Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ.. Τετραγωική ρίζα πραγµατικού αριθµού. Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Το σύολο τω πραγµατικώ αριθµώ ( R ) αποτελείται από τους ρητούς αριθµούς και τους άρρητους. Έας αριθµός λέγεται ρητός ότα έχει ή µπορεί α πάρει κλασµατική µορφή, δηλαδή ότα 8 5 85 00 π.χ: 4=,,5=, 8,5=,,0= 0 99 Θυµίζουµε ότι κάθε ρητός µπορεί α γραφεί είτε ως δεκαδικός είτε ως περιοδικός δεκαδικός και ατίστροφα. Έας αριθµός λέγεται άρρητος ότα δε µπορεί α πάρει κλασµατική µορφή. π.χ: =, 4456..., π =,45... Θυµίζουµε ότι κάθε άρρητός δε µπορεί α γραφεί ούτε ως δεκαδικός, ούτε ως περιοδικός δεκαδικός. Κάθε πραγµατικός αριθµός παριστάεται (απεικοίζεται) µε έα σηµείο πάω στο άξοα τω πραγµατικώ αριθµώ. Σελίδα - -

Θυµίζουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είαι το σύολο: N= { 0,,,,... } οι ακέραιοι αριθµοί είαι το σύολο: Z = {...,,,,0,,,,... }. εώ -4 - - - 0 4 Ατίθετοι λέγοται οι αριθµοί που έχου άθροισµα µηδέ, όπως ο α και ο α αφού α+ ( α ) = 0 Ατίθετος εός αθροίσµατος ισούται µε το άθροισµα τω ατιθέτω τω προσθετέω, δηλαδή ( α+β ) = α β Λόγος δύο αριθµώ (ή παραστάσεω) οοµάζουµε το πηλίκο της διαίρεσής τους, δηλαδή α α : β= =α β β µε β 0 (λογικό αφού διαίρεση µε διαιρέτη 0 δε ορίζεται!!!) Ατίστροφοι λέγοται οι αριθµοί που έχου γιόµεο τη µοάδα, όπως ο α και ο α αφού α = (προφαώς ο α = 0 δε έχει ατίστοφο Γιατι?) α Άρτιος λέγεται κάθε ακέραιος αριθµός που διαιρείται µε το. Είαι οι γωστοί µας ζυγοί από το δηµοτικό δηλαδή το 0,, 4, 6, 8, 0,. Συµβολικά κάθε άρτιος έχει τη µορφή, όπου ακέραιος. Περιττός λέγεται κάθε ακέραιος αριθµός που δε διαιρείται µε το. Είαι οι γωστοί µας µοοί από το δηµοτικό δηλαδή το,, 5, 7, 9,... Συµβολικά κάθε περιττός έχει τη µορφή +, όπου ακέραιος. Απόλυτη τιµή εός αριθµού ορίζεται ως η απόσταση του αριθµού αυτού πάω στο άξοα από τη αρχή Ο και είαι πάτα θετικός αριθµός ή µηδέ. Πιο ααλυτικά είαι: α =α α α 0 α = α α α< 0 Η απόσταση δυο σηµείω Α, Β είαι: ΑΒ= α β. Σελίδα - -

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α προσθέσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε τη εξής διαδικασία: Α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι (δηλαδή έχου το ίδιο πρόσηµο) αρκεί α προσθέσουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο που επικρατεί. π.χ: + + 4=+ 7 και 4= 7 Α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι (δηλαδή έχου διαφορετικό πρόσηµο) αρκεί α αφαιρέσουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο του µεγαλύτερου αριθµού. π.χ: + 4= και + 4=+ Για α πολλαπλασιάσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε τη εξής διαδικασία: Α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι (δηλαδή έχου το ίδιο πρόσηµο) πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο (+). π.χ: ( + ) ( + 4) =+ και 4 =+ Α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι (δηλαδή έχου διαφορετικό πρόσηµο)πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο (-). π.χ: ( + ) ( 4) = και + 4 = (*) Γεικά όσο ααφορά τα πρόσηµα του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης έχουµε: + + = + + : + = + ( ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) και όµοια για τη διαίρεση ( ) :( ) = ( + ) ( + ) :( ) = ( ) ( ) :( + ) = ( ) Σελίδα - -

Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Για α απαλείψουµε παρεθέσεις ακολουθούµε τη εξής διαδικασία. Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει το πρόσηµο (+), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και τη παρέθεση γράφοτας τους όρους της όπως είαι. π.χ + ( 5 + 9 ) = + 5 + 9 Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει το πρόσηµο (-), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και τη παρέθεση γράφοτας τους όρους της µε ατίθετα πρόσηµα. π.χ ( - 5 + 9-7 + ) = - + 5 9 + 7 Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει αριθµός, τότε εφαρµόζουµε τη επιµεριστική ιδιότητα. π.χ ( x ) = x = x 6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (i) Ατιµεταθετική Ιδιότητα: α+β=β+α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α+ ( β+γ ) = ( α+β ) +γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α+ 0=α α+ α = (iv) Ιδιότητα Ατιθέτου: 0 Σελίδα - 4 -

ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για α προσθέσουµε δύο κλάσµατα διακρίουµε τις εξής δύο περιπτώσεις (i) Ότα τα κλάσµατα είαι οµώυµα (δηλαδή έχου τους ίδιους παροοµαστές), ισχύει: α β α±β ± =, γ 0 γ γ γ (ii) Ότα τα κλάσµατα είαι ετερώυµα (δηλαδή έχου διαφορετικούς παροοµαστές), βρίσκω το Ε.Κ.Π τω παροοµαστώ, τα µετατρέπω σε οµώυµα (µε τη γωστή σε όλους µας διαδικασία µε τα καπελάκια) και εφαρµόζω τη παραπάω διαδικασία, δηλαδή: α γ αδ βγ αδ±βγ ± = ± =, β, δ 0 β δ βδ βδ βδ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Ατιµεταθετική Ιδιότητα: α β=β α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ( β γ ) = ( α β) γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α =α (iv) Ιδιότητα Ατιστρόφου: α =, α 0 α (v) α 0= 0 και 0 = 0, α 0 α ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για α πολλαπλασιάσουµε δύο κλάσµατα δε µας εδιαφέρει α είαι οµώυµα. Άπλα πολ\ζουµε τους αριθµητές και τους παροοµαστές µεταξύ τους. ηλαδή θα ισχύει: α γ αγ β αβ =, β, δ 0 ή α =, γ 0 α έχουµε α πολλ\σουµε αριθµό µε β δ βδ γ γ κλάσµα. (**) Για α διαιρέσουµε δύο κλάσµατα, αρκεί α ατιστρέψω τους όρους του δεύτερου κλάσµατος και α κάω πολλαπλασιασµό. ηλαδή θα ισχύει: α γ α δ αδ : = =, β, γ, δ 0 β δ β γ βγ Σελίδα - 5 -

(***)Για το πολλαπλασιασµό και τη διαίρεση ισχύου ατίστοιχα: α 0= 0 α : 0= ΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ α =α 0 : α= 0 εώ για τη διαίρεση α α=α α :=α προσοχη: αλλο το α+α= α α : α= Ι ΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝ ΕΣΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ-ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Επιµεριστική Ιδιότητα: α( β±γ ) =αβ±αγ (ii) ιπλή Επιµεριστική Ιδιότητα: ( α+β)( γ+δ ) =αγ+αδ+βγ+βδ ΓΕΝΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ (i) Έα γιόµεο είαι ίσο µε το µηδέ ότα ή ο έας ή ο άλλος ή και ακόµα και οι δύο παράγοτες του γιοµέου είαι ίσοι µε το 0, δηλαδή: α β= 0 α= 0 ή β= 0 (ii) Έα γιόµεο είαι διάφορο του µηδεός ότα και οι δύο παράγοτες του γιοµέου δε είαι µηδέ, δηλαδή: α β 0 α 0 και β 0 (*) Για όλες τις παραπάω Ιδιότητες θεωρούµε τα α, β, γ ως πραγµατικοί αριθµοί Σελίδα - 6 -

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστού οι παραστάσεις (i) 7 ( + 7) 6 ( + 4) (ii) 8 7 + : 5 (iii) 7 Λύση. Μεθοδολογία Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις (i) Σύµφωα µε τη προτεραιότητα πράξεω έχουµε: 7 ( + 7) 6 ( + 4) = = 7 + 7 6 = = 7 + 7 6 6 = = 7 6 0= = 7 6= = Σελίδα - 7 -

(ii) Όµοια έχουµε: 8 7 + : = 5 8 7 = + : = 5 5 7 = + : = 5 5 5 = + = 6 5 5 = + = 6 6 5 45 = + = 6 6 6 6+ 5 45 = = 6 4 = = 6 (iii) 4 9 4 9 4 5 = = = = = = 7 4 7 9 9 9 9 9. Α α+ β = α υπολογιστεί η τιµή της παρακάτω παράστασης: ( α β) α β + 5 5 Λύση. ( α β) α β + 5 5= = α β α + 0β 5= = α α β + 0β 5= = α β 5= ( α β) 5 = + 5= = = = 5= = 4 Σελίδα - 8 -

. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: 6+ α 5 α = 0 (i) (ii) α ( β 5) ( α β) = + ( β α+ ) Λύση. Μεθοδολογία Μια ισότητα Α=Β µπορεί α αποδειχθεί µε δυο τρόπους: ος Τρόπος Παίρουµε το πιο σύθετο µέλος της ισότητας, κάουµε τις πράξεις και καταλήγουµε στο άλλο µέρος ος Τρόπος Α και τα δύο µέλη της ισότητας είαι σύθετα, τότε τα δουλεύουµε ταυτόχροα(κάοτας πράξεις) και καταλήγουµε στη ίδια παράσταση. 6+ α 5 α = 6+ α 6+ α = 6 α 6+ α = 6 6+ α α = 0 (i) (ii) α β 5 α β = + β α+ α β+ 5 α + β = + β α + α α β + β + 5= + α + β α + β+ = α + β+ [ ( x)] ( x 4) (5 x) 4. Να υπολογίσετε τη παράσταση: A= + + + + 5 και α δείξετε ότι είαι αεξάρτητη από τη µεταβλητή χ. Λύση. [ ( + x)] ( x+ 4) + (5 x) ( x) + x 4+ 0 x A= = 6 + + 5 5 + + x+ x 4+ 0 x 4+ + 0 = = = 7 5 5 Σελίδα - 9 -

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. Ο αριθµός -4 δε είαι άρτιος Σ Λ. Ο αριθµός -7 είαι περιττός Σ Λ. Ο αριθµός 0 είαι άρτιος Σ Λ 4. Κάθε ακέραιος αριθµός είαι ρητός Σ Λ 5. Κάθε ακέραιος αριθµός είαι φυσικός Σ Λ 6. Όλοι οι αριθµοί έχου ατίστροφο Σ Λ 7. Ο αριθµός α είαι αρητικός αριθµός Σ Λ 8. Α δύο αριθµοί είαι ατίθετοι, τότε το γιόµεο τους είαι αρητικός Σ Λ 9. Α δύο αριθµοί είαι ατίστροφοι, τότε είαι οµόσηµοι Σ Λ 0. Οι ατίθετοι αριθµοί έχου ίσες απόλυτες τιµές Σ Λ. Το πρόσηµο του πηλίκου δύο αριθµώ είαι το ίδιο µε το πρόσηµο του γιοµέου τους. Σ Λ. Α το άθροισµα δύο αριθµώ είαι αρητικός αριθµός και το πηλίκο τους θετικός αριθµός, τότε οι αριθµοί είαι αρητικοί. Σ Λ Σελίδα - 0 -

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Ποια από τις παρακάτω ισότητες εκφράζει τη προσεταιριστική ιδιότητα ; A α+ 6 α α. αβ= βα B. =α+ +γ=γ+ α+ 5 +β= α+ 5+β Γ. β β.. Α α, β, γ είαι πραγµατικοί αριθµοί, ποια από τις παρακάτω ιδιότητες εκφράζει η ισότητα : α( β+γ ) = ( β+γ) α ; Α. Τη ατιµεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης; Β. Τη ατιµεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού; Γ. Τη προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης;. Τη επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς τη πρόσθεση;. Α α, β πραγµατικοί, µη µηδεικοί και ατίθετοι, τότε η τιµή του λόγου α είαι ίση µε : β Α. Β. 0 Γ. -. Τίποτα από τα προηγούµεα 4. Α α, β πραγµατικοί αριθµοί, ώστε α + β =0. Τότε θα είαι : Α. α = β Β. α = β = 0 Γ. α = β = 0 ή α, β ετερόσηµοι. δε προκύπτει συµπέρασµα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρώσετε οι παρακάτω πίακες: α. Αριθµός - Φυσικός Ακέραιος Ρητός Άρρητος,5 0,,75 9 π Σελίδα - -

β. Αριθµός - Ατίθετος Ατίστροφος -. Να συµπληρώσετε τις ισότητες : 5 7 =... 5 =... + =... 5 =... + =... 0 5 =... =... 5 5 =... 5 Να συµπληρωθού τα κεά: =... 0 =... 6 0 =... 5 7 5 : =... ( ) = x... x =... 5 x +... =... + 0...... = x 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστού οι παραστάσεις: 7 4 i) Α= + + 4+ 5 8 5 ii) Β= + :( ) + : + 4 : ( ) iii) Γ= ( ) : + : ( 4) + : 4 iv) = : 4 4 : Σελίδα - -

. Να απλοποιηθού οι παραστάσεις: { } α) x y x y + x y + x { } β) x y+ x y+α { } { } γ) α β γ + β γ α γ α β δ) α β γ α β γ α β. Α α+β=, α βρεθεί η τιµή της παράστασης: { 7 } Α= α+ β+ + +γ γ+ 4. Α α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, α βρείτε το άθροισµα Α= ( α γ+β) ( α β+ γ ) + ( 4α β ) και έπειτα α α=, 0 γ= α βρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης Α. 5 β= και 6 5. Να πολλαπλασιάσετε µε - τη παράσταση α ( β γ ) και το γιόµεο αυτό α το αφαιρέσετε από τη παράσταση α β γ. Στη συέχεια α βρείτε το ατίθετο της παραπάω διαφοράς, 6. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α ) + κ λ κ λ = β) x y + y x = 0 γ) α β β α = 5β+ α 7. Α x= 5 και y=, α υπολογίσετε τις παραστάσεις: a) K = + x 5y xy x β ) Λ= 5( x y) + y + = 0, α δείξετε ότι οι α,β είαι ατίθετοι ή ατίστροφοι. 8. Α ( α β) ( αβ ) 9. Να απλοποιήσετε τη παράσταση ( ) βρείτε τη τιµή της, για x= 0, και 0,5 Σελίδα - - Α= x x x y yκαι µετά α y=. 0. Α a+ β = και β γ = 5, α υπολογίσετε τη παράσταση Α= 5γ 8 β β γ + α

Β. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ ύαµη µε βάση έα πραγµατικό αριθµό α και εκθέτη έα φυσικό αριθµό µε, που συµβολίζεται µε α, λέµε το γιόµεο παραγότω ίσω µε το αριθµό α. ηλαδή α Εκθετης =α α α... α βαση παραγοτες Ορίζουµε επίσης ότι: 0 α =, α =α και α = µε α 0 α ΠΡΟΣΟΧΗ: = X αλλά X+ X+ X= X X X X Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ιδιότητες που στηρίζοται στη ίδια βάση: i) µ +µ α α =α ii) α µ µ =α α Ιδιότητες που στηρίζοται στο ίδιο εκθέτη : i) α β = α β ii) Μία άσχετη (όχι για άσχετους..!!) µ α =α µ α β α = β Με τη βοήθεια του ορισµού α = µε α 0 προκύπτει και η α α β β = α Σελίδα - 4 - µε α, β 0

Επίσης ισχύου: α =α, οπου αρτιος ( α ) = α, οπου περιττος ΠΡΟΣΟΧΗ: =+ 4 εω = 4 = 8 εω = 8 Τους πολύ µεγάλους ή τους πολύ µικρούς κατά απόλυτη τιµή αριθµούς, είαι βολικό α τους γράφουµε µε τυποποιηµέη µορφή, δηλαδή µε τη µορφή: α 0 µε α 0 και ακέραιο. π.χ 500000000=,5 0 0,0000000005=,5 0 9 0 ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: 0 = 0 0 = 00 0 = 000... 0 = 00...000 µηδεικα και 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0 0, 00... 0 = 0,00...0 µηδεικα ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) υάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) υάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Σελίδα - 5 -

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γράψετε µε τη µορφή µιας δύαµης τις παρακάτω παραστάσεις 5 (i) 9 6 (ii) : 4 9 (iii) 8 5 (iv) 4 5 5 (v) ( ) 4 : 7 Λύση. (i) 9 = = = 5 5 + 5 7 6 5 6 5 5 7 : 4 = : = : = = = = 7 (ii) 9 9 9 9 9 9 (iii) 8 5 = 5 = 5 = 5 = 0 (iv) 4 4 4 7 5 5 = 5 5 = 5 + = 5 7 4 4 4 4 7 : 7= : = : = = = = 7 (v) 7. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις (i) ( x y) (ii) x y x y 4 (iii) ( ) x x (iv) ( x y) ( xy) :( x 8 y 7 ) Σελίδα - 6 -

Λύση. 6 (i) (ii) x y = x y = 9x y = 9x y 6 x y x y = x x y y = x y = x y 4 4 4 + + 5 6 6 8 x x = x x = x x = x 7 (iii) (iv) 8 7 ( x y ) x y xy 6 8 5 8 7 x y 4x y 4x y 5 7 : 4 4 8 7 8 7 x y xy x y = = = = y = y x y x y. Να υπολογίσετε τη τιµή κάθε παράστασης 0 (i) A= ( 5) ( 5) 5 4 ( 4) (ii) B x x x =, για x= Λύση. 0 (i) A= 5 5 5 4 4 = 5 5 64+ 4 = 5 5 64+ 64= 49 (ii) x x x B= ( ) = ( ) = = = + = 9 = + = + 8= 4 = 4 Σελίδα - 7 -

4. Να βρείτε το φυσικό κ, ώστε α ισχύου οι ισότητες: (i) 5 = (ii) = 9 (iii) (iv) κ = 6 κ+ 8 = 7 Λύση. Μεθοδολογία Οι παραπάω εξισώσεις λέγοται εκθετικές. Μια εκθετική εξίσωση µπορεί α λυθεί µε το εξής τρόπο: Τρόπος ηµιουργούµε και στα δύο µέλη της εξίσωσης δυάµεις µε τη ίδια βάση. Έπειτα εξισώουµε τους εκθέτες τω δυάµεω αυτώ και λύουµε ως προς το άγωστο. (i) (ii) (iii) κ 5 = κ 5 = 5 κ = 0 κ = 9 0 κ = κ = κ = 6 κ = 4 κ = κ = 4 4 Σελίδα - 8 -

(iv) κ+ 8 = 7 κ+ = κ+ = κ + = κ = κ = κ = ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Να ατιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α µε αυτά της στήλης Β. α. ΣΤΗΛΗ (Α). ( ) 009.. 9 4 8 5 6 4. ( :) : ΣΤΗΛΗ (Β) Α. 9 Β. Γ. 9. Ε. 9 β. ΣΤΗΛΗ (Α). ( ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. 9 Β. 6.. Γ. 9. 8 4. ( ) Ε. 8 Σελίδα - 9 -

γ. ΣΤΗΛΗ (Α). ( α+β ). ( α β ). ( α β ) 4. ( α+β ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. ( α β ) Β. ( α β ) Γ. ( α β ). ( α+β ) Ε. ( α+β ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρωθού οι ισότητες: α. =... =... =... =... =... =... β. µ x : x =... x =... 0 x =... y x y =... x =..., µε... µ x =... γ. 7 =... =... =... 0 7 =.... Να συµπληρωθού οι παρακάτω πίακες: α. χ 4 5 6 7 8 9 5 Χ Σελίδα - 0 -

β. Αριθµός 9 8 7 6 8 8 7 44 69 ύαµη ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γράψετε καθεµία από τις παρακάτω παραστάσεις ως µία δύαµη. 5 7 i) = ii) : 6 5 iii) 5 5 5 iv) = v) 4 5 = = vi)8 5 = vii)9 = x = viii ) = 0 5 0 ix)4 7 = 5 ) =. Να γράψετε κάθε παράσταση ως µια δύαµη. xi) 6= xii) 7 5 ( ) xiii)8 5 = 5 = 8 0 8 5 5 xiv) A= + B= Γ= 4 8 50 = 6 5 6 5. Να υπολογιστού οι δυάµεις: α) και και β) και 4. Να αποδείξετε ότι: ( ) = ( ) x y y x µε x y 5. Να υπολογιστεί η παράσταση: 4 A= 4 + + : 5 Σελίδα - -

6. Να γίου οι πράξεις: α) α β γ 4α β γ α β γ 6 5 5 4 4 x y 4 ) 4xy, x, y 0 β y 5x 7. Να υπολογιστεί ο x στις παρακάτω ισότητες: i) = x ii) 4 4x 9 x 5 = 8 x iii) = 6 iv) 5 x = 5 5 v) = 5 9 x 4 8. Να υπολογιστού οι παραστάσεις: i) Α= ( ) 6 ( ) 0 ii) B= + 4+ ( ) : 8 0 9 iii) Γ = + :8 8 4 9 8 4 4 iv) = : : : + 9. Να γίου οι πράξεις: i) x : x x 4 0 ii) 8x y : x y x 4 iii)x y ( x y ) 6 xy x y iv) : v) ( x : y) y : x Σελίδα - -

A= α βγ : αβ 0. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης β = και γ =. για α = -,. Να απλοποιηθεί η παράσταση υπολογιστεί η τιµή της, ότα x ( 0) 5. Α ( x y) y 4 4 x y x y x y Α= και α = και 4 y= 0. xy =, α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: 5 A= y x y x y. Α οι αριθµοί x, y είαι ατίστροφοι, α βρείτε τη τιµή της παράστασης Α= x y x y x Γ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Τετραγωική ρίζα εός µη αρητικού αριθµού α (συµβολισµός α ) είαι ο θετικός αριθµός που ότα υψωθεί στο τετράγωο µας δίει το αριθµό α ηλαδή έχουµε : α x= α τότε (µε α 0 και x 0). Ορίζουµε επίσης 0 = 0 διότι x =α δηλαδή ( α ) =α 0 = 0 και προφαώς = αφού = Ι ΙΟΤΗΤΕΣ α = α όµως = α α π.χ ( ) = = αλλα = = Σελίδα - -

α β = α β, προφαώς α, β 0 Απόδειξη α β = α β α β = α β α β =α β α β=α β α β = α β, προφαώς α 0 και β > 0 Απόδειξη α α = β β α α = β β ( α) ( β) α α = β β α = β ΠΡΟΣΟΧΗ : ΕΝ ισχύει η ιδιότητα α ± β = α± β π.χ 6+ 9 = 4+ = 7. Ελπίζω α παρατηρούµε ότι ΕΝ είαι ίσα 6+ 9 = 5 = 5 Πότε όµως µπορεί α ισχύει; Απάτηση: Μόο α έας τουλάχιστο από τους α, β είαι 0 π.χ 0+ 4 = 4= και 0+ 4 = 0+ = Σελίδα - 4 -

ΠΡΟΣΟΧΗ : Το σύµβολο χρησιµοποιείται µόο ότα ο αριθµός (ή η παράσταση) που είαι κάτω από τη ρίζα (δηλαδή η υπόριζη ποσότητα) είαι θετικός ή µηδέ. π.χ Η δε παίζει µπάλα!!!!! (Μη το δω σε καέα γραπτό έτσι παιδάκια.) ΠΡΟΣΟΧΗ : Η ιδιότητα α β = α β εφαρµόζεται µε τη προϋπόθεση ότι α 0 και β 0. Είαι λάθος δηλαδή α γράψουµε π.χ ( 4) ( 4) = 4 4 ΠΡΟΣΕΞΤΕ ΜΗ ΚΑΝΕΤΕ ΤΟ ΕΞΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι (i) = (ii) 6 4 = (iii) 75= Λύση. Μεθοδολογία Α θέλουµε α απλοποιήσουµε τη α, γράφουµε το αριθµό α ως γιόµεο δύο αριθµώ, όπου τουλάχιστο ο έας από τους δύο α είαι τέλειο τετράγωο ( ηλ.α γράφετε ως έας αριθµός στο τετράγωο). Παράδειγµα: 8= 9 = 9 = (i) = 4 = 4 = (ii) 6 4 = 6 4= 84= 4 = 4 = (iii) 75= 4 5 = 4 5 = 5 = Σελίδα - 5 -

. Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα που έχου άρρητους παροοµαστές σε ισοδύαµα κλάσµατα µε ρητούς παροοµαστές (i) 6 6 (ii) 48 5 + 0 (iii) Λύση. Μεθοδολογία Α θέλουµε α µετατρέψουµε έα κλάσµα µε άρρητο παροοµαστή σε ισοδύαµο µε ρητό παροοµαστή, αρκεί α πολλαπλασιάσουµε το αριθµητή και το παροοµαστή του κλάσµατος µε το παροοµαστή. (i) = 6 = 6 = 6 = 6 6 6 6 6 6 (ii) Αρχικά σπάω τη 48µε το τρόπο που µάθαµε παραπάω. 6 6 6 6 = = = = = = = = 48 6 6 4 (iii) 5 + 0 5 0 0 = + = 5+ = 5+ 5 (Σωστός..;;;). Να υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω. (i) 5 7 5 (ii) 5 7 (iii) + 5+ 6 8 4 + 8 (iv) ( ) ( + ) Λύση. (i) 5 7 5= ( 7) 5= 5 5 Σελίδα - 6 -

(ii) 5 7 = ( 7) ( 5+ ) = 4 6 (iii) + 5+ 6 8 4 + 8= = + 5+ 4 8 + 9 = = + 9 8 4 + = = + 8 + = = 5 6+ = = 5 4+ = = + = = 4 (iv) ( ) ( + ) = + = ( ) ( + ) = + = 4. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις. (i) 7+ x= 8+ x x (ii) 5 = 8 Λύση. (i) 7+ x= 8+ x x x= 8 7 x= 4 7 7 x= 4 7 7 x= 7 7 x= 7 Σελίδα - 7 -

(ii) x 5 = x x x x x= x= x= 8 5= 8 5= 8 5= 6 5= 4 4 5 4 5 ( 5) 4 5 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. 5= 5 Σ Λ. + 7 = 0 Σ Λ. 6 4 = Σ Λ 5 5 4. 8= Σ Λ 5. = Σ Λ Σελίδα - 8 -

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Να ατιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α µε αυτά της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ (Α). 9. 9. 4. ( ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. Β. ε ορίζεται Γ. 5. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρωθού οι ισότητες: x =... α... x =... α... α β=... α... α β=... α... α =... α... β. Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: χ 9 44 65 4 5 49 6 4 69 x Σελίδα - 9 -

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 4 6 Α= + + 4 Β= 5 + + ( ) ( ) Γ= + +. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= 9 7+ 4 Β= 8 + 9 Γ= = 9 8 4 6 Ε= 99+ 5 5. Να γίου οι πράξεις: i) + ii)6 + 5 iii) 5+ 5 4 iv) v) 4 5 5 vi) vii) 5 5 56 4 4. Να υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: Σελίδα - 0 -

( ) ( 5)( 5) Α= + Β= + Γ= 6 5. Να αποδείξετε ότι: i) = 7 ii) = 8 iii) 7+ = 4 iv) 8+ = v) 0= 0 vi) 8 60 5+ = 6 5 6. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 8,, 8, 0, 4, 7, 8,, 40, 44, 50, 5, 7, 5 ii) 00, 000 7. Α α, β θετικοί πραγµατικοί αριθµοί, α απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) ii) iii) v) α β α β α α β 4 α αβ +β α β α+ β 8. Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύαµα µε ρητό παροοµαστή: 0 8,,,, 7 5 6 Σελίδα - -

α 9. Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί β και 9β α αριθµοί. µε α, β θετικοί, είαι ατίστροφοι A= 4+ 0 6 40 0. Να δείξετε ότι οι παραστάσεις: B= 8+ 4 + 8 6 είαι ίσες.. Να απλοποιήσετε τη παράστασηα= 0 8+ 45 8+ 7. Να δείξετε ότι οι αριθµοί +, είαι ατίστροφοι.. Να κάετε τις πράξεις: + και 5. 8 5 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i)5 + x= 8+ x ii) x 5 0= 0 x iii) = iv) x 5= x 5. Να αποδείξετε ότι ( )( + ) =. Χρησιµοποιώτας τη προηγούµεη ισότητα, α µετατρέψετε το κλάσµα παροοµαστή σε ισοδύαµο µε ρητό παροοµαστή. που έχει άρρητο Σελίδα - -