8 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 8 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι να κατανοήσετε τον Mετασχηματισμό Z. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Μετασχηματισμός Z 2. Ζεύγη μετ/σμών Z 3. Ιδιότητες και Θεωρήματα του MZ 4. Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε άθροισμα κλασμάτων 5. Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με χρήση του ΜL 6. Εργαστηριακές ασκήσεις 7. Ασκήσεις για εξάσκηση 5

Μετασχηματισμός Z Ο μετασχηματισμός Ζ μετασχηματίζει τις εξισώσεις διαφορών που περιγράφουν τα γραμμικά μη χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα διακριτού χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και έχει καθιερωθεί σαν βασικό εργαλείο μελέτης και σχεδίασης συστημάτων διακριτού χρόνου. 6

Παράδειγμα (1) 7

Εντολές ztrans και iztrans Το Matlab μας δίνει τη δυνατότητα να βρούμε απευθείας το μετασχηματισμό Ζ μιας ακολουθίας πού είναι εκφρασμένη σε μορφή συνάρτησης με την εντολή ztrans( ). Επίσης έχουμε τη δυνατότητα να βρούμε απευθείας και τον αντίστροφο μετασχηματισμό Ζ μιας συνάρτησης μ.ε την εντολή iztrans( ). Πριν όμως από τη χρήση αυτών των εντολών απαιτείται η εντολή δημιουργίας συμβολικών μεταβλητών με τη βοήθεια της εντολής syms. Οι συμβολικές μεταβλητέs που πρέπει να ορίσουμε είναι η μεταβλητή διακριτού χρόνου η και η μιγαδική μεταβλητή z. 9

Παράδειγμα #1 10

Παράδειγμα #2 11

Εντολή ztrans(f,z) (1) 12

Εντολή iztrans(f,z) (2) 13

Ζεύγη μετασχηματισμών Z (1) 14

Ζεύγη μετασχηματισμών Z (2) 15

Ιδιότητες και Θεωρήματα του MZ (1) 16

Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε άθροισμα κλασμάτων (1) 26

Παράδειγμα 28

Η συνάρτηση residue (1) 32

Επίλυση εξισώσεων διαφορών με χρήση του ΜΖ (1) 35

Επίλυση εξισώσεων διαφορών με χρήση του ΜΖ (2) Η διαδικασία που ακολουθούμε είναι η εξής : 1. Παίρνουμε τον ΜΖ και στα 2 μέλη της εξίσωσης. 2. Λόγω γραμμικότητας ο ΜΖ αθροίσματος μας κάνει άθροισμα των ΜΖ και οι σταθερές α i βγαίνουν έξω από τους επιμέρους ΜΖ 3. Υπολογίζουμε τους ΜΖ των παραγώγων. 4. Επιλύούμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς το Υ(z) 5. Υπολογίζουμε τον αντίστροφο ΜΖ της Υ(z) δηλαδή υπολογίζουμε την y(n) Η συνάρτηση y(n ) είναι η λύση της εξίσωσης διαφορών. 36

Μετασχηματισμός Ζ ΟΔΗΓΙΕΣ: Για τις ασκήσεις που ακολουθούν σας ζητείται να συμπληρώσετε τον κώδικα και γράψετε τα σχόλια σας σε ορισμένες εντολές. Σχολιάζετε τα αποτελέσματα σας

Εργαστηριακή άσκηση 1 43

Εργαστηριακή άσκηση 4 (1) 46

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΣΤΟ ΣΠΙΤΙ Μετασχηματισμός Ζ

Ασκήσεις εξάσκησης 55

Τέλος Ενότητας