτιώσει σημαντικά τη κατανάλωση ενέργειας σε ένα ασύρματο σύστημα. Για την ακρίβεια, μία ομάδα από συνεργαζόμενους κόμβους εκπέμπουν ένα κοινό μήνυμα με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε η μετάδοση να είναι προσανατολισμένη σε μία κατεύθυνση και έτσι επιτυγχάνεται κέρδος ποικιλομορφίας (diversity gain), μικρότερη παρεμβολή και μικρότερη κατανάλωση ενέργειας. Γενικά, τα συστήματα κατανεμημένου σχηματισμού δέσμης κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία ονομάζεται μετάδοση προσανατολισμού (transmit beamforming), και αποτελείται από πολλούς πομπούς που συνεργάζονται για να στείλουν ένα κοινό μήνυμα στο σταθμό βάσης. Η δεύτερη κατηγορία ονομάζεται κατανεμημένος προσανατολισμός μέσω ενδιάμεσων κόμβων (relays). Σε αυτή την περίπτωση, ο πομπός (ή οι πομποί) κάνουν χρήση ενδιάμεσων κόμβων, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν έναν πίνακα από εικονικές κεραίες και διαμορφώνονται με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίσουν μία δέσμη στον προορισμό. Το κέρδος ποικιλομορφίας που επιτυγχάνεται είναι παρόμοιο με το κέρδος που επιτυγχάνεται από ένα πομπό με πολλές κεραίες. Το πιο συνηθισμένο είδος του δικτύου που εξετάζουμε στον κατανεμημένο προσανατολισμό είναι ένας πομπός, ένας δέκτης και πολλοί ενδιάμεσοι και με την υπόθεση ότι το απευθείας μονοπάτι μεταξύ του πομπού και του δέκτη είναι αδύναμο και άρα αμελητέο. Γενικά όμως το είδος του δικτύου δεν είναι καθορισμένο και μπορεί να συναντήσουμε και άλλες παραλλαγές όπως, ένας πομπός, ένας δέκτης, πολλοί ενδιάμεσοι και η επιπλέον υπόθεση ύπαρξης απευθείας μονοπατιού μεταξύ του πομπού και του δέκτη. Επίσης, σε άλλες ενδιαφέρουσες παραλλαγές το δίκτυο είναι πολλαπλών εισόδων-μιας εξόδου (Multiple input-single output), δηλαδή πολλοί πομποί, πολλοί ενδιάμεσοι και ένας προορισμός (ο σταθμός βάσης) και το οποίο παραπέμπει στην πρώτη κατηγορία κατανεμημένου προσανατολισμού (μετάδοση προσανατολισμού). Τέλος, συναντώνται και η περιπτώσεις πολλαπλών εισόδων-πολλαπλών εξόδων (multiple input-multiple output), δηλαδή πολλών πομπών, πολλών ενδιάμεσων κόμβων και πολλών εξόδων. Οι παραπάνω περιπτώσεις σχημάτων δικτύων απεικονίζονται στην εικόνα 1. 5

Εικόνα 1: Σχήματα δικτύων με ενδιάμεσους βοηθητικούς κόμβους Ο τρόπος με τον οποίο οι ενδιάμεσοι κόμβοι χειρίζονται τα μηνύματα του πομπού καθορίζει το σχήμα συνεργασίας του συστήματος. Οι τρόποι που έχουν προταθεί γενικά είναι: ενίσχυση και προώθηση (Amplify and Forward- AF), αποκωδικοποίηση και προώθηση(decode and Forward- DF), συμπίεση και προώθηση (Compress and Forward- CF), φιλτράρισμα και προώθηση (Filter and Forward- FF) και χωροχρονική κωδικοποίηση (spacetime coding- STC). Στο AF ο ενδιάμεσος κόμβος απλώς ενισχύει το σήμα με βάση κάποιο μιγαδικό βάρος προκειμένου να μεγιστοποιηθεί και η φάση του λαμβανόμενου σήματος στο δέκτη και στη συνέχεια απλώς το αναμεταδίδει [5]. Επειδή, είναι το πιο απλό σχήμα και δεν απαιτεί επιπλέον επεξεργασία από τον ενδιάμεσο κόμβο, είναι ιδιαίτερα ελκυστικό και γι αυτό είναι το πιο συνηθισμένο σχήμα που χρησιμοποιείται στη βιβλιογραφία. Στο DF ο ενδιάμεσος κόμβος, αποκωδικοποιεί, ξανα-κωδικοποιεί και στη συνέχεια αναμεταδίδει το σήμα [5, 6]. Το FF στην πραγματικότητα αποτελεί ισοσταθμιστής του καναλιού μεταξύ του πομπού-ενδιάμεσου κόμβου και του καναλιού μεταξύ ενδιάμεσου κόμβου-δέκτη, έτσι ώστε ο ενδιάμεσος κόμβος να αντισταθμίσει, μέσω φίλτρων, την επίδραση των καναλιών μετάδοσης. Χρησιμοποιείται κυρίως σε συχνοτικά επιλεκτικά κανάλια και οι ενδιάμεσοι κόμβοι, μετά την ισοστάθμιση, ενισχύουν το σήμα κατά την AF τεχνική [7]. Στο CF ο ενδιάμεσος κόμβος κβαντίζει το σήμα και στη συνέχεια το προωθεί. Ο δέκτης συνδυάζοντας τα δύο σήματα (του πομπού και του ενδιάμεσου κόμβου), αποκωδικοποιεί το μήνυμα [6]. Τέλος στο STC, οι ενδιάμεσοι κόμβοι που μπορούν να αποκωδικοποιήσουν στέλνουν το μήνυμα κάνοντας χρήση χωροχρονικού κώδικα και στη συνέχεια το προωθούν στον προορισμό [8, 9]. Με αυτό τον τρόπο μπορεί να γίνει ταυτόχρονη μετάδοση από πολλούς 6

ενδιάμεσους κόμβους, στην ίδια χρονοσχισμή. Προτού χρησιμοποιήσει τον κώδικα μπορεί επίσης να το αποκωδικοποιήσει και να το ξανακωδικοποιήσει όπως στο DF. Ένα ακόμη σημαντικό σχήμα είναι το σχήμα επιλογής (selection), το οποίο συνδυάζεται κυρίως με AF ή DF [10, 11]. Πιο συγκεκριμένα, αντί να μεταδώσουν όλοι οι ενδιάμεσοι κόμβοι, επιλέγεται το καλύτερο και κάνει εκείνο τη μετάδοση. Αρχικά, δημιουργήθηκε για να αντιμετωπιστεί η αναποτελεσματικότητα του εύρους ζώνης σε σχέση με τα επαναληπτικά σχήματα, στα οποία η μετάδοση από τους ενδιάμεσους κόμβους δεν γινόταν ταυτόχρονα, αλλά χρησιμοποιούσε μία ξεχωριστή χρονοσχισμή για να αποστείλλει τα δεδομένα στον προορισμό. Επίσης, υπάρχει και το αυξητικό σχήμα [5], στο οποίο ο δέκτης δέχεται το σήμα από το απευθείας μονοπάτι. Αν είναι αρκετό στέλνει 1, αλλιώς 0 και απαιτεί από τους ενδιάμεσους κόμβους να κάνουν τη μετάδοση (του ήδη αποθηκευμένου μηνύματος). Ο δέκτης τότε προσπαθεί να συνδυάσει τα δύο σήματα. Αρχικά, το πρόβλημα στον κατανεμημένο προσανατολισμό αφορούσε το συγχρονισμό της συχνότητας των ενδιάμεσων κόμβων και στο συγχρονισμό της φάσης, έτσι ώστε στο δέκτη να φτάνουν ταυτόχρονα όλα τα σήματα στη μέγιστη φάση και με την ελάχιστη παρεμβολή σε άλλους χρήστες. Η συχνότητα στη φέρουσα πρέπει να είναι ίδια σε όλους τους πομπούς, αλλιώς μικρές μετατοπίσεις στη συχνότητα θα έχουν καταστροφικά αποτελέσματα. Η πιο συνηθισμένη τεχνική που χρησιμοποιείται για το συγχρονισμό φάσης είναι η αρχηγού-σκλάβου αρχιτεκτονική (master-slave) [14]. Σε αυτήν, ο κόμβος αρχηγός εκπέμπει ένα σήμα σε όλους τους υπόλοιπους ενδιάμεσους κόμβους, οι οποίοι χρησιμοποιούν PLL για να εκτιμήσουν και να κλειδώσουν τη συχνότητα. Σε μία εναλλακτική τεχνική [13], ο δέκτης μεταδίδει ένα σήμα αναφοράς και όλοι οι κόμβοι εκτιμούν τη μετατόπιση της συχνότητας. Οι δύο παραπάνω τεχνικές χρειάζεται να επαναληφθούν ανά τακτά χρονικά διαστήματα. [12] Για το συγχρονισμό φάσης, υπάρχουν δύο κυρίως κατηγορίες: κλειστού βρόχου και ανοιχτού βρόχου. Στην πρώτη περίπτωση ο δέκτης ελέγχει το συντονισμό. Μετράει τις φάσεις των λαμβανόμενων σημάτων χωριστά και στη συνέχεια ανατροφοδοτεί τους ενδιάμεσους κόμβους για να προσαρμόσουν τη φάση μετάδοσης. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται ελάχιστη επικοινωνία μεταξύ των ενδιάμεσων βοηθητικών κόμβων. Στη δεύτερη περίπτωση, οι ίδιοι οι ενδιάμεσοι κόμβοι προσπαθούν να συντονιστούν ελαχιστοποιώντας την αλληλεπίδραση με το δέκτη. Ο δέκτης στέλνει ένα σήμα αναφοράς και οι ενδιάμεσοι κόμβοι, χρησιμοποιώντας αυτό το σήμα, καθώς και σήματα από τους άλλους ενδιάμεσους κόμβους, βρίσκουν την κατάλληλη φάση. Γενικά, αν και θέλουμε οι φάσεις να είναι συγχρονισμένες σε λογικό βαθμό, υπάρχει ανοχή σε μεσαίου μεγέθους σφάλματα (πχ.30 ο ).[12].Παρακάτω περιγράφουμε μερικές μεθόδους συγχρονισμού φάσης. Στο συγχρονισμό κλειστού βρόχου πλήρους ανατροφοδότησης [13] (εικόνα 2), ο δέκτης αρχικά μεταδίδει σε όλους ένα σήμα αναφοράς. Ο κάθε κόμβος μεταδίδει πίσω το σήμα σε διαφορετική συχνότητα από το αρχικό και με χρήση κώδικα πολλαπλής πρόσβασης (CDMA) για να μπορεί να ξεχωρίσει ο δέκτης τα σήματα. Ο δέκτης εκτιμά τις μετατοπίσεις στη φάση, τις κβαντίζει και τις ανατροφοδοτεί πίσω (μέσω CDMA) στον αντίστοιχο κόμβο. Τέλος ο κόμβος κάνει τη δική του εκτίμηση για τη μετατόπιση και 7

αντίστοιχα προσαρμόζει τη φάση. Διαπιστώνεται γενικά ότι η αφιέρωση πολύ λίγης ή πολύ ενέργειας στο συγχρονισμό φάσης είναι αναποτελεσματική. Εικόνα 2: συγχρονισμός φάσης κλειστού βρόχου, πλήρους ανατροφοδότησης [13] Στο συγχρονισμό κλειστού βρόχου με ανατροφοδότηση 1 bit [15] (εικόνα 3), οι ενδιάμεσοι κόμβοι διαμορφώνουν τη φάση τυχαία και μεταδίδουν ταυτόχρονα. Ο δέκτης εκτιμά το SNR του λαμβανόμενου σήματος και αν είναι καλύτερο από το προηγούμενο εκπέμπει 1, αλλιώς 0. Αν οι ενδιάμσεοι κόμβοι ακούσουν 1, τότε κρατούν τις καινούριες διαμορφώσεις, αλλιώς τις ακυρώνουν. Αυτή η μέθοδος συγκλίνει αν και κάπως αργά και επίσης μπορεί να τροποποιηθεί έτσι ώστε να συμπεριλάβει και το συγχρονισμό της συχνότητας φέρουσας. Εικόνα 3: συγχρονισμός κλειστού βρόχου 1 Bit [15] Στο συγχρονισμό ανοιχτού βρόχου αρχηγού-σκλάβου [14] (εικόνα 4), όπως εξηγήθηκε νωρίτερα, ένας ενδιάμεσος κόμβος είναι αρχηγός και τα υπόλοιπα σκλάβοι. Στη συνέχεια ο αρχηγός εκπέμπει ένα σήμα και στη συνέχεια κάθε σκλάβος εκτιμά και επιδιορθώνει τη μετατόπιση στη συχνότητα και στη φάση. Όταν ο δέκτης εκπέμψει ένα σήμα, ο κάθε ενδιάμεσος κόμβος μπορεί να κάνει την εκτίμηση από μόνο του, εφόσον όλοι είναι συγχρονισμένοι και συνεπώς εκπέμπει με την κατάλληλη φάση. Φυσικά 8

χρησιμοποιείται όταν η επικοινωνία μεταξύ των ενδιάμεσων κόμβων και του δέκτη είναι πιο κοστοβόρα. Εικόνα 4: συγχρονισμός ανοιχτού βρόχου αρχηγού-σκλάβου [14] Στην υλοποίηση round trip [16], εικόνα 5, ο δέκτης στέλνει ένα σήμα αναφοράς και προς τις δύο κατευθύνσεις, το οποίο διέρχεται από όλους τους ενδιάμεσους κόμβους. Βάσει του λαμβανόμενου σήματους κάνει εκτίμηση στη φάση και στη συχνότητα και επαναμεταδίδει τα λαμβανόμενα σήματα με μία επέκταση. Στο τέλος ο δέκτης, θεωρώντας ότι τα κανάλια είναι αμοιβαία, λαμβάνει δύο σήματα με την ίδια μετατόπιση φάσης. Γενικά η ακριβής υλοποίηση είναι δύσκολη και επιπλέον κάθε κόμβος θα πρέπει να χρησιμοποιήσει διαφορετικές συχνότητες ή χρονοσχισμές. Εικόνα 5: συχρονισμός round trip [16] Στην εργασία [17] (εικόνα 6) οι ενδιάμεσοι κόμβοι ταξινομούνται τυχαία σε δύο ομάδες (Α, Β). Οι κόμβοι που ανήκουν στην ομάδα Α στέλνουν ταυτόχρονα ένα σήμα πιλότο. Ο δέκτης λαμβάνει ένα ενιαίο σήμα και μετράει τη μετατόπιση της φάσης θ. Στη συνέχεια μεταδίδουν ταυτόχρονα οι κόμβοι που ανήκουν στην ομάδα Β. Ο δέκτης όμοια λαμβάνει ένα ενιαίο σήμα και μετράει τη μετατόπιση της φάσης θ. Στέλνει τότε στην 9

ομάδα Β την διαφορά (θ θ ) και οι κόμβοι της ομάδας Β κάνουν την απαραίτητη διόρθωση. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται και κάθε φορά ολοι οι ενδιάμεσοι κόμβοι πλησιάζουν σε μία καθολική φάση. Εικόνα 6: συγχρονισμός δύο ομάδων [17] Στην εργασία [18], υλοποιεί μια μέθοδο με 0 bit ανατροφοδότησης, όπου οι ενδιάμεσοι κόμβοι απλώς στέλνουν συνέχεια τα σήματα σε διαφορετικές φάσεις και κάποια στιγμή ο δέκτης λαμβάνει ένα συνδυασμένο σήμα στη μέγιστη φάση. Στη συνέχεια, με μια εργασία σταθμό [19] ανακαλύφθηκε ότι αν το πλάτος με το οποίο στέλνουν οι ενδιάμεσοι κόμβοι δεν είναι καθορισμένο, αλλά μπορούν να εκπέμπουν με οποιαδήποτε τιμή μεταξύ [0,μέγιστης επιτρεπτής ενέργειας], τότε επιτυγχάνεται ακόμα καλύτερη εξοικονόμηση ενέργειας. Σε αυτή την περίπτωση το πρόβλημα δεν είναι εύκολο να επιλυθεί, αλλά μετατρέποντάς το σε πρόβλημα κυρτής βελτιστοποίησης (convex optimization), μπορεί κάποιες φορές να οδηγηθούμε σε κλειστού τύπου λύσεις. Για να γίνει αυτό όμως θα πρέπει αρχικά να οριστεί το πρόβλημα, το οποίο μπορεί να περιλαμβάνει ελαχιστοποίηση ή μεγιστοποίηση ενός κριτηρίου βάσει κάποιου ή κάποιων περιορισμών. Τα κριτήρια βελτιστοποίησης που συναντώνται στη βιβλιογραφία είναι πολυάριθμα. Το πιο συνηθισμένο κριτήριο με το οποίο επιχειρείται η εύρεση του βέλτιστου διανύσματος προσανατολισμού, είναι η μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια ανά ενδιάμεσο κόμβο. Πολύ συχνά απαντάται, επίσης, το κριτήριο της ελαχιστοποίησης της πιθανότητας διακοπής [20, 21, 22]. Στην εργασία [23], το κριτήριο βελτιστοποίησης είναι η μεγιστοποίηση του ρυθμού μετάδοσης. Στην εργασία [24] το κριτήριο είναι μεγιστοποίηση του SNR με ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση του MSE (ελάχιστου τετραγωνικού σφάλματος) και με περιορισμένη ολική ενέργεια. Ενδιαφέρον συμπέρασμα αυτής της εργασίας είναι ότι αν υπάρχει συσχετισμός στο θόρυβο, ακόμη και να μην το γνωρίζουν οι ενδιάμεσοι κόμβοι, η απόδοση βελτιώνεται. Ένα ακόμα ενδιαφέρον κριτήριο είναι αυτό της εργασίας [25], που στόχος της είναι η μεγιστοποίηση της ζωής του δικτύου και η οποία τελικά αποδεικνύει ότι ως υποβέλτιστο κριτήριο μπορεί να θεωρηθεί η ελαχιστοποίηση της κατανάλωσης ενέργειας ανά πακέτο. Εκτός, όμως από τα κριτήρια βελτιστοποίησης, πολυάριθμοι είναι και οι περιορισμοί βάσει των οποιων επιχειρείται η βελτιστοποίηση. Πιο συνηθισμένοι περιορισμοί είναι η ικανοποίηση του SNR ή του SINR (για πολλαπλούς δέκτες), η περιορισμένη ολική ενέργεια μετάδοσης και η περιορισμένη ενέργεια ανά ενδιάμεσο 10

κόμβο. Γενικά, έχει επιχειρηθεί και ο συνδυασμός περιορισμών όμως τότε το πρόβλημα γίνεται δυσεπίλυτο [26]. Στην εργασία [1] οι συγγραφείς, χρησιμοποιούν τα στατιστικά του καναλιού, μέση τιμή και διασπορά, για να εξάγουν το διάνυσμα προσανατολισμού με στόχο είτε την ελαχιστοποίηση ενέργειας μετάδοσης είτε τη μεγιστοποίηση του SNR. Αυτή η εργασία, έδωσε ώθηση στην εξέταση υπό του ρεαλιστικού πρίσματος του κατανεμημένου προσανατολισμού, καθώς μέχρι τότε οι περισσότερες εργασίες θεωρούσαν τέλεια γνώση του καναλιού. Βασισμένες σε αυτή την ιδέα οι εργασίες [2,3] επιχειρούν να βρούν αλγορίθμους υπολογιστικά λιγότερο απαιτητικούς και επιπλέον λαμβάνουν υπόψιν την περίπτωση να έχει το σύστημα κανάλια Rayleigh, ενώ η εργασία [4] επιχειρεί να εξετάσει την ελαχιστοποίηση ενέργειας σε συστήματα με περισσότερα του ενός ζευγάρια μετάδοσης. Γενικά, οι τεχνικές προσανατολισμού μπορούν να διαχωριστούν και βάσει της πληροφορίας για το κανάλι (Channel State Information-CSI): αν υπάρχει τέλεια γνώση, αν υπάρχει γνώση μόνο των στατιστικών δευτέρας τάξης του και αν υπάρχει γνώση στους ενδιάμεσους κόμβους μέσω της ανατροφοδότησης (συνήθως όχι του CSI, αλλά του αντίστοιχου προσανατολισμένου διανύσματος). Για την εύρεση του CSI θα πρέπει να γίνει εκτίμηση του καναλιού. Στην έμμεση (αμοιβαίο κανάλι), ο δέκτης εκπέμπει ένα σήμα πιλότο και ο ενδιάμεσος κόμβος κάνει εκτίμηση του μιγαδικού κέρδους που εισάγει το κανάλι. Στην άμεση (μη αμοιβαίο κανάλι), ο δέκτης γνωρίζοντας το CSI, το κβαντίζει και το ανατροφοδοτεί (και το οποίο βρίσκεται σε ένα γνωστό κωδικό βιβλίο). Η εκτίμηση του καναλιού μπορεί να γίνει είτε έμμεσα είτε άμεσα. Στην έμμεση, δεχόμενοι ότι το κανάλι είναι αμοιβαίο και επίπεδο, ο δέκτης εκπέμπει ένα σήμα πιλότο και ο ενδιάμεσος κόμβος κάνει εκτίμηση του μιγαδικού κέρδους που εισάγει το κανάλι. Στην άμεση, ο δέκτης γνωρίζοντας το CSI, το κβαντίζει και το ανατροφοδοτεί ή εναλλακτικά βρίσκει και ανατροφοδοτεί στους ενδιάμεσους κόμβους το αντίστοιχο προσανατολισμένο διάνυσμα (και το οποίο βρίσκεται σε ένα γνωστό κωδικό βιβλίο). Γενικά, η ανατροφοδότηση μπορεί να πάρει διάφορες μορφές. Στην εργασία [27] επιχειρείται η ελαχιστοποίηση της πιθανότητας διακοπής με ανατροφοδότηση μιας παραμέτρου από τον δέκτη (που έχει τέλεια γνώση του καναλιού). Με τον τρόπο αυτό, ο κάθε ενδιάμεσος κόμβος μπορεί να υπολογίσει μόνος του το διάνυσμα προσανατολισμού. Η εργασία [28], εμπνευσμένη από το συγχρονισμό κλειστού βρόχου 1-bit (εικόνα 3), εκτός από τη φάση διαμορφώνει και το πλάτος με κατανεμημένο τρόπο. Οι συγγραφείς της εργασίας [29] επιτυγχάνουν γρηγορότερη σύγκλιση της προηγούμενης μεθόδου, ενώ η εργασία [30] μας υπενθυμίζει ότι το σχήμα επιλογής είναι μια ειδική μορφή ανατροφοδότησης και με κριτήριο την ελαχιστοποίηση την πιθανότητα διακοπής ανακαλύπτει ότι γενικά είναι πολύ ελκυστικό σχήμα λόγω της απλότητας και της αρκετά καλής απόδοσης. Σε μία επαναληπτική μέθοδο [31], οι συγγραφείς προτείνουν οι κόμβοι ταυτόχρονα με την εκπομπή του διανύσματος προσανατολισμού (beamforming vector) να εκπέμψουν μία εκτίμηση του κόστους τους σε όλους τους άλλους. Τότε ο κάθε κόμβος ενημερώνεται από τα κόστη και δημιουργεί ένα καινούριο προσανατολισμένο διάνυσμα, με το οποίο ελαχιστοποιεί την παρεμβολή του στους υπόλοιπους και ταυτόχρονα μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του. Οι υπόλοιποι κόμβοι ενημερώνονται για το καινούριο διάνυσμα [32]. Τέλος, μία ακόμη ενδιαφέρουσα οπτική είναι η ανατροφοδότηση του ίδιου του διανύσματος προσανατολισμού. Δημιουργούνται τα βιβλία κωδίκων με κάποια μέθοδο 11

(Grassman [33], General Loyd Algorithm [34], Random Vector Quantization [35]) και με κάποιο στόχο (πχ. Μεγιστοποίηση του SNR), ο δέκτης έχοντας πλήρη γνώση της πληροφορίας του καναλιού βρίσκει και ανατροφοδοτεί στους ενδιάμεσους κόμβους το διάνυσμα. Τέλος επειδή κάθε ενδιάμεσος κόμβος που χρησιμοποιείται προσθέτει overhead στο σύστημα, αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένας βέλτιστος αριθμός από κόμβους, με τους οποίους η συνολική ενέργεια μετάδοσης γίνεται ελάχιστη. Σε μία τεχνική επιλογής, οι κόμβοι κατηγοριοποιούνται με βάση τη σχετική τους φάση και διαλέγονται ανάλογα με την «ομαδική» τους φάση [36]. Επίσης ένα ακόμη στοιχείο που πρέπει να λαμβάνεται υπόψιν κατά την επιλογή των ενδιάμεσων κόμβων, είναι ότι πρέπει να γίνει διαλογή και με βάση την τοποθεσία τους, δεδομένου ότι μπορεί οι ενδιάμεσοι κόμβοι να μην επικοινωνούν μεταξύ τους (εκτός εμβέλειας) και συνεπώς η ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ τους περιλαμβάνει επιπλέον κόστος. [37] 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑΣ ΤΑΞΗΣ Ένα μεγάλο μέρος της βιβλιογρφίας που μελετήθηκε [1,2,3,4] κάνουν χρήση των στατιστικών της πληροφορίας του καναλιού, και συγκεκριμένα της μέσης τιμής και της διασποράς, έτσι ώστε να υπολογίσουν το βέλτιστο διάνυσμα προσανατολισμού. Παρακάτω περιγράφουμε το μοντέλο του συστήματος και παρουσιάζουμε τις τεχνικές που υλοποιηθήκαν στην παρούσα εργασία με τα εξής κριτήρια : ελαχιστοποίηση της ενέργειας μετάδοσης με ταυτόχρονη ικανοποίηση του SNR, μεγιστοποίηση του SNR με (α) περιορισμένη ολική ενέργεια και (β) μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια ανά κόμβο. ΕΝΟΤΗΤΑ 2.1: Μοντέλο συστήματος Εικόνα 7: σύστημα δικτύου της εργασίας Όπως φαίνεται και από την εικόνα 7, το μοντέλο δικτύου που χρησιμοποιήθηκε στην εργασία αποτελείται από έναν πομπό, ένα δέκτη και Ν ενδιάμεσους βοηθητικούς κόμβους. Το απευθείας μονοπάτι θεωρείται ότι είναι αρκετά αδύναμο και δεν λαμβάνεται υπόψιν. Κάθε ενδιάμεσος κόμβος έχει μία μόνο κεραία η οποία χρησιμοποιείται και για λήψη και για μετάδοση. Οι ενδιάμεσοι κόμβοι χρησιμοποιούν την ενίσχυση και προώθηση τεχνική (AF) και συνεπώς η μετάδοση γίνεται σε 2 βήματα. Στο πρώτο βήμα, ο πομπός 13

στέλνει στους ενδιάμεσους κόμβους με ενέργεια Ροs, όπου s είναι το μεταδιδόμενο σύμβολο και Po είναι η ενέργεια μετάδοσης του πομπού με Ε{ s } = 1. Το σήμα x που λαμβάνεται από τον ενδιάμεσο κόμβο i δίνεται από την εξίσωση x = Po f s + v, όπου v είναι ο θόρυβος στον ενδιάμεσο κόμβο i, του οποίου η διασπορά είναι ίση με σ. Στη συνέχεια, στο δεύτερο βήμα του AF, ο ενδιάμεσος κόμβος i στέλνει στο δέκτη y = w x, όπου w είναι το μιγαδικό βάρος με το οποίο πολλαπλασιάζει το σήμα ο ενδιάμεσος κόμβος. Στο δέκτη το λαμβανόμενο σήμα μπορεί να εκφραστεί ως: z = n είναι ο θόρυβος στο δέκτη, του οποίου η διασπορά είναι ίση με σ. g y + n, όπου + Συνεπώς z = g y + n = g w Po f s + v + n = Po w g f s w g v + n (εξίσωση 1) Τότε η ενέργεια μετάδοσης ανά ενδιάμεσο κόμβο είναι: Pt = Ε{ y } = w Ε{ x } = (Po D + σ ) w, (εξίσωση 2) όπου w = [w, w, w ] και D = diag(ε{ f }, Ε{ f },, Ε{ f }) Και η συνολική ενέργεια μετάδοσης: Pt = Ε{ y } = w Ε{ x } (εξίσωση 3) = Po w Dw + σ w w = w (Po D + σ Ι)w, Η ενέργεια θορύβου, όπως προκύπτει από την εξίσωση 1 είναι: P = E w g v + n = E w w g g E{ v } + E{ n } = σ w Qw + σ (εξίσωση 4), θεωρώντας ότι τα g, v, n είναι όλα μεταξύ τους ανεξάρτητα και Q = Ε{gg }, g = [g, g, g ]. (Αν θεωρήσουμε ότι και τα κανάλια g είναι και μεταξύ τους ανεξάρτητα τότε θα πρέπει Ε{gg } = diag(g g ) ) Ενώ η ενέργεια σήματος προκύπτει ως: P = E Po w g f s = Po E w w f g f, g E{ s } = Po w R w, (εξίσωση 5), όπου R είναι ο πίνακας συσχέτισης του διανύσματος h = [f g, f g, f g ] και R = Ε{hh } Οπότε τώρα μπορούμε να εκφράσουμε το SNR ως: SNR = = (εξίσωση 6) 14

Έχοντας τώρα τις μαθηματικές εκφράσεις του SNR και της ενέργειας μετάδοσης μπορούμε να προχωρήσουμε στην εύρεση της λύσης των μιγαδικών βαρών με βάση τα εξής κριτήρια: ελαχιστοποίηση της ενέργειας μετάδοσης με ταυτόχρονη ικανοποίηση του SNR (SINR, για περισσότερα ζευγάρια πομπού-δέκτη), μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη την ολική ενέργεια μετάδοσης και μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη την ενέργεια μετάδοσης ανά ενδιάμεσο κόμβο. ΕΝΟΤΗΤΑ 2.2: Βελτιστοποίηση κριτηρίων Ενότητα 2.2.1: Ελαχιστοποίηση της ενέργειας μετάδοσης με ταυτόχρονη ικανοποίηση του SNR (κριτήριο 1) Ένα ζευγάρι πομπού-δέκτη Το κριτήριο αυτό αναζητά την εύρεση του διανύσματος προσανατολισμού που να ελαχιστοποιεί την ενέργεια μετάδοσης και ταυτόχρονα το SNR στο δέκτη να είναι πάνω από ένα ορισμένο κατώφλι γ. Οπότε, σύμφωνα και με την παραπάνω ανάλυση, το πρόβλημα βελτιστοποίησης μπορεί να εκφραστεί ως : min w (Po D + σ Ι)w Po w R w σ w Qw + σ γ Χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση και μετά τη μαθηματική ανάλυση, οι συγγραφείς καταλήγουν ότι το βέλτιστο διάνυσμα προσανατολισμού είναι το : w = ( ( ) ) D1 P D1 (R1 γ Q1)D1, (εξίσωση 7) όπου u = P D1 (R1 γ Q1)D1 είναι το πρωτεύον ιδιοδιάνυσμα του D1 (R1 γ Q1)D1 και D1 = Po D + σ Ι, R1 = Po R, Q1 = σ Q Pt (γ) = Και η ελάχιστη δυνατή ενέργεια μετάδοσης για εφικτό γ είναι: ( ), (εξίσωση 8) όπου λ D1 (R1 γ Q1)D1 είναι η πρωτεύουσα ιδιοτιμή του D1 (R1 γ Q1)D1. 15

Πολλαπλά ζευγάρια πομπού-δέκτη Στην εργασία [4], το προηγούμενο κριτήριο εξετάζεται με την προσθήκη περισσότερων ζευγαριών πομπού-δέκτη και σκοπός είναι να ελαχιστοποιηθεί η ολική ενέργεια μετάδοσης με ικανοποίηση του SINR, δηλαδή ο λόγος της ισχύς του σήματος προς την ισχύ της παρεμβολή. Πιο συγκεκριμένα, εφόσον οι ενδιάμεσοι κόμβοι θεωρείται ότι μεταδίδουν ταυτόχρονα στους προορισμούς, υπάρχει παρεμβολή στους δέκτες. Σε αυτή την περίπτωση αλλάζει ελαφρά το μοντέλο του δικτύου όπως φαίνεται στην εικόνα 8, αφού τώρα έχουμε να κάνουμε με περισσότερα κανάλια από ότι πριν. Έστω, λοιπόν, ότι ο συντελεστής f συμβολίζει το κανάλι μεταξύ του πομπού p και του ενδιάμεσου κόμβου r, ενώ ο συντελεστής g συμβολίζει το κανάλι μεταξύ του δέκτη p και του ενδιάμεσου κόμβου r. Εικόνα 8: Σύστημα δικτύου με πολλαπλά ζεύγη πομπού-δέκτη Στο πρώτο βήμα, όλοι οι πομποί στέλνουν ταυτόχρονα στους ενδιάμεσους κόμβους και κατά συνέπεια οι ενδιάμεσοι κόμβοι λαμβάνουν μία μίξη σημάτων. Ο κάθε πομπός στέλνει στους ενδιάμεσους κόμβους με ενέργεια Po s, όπου s είναι το μεταδιδόμενο σύμβολο και Po είναι η ενέργεια μετάδοσης του πομπού i. Επίσης, όμοια, θεωρούμε ότι Ε{ s } = 1. Συνεπώς το σήμα x που λαμβάνεται από τον ενδιάμεσο κόμβο r δίνεται από την εξίσωση x = Po f s + v, όπου v είναι το διάνυσμα για το θόρυβο στον ενδιάμεσο κόμβο r (για καθένα από τα κανάλια), του οποίου η διασπορά είναι ίση με σ. Επίσης θεωρείται ότι τα σύμβολα που μεταδίδουν οι πομποί είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους καθώς και οι θόρυβοι για όλα τα κανάλια. Θεωρώντας ότι x = [x1 x2 xn], v = [v1 v2 vn], f = f f f σήμα που λαμβάνεται από τους ενδιάμεσους κόμβους μπορεί να εκφραστεί ως: το 16

x = Po f s + v Στη συνέχεια, στο δεύτερο βήμα του AF, τον κάθε ενδιάμεσο κόμβο r στέλνει στο δέκτη y = w x, όπου w είναι το μιγαδικό βάρος με το οποίο πολλαπλασιάζει το σήμα. Επειδή στο σύστημα αυτό όλοι οι ενδιάμεσοι κόμβοι μεταδίδουν ταυτόχρονα στους προορισμούς το διάνυσμα των σημάτων που μεταδίδεται από όλους τους ενδιάμεσους μπορεί να εκφραστεί ως: t = W x, όπου W είναι ένας διαγώνιος πίνακας με το r-οστό διαγώνιο στοιχείοτου να είναι ίσο με w. Όμοια θεωρώντας g = g g g μπορεί να εκφραστεί ως:, το λαμβανόμενο σήμα στο δέκτη k z = g t = g W Po f s + g W v + n = g W Po f s + g W, Po f s + g W v + n, (εξίσωση 9) όπου n είναι ο θόρυβος στο δέκτη k, του οποίου η διασπορά είναι γνωστή και ίση με σ. Συνεπώς, η ενέργεια μετάδοσης: P = E{t t} = E{x W W x} = trace{w E{x x }W} = trace{w R W} = w R (r, r) = w D4 w, (εξίσωση 10) Όπου R = E{x x} και D4 = diag([r (1,1), R (2,2), R (N, N)]), R = Ef f Po Es s, + σ I = Po R + σ Ι, R = E{f f } Η εξίσωση για την ενέργεια μετάδοσης μας δείχνει ότι εξαρτάται από τις διασπορές των καναλιών πομπού-ενδιάμεσων κόμβων, αλλά και από την ενέργεια θορύβου. Η ενέργεια θορύβου στον δέκτη k μπορεί να εκφραστεί ως: P = E g W v + n g W v + n = Ev W g g W v + σ = trace W E{v v }W Eg g + σ = σ tracew R W + σ = σ w R (r, r) + σ = w D w + σ, (εξίσωση 11) Όπου R = E{g g } και D = σ diag(r (1,1), R (2,2), R (N, N)), και w = [W(1,1), W(2,2) W(N, N)] Η ενέργεια του λαμβανόμενου σήματος στο δέκτη k μπορεί να εκφραστεί ως: P = E g W Po f s g W Po f s = Po Ew diag(g )f f diag(g )w E{ s } = Po Ew (g f )(f g )w = Po w Eh h w = w R w, (εξίσωση 12) όπου h = (g f ) = [f g, f g, f g ], και R = Po Eh h 17

Η ενέργεια του σήματος παρεμβολής είναι: P = E g W, Po f s g W, Po f s = Eg W Po Po f f,,, s s Wg = Ew diag(g ), Po f f diag(g )w = Ew, Po (g f )(f g ) w = w Q w, (εξίσωση 13) Όπου Q = E{ Po h h, }, h = g f Με τη βοήθεια της παραπάνω ανάλυσης μπορούμε πλέον να βρούμε τα μιγαδικά βάρη w, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η ενέργεια μετάδοσης, δηλαδή να ελαχιστοποιείται η παρεμβολή, και ταυτόχρονα να ικανοποιείται το SINR σε κάθε προορισμό. Συνεπώς το πρόβλημα μπορεί να εκφραστεί ως: ): min Pt SINR γ, k = 1,2.. d Η αλλιώς, τώρα το πρόβλημα ελαχιστοποίησης μπορεί να γραφτεί ως (SINR = Ή ισοδύναμα: w R w min w D4 w w (Q + D )w + σ γ, k = 1, d min w D4 w w R γ (Q + D ) w γ σ, k = 1, d Το παραπάνω πρόβλημα μετασχηματίζεται σε πρόβλημα κυρτής βελτιστοποίησης θέτοντας X = w w. Τότε: Όπου T = R γ (Q + D ) min trace(d4 X), τέτοιο ώστε trace(t X) γ σ, k = 1,2 d, rank(x) = 1, X 0 Αγνοώντας τον μή κυρτό περιορισμό rank(x)=1 έχουμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοποίησης το οποίο είναι κυρτό και μπορεί να επιλυθεί: min trace(d4 X), τέτοιο ώστε trace(t X) γ σ, k = 1,2 d, X 0 18

Ενότητα 2.2.2: Μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμό της ολικής ενέργειας (κριτήριο 2) Γενικά ο περιορισμός της ολικής ενέργειας δεν είναι ρεαλιστικός, αφού στην πραγματικότητα η ενέργεια είναι συστατικό του κάθε στοιχείου του συστήματος χωριστά. Παρόλα αυτά η χρήση του κριτηρίου αυτού έχει σημασία από τη θεωρητική σκοπιά, για την αξιολόγηση μεθόδων, καθώς δίνει τη βέλτιστη απόδοση σε ένα δίκτυο με περιορισμένη ενέργεια. Το μοντέλο του δικτύου είναι αυτό της εικόνας 7. Εφόσον η ολική ενέργεια μετάδοσης είναι περιορισμένη ο στόχος είναι : Ή αλλιώς : max SNR Pt P Po w Rw max σ w Qw + σ w (Po D + σ )w P Στη συνέχεια μετά από μαθηματική ανάλυση οι συγγραφείς [1] καταλήγουν ότι το διάνυσμα προσανατολισμού έχει την εξής λύση: w = P D1 P (σ I + P D1 Q1 D1 ) D1 R1 D1, (εξίσωση 14) όπου D1 = Po D + σ Ι, R1 = Po R, Q1 = σ Q Και το μέγιστο εφικτό SNR: SNR (P ) = P λ (σ I + P D1 Q1 D1 ) D1 R1 D1, (εξίσωση 15) Στην εργασία [2] το σύστημα επεκτείνεται ώστε να ληφθεί υπόψιν και ο κόμβοςπομπός στον περιορισμό της ολικής ενέργειας. Δηλαδή αν θεωρήσουμε ότι η ολική ενέργεια είναι Pt ή, τότε η εργασία επιχειρείται η εύρεση της βέλτιστης κατανομής ενέργειας που θα έπρεπε να έχει το σύστημα μεταξύ του πομπού και των ενδιάμεσων κόμβων, ή αλλιώς τι ποσοστό της ολικής ενέργειας πρέπει να διατεθεί στον πομπό και τι ποσοστό στους ενδιάμεσους κόμβους, ή αλλιώς η εύρεση του x τέτοιου ώστε Pt ύ = x Pt ή, Pt = (1 x) Pt ή, x (0,1). Θεωρώντας ότι ο θόρυβος έχει κοινή διασπορά σε όλα τα κανάλια του συστήματος, δηλαδή σ = σ = σ, το σήμα που λαμβάνει ο δέκτης είναι το: 19

z = g y + n = g w Po f s + v + n = Επίσης θεωρείται ότι: = Po w g f s + w g v + n w = [w, w, w ] g = [g, g, g ] h = [f g, f g, f g ] Όταν τα κανάλια είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα (και άρα και ασυσχέτιστα): Eg g = 0 και τότε βεβαίως: Q = diag(ε{gg }). Υπενθυμίζουμε ότι η ενέργεια του σήματος είναι (εξίσωση 5): P = E Po w g f s = Po E w w f g f, g E{ s } = Ρο w Rw Η ισχύς θορύβου είναι: P = E w g v + n = E w w g g E{ v } + E{ n } = σ w Qw + σ, (εξίσωση 16) Η ολική ενέργεια μετάδοσης των ενδιάμεσων κόμβων είναι: Pt = E{ y } = Po w Dw + σ w w, (εξίσωση 17) εξής: Το πρόβλημα μεγιστοποίησης του SNR με περιορισμένη ολική ενέργεια ορίζεται ως max Po σ w Rw w Qw + 1 Ρο + Ρο w D w + σ w w P Για να αναζητήσουμε τη βέλτιστη ανάθεση ενέργειας μετάδοσης μεταξύ του πομπού και των ενδιάμεσων κόμβων πρέπει να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα: Po (P Po) max σ λ (Po S1 + (P Po)S2) 0 Po P, S1 = R D R + R (εξίσωση 18) Και S2 = R Q R + R (εξίσωση 19) 20

Θέτοντας x = Το παραπάνω πρόβλημα μετασχηματίζεται σε : P x(x 1) max σ λ (x S1 + (1 x)s2) 0 x 1 Θεωρώντας c=λ (S1 S2 S1 ) και d=λ (S1 S2 S1 ) και στη συνέχεια x =, x =, τότε το x ανήκει στο [x, x ] και τότε το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το : 1 min λ ( 1 x S1 + 1 x S2) x x x Η παραπάνω συνάρτηση δεν είναι κυρτή στο [x, x ], συνεπώς οι συγγραφείς χρησιμοποιούν τη μέθοδο του Newton: G(x) = S1 + S2, x x x (εξίσωση 20) x = x a Και η λύση δίνεται από την () (()), k = 0, 1, (εξίσωση 21) Αν το x δεν ανήκει στο [x, x ], τότε a, όπου λ G(x) = u (x) () u (x) (εξίσωση 22) () λ G(x) = u (x) () u (x) ()() (εξίσωση 23) () () Και = () = () S1 S2 (εξίσωση 24) S1 + S2 (εξίσωση 25) Και u, το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στο λ (G(x)) και u τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις υπόλοιπες ιδιοτιμές. Έχοντας βρει το βέλτιστο x μπορούμε στη συνέχεια να βρούμε το αντίστοιχο διάνυσμα βαρών w από το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ελάχιστη ιδιοτιμή του πίνακα Po S1 + (P Po) S2 21

Ενότητα 2.2.3: Μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια ανά ενδιάμεσο κόμβο (κριτήριο 3) Αυτό το κριτήριο είναι και το πιο ενδιαφέρον επειδή στην πραγματικότητα, όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, οι περιορισμοί του συστήματος είναι για κάθε ενδιάμεσο κόμβο χωριστά και όχι για όλο το σύστημα. Δηλαδή, σε ένα σύστημα ο χαρακτηρισμός ολική ενέργεια πηγάζει από την επιμέρους ενέργεια όλων των συστατικών του στοιχείων και η οποία είναι ατομικό χαρακτηριστικό του καθενός και όχι το αντίστροφο. Με άλλα λόγια, ακόμη και να γνωρίζαμε επακριβώς τη συνολική ενέργεια του συστήματος δεν θα μπορούσαμε να κάνουμε καμία πρόβλεψη για το πώς είναι διαμοιρασμένη η ενέργεια για κάθε ενδιάμεσο κόμβο χωριστά. Αξίζει επίσης να τονιστεί ότι η μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια ανά ενδιάμεσο κόμβο μπορεί να αποτελέσει επιπλέον υποβέλτιστη μέθοδο για την μεγιστοποίηση της διάρκεις του δικτύου, εφόσον τα οι περιορισμοί μεταβάλλονται χρονικά. Το μοντέλο του συστήματος είναι το ίδιο με της εικόνας 7 και συνεπώς, όπως αναδείχθηκε και στην εξίσωση 2, η ενέργεια μετάδοσης ανά ενδιάμεσο κόμβο είναι: Pt = E{ y } = (Po D + σ ) w Και θεωρούμε ότι οι περιορισμοί είναι Pt P Μέθοδος με βάση την Εργασία [1] Στόχος αυτού του κριτηρίου, λοιπόν, είναι η μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια ανά ενδιάμεσο κόμβο. Η αντίστοιχη μαθηματική έκφραση είναι η ακόλουθη: Ή αλλιώς : max SNR (Po D + σ ) w P, για i = 1, 2, N Po w Rw max σ w Qw + σ (Po D + σ ) w P, για i = 1, 2, N Θεωρώντας ότι X = w w, το παραπάνω πρόβλημα μετασχηματίζεται σε : max trace(r1 X) subject to D1 X P, για i = 1,2.. N rank(x) = 1 X 0 Όπου R1=Po R, D1 = (Po D + σ ) Το οποίο μπορεί να γραφτεί και ως : 22

max t, subjecto to: tracex(r1 t Q1) σ t, X P D1, για i = 1,2 N, rank(x) = 1, X 0 Όπου Q1 = σ Q. Αγνοώντας τον περιορισμό rank(x)=1, το πρόβλημα πλέον μετατρέπεται σε κυρτής βελτιστοποίησης (convex optimization). Στη συνέχεια, οι συγγραφείς της εργασίας [1], υλοποιούν μια τεχνική διχοτόμησης (bisection) για να βρεθεί το μέγιστο t: - Αλγόριθμος Τεχνικής διχοτόμησης (SDP): Α) Αρχικοποιείται το κάτω όριο του t σε t = 0 και το άνω όριό του σε t = SNR (P ) = P λ (σ I + P D1 Q1 D1 ) D1 R1 D1, όπως προκύπτει από την ανάλυση για τη μεγιστοποίηση του SNR περιορισμένης ολικής ενέργειας. Β) στη συνέχεια θεωρώντας ως t = λύνεται το παρακάτω πρόβλημα ύπαρξης: βρες Χ τέτοιο ώστε: tracex(r1 tq1) σ t, X P D1, για i = 1,2 N, rank(x) = 1, X 0 Γ) Αν υπάρχει Χ με βάση το παραπάνω πρόβλημα, τότε το βέλτιστο t (t ) ανήκει στην περιοχή [, t ], συνεπώς θέτοντας t =, και ξαναλύνοντας το πρόβλημα ύπαρξης περιορίζεται σιγά σιγά η περιοχή στην οποία ανήκει το t με όσο μικρό σφάλμα θέλουμε. Δ) Αντίστοιχα αν δεν υπάρχει Χ που να ικανοποιείται για t =, τότε το βέλτιστο t ανήκει στην περιοχή [t, ] και θέτωντας t =, ξαναλύνεται το πρόβλημα ύπαρξης του βήματος Β. 23

Ε) Αφού βρεθεί το βέλτιστο t, τότε μπορεί να υπολογιστεί το αντίστοιχο Χ από τη λύση του προβλήματος: max t, subjecto to: trace XR1 t Q1 σ t, X P D1, για i = 1,2 N, X 0 Αν rank(x)=1, τότε το διάνυσμα w είναι το πρωτεύον ιδιοδιάνυσμα του Χ. Αν rank(x) > 1, τότε προτείνει μία τεχνική που ονομάζεται GRP. Επειδή όμως αυτή η υλοποίηση είναι πολύ χρονοβόρα και απαιτεί περισσότερους υπολογισμούς, για την αντιμετώπιση αυτής της περίπτωσης υλοποιήσαμε την μέθοδο συντονισμένης καθόδου (βλέπε εργασία [2]). - Απλοποιημένη τεχνική Επειδή η τεχνική διχοτόμησης είναι αρκετά χρονοβόρα, οι συγγραφείς παρουσιάζουν μία απλοποιημένη τεχνική, με την οποία για να βρουν τη λύση απλώς αγνοούν τον θόρυβο. Συνεπώς επιδιώκεται να γίνει η εξής βελτιστοποίηση: max w R1 w w Q1 w D1 w P, για i = 1, 2, N Η οποία καταλήγει στην εξής απλή λύση: w = η v, (εξίσωση 26) όπου v = P{Q1 R1} και η = k = arg(max D1 v ), όπου v είναι το k-οστό στοιχείο του v, και Μέθοδος με βάση την Εργασία [2] Στην εργασία [2] λύνεται ένα άλλο SDP πρόβλημα και προτείνονται δύο αποτελεσματικοί αλγόριθμοι για τη λύση σε περίπτωση που ο πίνακας είναι τάξης μεγαλύτερης του ένα (rank(x) > 1), όπως ορίζεται και από το προηγούμενο SDP πρόβλημα. Το μοντέλο δικτύου είναι το ίδιο με το προηγούμενο (εικόνα 8). Θεωρώντας ότι σ = σ = σ, το SNR γράφεται ώς: SNR = (εξίσωση 27) 24

Το πρόβλημα ορίζεται ως εξής (θεωρώντας ότι): Po w R w max σ 1 + w Q w, τέτοιο ώστε: (Po D + σ ) w P, k = 1, 2 N Το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το: max w R w w A w 1, k = 1,2 N, Όπου A = J + Q, όπου J ένας μηδενικός πίνακας εκτός από το J(k,k)=1 Τότε αν η = max,.. w J w, η λύση του παραπάνω προβλήματος είναι το w. Δηλαδή το η διαλέγεται έτσι ώστε να ικανοποιείται το: (Po D + σ ) w P, για κάθε k = 1,2 N. Όμως το παραπάνω πρόβλημα δεν είναι ούτε κυρτό ούτε κοίλο, οπότε θέτοντας X = w w, μετασχηματίζεται σε: min trace(r X) τέτοιο ώστε: trace(a X) 1, k = 1,2 N, X 0, rank(x) = 1 Αγνοώντας τον περιορισμό rank(x)=1, το πρόβλημα γίνεται κυρτής βελτιστοποίησης: min trace(r X) τέτοιο ώστε: trace(a X) 1, k = 1,2 N, X 0, Εάν Χ είναι τάξης 1 τότε το Χ είναι η λύση του προβλήματος και το w μπορεί να ληφθεί παίρνοντας το πρωτεύον ιδιοδιάνυσμα του Χ. Αυτή η μέθοδος σε σχέση με τη μέθοδο διχοτόμησης της προηγούμενης εργασίας έχει το πλεονέκτημα ότι αποφεύγει την τεχνική διχοτόμησης που έχει πολλές επαναλήψειες και επίσης αποδεικνύεται ότι η λύση του παραπάνω προβλήματος, για αριθμό ενδιάμεσων κόμβωνs Νr=2,3 έχει πάντα rank(x)=1. Για την περίπτωση που η τάξη του X δεν είναι 1, οι συγγραφείς στην εργασία αυτή παρουσιάζουν δύο αποτελεσματικές μεθόδους εύρεσης του διανύσματος w με τέτοιo τρόπο έτσι ώστε να πλησιάζει όσο γίνεται περισσότερο την επιδιωκόμενη τιμή trace(r X). 25

1) μέθοδος συντονισμένης καθόδου(coordinate descent method) Σε αυτή τη μέθοδο η γενική ιδέα είναι ότι σε κάθε επανάληψη, ο στόχος ελαχιστοποιείται βάσει ενός στοιχείου του w, κρατώντας τα άλλα στοιχεία του w σταθερά. Ο αλγόριθμος της παραπάνω μεθόδου είναι ο εξής: Αλγόριθμος συντονισμένης καθόδου Α) Αρχικοποίηση του διανύσματος w =το πρωτεύον ιδιοδιάνυσμα του Χ, ορισμός του σφάλματος σύγκλισης ε, θέσε k=0 B) Για p=1:n, βρες το βέλτιστο p-οστό στοιχείο του w, κρατώντας τα άλλα στοιχεία του σταθερά. Σε κάθε επανάληψη βρίσκεται το w Γ) w = w Δ) Αν < ε, σταμάτα Ε) k=k+1, επανάληψη από το βήμα 2 Το βέλτιστο y = w, στο βήμα 2 είναι μια μορφή προβλήματος μεγιστοποίησης: a1 y + b1 y + b1 y + c1 max a2 y + b2 y + b2 y + c2, τέτοιο ώστε: y β Τα β, α1, α2, b1,b2,c1,c2, εξάγονται από την εξίσωση 27. Οπότε β = και για παράδειγμα θεωρώντας p = 1 w = [y, w, w, w ] = [y, w ] και I Q2 = Q2, R2 = R2 I. I Q2 I R2 Τότε από το w R2 w = [y, w, w, w ] R2 I y I w R2 = w = R2 y + w I y + w I y + w R2 w Και από το w Q2w + 1 = [y, w, w, w ] Q2 I y I w Q2 = w = Q2 y + w I y + w I y + w Q2 w + 1 26

Τελικά, έχουμε ότι α1 = R2, a2 = Q2, b1 = w I, b2 = w I, c1 = w R2 w, c2 = w Q2 w + 1 Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την συνάρτηση f(t, y) = a1 y + b1 y + b1 y + c1 t(a2 y + b2 y + b2 y + c2) και προσπαθώντας να την μεγιστοποιήσουμε προκύπτει ένα βέλτιστο t το οποίο μπορούμε να επιτύχουμε και το ακόλουθο θεώρημα, θεωρώντας ότι η λύση δίνεται από το y = r e : Έστω t πραγματική ρίζα της F (t) = (a1 t a2) β + 2 b1 t b2 β + c1 t c2 - αν > t, τότε r = β - αλλιώς αν < t,τότε αν b1 t1 b2 (t1 a2 a1) β, τότε r = β αλλιώς ( b1 t1 b2 < (t1 a2 a1) β ) αλλιώς ( < t ) αν η εξίσωση b1 t b2 = (α1 t a2)(c1 t c2), έχει πραγματική ρίζα την t, τότε r = αν t, τότε r = β αλλιώς ( = t ), και τότε r [0, β] (δηλαδή μπορεί να είναι οποιαδήποτε αυθαίρετη τιμή), και t = = = Τέλος θα πρέπει να ισχύει ότι θ = arg b1 t b2 2) μέθοδος p-νόρμας Σε αυτή τη μέθοδο όταν το p είναι αρκετά μεγάλο τέτοιο ώστε p το σχετικό σφάλμα, τότε η προσέγγιση είναι αρκετά ικανοποιητική. Επίσης θεωρούμε ότι: D2 = diag D2 w, R2 = D2 R D2 και Q2 = D2 Q D2 Στη συνέχεια δημιουργούμε τις εξής μεταβλητές: z = Re(u) Im(u) F = Re(Q2 ) Im(Q2 ) Im(Q2 ) Re(Q2 ) K = Re(R2 ) Im(R2 ) Im(R2 ) Re(R2 ) J = J 0 0 J (), όπου ε,,,, u = 27

φ (z) = Αν θεωρήσουμε ως προσέγγιση της νόρμας z την z J z /, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο του επαυξημένου Lagrange, που δίνεται από την : L(z; λ; μ) = z F z + φ (z) λ (z K z 1) + (z Kz 1), (εξίσωση 28) όπου λ ο πολλαπλασιαστής Lagrange και ο τελευταίος όρος είναι η συνάρτηση σφάλματος. Ο αλγόριθμος που εφαρμόζεται είναι ο ακόλουθος: Αλγόριθμος p-norm Α) Αρχικοποίηση του λ () = λ (Κ F K + K ), μ=0.001 και k=1 Β) βρες το z τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιεί το L(z; λ () ; μ) Γ) υπολόγισε λ () = λ () (z K z 1)/μ Δ) Αν < ε, σταμάτα Ε) θέσε k=k+1, πήγαινε πίσω στο βήμα 2 Για το 2 ο βήμα ο αλγόριθμος με τον οποίο γίνεται η ελαχιστοποίηση είναι: i) υπολόγισε β = λ ( L) + 10 ii) υπολόγισε p = ( L + β Ι) L iii) θέσε α=1, c1=10^-4, ρ=0.5 iv) υπολόγισε z = z + α p v) Αν Lz ; λ; μ > Lz ; λ; μ + c1 α p L a. Τότε α α ρ b. Επανάλαβε τα βήματα iv), v) μέχρι να ικανοποιηθεί η συνθήκη του v) Για τον αλγόριθμο χρειάζεται ακόμα να υπολογίσουμε τα: L = 2 F z + φ 2 λ Kz + (z K z 1)K z (εξίσωση 29) L = 2 F + φ 2 λ K + (z K z 1)K + K z z K (εξίσωση 30) φ = 2 J z (εξίσωση 31) φ = 2 (εξίσωση 32) J + φ φ + 4 J z z J 28

Μέθοδος με βάση την Εργασία [3] Στην εργασία [3] υλοποιείται μία επαναληπτική μέθοδος εύρεσης του w με το παραπάνω κριτήριο, η οποία τερματίζει για Nr επαναλήψεις, κάτι που την καθιστά πολύ ελκυστική μέθοδο, καθώς η λύση των SDP προβλημάτων είναι αρκετά απαιτητική υπολογιστικά. Θεωρώντας το μοντέλο του δικτύου ίδιο με των προηγούμενων (εικόνα 8): U = σ Q = σ diag(ε{gg }), (εξίσωση 32) εφόσον θεωρούμε ότι τα κανάλια g είναι μεταξύ τους Rayleigh fading και άρα ανεξάρτητα και άρα και ασυσχέτιστα. V = Ε{hh } = R = V + v v, (εξίσωση 33) όπου V = diag(e{ g } f + E{ f } g + E{ g } E{ f } ) ένας διαγώνιος πίνακας και v = [v v v ], v = f g D3 = Po D = Po diag(ε{ f }, Ε{ f },, Ε{ f }) + σ Ι = D1 (εξίσωση 34) Οπότε όμοια, η ενέργεια του σήματος είναι: P = E Po w g f s = Po E w w f g f, g E{ s } = Ρο w Vw (εξίσωση 35) Η ισχύς θορύβου είναι: P = E w g v + n = E w w g g E{ v } + E{ n } = w Uw + σ, (εξίσωση 36) Η ολική ενέργεια μετάδοσης των ενδιάμεσων κόμβωνs είναι: Pt = E{ y } = w D3 w (εξίσωση 37) Και η ενέργεια μετάδοσης ανά ενδιάμεσο κόμβο είναι: Pt = E{ y } = D3 w (εξίσωση 38) κόμβο: Ο στόχος είναι η μεγιστοποίηση του SNR με περιορισμένη ενέργεια ανά ενδιάμεσο max SNR D3 w P, για i = 1, 2, N Ή αλλιώς : w Vw max Po w Uw + σ D3 w P, για i = 1, 2, N Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σύνολα S, S, στα οποία το πρώτο αντιπροσωπεύει τους ενδιάμεσους κόμβους που εκπέμπουν στην μέγιστη επιτρεπτή ενέργειά τους και 29

ονομάζουμε ενεργό και στο δεύτερο οι ενδιάμεσοι κόμβοι που εκπέμπουν με ενέργεια μικρότερη από τη μέγιστη επιτρεπτή, που ονομάζουμε ανενεργό (S = S S, S S = ). Επίσης ας θεωρήσουμε ότι: U (m, n) = US (m), S (n), m, n = 1,2, S V (m, n) = VS (m), S (n), m, n = 1,2, S V (m, n) = V S (m), S (n), m, n = 1,2, S w = w ()w () w ( ), δηλαδή τα μιγαδικά βάρη των ενδιάμεσων κόμβωνs που ανήκουν στο ενεργό σύνολο. v = v ()v () v ( ) Και όμοια για το σύνολο S : U (m, n) = US (m), S (n), m, n = 1,2, S V (m, n) = VS (m), S (n), m, n = 1,2, S V (m, n) = V S (m), S (n), m, n = 1,2, S w = w ()w () w ( ), δηλαδή τα μιγαδικά βάρη των ενδιάμεσων κόμβωνs που ανήκουν στο ανενεργό σύνολο. v = v ()v () v ( ) Επίσης: U (m, n) = US (m), S (n), m = 1,2, S, n = 1,2, S V (m, n) = VS (m), S (n), m = 1,2, S, n = 1,2, S Σημειώνεται ότι τότε μπορούμε να γράψουμε ότι: V = V + v v V = V + v v, V = v v και Επίσης τότε: w V w = w V w + w V w + w V w + w V w w U w = w U w + w U w + w U w + w U w Η εργασία αυτή δημιουργεί έναν επαναληπτικό αλγόριθμο προκειμένου να προσεγγίσει την λύση της παραπάνω βελτιστοποίησης. Πιο αναλυτικά ο αλγόριθμος αποτελείται από τα εξής βήματα: 30

Επαναληπτικός Αλγόριθμος Α) θέτουμε n=1 και βρίσκουμε τον ενδιάμεσο κόμβο για το οποίο: τ = arg max { }, όπου P(U V) το k-οστό στοιχείο του βασικού / ιδιοδιανύσματος (που αντιστοιχεί στη μέγιστη ιδιοτιμή). S = {τ }, S = S S Προφανώς εξορισμού: w = P /D3, e, όπου v η φάση του v Β) Υπολογίζουμε τους πίνακες U, V ως εξής: U = w U w + σ (U w ), αν U είναι διαγώνιος τότε ο U U w U είναι μηδενικός πίνακας V = w V w + σ (V w ) V w V Τότε υπολογίζουμε το w ως εξής: 1 w = ( ) PU V Για να είναι το w εφικτό, θα πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθες δύο συνθήκες: PU V 0 και w < P /D3, για κάθε k S. Αν ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες τότε ο αλγόριθμος ολοκληρώνεται, αλλιώς περνάει στο επόμενο βήμα Γ) Ανανεώνονται τα S a, S i Θέτουμε n=n+1 και βρίσκουμε το επόμενο στοιχείο του S, για το οποίο ισχύει ότι τ = arg max { () }, όπου S (k) η θέση του k στο σύνολο S / Τότε S = S {τ } και βέβαια S = S S Προφανώς και πάλι εξ ορισμού: w = P /D3, e και ανανεώνουμε w = w {w }. Δ) Αν n=n, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει και επιστρέφουμε το w, αλλιώς επιστρέφουμε στο βήμα Β) 31

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3.1: Μοντέλο επικοινωνίας Για να γίνει ο κατανεμημένος προσανατολισμός κατανεμημένα σε κάθε ενδιάμεσο κόμβο, λαμβάνοντας υπόψιν τις πραγματικές συνθήκες, θα πρέπει να βρεθεί ένας τρόπος οι ενδιάμεσοι κόμβοι να έχουν την πληροφορία για τα κανάλια μεταξύ αυτών του πομπού, καθώς και μεταξύ αυτών και του προορισμού. Σε αυτή την εργασία διακρίναμε δύο υποθετικές περιπτώσεις. Στην πρώτη όπου θεωρούμε ότι τα κανάλια είναι αμοιβαία, δηλαδή το κανάλι από τον ενδιάμεσο κόμβο στον προορισμό είναι το ίδιο με το κανάλι από τον προορισμό στον ενδιάμεσο κόμβο, και στη δεύτερη όπου θεωρούμε ότι τα κανάλια δεν είναι αμοιβαία. Πιο συγκεκριμένα, το σύστημα που μελετήσαμε για την περίπτωση όπου έχουμε ένα ζευγάρι πομπού-προορισμού, τα βήματα που πρέπει να ακολουθηθούν προκειμένου να επιτύχουμε την εκτίμηση καναλιού στην περίπτωση των αμοιβαίων καναλιών είναι (εικόνα 9): 1) Αφού ο κόμβος έχει κάνει αίτηση στον προορισμό για μετάδοση, η οποία και έχει γίνει δεκτή, ο δέκτης κάνει broadcast στους συνεργαζόμενους κόμβους μία ακολουθία εκμάθησης προκειμένου να κάνουν την εκτίμησή τους για τα κανάλια μεταξύ αυτών και του προορισμού. 2) Στη συνέχεια, ο πομπός κάνει broadcast με τη σειρά του τα δεδομένα που θέλει να στείλει εισάγοντας μπροστά μία ακολουθία εκμάθησης, προκειμένου να γίνει η εκτίμηση των καναλιών μεταξύ αυτού και των ενδιάμεσων κόμβων. 3) Οι συνεργαζόμενοι κόμβοι πρέπει να ανταλλάξουν πληροφορία για τη γνώση του καναλιού, έτσι ώστε να μπορεί ο κάθε κόμβος να βρει κατανεμημένα το beamforming βάρος του. Ο κάθε κόμβος κβαντίζει την πληροφορία για τα κανάλια και στη συνέχεια την κάνει broadcast στους υπόλοιπους κόμβους. 4) Τέλος, οι συνεργαζόμενοι κόμβοι, έχοντας την πληροφορία του καναλιού μπορούν να υπολογίσουν κατανεμημένα το μιγαδικό βάρος που τους αντιστοιχεί και με αυτό να ενισχύσουν και στη συνέχεια να προωθήσουν ταυτόχρονα το μήνυμα στον προορισμό. 32