Σελίδα 1 από 6 Μια νέα (;) ιδιότητα της παραβολής Γιάννης Καμπούρογλου Μαθηματικός (4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ) Γιάννης Αλεξίου Μαθηματικός (4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ) Περίληψη Παρουσιάζουμε με απόδειξη μια νέα (;) ιδιότητα της παραβολής, η οποία δεν έχει μέχρι τώρα παρουσιαστεί, από την έρευνα που κάναμε στη σχετική βιβλιογραφία των κωνικών τομών. Την πρόταση αυτή παρουσιάσαμε αρχικά στο δικτυακό τόπο www.mathematca.gr στο θέμα : htt://www.mathematca.gr/forum/vewtoc.h?f=6&t=7736&=135350#135350 Πρόταση Αν ευθεία σταθερής διεύθυνσης που διέρχεται από την εστία της παραβολής x και την τέμνει στα σημεία A,B, τότε οι εφαπτομένες της σε κάθε ένα από τα σημεία αυτά έχουν επίσης σταθερή διεύθυνση, καθώς το μεταβάλλεται. Θεωρούμε την παραβολή την εστία 1 η Απόδειξη C: x και την ευθεία σταθερής διεύθυνσης ( ) που διέρχεται από (,0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης 0. Η ευθεία ( ) έχει εξίσωση : 0 (x ) (x ) Τα σημεία τομής και της ευθείας ( ) με την παραβολή C βρίσκονται από τη λύση του συστήματος : 8/6/01
Σελίδα από 6 Η () δίνει : και η(1) γίνεται: x (1) (x ) () (x ) x x x 0 Οι ρίζες της είναι : 4 4 1 (1 1 ) 4 4 1 (1 1 ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής (x x ) 1 1 Όταν 0, αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 C: x σημεία και έχουν αντίστοιχα συντελεστή διεύθυνσης : A (1 1 ) 1 1 και στο σημείο της (x, ) είναι : 1 1, οπότε οι εφαπτόμενες της C στα 1 (1 1 ) 1 1 Άρα, οι εφαπτόμενες της παραβολής στα και έχουν συντελεστές διεύθυνσης ανεξάρτητους της παραμέτρου της παραβολής,(εξαρτώνται μόνο από το συντελεστή διεύθυνσης λ της ( ) που παραμένει σταθερός) οπότε έχουν σταθερή διεύθυνση καθώς το μεταβάλλεται.. 8/6/01
Σελίδα 3 από 6 η Απόδειξη Θεωρούμε την παραβολή διέρχεται από την εστία C: x καθώς και την ευθεία σταθερής διεύθυνσης ( ) που (,0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης και τέμνει τη παραβολή στα Κ, Λ. Σύμφωνα με την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής, η γωνία KEx = KNx (1) ( ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΚΝΕ ). Έτσι, όταν συντελεστής διεύθυνσης της χορδής που διέρχεται από την εστία Ε παραμένει σταθερός για οποιαδήποτε τιμή του, θα παραμένει σταθερός και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης από τη σχέση (1) για κάθε τιμή του. K ω ω t Ν ω ω E(/,0) x Λ (ε) Επίσης από την σχέση (1) για ΚΝx = ω έχω: KEx = KNx άρα και ( ) ( 1 1 () 1 0 Η διακρίνουσα της εξίσωσης () είναι: οπότε : 4 4 4(1 ) 0 1 1 1 1, σταθερό και ανεξάρτητο του. Οι δύο τιμές 1, αντιστοιχούν στις δύο εφαπτόμενες που φέρνουμε στα σημεία Κ, Λ. 8/6/01
Σελίδα 4 από 6 Τρίτη απόδειξη (Κώστας Δόρτσιος) Η εξίσωση της παραβολής c είναι: x (1) όπου η παράμετρος είναι μια μεταβλητή ποσότητα (στο σχήμα μας αυτή είναι θετική) Η εξίσωση της ευθείας (e) σταθερής κατεύθυνσης και που διέρχεται από την εστία E(,0) είναι: m(x ) () όπου η παράμετρος m είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός(συντελεστής κατεύθυνσης) Θεωρούμε τα σημεία A(x, ),B(x, ) όπου η ευθεία αυτή τέμνει την ανωτέρω παραβολή. 1 1 Τότε οι συντεταγμένες των σημείων αυτών προκύπτουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων (1) και (). Έχουμε λοιπόν το σύστημα των εξισώσεων : Οι εξισώσεις αυτές δίνουν x x και και m(x ) m( ) Η δεύτερη εξίσωση από τις δύο τελευταίες γίνεται: m m 0 ή ακόμα Η εξίσωση (3) έχει διακρίνουσα άνισες. Αυτές είναι οι εξής : m( ) ( ) m 0, 0 (3) D 4 4m 0 και κατά συνέπεια δύο ρίζες πραγματικές και 8/6/01
Σελίδα 5 από 6 1 1 m ( ) ct (4) 1, m Οι εφαπτόμενες τέλος της παραβολής στα σημεία A,B έχουν εξισώσεις: ή ακόμα: x x (x x ), 1, δηλαδή: x ( ) x ( ), 1, Άρα οι συντελεστές κατεύθυνσης των δύο αυτών εφαπτομένων λόγω της (4) είναι σταθεροί. Επομένως οι εφαπτόμενες αυτές έχουν σταθερή κατεύθυνση. Παρατήρηση Ακόμα από την εξίσωση (3) προκύπτει ότι το γινόμενο των συντελεστών αυτών προκύπτει: m ( ) ( ) 1 1 m 1 που σημαίνει ότι οι εφαπτομένες αυτές στα σημεία είναι, μεταξύ των κάθετες, κάθε φορά που αλλάζει το της παραβολής αυτής. Τέταρτη απόδειξη (Αλέξανδρος Συγγελάκης) Είναι γνωστό ότι αν φέρουμε μία χορδή της παραβολής που διέρχεται από την εστία και την τέμνει στα σημεία Α,Β τότε οι εφαπτόμενες l 1,l στα Α,Β αντίστοιχα τέμνονται επί της διευθετούσας κάθετα. Μάλιστα αν είναι το σημείο τομής των l 1,l Κ τότε η ΚΕ είναι κάθετη στην ΑΒ. Έτσι σχηματίζονται πολλά όμοια τρίγωνα τα οποία έχουμε χρωματίσει στο επισυναπτόμενο σχήμα (και τα 4 έγχρωμα τρίγωνα του σχήματος είναι όμοια). 8/6/01
Σελίδα 6 από 6 Επίσης, αν η γωνία που σχηματίζει αυτή η χορδή με τον x'x είναι ίση με, τότε αυτή είναι διπλάσια της γωνίας που σχηματίζει η l 1 με τον άξονα x'x Άρα, αν tan είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της AB και tan 1 ο συντελεστής διεύθυνσης της l 1, τότε tan tan Η τελευταία εφαπτομένη μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση της tan, άρα και του, χωρίς να υπεισέρχεται το. Τα ίδια ακριβώς ισχύουν για το συντελεστή διεύθυνσης της l,ο οποίος εξαρτάται από τη γωνία K E 1 στο σχήμα. 8/6/01