Теорија група и музика

Математички факултет Теорија група и музика Ментор: Небојша Икодиновић Студент: Андријана Радосављевић 1078/2013 Универзитет у Београду, 2014.

Не би ли се музика могла описати као математика осећаја, а математика као музика разума? Њихов дух је исти. Тако музичар осећа математику, а математичар мисли музику. Једна ће појачати осећај другог кад засија људски ум подигнут у савршенство. Владимир Девиде 2

Садржај 1. Увод у математичку теорију музике...3 1.1 Интервали и скале (лествице)...5 1.2 Нотни запис тонова...9 1.3 Врсте лествица (скала)...11 2.Теорија група и музика...25 2.1 Групе...26 2.2 Цикличне групе...33 2.3 Модуларна аритметика...35 2.4 Целобројни модел тона, транспозиција и инверзија...39 2.5 PLR групе...45 2.6 Елвис Присли...47 3. Анализа примене теорија група кроз анализу неких познатих музичких дела...48 3.1 Бахова фуга...48 3.2 Тристан - Вагнерова прелида...50 3.3 Фуга Паул Хиндемит (Paul Hindemith)...52 4. Литература...56 3

1.Увод у математичку теорију музике У 6. веку пре нове ере јавила се идеја о вези између математике и музике. Човек који је дошао до те идеје јесте чувени математичар Питагора са Самоса. Рођен је почетком 6. века пре нове ере. Отац му је био драгуљар, Мнесарх. Знање из геометрије стекао је у Египту, о бројевима и њиховим односима учио је у Феникији, астрономију у Калдеји, главном средишту античке астрономије. Око 530. године п.н.е. основао је своју школу у Кротону, јужној Италији, под називом Питагорино братство. Умро је 497.године пре нове ере, мало даље од Кротона. Питагора за собом није оставио ниједну књигу већ мале искре тешко схватљивог знања сачуване међу његовим следбеницима, првенствено код Архипе и Лезије, који су саставили сажетке и коментаре Питагорине мудрости дуго преносећи с колена на колено. Питагорина филозофија састојала се у томе да је све број. Питагора Разликовао три врсте музике. То су биле: musica instrumentalis (уобичајена музика трубе) musica humana (стална и нечујна музика сваког појединца у којој су од значаја сагласност или несагласност духа и тела ) musica mundanа (свемирска музика која настаје окретањем небеских сфера, па је зато позната и као музика сфера). 4

Можемо рећи да Питагора сем што је био фантастичан математичар, имао је таленат и за музику. Утврдио је следеће ако окинемо жицу у одређеном односу добићемо одређене тонове. Питагора је до тог закона дошао полазећи од резултата експеримената са затегнутим жицама различитих дужина или стакленим судовима у којима се налази различита количина воде. Ако ћемо кренути од жице одређене дебљине, онда висина тона коју она производи зависи од њене дужине. Што је жица краћа, тон је виши. Ако жицу скратимо на њену половину (однос 2:1), тон ће скочити за октаву, ако је скратимо за једну трећину (однос 3:2) тон ће скочити за квинту, а ако жицу скратимо за једну четвртину (однос 4:3) тон ће бити виши за кварту. Скраћивањем дужине жице повећава се њена фреквенција а ми процењујемо растојање у ''висини'' између два тона као однос њихових фреквенција. Заправо можемо рећи да су Питагорејци открили да је однос фреквенција између тона и тона који је за октаву виши 1:2, између тона и његове квинте 2:3, кварте 3:4. Природно је поставити питање зашто су ти односи пријатни за нас и да ли постоји неко рационално и научно објашњење овог феномена. Питагора и његови следбеници су као објашњење понудили свеобухватну теорију хармоније која је природно довела до потребе да се пре свега изучавају природни бројеви и њихови односи. Питагора је развио учење о пропорцијама које су истовремено биле доживљаване. Пропорције су дакле звучале. Музиком је била испуњена цела математика. Она је била једно са музиком, била је жива. Осећај за присуство музике у математици вековима се постепено губио темпом којим су се развијале поједине науке. Поједини велики умови нису дозволили да потпуно подлегну овом процесу. Тако је Готфрид Лајбниц 1712. године написао да је музика вежба тајне аритметике и онај који се у њу упусти, не доживљава је као баратање бројевима. Херман Хесе је био толико фасциниран присуством музике у математици да је ову божанску синтезу узео за основ Игре стаклених перли која му је донела Нобелову награду. Осећај за присуство музике у математици губи се развојем природних наука и апстрактног научног мишљења. 1.1 Интервали и скале (лествице) 5

Један од основних појмова у еуклидском простору јесте тачка. Ако бисмо посматрали музички простор, појам који одговара тачки у истом могли бисмо рећи да је у питању тон. Дакле, тон је основни појам у музичком простору. Звук је све оно што чујемо а настаје при судару два или више предмета који притом емитују енергетски талас, а он изазива промене притиска ваздуха који те предмете окружује. Те промене притиска примају наше бубне опне, а мозак их претвара у звук. Звучни таласи се простиру у свим правцима од места настанка, слично таласима који настају када се камен баци у воду. Када се жица, нпр. на гитари креће, трепери, гура и ситне честице ваздуха и тера их да се и оне крећу. Тако долази до згушњавања и разређивања ваздуха око извора који вибрира (тела које трепери), што се даље преноси кроз ваздух. На тај начин се шири звук. У клавиру, виолини и гитари звук се производи жицама које вибрирају. У саксофону он настаје због вибрирања писка од трске, а у флаути због вибрирања ваздуха. Звук се не може ширити вакумом, па смо поштеђени тога да чујемо експлозије из свемира. Тон је само онај звук који може да се отпева или одсвира на неком музичком инструменту. Сваки тон има своју висину, јачину, трајање и боју. Висину одређује брзина и број треперења жице у једној секунди. Што је већи број треперења у секунди, тон више звучи и обрнуто. Јачина зависи од величине треперења (амплитуде) извора тона. Што је већа амплитуда, тон је гласнији. Трајање зависи од тога колико дуго трепери извор тона. Кад се умири, звук престаје. Боја зависи од врсте материјала, облика и величине звучног извора који трепери. Музичке лествице и интервали су нам такође од значаја. Посматрајмо следећу слику на којој је дат сегмент клавирских дирки: Слика 1. Као што можемо приметити дат је низ тонова које представљају црне и беле дирке. Низ од 8 белих (дирки) тонова са слике представља C-dur лествицу. Тон C представља основни тон или тонику, D-секунду, E-терцу, F-кварту или субдоминанту, G- квинту или доминанту, A-сексту, H-септиму и c- октаву која је и сама тоника. Приметимо да интервал октаве представља осам белих дирки, од C do 6

c, интервал кварте тонови C, D, E и F, интервал квинте представљају тонови C, D, E,F и G. Нека је брзина треперења тона С јединична. Тада је: C = 1, D = 9 8, E = 81 64, F = 4 3, G = 3 2, A = 27 16, H = 243 128, c = 2. Величина интервала који разапињу два тона једнака је размери њихових брзина треперења. Интервал од тона F до тона c можемо записати на следећи начин: c F = 2 4 3 = 6 4 = 3 2, односно c је квинта на F (зато што је квинта фреквенције Слично, односно c је кварта на G. Можемо приметити да важи: c G = G F = Дате интервале можемо погледати на слици 2: 2 3 2 3 2 4 3 = = 4 3, 9 8. 3 2 ). Слика 2. 7

Слично је и D C = E D = A G = H A = 9 8, јер је C = 1 и D = 9 8, јер је E = 9 8, јер је G = 9 8, jeр је A = 81 64 и D = 3 2 и A = 27 16 и H = 9 8 9 8 27 16 243 128. Интервал од H до c добићемо тако што ћемо интервал од G до c поделити производом два цела тона, тј. c H = 4 3 9 8 Интервал од Е до F је исто те дужине. На тај начин добили смо следеће интервале: 1 9 8 = 256 243. Слика 3. 8

Интервале од E до F и од H до c зовемо дијатонским полутоновима. На овај начин добијени цели тонови и полутонови имају особину да су два полутона мања од једног целог тона: ( 256 243 ) 2 = 1.110 < 1.125 = 9 8. Октаве можемо поделити на такозване модалне лествице, па се у односу на основу тона којим почињу деле на: јонске, микслодијске, лидијске, еолске, дорске, фригијске и локријске лествице. Све ове лествице деле октаву на седам интервала. Такве лествице називамо септатонским лествицама. Постоје и такозване хроматске лествице. То је заправо октава али подељена на 12 полутонова. Погледајмо слику испод. На њој је дата хроматска лествица: Слика 4. Тонови који имају уз себе ознаке и су редом снижени и повишени тонови, а и снизилица и повисилица. Нотни запис хроматске лествице би изгледао овако: где је сваком полутону додељен број при чему смо је свели на целобројни модел о чему ће касније бити речи. 1.2 Нотни запис тонова 9

Сваки тон који чујемо обележава се музичким знаком који се зове нота. Линијски систем служи за бележење нота. Састоји се од пет водоравних паралелних линија и 4 празнине између. Неисписан линијски систем би изгледао овако: Ове линије су у употреби још од Х века. Данашњи линијски систем може да садржи 11 различитих основних нота: Да би се овај линијски систем који је просторно ограничен проширио, испод и изнад њега се додају помоћне линије које се називају помоћницама што је приказано на слици испод: Линијски систем има своје елементе међу којима су: кључ, предзнаци, тактови, ноте и заграде. 1. Кључ На почетку линијског система налази се кључ на основу којег се одређује име ноте и њена октава. Постоји више врста кључева: а) G кључ (виолински кључ) Бележи се од друге линије и даје име ноти д 1 ( нама познатија као нота сол у првој октави). Дат је на слици испод: Виолински кључ највише користе следећи музички инструменти: виолина, флаута, обоа, кларинет, саксофон, хармоника, труба. б) F кључ (бас кључ) Бележи се од четврте линије и даје име ноти f. Дат је на слици испод: 10

Највише га користе: виолончело, контрабас, хорна, тромбон, хармоника, бас кларинет. в) C- кључ (вокални кључеви) погодни су за бележење певачких гласова. Сви они дају име ноти С 1 ( до у првој октави ). Најчешће су у употреби алтовски и тенорски кључ. Дати су на слици испод: при чему се алтовски кључ бележи на трећој линији и даје име ноти с 1 (до у првој октави). Алтовски кључ користи виола. Тенорски кључ бележи се на четвртој линији и даје име ноти с 1 (до у првој октави). Тенорски кључ користи виолончело, фагот и тромбон како би се избегло писање много помоћних линија. Погледајмо на следећој слици како се једна иста нота с 1 (до у првој октави ) бележи у поменута три кључа. 2. Предзнаци Предзнаци се пишу иза нотног кључа, и представљају низ снизилица или повисилица и одређују које ноте треба да се свирају за један полустепен ниже или више. Погледајмо пример на следећој слици:. или се налазе испред ноте на истој линији или празнини и односе се на само истоимене ноте у том такту. Писање предзнака после кључа врши се по одређеном правилу. На пример, ако на почетку линијског система има једна повисилица, онда то мора бити повисилица за тон F (Fis). Или, ако на почетку линијског система има једна снизилица, онда то мора бити снизилица за тон h (hes). 11

3. Такт је најмање метрички одређен део композиције који се налази између две тактице: У музици постоји више врсте тактова. Они се бележе на почетку линијског система, иза кључа и евентуалних предзнака који одређују тоналитет, и то разломком, без разломачке црте, нпр.: 4. Нота је ознака за бележење тонова у линијском систему: 1.3 Врсте лествица (скала) У односу на тон којим почињу лествице као што смо већ напоменули делимо на јонске, микслодијске, лидијске, еолске, дорске, фригијске и локријске лествице. Главне лествице које се користе у музици су дурске, молске и хроматске. Погледајмо следећу табелу у којој се налазе све молске и дорске лествице и као и број предзнака који садржи свака од њих. Дурска лествица је основна лествица. Увек обележавају великим почетним словом. Дур може бити природни, хармонски и мелодијски. Природни дур има полустепене између 3. и 4., 7. и 8. ступња. Хармонски дур (молдур) има полустепене између трећег-четвртог, петог-шестог, седмог-осмог ступња. Мелодијски дур има полустепене између трећегчетвртог, петог-шестог ступња. Дурска лествица која се прва учи јесте С дур и то је основна лествица јер једина нема ниједан предзнак, тј. С дур лествица је једина дур лествица која се на клавиру свира само белим диркама. 12

Молска лествица (мол) настаје када кренемо да нижемо дур. И мол може бити природни, хармонски и мелодијски. Природни мол има полустепене између другог и трећег, петог и шестог ступња.у хармонском молу полустепени се налазе између другог-трећег, петогшестог, седмог-осмог ступња. У мелодијском молу полустепени се налазе између друготрећег, седмог-осмог ступња. Молске лествице се за разлику од дурских обележавају малим словом. Звуче тужно. Прва молска лествица која се учи јесте а-мол. Постоје и такозване паралелне лествице. Свака дурска скала има своју паралелну лествицу која почиње од шестог ступња (6. ноте) дурске скале који постаје први ступањ молске. Погледајмо на следећем примеру: Погледајмо табелу у којој је су дате паралелне лествице као и који тонови су у њима повишени или снижени: 13

Запис Ces дур лествице у виолинском кључу изгледа овако: Ова лествица као предзнаке има 7 снизилица и у горњој табели дато је који су тонови снижени. Еквивалентна јој је H дур лествица са 5 повисилица. Као што можемо приметити, полустепени се налазе између 3. и 4. ноте као и између седме и осме. Запис Ges дур лествице у виолинском кључу: Ова лествица има 6 снизилица, исти број предзнака као и њена еквивалентна Fis дур лествица. Позната класична дела написана у овој лествици су: Хомореска бр.5, оп.101 од Дворжака, Етиде оп.10, бр.10 и оп.25 бр.9 од Шопена. Запис Des дур лествице у виолинском кључу: Има 5 снизилица. Позната дела рађена у овој лествици су: Месечева светлост од Дебисија и Рапсодија на Паганинијеву тему од Рахмањинова. 14

Запис As дур лествице у виолинском кључу: Позната класична дела написана у As дуру су: део опере Парсифал од Вагнера, Трећи став прве симфоније од Брамса, Прва симфонија Едварда Елгара. Запис Es дур лествице у виолинском кључу: Позната класична дела написана у Еs дуру су: увертира Моцартове опере Чаробна фрула, Трећа симфонија, и Ероика од Бетовена, Четврта симфонија од Брукнера. Запис Be дур лествице у виолинском кључу: 15

Познатија класична дела у В дуру су: Други клавирски концерт од Бетовена, Други клавирски концерт Брамс, националне химне Француске, Италије, Швајцарске и Сједињених Америчких Држава. Запис F дур лествице у виолинском кључу: Познатија класична дела написана у F дуру су: Брандебуршки концерти 1 и 2- Бах, Трећа симфонија- Брамс. Запис C дур лествице у виолинском кључу: Познатија класична дела написана у С дуру су: Прва симфонија и Први клавирски концерт од Бетовена, Друга симфонија- Шуман, Седма симфонија- Сибелијус. Све ове до сада су биле дурске лествице које садрже снизилице изузев С дур лествице која нема нити повисилице нити снизилице. Погледајмо како изгледају дурске лествице са повисилицама у нотном запису: Запис G дур лествице у виолинском кључу: 16

Познатија класична дела написана у G дуру су: Мала ноћна музика- Моцарт, Клавирски концерт бр.2 од Чајковског и бр.4 од Бетовена, Осма симфонија- Дворжак. Запис D дур лествице у виолинском кључу: Запис A дур лествице у виолинском кључу: Запис E дур лествице у виолинском кључу: Запис H дур лествице у виолинском кључу: 17

Запис Fis дур лествице у виолинском кључу: Запис Cis дур лествице у виолинском кључу: Погледајмо молске лествице. Запис As мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска As мол лествица: 18

Запис Еs мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска Еs мол лествица: Запис В мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска В мол лествица: 19

Запис F мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска F мол лествица: Запис C мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска C мол лествица: 20

Запис G мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска G мол лествица: Запис D мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска D мол лествица: 21

Запис A мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска A мол лествица: 22

Запис E мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска E мол лествица: Запис H мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска H мол лествица 23

Запис Fis мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска Fis мол лествица: Запис Cis мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска Cis мол лествица: 24

Запис Gis мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска Gis мол лествица: Запис Dis мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска Dis мол лествица: 25

Запис Ais мол лествице у виолинском кључу где су дате редом природна, хармонска и мелодијска Ais мол лествица: 2.Теорија група и музика Алгебарске групе су од великог значаја за музичке теоретичаре. На њих се музички теоретичари ослањају како би музику учинили што опипљивијом. Видећемо да колекција транспозиција и инверзија чини групу у математичком смислу те речи. Оно што следи у 2.1 и 2.2 преузето је из скрипте Алгебра 1 професора Зорана Петровића. 2.1 Групе Дефиниција 2.1.1 Група је алгебарска структура (G, операција на скупу G за коју важи: ), где је G непразан скуп, а бинарна 1. За све х, у, z G: ( x y ) z = x ( y z) 26

2. Постоји е 3. За свако х G тако да за свако х G испуњено х е = х = е х. G: х х = е = х х. Дефиниција 2.1.2 Група је алгебарска структура (G,,, 1) где је G непразан скуп, бинарна операција, ' унарна операција на скупу G и 1 изабрани елемент из G за који важи: 1. За све х, у, z 2. За свако х 3. За свако х G: ( x y ) z = x ( y z). G: х 1 = х = 1 х. G: х х ' = 1= х Дефиниције 2.1.1 и 2.1.2 су еквивалентне. Заиста, ако је (G, ' х.,, 1) група у смислу друге дефиниције онда је елемент е из прве дефиниције заправо 1, док је с друге стране елемент х заправо елемент х -1. Покажимо како се на основу структуре из прве дефиниције добија структура из друге. Претпоставимо да је структура (G, ) група у смислу прве дефиниције. Приметимо да је неутрал е из ове дефиниције јединствено одређен. Претпоставимо да постоји елемент f који задовољава исте услове као и е. Тада добијамо да је е f = f пошто је е неутрал, али је и е f = е зато што је и f неутрал. Дакле, е = f. За изабрани елемент који нам треба у другој дефиницији узимамо е. Да бисмо имали дефинисану унарну операцију ' на скупу G, која задовољава услове из друге дефиниције, покажимо да је за дати елемент х G елемент који је његов инверз, тј. једноставност неутрала. х јединствено одређен. То се показује на сличан начин као и Претпоставимо да осим х постоји и елемент ~ х, који задовољава исте услове. ~ Тада је х (х х) ~ = х е = х ~ = х. Дакле, са х '' := х ~ х.такође је и( ~ х х) х = е х = х. Добијамо да је при чему је х јединствен елемент из прве 27

дефиниције, добијамо добро дефинисану унарну операцију, која задовољава својства из друге дефиниције. Најједноставнији примери група су примери група које формирају бројеви. То су групе : ( Z, +), ( R, +), ( Q, +), ( C, +) a такође и ( Q / {0}, ), ( R / {0}, ), (Q +, ), (R +, ). Наравно, + и су рачунске операције сабирања и множења бројева док су са Q + и R + означени сви позитивни рационални и реални бројеви. Дефиниција 2.1.3 Ако су (G, ) и (Н, *) две групе, онда је (Н, *) подгрупа групе (G, ) уколико је Н G и х * y = х y за све х, y Н. Уколико је Н подгрупа групе G, то записујемо овако Н Ако је е неутрал у G, елемента х ϵ Н е = ε ; за свако х, онда мора бити: ϵ Н : ε х -1 = х '. G. неутрал у Н, х -1 инверз елемента х ϵ G, х ' инверз Докажимо да је заиста тако. Нека је h ϵ Н ма који елемент из Н. Тада важи: Но, тада је и h * пошто је x y = x * y за све х, y ϵ Н, а h, h -1 добијамо h -1 h h ε ε = h. = h, ε ϵ Н ε = h -1 h,. Множењем горње једнакости са а с обзиром да је h -1 h = е,следи да је : 28

е ε = е, те је заиста ε=е. Да бисмо доказали да је за свако х да је х -1 инверз елемента х ϵ G ϵ Н испуњено х -1 = х ', напишимо шта значи то и да је х ' инверз елемента х х -1 х = х х -1 = е, (1) х * х = х * х = ε. (2) Но, с обзиром да х, х ' припадају Н и да је е = х * х = х * х = е. (3) ε, добијамо да је ϵ Н : Из (1) и (3) на основу јединствености инверза у групи добијамо да мора бити Особине група n Дефинишимо производ i=1 x n+1 i=1 x х = х 1. i рекурентном формулом: n i=1 Aко је х 1 = х 2 = = х n = x, уместо x i := e, aкo je n = 0, n i := i=1 x n i=1 i * x n+1, за n x 0. i пишемо x n. Такође, уместо производа n i=1 x i често ћемо писати (х 1 х 2 х n ). 29

1. За свако n 2 и свако r за које је 1 r<n важи: (х 1 х 2 х r ) (х r+1 х r+2 х n ) = (х 1 х 2 х n ). Ово значи да заграде можемо произвољно постављати. Резултат се доказује индукцијом по n. У случају да су сви x i једнаки добијамо да је за свако m, n N: x m x n = x m+n. 2. За свако х G : ( x -1 ) -1 = x. Овај резултат следи из јединствености инверза. Елемент x и ( x -1 ) -1 задовољавају услов за инверз елемента x -1 и зато су једнаки. 3. За свако х, y G : (xy) -1 = y -1 x -1. Проверимо да ли је y -1 x -1 инверз елемента x y: ( y -1 x -1 )( x y) = y -1 ( ( x y) ( y -1 x -1 ) = x(y y -1 x -1 = x e x -1 x ) y = y -1 е y = e, x -1 = e. 4. Свака једначина облика: ах = b има тачно једно решење у G. To важи и за једначину облика: ха = b. Није тешко проверити да је a -1 b једно решење прве једначине: a(a -1 b) = (a a -1 )b = eb = b. Решење је јединствено: из ах 1 = ах 2 следи да је а -1 ах 1 = а -1 ах 2, тј. ех 1 = ех 2, па мора бити да је х 1 = х 2. 5. За свако а, х G и n 1 : (аха -1 ) n = ax n a -1. Доказује се индукцијом по n. Ако је n = 1, онда је тврђење тривијално тачно. Претпоставимо да је тврђење тачно за n и докажимо га за n+1. (аха -1 ) n+1 = (аха -1 ) n аха -1 = ах n а -1 аха -1 = ax n xa -1 = ax n+1 a -1. 30

Дефиниција 2.1.4 Нека је Х непразан скуп. Посматрајмо скуп S Х задат са: S X = {π: X X π је бијекција }. Тада је S X = (S X, о) где је са о означена композиција функција, једна група и зовемо је групом пермутација скупа Х. Елементе групе Ѕ Х зовемо и пермутацијама скупа Х. Ако постоји бијекција између Х и Y, онда су одговарајуће групе пермутација изоморфне. Пример Нека је n = 9 и пермутација σ ϵ S9 задата са: σ = ( 1 23 45 6 7 8 9 4 53 82 7 1 6 9). Ову пермутацију можемо другачије записати на следећи начин. Како се елемент 1 слика у 4, 4 у 8, 8 у 6, 6 у 7, 7 у 1 то би изгледало овако: 1 4 8 6 7 1 и на тај начин смо затворили круг. Oвај поступак можемо записати овако (14867) и представља пермутацију скупа { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } у којој се 1 слика у 4, 4 у 8, 8 у 6, 6 у 7, 7 у 1 док се остали елементи сликају сами у себе. Пошто се остали елементи не појављују у овом запису, а сликају се сами у себе, то се (14867) може видети и као елемент групе S n за ма које n 8. Oваква пермутација назива се циклус или цикл дужине 5. Пермутација у којој је: а 1 а2 а3 ак - 1 ак а1, при чему су елементи а i различити означава се са (а 1 а 2 а 3...а к ) зове се циклус дужине к (или к- цикл). 31

Вратимо се пермутацији да је: σ. Први елемент који нисмо по к упили јесте 2. Приметимо 2 5 2. Добијамо нови цикл (25) дужине 2. Цикли дужине 2 зову се транспозиције (само два елемента замене своја места). Видимо да се остали елементи 3 и 9 не померају при пермутацији σ :3 3, 9 9. То се може записати у облику циклуса дужине 1 као (3) и (9). Нашу пермутацију σ можемо записати овако: σ = (14867)(25). где смо изоставили циклусе дужине 1 јер су то идентичне пермутације (3 се слика у 3, 9 у 9). На овај начин смо нашу пермутацију представили у облику производа дисјунтних циклуса (циклуси (а 1 а 2.. а к ) и (b 1 b 2 b k ) су дисјунктни уколико су {a 1, a 2,, a k } и {b 1, b 2,, b k } дисјунктни скупови). Заправо важи следећа теорема: Уколико је Х = {1,2,, n}, онда уместо S {1, 2,, n} пишемо Ѕ n. Теорема 2.1 Свака пермутација из Sn може се на јединствен начин, до на редослед фактора, представити у облику производа дисјунктних циклуса. Приметимо да важи следеће. Уколико су циклуси ρ π = π ρ. Уколико циклуси нису дисјунктни, они не морају да комутирају: Приметимо да је: (12)(23) = (123), (23)(12) =(132). ρ и π дисјунктни, онда је У конкретном случају за к = 4: (а 1 а 2...а к ) = (а 2... а к а 1 ) =...= (а к а 1 а 2... а к - 1 ). (а 1 а 2 а 3 а 4 ) = (а 2. а 3 а 4 а 1 ) = (а 3 а 4 а 2 а 1 ) = (а 4 а 1 а 2 а 3). Позабавимо се рачунањем циклуса. Најпре, лако је проверити да је ( abc) = (ab)(bc). Општији резултат је следећи. Ако су а 1, а 2,...,.а к+1 међусобно различити онда је: 32

(а 1 а 2...а к )( а k а k+1 a k+2...а к+m ) = (а 1 а 2...а к+m ) за свако к 2, m 1. Користећи овај резултат лако се показује да је сваки циклус производ транспозиција: (а 1 а 2 )(а 2 а 3 )...(а к - 1 а к ) = (а 1 а 2... а к ). Пошто је свака пермутација производ циклуса закључујемо да важи следећи став. Став 2.1.1 Свака пермутација Sn може се представити у облику производа транспозиција. Пример Пермутација (12)(23)(34) једнака је пермутацији (14)(13)(12). Оно што јесте јединствено је парност броја транспозиција које се појављују у факторизацији дате пермутације. Пермутације које се могу представити у облику парног броја транспозиција зовемо парне пермутације, док се пермутације које се представљју у облику непарног броја транспозиција зову непарне пермутације. Скуп свих парних пермутација чини групу. Та група се означава са А n. Ако је π ϵ S n и (а 1 a 2 Такође важи и следеће: Видели смо да је група a k ) један к- цикл, онда је: π( а 1 ( а 1 S а к )π -1 = (π(а 1 )π(а 2 )...π(а к )). а к ) - 1 = (а к а к -1 а 1 ). n генерисана транспозицијама. То је прилично велики генераторни скуп. Заправо се могу наћи знатно једноставнији скупови генератора за S n. Став 2.1.2 Група S n генерисана је : 33

1. транспозицијама (12), (13),, (1n); 2. транспозицијама (12), (23), (34),, (n-1 n); 3. пермутацијама (12) и (123.n). Доказ 1. Лако се може проверити да је (ab) = (1a)(1b)(1a). Дакле, све транспозиције се могу добити помоћу наведених. 2. Довољно је показати да можемо да добијемо све транспозиције облика (1а) за 2 a n. Ево како добијамо (13). Сада ћемо помоћу (13) добити (14): Уочимо правилност: (13) = (12)(23)(12). (14) = (13)(34)(13). (1, к + 1) = (1к)(к к + 1)(1к). На овај начин добијамо све транспозиције за које знамо да генеришу S n. добијамо: 3. Подсетимо се формуле π(а 1... а к )π -1 = (π(а 1 )π(а 2 )...π(а к )). Уколико је π = (1 2... n) (1 2... n )(1 2)(1 2 n) -1 = (2 3). Сада на основу (23) можемо да добијемо (34): Уочимо правило : (1 2... n )(2 3)(1 2 n) -1 = (3 4). (1 2... n)(k k + 1) (1 2 n) - 1 = (k + 1 k + 2) за 1 k n 2. Taко добијамо све транспозиције за које знамо да генеришу S n, па према томе закључујемо да дате две пермутације генеришу S n. Приметимо да парност к-цикла зависи од к. Заправо је к-цикл парна пермутација ако и само ако је к непаран. То посебно значи да је сваки цикл дужине 3 парна пермутација. 34

2.2 Цикличне групе Дефиниција 2.2.1 Група G је циклична ако постоји елемент х G такав да је сваки елемент из G облика х m за неки цео број m, односно: G= {х m :m Z }. Такав елемент зовемо генератором цикличне групе. Уколико желимо да истакнемо да је G циклична група чији је генератор а, онда то пишемо овако: G = a. Примери цикличних група: Z n = { Z n, + n } је циклична група генерисана елементом 1. Овде је + n сабирање по модулу n, a Z n = {0, 1, 2,, n -1 } где је n 2. (Z, +) је циклична група генерисана елементом 1. Дефиниција 2.2.2 Ако је група G коначна онда број њених елемената зовемо ред групе и означавамо га са G. У случају да је група бесконачна, кажемо да је она бесконачног реда. Нека је а елемент неке групе. Уколико не постоји природан број n 1 за који је а n = e, кажемо да је елемент а бесконачног реда. Уколико такав елемент постоји, онда је ред елемента а, у ознаци ω (а) задат са: ω (а) := min {m 1:a m =e }. Став 2.2.1 Ред ма ког елемента неке групе једнак је реду подгрупе генерисане тим елементом. 35

Дефиниција 2.2.3 Нека су (G, ) и (Н, *) групе. Кажемо да су ове групе изоморфне уколико постоји бијекција f: G H таква да је за све x, y G: f(x, y) = f(x)* f(y). Бијекција из ове дефиниције зове се изоморфизам група G и H. Чињеницу да је група G изоморфна групи H записујемо овако: G H. Уколико је е неутрал у G, а Теорема 2.2.1 ε неутрал у Н и f: G H изоморфизам, важи следеће: f(e)= ε и f (x 1 )=f (x) -1 Свака циклична група изоморфна је или групи Z или групи Z n за неко n Доказ 1. Претпоставимо да је G бесконачна циклична група. То значи да постоји елемент а G такав да је: G = {a m : m Z }. Осим тога, а к а l уколико је к l. У овом случају дефинишимо f: Z G са f(m)= x m. f је бијекција. Треба проверити да је f(m+n) = f(m) f(n) за свако m, n. То је заправо својство а m+n = a m a n. Закључујемо да је у том случају G Претпоставимо да је G коначна циклична група, тј. за неки а G Z. Z G = {е, а,..., а n-1 } за неко n 2. Доказаћемо да је у овом случају G Zn. Дефинишимо функцију f: Z n G са f(k)= ak. f је бијекција. Треба само показати да је 36

f (k + n l) = f(k) f(l). Подсетимо се да је за k, l {0, 1, 2,, n - 1}: Уколико је У случају да је f(k) k+l<n,добијамо да је f(k) k+l n: f(l) = a k a l = a k+l = k+l, k+l<n k + n l = { k+l n, k+l n. f(l) = a k + n l k a = Дакле, f је изоморфизам и закључујемо да је Z n Дефиниција 2.2.4 Ако су (G, a l = a k+l = f(k+l) = f(k+ n l). + n l k a an = G. + n l k a = + n l k a ) и (Н,*) две групе, онда је група (Н,*) подгрупа групе (G, H G, и х * у = х у за х,у Уколико је Н подгрупа групе G, то записујемо овако H G. Теорема 2.2.2 Н. Свака подгрупа цикличне групе је и сама циклична група. Доказ =f( + n l k. ) уколико је 37

Нека је G = а и H G. Ако је H = {e}, немамо шта да доказујемо. У супротном нека је ѕ = min{n > 0: a n H }. Показаћемо да је H = a s. Како је a s H, то је (аs ) m Претпоставимо да је х Н, за све m Z, па је a s H. G. Kaкo је G циклична група, то је x = a k за неки цео број к. Тада постоје цели бројеви q и r за које је к = qs + r, при чему је 0 r<s. Дакле, r = k - qs и добијамо а r = a k (a s ) -k. Како је а k = x H и а s H, то следи да је а r H. Но, 0 r мора бити r = 0. Дакле, х = а к = (а s ) q as. 2.3 Модуларна аритметика s и по избору броја s Размислимо мало о часовнику и о бројевима на њему од 0 до 11 где је нула на позицији броја 12. Дан почиње у поноћ, зато 12 сати постављамо на 0. Користећи сат можемо утврдити колико је два сата после 1. Крећемо се у смеру кретања сказаљке на сату, направимо два подеока после једног сата и дођемо до 3. Слично, 5 сати након 6 је 11 часова. Али, колико је један сат после 11 часова? У питању је 0 часова јер смо се опет вратили на почетак. Слично, два сата након 11 часова је 1. Све ово што смо навели можемо записати на следећи начин: 1 + 2 = 3 (mod 12) 5 + 6 = 11 (mod 12) 11 + 1 = 0 (mod 12) 11 + 2 = 1 (mod 12). Дакле, управо смо искористили аритметику по модулу 12. Хајде да размислимо шта је са одузимањем. Ако додамо бројеве са десне стране једнакости, као код уобичајене аритметике добићемо: 1 = 3 2 6 = 11 5 11 = 0 1 11 = 1-2 38

где смо изоставили mod 12 зато што је јасно да сада говоримо о аритметици по модулу 12. Прве две једнакости имају смисла због уобичајене аритметике. Али да бисмо схватили смисао последње две једнакости, потребан нам је часовник. Ако смо на нули, и вратимо се један сат уназад онда смо дошли на 11 часова. Слично, ако смо на јединици и хоћемо се вратити два сата уназад, долазимо на 11 часова. Ово је зато што је 11 = 1-2 и 11 = 0 1. Узимајући било који број можемо одредити шта је његов mod 12 додавањем или одузимањем броја 12 довољан број пута да бисмо на крају добили број између 0 и 11. Пример Дати су негативни цели бројеви -12, -13, -7. Користећи аритметику по модулу 12, добијамо: -12 = 0 = 12 = 24-13 = -1 = 11 = 23-7 = 5 = 17 = 29 Погледајмо следећи подскуп целих бројева. Z 12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Овај подскуп целих бројева нам је од велике користи приликом рада са хроматском лествицом која има 12 полутонова, о којој је већ било речи. Такође нам је од великог значаја аритметички мод 7 зато што је везан за седам тонова на дур лествици, седам белих дирки на клавиру од средњег тона C па све до наредног тона c. За аритметички модул 7 замислимо да дан има 7 сати и да се часови на сату крећу од 0 до 6 уместо од 0 до 11. Аргументовањем као по модулу 12, добијамо: 1 + 2 = 3 mod 7 6 + 5 = 4 mod 7 6 + 1 = 0 mod 7 6 + 2 = 1 mod 7. 39

Већ видимо разлику између модула 12 и модула 7. Приметимо да је: 6 + 5 = 11 mod 12, 6 + 5 = 4 mod 7. Размотримо неке примере: Ако додамо са десне стране једнакости неке бројеве као у обичној аритметици, добићемо: 1 = 3 2 mod 7 6 = 4-5 mod 7 6 = 0 1 mod 7 6 = 1-2 mod 7. Одузимање се може разумети померањем казаљке на сату са седам обележених часова: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Узимајући било који број можемо одредити шта је његов mod 7 додавањем или одузимањем броја 7 довољан број пута да бисмо на крају добили број између 0 и 6. На пример: - 7 = 0 mod 7-9 = - 2 = 5 mod 7 15 = 8 = 1 mod 7 17 = 10 = 3 mod 7. Погледајмо подскуп скупа целих бројева: Z 7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. И овај скуп нам је од великог значаја приликом рада са септатонским лествицама. Сада можемо говорити о функцијaма f: Z 12 Z 12. Размотримо функцију: Т 2: Z 12 Z 12 дефинисану формулом Т 2 (x) = x + 2. Направићемо следећу табелу: T 2 (0) = 0 + 2 = 2 mod 12 40

T 2 (1) = 1 + 2 = 3 mod 12 T 2 (2) = 2 + 2 = 4 mod 12 T 2 (3) = 3 + 2 = 5 mod 12 T 2 (4) = 4 + 2 = 6 mod 12 T 2 (5) = 5 + 2 = 7 mod 12 T 2 (6) = 6 + 2 = 8 mod 12 T 2 (7) = 7 + 2 = 9 mod 12 T 2 (8) = 8 + 2 = 10 mod 12 T 2 (9) = 9 + 2 = 11 mod 12 T 2 (10) = 10 + 2 = 0 mod 12 T 2 (11) = 11 + 2 = 1 mod 12 Друга функција I 0 : Z 12 Z 12 је дата формулом I 0 (x) = -x. На пример I 0 (1) = 11, I 0 (6) = 6. Овим се завршава увођење скупова, функција и модуларне аритметике које ће нам бити од значаја приликом обраде транспозиције и инверзије у музици. 2.4 Целобројни модел тона, транспозиција и инверзија Да бисмо увели појам транспозиције и инверзије у музици, потребно је да хроматску лествицу од 12 тонова преведемо у целобројни модел тонова, односно: 41

Овај целобројни модел тонова можемо представити на такозваном хроматском часовнику: на коме је дата хроматска лествица од 12 полутонова. Дефиниција 2.4.1 Нека је n цео број по модулу 12. Онда је функција T n : Z 12 Z 12 дефинисана са T n (х) = х + n мод 12 транспозиција по n. Већ смо видели шта је функција T 2 : Z 12 Z 12. Нека је T 5 : Z 12 Z 12. Тада важи: T 5 (3) = 3 + 5 = 8 42

T 5 (6) = 6 + 5 = 11 T 5 (7) = 7 + 5 = 0 T 5 (10) = 10 + 5 = 15 = 3 где нисмо написали да је по модулу 12 зато што се види из контекста да је тако. Пример Нека је дат С dur акорд 1 {C, E, G }. Овај акорд је део главне теме Хајднове симфоније изненађења. Први део главне теме је: C,C, E, E, G,G, E, F, F, D, D, Н, Н, G. Aкo преведемо у целобројни модел све тонове, добијамо: 0,0,4,4, 7,7,4,5,5, 2,2,11,11,7. Ове угласте заграде користе музички теоретичари да нагласе у ком редоследу се јављају ноте у самој композицији. Целобројни модел тог акорда је {0, 4, 7 }. Ако бисмо извршили транспозицију на датом акорду, добили бисмо: T 7 {0, 4, 7} = {T 7 (0), T 7 (4), T 7 (7)} = {0 + 7, 4 + 7, 7 + 7} = {7, 11, 2} применом Т 7 на сваки елемент - 0,4 и 7. Музичари ће примети ти да ово мења C-dur акорд у G-dur 2 акорд. Дефиниција 2.4.2 Нека је n цео број по модулу 12. Тада функцију I n : Z 12 Z 12 дефинисану формулом I n (x) = -x + n зовемо инверзија по n. Већ смо у једном од примера видели шта је функција I 0 : Z 12 Z 12. Нека је I 7 : Z 12 Z 12. Тада важи: I 7 (3) = -3 + 7 = 4 I 7 (7) = -7 + 7 = 0 I 7 (9) = -9 + 7 = -2 = 10. Транспозиција у музици значи преношење одређеног нотног текста у другу тонску висину, вишу или нижу од написане. Нотни текст се може транспоновати писмено, али 1 Акорд је група од три или више тона одсвираних у исто време. 2 To је акорд који се састоји од три тона G, H и D. 43

је у пракси потребно да извођач може транспоновати и директно свирајући одређену деоницу у новом тоналитету. У музичкој теорији инверзија има неколико значења. Постоје инвертовани акорди, инвертоване мелодије и инвертовани гласови. Инверзија игра главну улогу у музичкој теорији скупова. Код инверзије акорда, суштина није у басу 3. Инверзије су нумерисане по редоследу њихових бас тонова. У првој инверзији С-дур акорда {C, E, G}, где је бас тон Е нота Е остаје на свом месту као и нота G, само је нота С повишена за октаву више(за седам тонова). У другој инверзији, бас тон је нота G, С и Е се пењу за октаву више: Тонска оса нам је код инверзије од великог значаја. То је замишљена права линија паралелна нотним линијама која пролази кроз одређени тон и у односу на њу се ради пресликавање датих нота у зависности од тога колико су удаљене од тонске осе. Погледајмо следећу мелодију: Ако бисмо урадили њену инверзију у односу на тонску осу која пролази кроз С, то би изгледало овако: или у односу на тонску осу која пролази кроз ноту А: 3 Бас код акорда је његов најнижи тон. 44

Пример Нека је дат хроматски сат. Хоћемо да извршимо транспозицију Т 11. Тада би то изгледало овако. Пример Дат је пример транспозиције произвољних нота, где почетна нота F прелази у G а остали тонови такође прелазе у тонове за један виши. 45

Пример Погледајмо пример транспозиције извршене у једном делу нотног записа Ride of the Valkyries композитора Рихарда Вагнера о коме ће касније опширније писати. Пример Погледајмо пример инверзије једног нотног ступња теме композитора Николе Паганинија 4. Овде тонска оса пролази кроз ноту А. 4 Николо Паганини је био италијански виолиниста и композитор. 46

Пример Погледајмо пример инверзије за n = 9. У питању је Schoenberд-ово дело, String Quartet бр.4. 2.5 PLR групе Скуп функција које за аргументе и слике имају акорде називамо PLR групама. На слици испод дати су у примарниј форми акорди од С-дур до B-дур акорда. Инвертована форма добија се применом инверзије на њих. Примарна форма Инвертована форма 47

Увешћемо PLR групу као групу функција Ѕ S. Нека скуп Ѕ означава скуп примарних и инвертованих форми на C dur акорду. Прво ћемо дефинисати функције P, L и R са доменом и кодоменом S. Нека је функција P таква да је: На пример: Нека је функција L таква да: На пример: Нека је функција R таква да: На пример: P(x, y, z) = I x + z (x, y, z). P 0, 4, 7 = 7, 3, 0 ( I 7 ) P 3, 11, 8 = 8, 0, 3 ( I 11 ) L(x, y, z) = I y+z (x, y, z) L 0, 4, 7 = 11, 7, 4 ( I 11 ) L 3, 11, 8 = 4, 8, 11. R(x, y, z) = I x+y (x, y, z) R 0, 4, 7 = 4, 0, 9 ( I 4 ) R 3, 11, 8 = 11, 3, 6. ( I 14 ) Дефиниција 2.5.1 48

PLR група је група чији скуп садржи све могуће композиције P, L, и R функција. Операција је композиција функција. На пример, неки елементи PLR групе су P, L, R, L º R, R º L, P º L º P итд. У први мах можете да помислите да постоји бесконачно много комбинација међу датим функцијама. Али није тако! Постоји само 24 елемента дате групе. Тако на пример, композиције Lº L(х) и R º R(х) су исте, тј. Lº L(х)= х = R º R(х) за сваки елемент х скупа Ѕ. Пример Нека је дат С-дур акорд. Погледајмо на слици испод у које акорде га мењају Р,L и R функције: функција R у а-мол, функција Р у С-мол, функција L у Е-мол. 2.6 Елвис Присли Елвисова прогресија I vi IV- V - I рока 50-их налази се у многим песмама. У суштини, она је дата следећим дијаграмом. 49

Ако у први кружић убацимо С дур акорд 0, 4,7 и применимо ове функције редом добићемо следеће акорде у наредним кружићима: а мол, F дур, G дур, C дур. Овај редослед можемо видети у примеру песме 80-тих Stand by Me а такође и песама Earth Anдel, Wonderful World, Grease, Nothinд s Gonna Stop Us Now. На дијаграму испод налазе се акорди и функције P, L, R које их пресликавају у друге акорде. На њему је дата Елвисова прогресија. 3. Анализа примене теорија група кроз анализу неких познатих музичких дела 3.1Бахова фуга Фуга ( lat. fuдa = бекство ) је композициони принцип у музици, који се остварује низањем музичких имитација. Термин фуга се користио још у 14.веку да 50

означи музички канон 5, а касније и имитације. Карактеристика фуге је комплексна разрада музичког мотива. Она почиње експозицијом у првом гласу, који други глас понавља за квинту више или за кварту ниже. Највећи мајстор компоновања фуге био је Јохан Себастијан Бах (Johann Sebastian Bach 1685-1750) - немачки композитор и оргуљаш из доба барока који је подигао уметност фуге у висине. Јохан Себастијан Бах Његова дела су запажена због интелектуалне дубине, техничког савршенства и уметничке лепоте. Једно од његових дела јесте Добро темперовани клавир које се састоји од две књиге. Свака књига се састоји од прелида и фуга у свакој од 24 дурске и молске скале. Име дела се односи на систем равномерног темперовања (штимовања) музичких инструмената. Начини штимовања пре Баха нису омогућили да мелодија промени више тоналитета. Ово дело су ценили доцнији композитори попут Моцарта и Бетовена. Фуга почиње следећим скупом тонова који представљају први глас: D, E,F,G, E, F, D,C, D,H,G, A = 2,4,5,7,4,5,2,1,2,10,7,9. Означимо тај скуп тонова са Р. Овај глас садржи 12 тонова као што можемо приметити. Следећи низ тонова, односно трећи ступањ је : A, H,C, D, H,C, A,G, A, F, D,E = 9,11,0, 2,11,0,9,8,9,5,2,4. 5 Канон је вишегласна музичка композиција у којој један или више гласова имитирају почетни. 51

Приметимо да постоји веза између тонова првог и другог гласа. У питању је транспозиција Т 7 односно, додамо 7 сваком тону у првом гласу и добијемо други. У 8.ступњу имамо следећи тоналитет: E, F, G, A, F, H, G, F, G, E,C, D = 4, 5,7, 9, 5,10, 7, 6,7, 3,1,2. Првих пет тонова овог гласа су скоро Т 2 првих пет тонова скупа Р, али следећих пет тонова су Т 5 наредних 5 тонова скупа Р. Последњи тон 8. ступња је Т 5 последњег тона скупа Р. 13.ступањ почиње са: A, H,C, D,H,C, A,G, A,F, D, E = 9,11,1,2, 11,1,9,8,9,5,2,4 који је потпуно сличан са трећим ступњем једино су уместо тонова са целобројним моделом 0 у трећем ступњу, тонови са целобројним моделом 1. Ступњи 17, 18 и 21 су респективно: A, H,C, D, H,C, A,G, A,F, D, E = 9,11,0, 2,11,1,9,8,9, 5,2,4 A, H, C, D,H, C, A, G, A, F, D, E = 9,11,1, 2,11,0, 9,8,9, 5,2,4 A, H,C, D,H,C, A,G, A,F,D, E = 9,11,1,2,11,1,9,8,9, 5,2,4 који су заправо транспозиција Т 7 скупа Р сем оних тонова који су болдовани. Погледајмо 14. и 22.ступањ редом: E, D,C, H,D,C,E, F, E, A,C, H = 4,2,1,11,2,1,4,5,4,9,0,10 E, D,C, H,D,C,E, F, E,G, H, A = 4,2,1,11,2,1,4,5,4,7,10,9. Прилично су идентични осим последња три броја. Ове концептуалне категорије чине комад пријатним зато што му се можемо приближити и боље разумети, чини дело лакшим за извођаче јер ће препознати везу између различитих делова комада. 3.2Тристан - Вагнерова прелида 52

Рихард Вагнер (Richard Waghner 1813-1883), композитор који је рођен 63 године након Бахове смрти, познат је по својим гигантским операма. Вагнерове композиције се драстично разликују од Бахових. Позната Вагнерову опера Тристан и Изолда је пример транспозиције и инверзије. Компонована је између 1857. и 1859. Године а премијера је била 10. јуна 1865. године. у Народном позоришту у Минхену. Дириговао је Ханс фон Билов. Рихард Вагнер Легенда о Тристану и Изолди написана је још у 12.веку. Тристан и Изолда сматра се Вагнеровом најбољом и најиновативнијом појединачном опером, а по некима је и најбоља опера икад написана. Оно што истиче оперу јесте коришћење хроматизма, тоналности (и атоналности) и хармонијске напетости. Ово дело је поставило темељ класичне и озбиљне музике 20.века. Занимљиво је да су два велика вагнеријанска диригента умрла током извођења ове опере. У питању су Феликс Мотл и Јозеф Кајлберт, 1911. и 1968. године. Умрли су током извођења другог чина, како се верује од стреса и јако снажне емоционалне реакције које изазива ова опера. Радња прати судбину љубавника из артуријанске легенде, Тристана и Изолде. Ова опера се састоји из три чина. У првом чину Тристан проси Изолду у име свог ујака, краља Марка и води је њему водећи је из Ирске у Корнвал. Како су Ирска и Корнвал земље које су стално ратовале, овај брак је успостављен као средство 53

успостављања трајног мира између те две државе. Игром случаја, Тристан и Изолда пију љубавни напитак мислећи да је то напитак који убија изјављујући обострану љубав. У другом чину краљ Марко сазнаје да га Изолда вара са Тристаном. Тристан излази на двобој са Мелотом који их је издао краљу, и бива смртно рањен. У трећем чину Тристан умире у Изолдиним рукама. Размотримо ову прелиду. Нека је Р i скуп тонова који се чују током круга i. Нпр. Пoгледајмо следећу табелу: Р 2 = {F, H,D, A }. Р 1 Р 2 Р 3 Р 4 Р 5 Р 6 Р 7 Р 8 Р 9 Р 12 Р 13 {0,2,5,8 } {0,2,6,8 } {0,2,6,8 } {0,2,5,8 } Скупови тонова из прве колоне могу бити транспоновани или инвертовани у {0,2,5,8 }, из друге колоне у {0,2,6,8 }, итд. Приметимо да су прва и последња колона у суштини исте, док су такође друга и трећа колона. Ово заправо значи да оне могу бити транспоноване и инвертоване у исту ствар. 3.3Фуга Паул Хиндемит (Paul Hindemith) 54

Паул Хиндемит (1895-1963) био је немачки композитор. Радио је и као виртуоз на виолини и виоли, диригент и педагог. Компоновао је оркестрална дела, балете. Његова позната дела су опере Женска нада, Убица, Света Сузана. Паул Хиндемит Био је познат као шампион савремене музике и промотер ране музике. Године 1941., само пет година пре него што је постао грађанин САД-а, компоновао је Лудус Тоналис, колекцију од дванаест фуга са једанаест интерлудијума. Ова колекција фуга подсећа на Бахов Добро теперовани клавир. Лудус Тоналис у преводу значи тонска игра, што може да се примети у симетрији и асиметрији појединих комада. Хиндемитова Фуга у G садржи примере транспозиције и инверзије. Пример илуструје неке од потешкоћа на које музички теоретичари наилазе. Фуга у Г почиње изјавом субјекта као у Баховој Фуги у д-молу. Почиње следећим скупом тонова: G, G,G, G,G, G, G, C, D,G, C, F = 7,7,7,7, 7,7, 7, 0,2,7,0,5. Нека је Ѕ скуп транспонованих и инвертованих форми нота скупа G, C, D = 7,0, 2. Неки примери елемената скупа Ѕ су: 55

Т 0 7, 0,2 = 7,0,2 Т 1 7, 0,2 = 8,1,3 Т 2 7,0,2 = 9, 2, 4... I 0 7,0,2 = 5,0,10 I 1 7, 0, 2 = 6,1, 11 I 2 7,0,2 = 7,2,0 Приметимо да су елементи скупа Ѕ уређени скупови. Два скупа тонова који су елементи скупа Ѕ су различити ако им је редослед тонова другачији. Тако су на пример скупови 7, 0, 2 и 7, 2,0 различити елементи скупа Ѕ. Елементе који су транспозиција скупа 7, 0, 2 зовемо примарним формама док су инверзије скупа 7, 0, 2 инвертоване форме. Тако на пример, 8, 1, 3 је примарна а 6,1, 11 инвертована форма. Постоји неколико функција Ѕ Ѕ које су од великог значаја у нашој анализи. Транспозиције Т n : Z 12 Z 12 и инверзије I n : Z 12 Z 12 индукују функције Ѕ Ѕ које смо означили са Т n и I n. Сада ћемо увести нову функцију Ј: Ѕ Ѕ. Дефинишимо функцију Ј(х) следећим примером: Ј 7,0, 2 = 0,7, 5. тонова 7,0, 2 и 0, 7,5 Скупови су такви да су им прва два тона иста само им је редослед другачији. Реч је о инверзији I 7. Слично је и Ј 0,7, 5 = 7, 0, 2.. Функција Ј је пример контекстуалне инверзије. Названа је тако јер инвертује у контексту прва два тона. 56

Погледајмо каквог је музичког значаја функција Ј. На први поглед изгледа као да је дефинисана на непотребно комликован начин, али је с друге стране то веома важна музичка функција. Када посматрамо ову фугу, видећемо да је други скуп од по три ноте G, C, F а не C,G, F. Поредак није баш добар. Ово је једна од потешкоћа на које наилазе музички теоретичари. Другим речима, функција Ј је довољно добра апроксимација за нас да је употребимо и контролишемо грешку посматрањем неуређених скупова када се упореди са стварним комадом. Погледајмо следећи дијаграм. Допишимо у горњи леви кружић 7, 0, 2 и погледајмо штаће се догодити. Сада ћемо применити функције Ј и Т 5 редом у горњи десни и доњи леви кружић. Добијамо следећи дијаграм. 57

Остао нам је непопуњен доњи десни кружић. Њега можемо попунити применом функције Ј на 0, 5,7 или Т 5 на 0, 7, 5, односно добијамо : Ј 0,5,7 = 5, 0, 10 или Т 5 0,7, 5 = 5, 0, 10. Дакле, видимо да путања није важна. Пошто путања није важна, рећи ћемо да дијаграм комутира. 58

4. Литература [1] Звoнимир Шикић, Математика и музика, ХМД, Загреб 1999; [2] Милош Чанак, Математика и музика, Завод за уџбенике; [3] Зоран Петровић, Алгебра 1, предавања за школску 2013/14. годину; [4] Зоран Лучић, Огледи из историје античке геометрије, Гласник; [5] Thomas M. Fiore, Music and Mathematics; [6] James S. Walker, Mathematics and Music; [7] Ada Zhang, Тhe Framework of Music Theory as Represented with Groups. 59