Μια εύκαµπτη και οµογενής αλυσίδα µήκους L, συγκρατείται στο ένα άκρο της ώστε ένα τµήµα αυτής να βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, ενώ το υπόλοιπο τµήµα αυτής µήκους α (α<l) να κρέµεται κατακορύφως. Κάποια στιγµή η αλυσίδα αφήνεται ελεύθερη, οπότε αρχίζει να κινείται. i) Θεωρώντας τα δύο τµήµατα της αλυσίδας ως σώµατα µεταβλητής µά ζας να βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνησή τους. ii) Συνδυάζοντας τις δύο αυτές διαφορικές εξισώσεις να δείξετε ότι, το µήκος y του κρεµασµένου τµήµατος της αλυσίδας ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: d y dt - g L y = όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Είναι συµβιβαστή η εξίσωση αυτή µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας; iii) Να εκφράσετε το µήκος y ως συνάρτηση του χρόνου και να βρείτε σε πόσο χρόνο η αλυσίδα θα εγκαταλείψει το τραπέζι. ΛΥΣΗ: i) To oριζοντιο τµήµα της αλυσίδας αποτελεί σώµα που η µάζα του µειώνεται µε τον χρόνο, ενώ το κρεµασµένο κατακόρυφο τµήµα αποτελεί σώµα που η µάζα του αυξάνεται µε τον χρόνο. Εάν x είναι το µήκος του οριζόντιου τµήµατος κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και v x η αντίστοιχη ταχύτητά του θα ισχύει για το τµήµα αυτό η σχέση: d v m x x dt = dm x dt ( v ) x µx d v x dt = - µdx dt ( v ) x x d v x dt = - dx dt ( - v x ) x dv x dt = dx dt v x dv x x dt = v x (1)
όπου µ η µάζα ανά µονάδα µήκους της αλυσίδας (γραµµική πυκνότητα της αλυσίδας). Η σχέση (1) καταστρώθηκε µε βάση το γεγονός ότι το οριζόντιο τµήµα δέχεται µηδενική συνισταµένη δύναµη (το βάρος του εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση του τραπεζιού) και ότι η σχετική ταχύτητα κάθε κρίκου του ως προς τους υπόλοιπους κρίκους του τη στιγµή που εγκα ταταλείπει το τραπέζι,, είναι ίση µε - v x (τη στιγµή αυτή ο κρίκος παύει να κι Σχήµα 1 νείται οριζοντίως). Εξάλλου εάν y είναι το µήκος του κατακόρυφου τµήµατος της αλυσίδας κατά τη στιγµή t και v y η αντίστοιχη ταχύτητά του, η κίνησή του θα περιγράφεται από την σχέση: d v m y y dt = m yg + dm y dt ( v ) y µy d v y dt = µy g + µdy dt ( v ) y y d v y dt = y g + dy dt ( - v y ) y dv y dt = yg - v y () Η σχέση () καταστρώθηκε µε βάση το γεγονός ότι το τµήµα δέχεται ως µόνη εξωτερική δύναµη το βάρος του m y g και ότι κάθε κρίκος προστίθεται σ αυτό µε σχέτική ταχύτητα - v y ως προς τους υπόλοιπους κρίκους του. ii) Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: x dv x dt + ydv y dt = v x + yg - v y (3) Όµως όλοι οι κρίκοι της αλυσίδας έχουν το ίδιο µέτρο ταχύτητας, οπότε µπο ρούµε να γράψουµε τις σχέσεις: v x = v y και dv x /dt = dv y /dt µε αποτέλεσµα η σχέση (3) να παίρνει την µορφή: (x + y) dv y dt = yg L dv y dt = yg d y dt - g L y = (4) Εάν εφαρµόσουµε για την αλυσίδα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως, όπου αυτή αφήνεται ελεύθερη και της θέσεώς της τη χρονική στιγµή t, θα έχουµε:
- µg(/) = µlv y / - µyg(y/) Lv y = g(y - ) (5) Διαφορίζοντας την (5) παίρνουµε την σχέση: Lv y dv y = gydy Lv y (dv y /dt) = gy(dy /dt) v y dv y dt = g L yv y dv y dt - g L y = d y dt - g L y = δηλαδή χρησιµοποιώντας την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας κατα λήξαµε στην διαφορική εξίσωση (4). iii) Η (4) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, της οποίας η χαρακτηριστική εξίσωση έχει την µορφη: - g/l = = = ± µε = g/l δηλαδή οι ρίζες της είναι ρ 1 =ω και ρ =-ω, που σηµαίνει ότι η (4) δέχεται λύση της µορφής: y = C 1 e t + C e -t (6) όπου C 1, C σταθερές που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της αλυσίδας, δήλαδή από το γεγονός ότι για t= είναι y= και dy/dt=. Άρα θα έχουµε: = C 1 + C $ = C 1 - C = C 1 + C C 1 = C $ C 1 = C = / H τελική εποµένως µορφή της (6) είναι: y = ( et + e ) -t = ( e g/lt + e ) - g/lt (7) H σχέση (7) την χρονική στιγµή t * που η αλυσίδα εγκαταλείπει το τραπέζι (y=l), δίνει: L = e g/lt * + e - g/lt * ( ) L = e g/lt * + e - g/lt * (8) Θέτουµε e g/lt * = z, οπότε η (8) γράφεται: L = z + 1 z z - L z + 1 = (9) Οι ρίζες της (9) είναι:
z 1 = L + L $ ' & οπότε θα έχουµε: - 1 και z = L - L $ ' & - 1 e g/lt * = L ± L $ ' & - 1 g L t * = ln$ L $ ± L $ ' & - 1' ' & t * = L g ln $ L $ ± L $ ' & - 1' ' & Δεκτή η τιµή t * = L g ln $ L $ + L $ ' & - 1' ' & P.M. fysikos Mια οµογενής αλυσίδα γραµµικής πυκνότητας µ, είναι σωριασµένη σε τραχύ οριζοντιο έδαφος και στο ένα άκρο της είναι στερεωµένο µικρό σώµα µάζας ίσης προς την µάζα Μ της αλυσίδας. Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα που πρέπει να δοθεί στο σώµα, ώστε αυτό ολισθαί νοντας πάνω στο οριζόντιο επίπεδο να ξεδιπλώσει τη µισή αλυσίδα. Δίνεται επιτάχυνση g της βαρύτητας και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n στις επαφές της αλυσίδας και του σώµατος µε το οριζόντιο έδαφος. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το ξεδιπλωµένο τµήµα της αλυσίδας και το σώµα κατά µια χρονική στιγµή t που το µήκος του τµήµατος είναι x και η ταχύτητά του v. Το σύστηµα αυτό παρουσιάζει µάζα που αυξάνεται µε τον χρόνο και η µόνη εξωτερική δύναµη που επηρεάζει την κίνησή του είναι η τριβή ολίσθησης T. Έτσι η κίνησή του θα περιγράφεται από την σχέση: m d v dt = T + dm v (1) dt όπου m η µάζα του συστήµατος κατά τη στιγµή t, v η σχετική ταχύτητα κά θε προστιθέµενου κρίκου ως προς το κινούµενο τµήµα της αλυσίδας και dm/dt ο ρύθµος αύξησης της µάζας του σύστήµατος. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγ µών t και t+dt προστίθεται µάζα dm που αντιστοιχεί σε στοιχειώδες µήκος dx της αλυσίδας, θα ισχύει dm=µdx και ακόµη m=m+µx, v =- v µε αποτέλεσµα η σχέση (1) να γράφεται:
(M + µx) d v dt = T + µ dx dt (- v ) (M + µx) d v dt = T - µv v () Σχήµα H διανυσµάτική σχέση () µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, η οποία µε θετική φορά την κατεύθυνση κίνησης του σώµατος έχει την µορφή: (M + µx) dv dt = -T - µv (M + µx) dv dt = -n(m + µx)g - µv (3) Επειδή ισχύει dt=dx/v η (3) γράφεται: (M + µx)dv = -n(m + µx)gdx /v - µvdx (M + µx) vdv = -n(m + µx) gdx - µv (M + µx)dx (M + µx) vdv + µv (M + µx)dx = -ng(m + µx) dx d [(M + µx) v ] = -ng(m + µx) dx (4) Ολοκληρώνοντας την σχέση (4) παίρνουµε: (M + µx) v = - ng 3µ (M + µx)3 + C H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι x= και v=v, οπότε η (5) δίνει: M v = - ng 3µ M3 + C C = M v + ng 3µ M3 Έτσι η (5) παίρνει την τελική της µορφή: (M + µx) v = - ng [ 3µ M3 - (M + µx) 3 ] + M v (5) Eάν θέλουµε να ξεδιπλώσει η µισή αλυσίδα πρέπει για µx=m/ να είναι v=, οπότε στην περίπτωση αυτή η σχέση (5) γράφεται:
= - ng ( 3µ M3-7M 3 / 8) + M v ng 3µ 19M 3 8 = M v v = 19ng 1 M µ v = 19ng 1 M µ P.M. fysikos To ένα άκρο Α οµογενούς ράβδου ΑΒ µήκους L, εφάπτεται κατακό ρυφου λείου τοίχου και το άλλο της άκρο Β εφάπτεται λείου οριζόντι ου εδάφους. Αρχικά η ράβδος συγκρατείται ώστε να σχήµατίζει πολύ µικρή γωνία µε τον τοίχο, δηλαδή είναι περίπου κατακόρυφη και κά ποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη, οπότε εκτελεί επίπεδη κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο κάθετο στον τοίχο. i) Nα δείξετε ότι σε κάποια θέση η ράβδος χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο. ii) Nα βρείτε την κινητική ενέργεια της ράβδου στην θέση αυτή και την στροφορµή της περί την ευθεία τοµής του τοίχου µε το οριζόντιο έδαφος. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =ml /1 της ράβδου περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) H ράβδος εκτελεί επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας το κέν τρο µάζας της C διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας L/, ενώ ταυτόχρονα η ράβδος στρέφεται περί άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας και κάθετο στο επίπεδο της κίνησης. Επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της w, η αντίδραση F A του κατακόρυφου τοίχου, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και η αντίδραση F B του λείου οριζόντιου εδάφους, της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος (σχήµα 3). Ας δεχθούµε ότι υπάρχει θέση της ράβδου, στην οποία αυτή χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο. Αυτό σηµαίνει ότι στην θέση αυτή µηδενίζεται η αντίδραση F A, δηλαδή µηδενίζεται η οριζόντια συνι στώσα a Cx της επιτάχυνσης a C του κέντρου µάζας της ράβδου και αυτό µε την σειρά του σηµαίνει ότι η αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα v Cx της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και µάλιστα στην περίπτωσή µας µέγιστη τιµή διότι µεχρι την θέση το κέντρο µάζας της ράβδου κατά την οριζόντια διεύθυνση συνεχώς επιταχύνεται. Για να υπολογίσουµε την ταχύτητα της ράβδου όταν αυτή σχηµατίζει µε τον κατακόρυφο τοίχο γωνία φ, εκµετα λευόµαστε το γεγονός ότι η επίπεδη κίνηση της ράβδου µπορεί να θεωρηθεί ως καθαρή στροφική κίνηση περί το στιγµιαίο κέντρο της Κ, το οποίο κάθε στιγµή βρίσκεται στο σηµείο τοµής των καθέτων στα διανύσµατα των ταχυτήτων των άκρων Α και Β της ράβδου. Εάν είναι η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της
ράβδου θα ισχύει, σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας, η σχέση: U + K = U + K mg L + = mg L $ + 1 I K mgl = mgl$ + I K (1) Σχήµα 3 όπου Ι Κ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνη σης και διερχόµενο από το σηµείο Κ. Όµως κατά το θεώρηµα Steiner ισχύει: I K = I C + m(ck) = ml /1 + ml /4 = ml /3 () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: mgl = mgl$ + ml / 3 g = g$ + L / 3 = 3g(1 - $)/ L = 3g(1 - $)/ L (3) Άρα το µέτρο της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας στην θεωρούµενη θέση είναι: v C = (CK) = L (3) v C = L 3g(1 - $) = 1 L Η αντίστοιχη ορίζόντια συνιστώσα της έχει µέτρο: 3gL(1 - $) (4) (4) v Cx = v C $ v Cx = $ 3gL(1 - $) (5) Η v Cx γίνεται µέγιστη όταν η ποσότητα f(φ)=συνφ.(1-συνφ) 1/ λάβει µέγιστη τι µή. Όµως παρατηρούµε ότι το άθροισµα των όρων συνφ και 1-συνφ είναι στα θερό και ίσο µε την µονάδα, οπότε η ποσότητα f(φ) γίνεται µεγιστη, όταν οι όροι αυτοί γίνουν ανάλογοι προς τους εκθέτες τους, δηλαδή όταν η γωνία φ λάβει µια τιµή φ που ικανοποιεί την σχέση:
$ 1 = 1 - $ 1/ $ = - $ $ = 3 (6) ii) Η κινητική ενέργεια της ράβδου στην θέση όπου το άκρό της Α χάνει την επαφή του µε τον κατακόρυφο τοίχο δίνεται από την σχέση: K = I K (),(3) K = ml 6 3g(1 - $ ) L (6) K = mlg 1 - $ & 3 = mlg 6 H αντίστοιχη στροφορµή L (O) της ράβδου περί την τοµή Ο του τοίχου µε το οριζόντιο έδαφος, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµά της αντίστοιχης στρο φορµής L C του κέντρου µάζας της ράβδου στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµέ νη την µάζα της και της ιδιοστροφορµής της L S περί άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας της και κάθετο στο επίπεδό της, δηλαδή ισχύει η σχέση: L (O) = L C + L S = mlv C z - ml z 1 L (O) = mll z 4 - ml 1 L (O) = ml 6 3g(1 - $ ) L z = ml (3) z 6 z = ml 6 gl z όπου z το κάθετο προς το επίπεδο κίνησης µοναδιαίο διάνυσµα του οποίου η µε φορά θεωρήθηκε συµβατικά αντίθετη προς την φορά του. (7) P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (4) ο oδοντωτός τροχός τ έχει ακτίνα R, µάζα m και εµπλέκεται µε τον οδοντωτό τροχό τ 1 ακτίνας r<r, ο οποίος µαζί µε τον δίσκο Δ ακτίνας R, αποτελούν ένα σώµα που µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κοινό κέντρο τους Ο 1. Ο δίσκος φέρει στην περιφέρειά του αυλάκι στο οποίο έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχει δεθεί σώµα Σ, µάζας m. Κάποια στιγµή το σώµα αφήνεται ελεύθερο και κινούµενο προς τα κάτω θέτει σε περιστροφή τους δύο τροχούς. Να βρεθούν:
i) η επιτάχυνση του σώµατος και ii) η δύναµη εµπλοκής των δύο οδοντωτών τροχών. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η ακτίνα αδράνειας Κ 1 του συστήµατος δίσκος Δ-οδοντωτός τροχός τ 1, η µάζα m 1 του συστήµατος αυτού και η ακτίνα αδράνειας Κ του τροχού τ. Nα δεχθείτε ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι του δίσκου Δ. ΛΥΣΗ: i)το σώµα Σ κατέρχεται κατακόρυφα µε την επίδραση του βάρους του w και της τάσεως T του νήµατος. Συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει για το σώµα αυτό η σχέση: w - T = ma mg - T = ma (1) όπου a η ζητούµενη επιτάχυνση του σώµατος. Το σύστηµα δίσκος Δ-τροχός τ 1 εκτελεί γνήσια περιστροφή περι οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κοινό κέντρο τους Ο 1, η οποία επηρεάζεται από την τάση T ' του νήµατος που περι βάλει το αυλάκι του δίσκου Δ και από την δύναµη εµπλοκής F 1 που εξασκεί επί του οδοντωτού τροχού τ 1 ο οδοντωτός τροχός τ. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα αυτό τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε: Σχήµα 4 T'R - F 1 r = I 1 ' 1 TR - F 1 r = m 1 k 1 ' 1 () όπου ' 1 η γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος, Ι 1 η ροπή αδράνειας του ως προς τον άξονα περιστροφής του ίση µε m 1 k 1 και Τ=Τ, διότι το νήµα θεωρείται αβαρές. Εξάλλου και ο οδοντωτός τροχός τ εκτελεί γνήσια περιστροφή περί οριζόντιο άξονα διερχόµενο από το κέντρο του Ο, η οποία επηρεάζεται από την δύναµη εµπλοκής F που δέχεται από τον τροχό τ 1, η οποία συµφωνα µε τον τρίτο νόµο κίνησης του Νεύτωνα έχει τον ίδιο φορέα µε την F 1, το ίδιο µέτρο και αντίθετη φορά µε αυτήν. Εφαρµόζοντας για τον τροχό τ τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: F R = I ' F R = m k ' (3)
όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού τ και Ι η ροπή αδράνειας του ως προς τον άξονα περιστροφής του ίση µε m k. Εάν 1, είναι κάποια στιγµή οι γωνιακές ταχύτητες των τροχών τ 1, τ αντιστοίχως, λόγω της κοινής ταχύτητας του σηµείου εµπλοκής των δύο τροχών θα ισχύει η σχέση: 1 r = R rd 1 = Rd r(d 1 /dt) = R(d / dt) r' 1 = R' ' = r' 1 /R οπότε η (3) γράφεται: r' F 1 R = m k 1 R F r' 1 = m k 1 R (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: r' TR - m k 1 r = m R 1 k 1 ' 1 TR = m 1 k r 1 + m k R $ & '' (5) 1 Όµως η επιτάχυνση a του σώµατος είναι ίση µε την επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου επαφής του δίσκου Δ µε το νήµα, δηλαδή ισχύει a=ω 1 R, οπότε η (5) παίρνει την µορφή: TR = m 1 k r $ 1 + m k R & a R T = m k r $ 1 1 + m k R & a R (6) H σχέση (1) λόγω της (6) γράφεται: mg - m 1 k r $ 1 +m k R & a R = ma m+m 1k 1 +m R k r R 4 $ & a = mg a = mg m + m k 1 1 r + m R k R 4 (7) ii) H σχέση (4) γράφεται: F 1 = m k ra R 3 (7) F 1 = m k r R 3 mg m + m k 1 1 r + m R k R 4 F 1 = m k r mgr 4 $ R 3 mr 4 + m 1 k 1 R + m k r & F 1 m = mg k rr $ mr 4 + m 1 k 1 R + m k r &
P.M. fysikos Mια οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο έδαφος και το κέντρο της έχει ταχύτητα v. Κάποια στιγ µή η σφαίρα συναντά σκαλοπάτι ύψους h=r/3, µε το οποίο συγκρού εται και το υπερπηδά, χωρίς ολίσθηση και αναπήδηση. i) Nα βρεθεί η ώθηση της δυνάµεως κρούσεως που δέχεται η σφαίρα από το σκαλοπάτι. ii) Να βρέθεί η δύναµη που δέχεται η σφαίρα από το σκαλοπάτι κατά την έναρξη της ανατροπής της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mR /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρ χεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρονο Δt (Δt ) της κρούσεως της σφαίρας µε το σκαλοπάτι, η ώθηση της ροπής του βάρους w της σφαίρας περί την ακµή Α του σκαλοπατιού τείνει στο µηδέν. Eξάλλου κατά τον χρόνο Δt η ροπή της δύναµης που δέχεται η σφαίρα από το σκαλοπάτι (αντίδραση του σκαλοπα τιού), περί την ακµή Α είναι µηδενική, οπότε η αντίστοιχη στροφορµή της σφαίρας δεν µεταβάλλεται στην διάρκεια του χρόνου Δt, δηλαδή ισχύει: (A) L $ &'( = L (A) )µ*+,- µ./ (A) L $ &'( Σχήµα 5 (A) = L )µ*+,- µ./ (1) Όµως το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας περί την ακµή Α, λίγο πριν την κρούση της µε το σκαλοπάτι, είναι: (A) L $ &'( = mv R$ + I C () όπου I C η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και η γωνιακή της ταχύτητα λόγω της κύλισής της στο οριζόντιο έδαφος. Όµως ισχύει I C =mr /5 και ω =v /R, οπότε η () γράφεται:
(A) L $ &'( = mv R$ + mr 5 Aπό το σχήµα (5) για το συνφ έχουµε: v ( ' * = mv & R R 1 + $ ( ' * (3) ) & 5 ) $ = R - R/5 R = 4 5 οπότε η (3) γράφεται: (A) L $ &'( = mv R 1 + 8 $ & = 33 5 5 mv R (4) Eξάλλου, το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας περί την ακµή Α, αµέσως µετά την κρούση της µε το σκαλοπάτι είναι: (A) L µ$ µ&'( = I A ' = I A v' /R (5) όπου I Α η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς την ακµή Α του σκαλοπατιού, ' η γωνιακή της ταχύτητα αµέσως µετά την κρούση και v ' η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας της, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ακτί να CA. Όµως για την I Α ισχύει η σχέση: I A = I C + mr = mr /5 + mr = 7mR /5 οπότε η (5) γράφεται: (A) L µ$ µ&'( = 7mR 5 v' R $ & = 7mRv' 5 (6) H σχέση (1) µε βάση τις (4) και (6) δίνει: 33 5 mv R = 7mRv' 5 v' = 33 35 v (7) Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της σφαίρας το θεώρηµα ώθησης-ορµής κα τά τον χρόνο Δt και λαµβάνοντας υπ όψη ότι η αντίστοιχη ώθηση w Δt του βάρους w της σφαίρας τείνει στο µηδέν, παίρνουµε την σχέση: m v ' - m v = = m v ' +(- m v ) (8) όπου η ζητούµενη ώθηση της δύναµης κρούσεως που δέχεται η σφαίρα από το σκαλοπάτι. Όµως η γωνία των διανυσµάτων m v ', - m v είναι ίση µε π-φ, οπότε το µέτρο της είναι: (7) = (mv ) +(mv' ) +mv mv' $(-&)=m v +mv' - v v' $&
=m v + 33 $ ' 35& v - 33 4 $ ' v 35 $ ' ( & 5& 3 mv (9) Η διεύθυνση της καθορίζεται από την γωνία θ, για την οποία ισχύει ο νόµος του συνηµιτόνου, δηλαδή η σχέση: (7),(9) (mv' ) = (mv ) + - mv $ 33$ m & 35 33$ & 35 $ v = m v + m & 3 = 1 + $ & 3 $ v - mv & mv 3 '()* - $ & '()* $.333 3 ii) Aµέσως µετά την κρούση, δηλαδή στο τέλος του χρόνου Δt η σφαίρα δέχε ται το βάρος της w, που αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα w r και στην κά θετη προς την ακτίνα CA συνιστώσα w e και την δύναµη F από το σκαλοπάτι που αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα N (κάθετη αντίδραση του σκαλο πατιού) και στην στατική τριβή T (σχήµα 6). Την στιγµή αυτή το κέντρο µάζας της σφαίρας αρχίζει την κίνησή του επί κυκλικής τροχίας κέντρου Α, έχοντας ταχύτητα v ' και η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων w r και N αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το κέντρο µάζας, δηλαδή ισχύει η σχέση: Σχήµα 6 (7) w r - N = mv' / R mgµ - N = m 33& ( R $ 35' v 4$ N = mg 1 - & 5 - m 33$ & R 35 v = m 3g 5-189 v $ 15 R & (1) H (1) έχει νόηµα εφ όσον ισχύει: 3g 5 > 189 v 15 R v <,5Rg (τελικώς)
Εξάλλου την στιγµή αυτή η µοναδική ροπή που δέχεται η σφαίρα περί την ακµή Α είναι η αντίστοιχη ροπή του βάρους της, η οποία τείνει να µειώσει την γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας, δηλαδή η γωνιακή επιτάχυνση ' της σφαίρας είναι αντίρροπη της γωνιακής της ταχύτητας ' και επειδή ισχύει η σχέση a e = ( ' AC), αυτή εγγυάται ότι η επιτρόχια επιτάχυνση a e του κέντρου µά ζας είναι αντίρροπη της ταχύτητάς του v ', δηλαδή το κέντρο µάζας επιβραδύ νεται. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή για την σφαίρα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: mgr$ = I A ' 4mgR 5 = mr 5 $ + mr & '' 4g 5 = 7R' 5 R'= 4g 7 (11) Εφάρµόζοντας για το κέντρο µάζας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευtώνα κα τά την κάθετη προς την ακτίνα ΑC διεύθυνση παίρνουµε την σχέση: (11) -w e + T = -ma e T = mg$ - m'r T = 4mg 5-4mg 7 = mg 35 H συνισταµένη των ορθογώνιων δυνάµεων N και T, αποτελεί την ζητούµενη δύναµη F. P.M. fysikos (1) Ένα κυκλικό τραπέζι στρέφεται περί σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Ένας άνθρωπος µάζας m, βρίσκεται την χρονική στιγµή t= στo κέντρο O του τραπεζιού έχοντας σε σχέση µε το τραπέζι ταχύτητα v, η οποία στην συνέχεια διατηρείται σταθερή χωρίς ο άνθρωπος να γλυστράει πάνω στο τραπέζι. Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της τραπέζης και των υποδηµάτων του ανθρώπου είναι n, να βρεθεί κατά ποια χρονική στιγµή επίκειται η ολίσθηση του ανθρώπου. Ποια είναι η συνθήκη που εξασφαλίζει λύση στο πρόβληµα; Δίνεται η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Γιά ένα παρατηρητή πού ακινητεί ως πρός το περιστρεφόµενο τρα πέζι (οµαλά στρεφόµενος παρατηρητής), ο ανθρωπος εκτελεί ευθύγραµµη µετα φορική κίνηση κατά µήκος µιας ακτίνας του τραπεζιού, υπό την επίδραση των εξής δυνάµεων:
Tης αδρανειακής φυγόκεντρης δύναµης F = -m r, όπου r το διάνυσµα θέσε ως του κέντρου µάζας του ανθρώπου ως προς τον άξονα περιστροφής του τραπεζιού, δηλαδή ο φορέας της F είναι κάθετος στον άξονα περιστροφής η δέ φορά της από τον άξονα προς τον άνθρωπο (σχήµα 7). Σχήµα 7 Tης αδρανειακής δύναµης Coriolis F C =- m( v ), της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο επίπεδο που καθορίζει το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του τραπεζιού και το διάνυσµα της σχετικής ταχύτητας v του ανθρώπου ως πρός το τραπέζι. Του βάρους του w και της δύναµης επαφής από το τραπέζι, που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N µε φορέα κατακόρυφο και στην στατική τριβή T, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος. Επειδή η σχετική κίνηση του ανθρώπου ως προς το τραπέζι είναι ευθύγραµµη και οµαλή, η δύναµη F είναι αντίθετη προς την συνιστώσα T 1 της T που είναι παράλληλη προς το διάνυσµα r, ενώ η F C είναι αντίθετη της συνιστώσας T της T, που είναι κάθετη στο r (σχήµα 7). Θα ισχύουν εποµένως οι σχέσεις: T 1 = F = m r T = F C = mv $ T 1 = m 4 r T = 4m v $ (+ ) T 1 + T = m 4 r + 4m v T = m ( r + 4v ) (1) Tην χρονική στιγµή t * που επίκειται η ολίσθηση του ανθρώπου πάνω στο τραπέζι ισχύει Τ=nN=nmg και r=vt *, όποτε την στιγµή αυτή η σχέση (1) παίρνει την µορφή: n m g = m ( v t * + 4v ) n g = 4 v t * + 4 v 4 v t * = n g - 4 v t * = n g - 4 v 4 v t * = n g - 4 v v ()
H σχέση () έχει νόηµα εφ όσον ισχύει: n g - 4 v > n g > 4 v n > v/g (3) H (3) αποτελεί την συνθήκη για να έχει λύση το πρόβληµα. P.M. fysikos Αβαρής ράβδος µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ο, ενώ στο άλλο της άκρο Α έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. H ράβδος κρατείται κατακόρυφη µε το σφαιρίδιο προς τα πάνω και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη, ενώ ταυτόχρονα δίνεται στο σφαιρίδιο ελαφρά οριζόντια ώθηση. i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η ράβ δος µε την κατακόρυφη διεύθυνση, την δύναµη που δέχεται το σφαι ρίδιο από την ράβδο και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ii) Εάν ο χρόνος µετατόπισης του σφαιριδίου από την ανώτατη στην κατώτατη θέση του είναι Τ, να βρείτε την ώθηση της εν λόγω δύναµης για το χρονικό διάστηµα Τ. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σφαιρίδιο την στιγµή που η ράβδος σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Την στιγµή αυτή το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής F από την ράβδο. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο κίνησης του Νεύτωνα η F έχει τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά και ίδιο Σχήµα 8 µέτρο µε την δύναµη F ' που δέχεται η ράβδος από το σφαιρίδιο. Όµως επειδή η ράδβος θεωρείται αβαρής η ροπή αδράνειας αυτής ως προς τον άξονα περισ τροφής της είναι περίπου µηδενική και ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνη σης απαιτεί η ροπή της F ' περί τον άξονα αυτόν να είναι µηδενική, δηλαδή ο
φορέας της F ' διέρχεται από το άκρο Ο της ράβδου που τελικά σηµαίνει ότι η F ' έχει την διεύθυνση της ράβδου, οπότε και η F θα έχει την διεύθυνση της ράβδου (σχήµα 8). Εξάλλου, εάν w r είναι η ακτινική συνιστώσα του βάρους του σφαιριδίου, η συνισταµένη των F και w r αποτελεί για το σφαιρίδιο κεντροµό λο δύναµη, οπότε θα ισχύει η σχέση: w r - F = mv L mv mg$ - F = L mv F = mg$ - L όπου v η ταχύτητα του σφαιριδίου την στιγµή που το εξετάζουµε. Εφαρµό ζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ των θέσεων Α και Μ της κυκλικής τροχιάς του, παίρνουµε την σχέση: K M - K A = W F + W w mv / - = + mg(l - L$) v = gl(1 - $) () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε: F = mg$ - mgl(1 - $)/L F = mg(3$ - ) (3) Από την (3) προκύπτει ότι υπάρχει θέση της ράβδου για την οποία η δύναµη F µηδενίζεται, καθορίζεται δε η θέση αυτή από την γωνία φ=φ που ικανοποιεί την σχέση συνφ =/3. Για φ<φ ισχύει F>, που σηµαίνει ότι στις αντίστοιχες θέσεις της ράβδου αυτή συµπιέζεται (συνθλίβεται). Για φ <φ<π-φ ισχύει F<, που σηµαίνει ότι η F έχει φορά αντίθετη εκείνης που φαίνεται στο σχήµα (8), δηλαδή κατευθύνεται προς το Ο, οπότε η F ' αποτελεί για την ράβδο εφελκιστι κή δύναµη. Τέλος για π-φ <φ π ισχύει F>, δηλαδή στις αντίστοιχες θέσεις είναι F < που σηµαίνει ότι στις θέσεις αυτές η ράβδος συµπιέζεται. Η γραφική παράσταση της (3) φαίνεται στο σχήµα (9). (1) Σχήµα 9 ii) Όταν η ράβδος βρεθεί στην κατώτατη θέση της (φ=π), τότε σύµφωνα µε την () η ταχύτητα του σφαιριδίου αποκτά µέγιστο µέτρο, για το οποίο ισχύει: v max = gl(1 - $) = gl (4) Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τον χρόνο Τ
της µετατόπισής του από την θέση Α στην κατώτατη θέση του, παίρνουµε την σχέση: m v max = m + w T + F F = m v max + (- w T) (5) όπου F η ζητούµενη ώθηση της δύναµης F. Επειδή τα διανύσµατα m v max και - w T είναι ορθογώνια (σχήµα 8) το µέτρο της δίνεται από την σχέση: (4) F = (mv max) + (wt) F = m 4gL+g T = m g(4l+gt ) (6) Η διεύθυνση του διανύσµατος F καθορίζεται από την γωνία θ, για την οποία ισχύει: = mgt (4) gt = mv max gl = T g L F P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (1) το σχοινί είναι σχεδόν αβαρές και περιτυλίγεται περί τον άξονα ενός τροχού, ο οποίος στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Το σχοινί έχει πάχος d το δε σώµα Σ που είναι στερεωµένο στο άκρο του έχει βάρος w. Αγνοώντας τις ελαφρές πλευρικές αποκλίσεις του σώµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση να υπολογίσετε την τάση του σχοινιού. Δίνεται η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα κάποια στιγµή t, που το σχοινί έχει περιτυ λιχθεί σχηµατίζοντας κύκλο ακτίνας R. Eπειδή σε κάθε περίοδο Τ περιστροφής του τροχού η ακτίνα του κύκλου αυτού αυξάνεται κατά d, θα ισχύει η σχέση: t T = R d R = td T = td Tην στιγµή t τα σηµεία του αιωρούµενου σχοινιού έχουν την ταχύτητα v A του σηµείου επαφής Α του σχοινιού µε τον κύκλο ακτίνας R, που σηµαίνει ότι το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος Σ την στιγµή αυτή είναι v A και ισχύει: (1) (1) v A = R v A = d t () Η () δηλώνει ότι το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος αυξάνεται γραµµικά µε τον χρόνο, δηλαδή το σώµα ανέρχεται µε σταθερή επιτάχυνση a, της οποίας το µέτρο είναι:
a = dv A dt () a = d (3) Σχήµα 1 Eξάλλου το σώµα Σ την στιγµή t δέχεται το βάρος του w και την δύναµη F από το σχοινί (τάση του σχοινιού) και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει: F - w = w g a F = w 1 + a (3) $ & g F = w 1 + d & $ g ( ' P.M. fysikos Μια λεπτή ράββος µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση σε κατακόρυφο επίπεδο παραµένουσα οριζόντια. Κάποια στιγµή το άκρο Α της ράβδου εµπλέκεται σε άγγιστρο µε αποτέλεσµα να συνεχί σει περιστρεφόµενη περί το Α στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αν την στιγµή που αγγιστρώνεται το άκρο Α της ράβδου, το κέντρο µάζας της έχει ταχύτητα v, να βρεθούν: i) η στροφορµή της ράβδου περί το άκρο Α, την στιγµή που αυτή γίνε ται κατακόρυφη και ii) η ώθηση της δύναµης που δέχεται η ράβδος από το άγγιστρο για τον χρόνο Τ που αυτή µετατοπίζεται από την θέση αµέσως µετά την κρούση της µε το άγγιστρο, στην κατακόρυφη θέση. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος σ αυτή.
ΛΥΣΗ: i) Στον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που διαρκεί η αγγίστρωση του άκρου Α της ράβδου µπορουµε να ισχυριστούµε ότι, η ώθηση της ροπής του βάρους της ράβδου περί το Α είναι περίπου µηδενική, ενώ µηδενική είναι και η ώθηση της αντίστοιχης ροπής της δύναµης που δέχεται η ράβδος από το άγγισ τρο αφού ο φορέας της δύναµης αυτής διέρχεται από το Α. Έτσι συµφωνα µε τον νόµο µεταβολής της στροφορµής η στροφορµή της ράβδου περί το Α δεν µεταβάλλεται κατά τον χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: (A) L $ &' = L (A) (µ)*+, µ)-( (A) L $ &' (A) = L (µ)*+, µ)-( mv L = I A mv L = ml 3 = 3v L (1) Σχήµα11 όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου αµέσως µετά την αγ γίστρωση του άκρου της Α. Εφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα διατήρη σης της µηχανικής ενέργειας κατά τον χρόνο Τ που αυτή στρέφεται από την οριζόντια στην κατακόρυφη θέση, παίρνουµε την σχέση: ml 3 + mgl = ml $& 3 + L + 3g = L $& $ = & + 3g L (1) $ = 3v ( ' * & L) + 3g L $ = 3v ( ' * & L) + 3g L όπου $ η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου την στιγµή που γίνε ται κατακόρυφη. Η στροφορµή της ράβδου περί το Α την στιγµή αυτή είναι: () L (A) = I A $ L (A) = ml () 3 $ L (A) = ml 3 $ 3v ' & ) L( + 3g L (3) ii) Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου το θεώρηµα ώθησης-ορµής
κατά τον χρόνο Τ, παίρνουµε την σχέση: m v = m v $ + w T + & = m v $ - (m v & + w T) (4) όπου η ζητούµενη ώθηση της δύναµης που δέχεται η ράβδος από το άγγισ τρο. Επειδή τα διανύσµατα m v και -(m v + w T) είναι ορθογώνια (σχήµα 11) το µέτρο της δίνεται από την σχέση: = (mv $ ) +(wt + mv & ) =m L $ 4 ( + gt+ L + &' * ) -, (1),() =m L 4 ( 3v * $ ' L& ) * + 3g + - L, - + $ gt+l 3v ' L& =m 9v 16L + 3gL 8 + gt+3v $ ' 4L& Η διεύθυνση του διανύσµατος καθορίζεται από την γωνία φ (σχήµα 11), για την οποία ισχύει: (5) = mgt + mv $& = mgt + m) L/ $& mv '( m) '( L/ = gt + ) $& L ) '( L (1),() = gt + L ( 3v / L ) + 3g/L (3v / L)L = gt + L ( 3v / L ) + 3g/L 3v / P.M. fysikos