ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ÃÐÓ 12 ÔÓØ Ø ÒÛÒ ÈÓÐÐ ÓÖ Ó Ò Ø Ø ÐÝ Ù ØÒØ ÔÖÑÖÛ º À ÔÜÖ ÔÓÙ ÓÔ ØÓÒ ÔÖÓÖ Ñ Ø ÔÖÑÖÛ ÓÒÓÑÞØ ÔÓØ Ø º ÈÒ Ø ÔÖÑÖÛ Ò Ò Ø Ø Ö Ø ÐÝ Ø Ò Ø ØÒ ÔÖÔØÛ ÓÖÙÓÖôÒ ÒÛÒ Ó ØÑÓ Ö ØÖÕº ËÙÕÒ ÑÓÒØÐÓ Ø ÔÖÑÖÛ Ø ÖÕ Ò Ò f(x, y) ÕÖ ÑÓÔÓØ Ò ÖÑÑ ÐØÖÓ h(x, y) ØÒ ÜÓÓ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÔÖÓ ØØ ÖÙÓ g(x, y) = h(x x, y y )f(x, y )dx dy + w(x, y) ½¾º½µ Ñ h(x, y)dxdy = 1 ÛÖôÒØ Ø Ñ ØÑ ØÓÙ ÓÖÓÙ w(x, y) Ò ÑÒ ÔÓÖ ØÓÙ σ 2 º À ÖÓÙ Ø ÔÖ ØÓÙ ÐØÖÓÙ ÓÒÓÑÞØ ÙÒÖØ ÔÓÖ ÑÓÙº ÈÖÑØ ÙÒÖØ ÛÒ ÔÓÖ ÑÓÙ ÓÒØ Ø ÙÒÕ ÅØÒ ØÒ ØÙÒ θ Ø L h(x, y) = 1 L Π 1( Ñ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier, xcos θ + y sinθ )δ( xsinθ + y cos θ) L H(u, v) = sinc(πl(u cos θ + v sinθ)) À Ö ÔÖ Ø Ø ÙÒÖØ sinc Ø ØÓ ËÕÑ º º Ã Ø Ñ ØÒ r Ñ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier, h(x, y) = 1 πr 2, x2 + y 2 r 2 H(u, v) = J 1(rρ), ρ = u rρ 2 + v 2. ÔÓÙ J 1 (.) Ò Ñ ÙÒÖØ Bessel. À J 1(rρ) rρ Ø ØÓ ËÕÑ ½¾º½º Å Ò Ñ Ø Ø Ø ÐÝ Ø ØÓ ËÕÑ ½¾º¾º ØÑÓ Ö ØÖÕ ÔÓÖ α 2 h(x, y) = 1 x 2 +y 2 2πα 2e 2α 2 68
ËÕÑ 12.1: ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø ÔÖ ØÒ Ø ËÕÑ 12.2: Ã Ø ÑÒ Ò Ñ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier, H(u, v) = e 2π2 α 2 (u 2 +v 2). Ë ÖØ ÑÓÖ Ü Û ÔÓÙ Ò ØÒ ÔÖØÖÓÑÒ Ò Ò Ü g(m, n) = m n h(m m, n n )f(m, n ) + w(m, n), ½¾º¾µ ÔÓÙ ÑÔÓÖ Ò Ö ÛÖôÒØ Ø Ò ÑØ f g ÔÓÙ Ø ÙÞÓÒØ Ô Ø ØÑ ØÛÒ f(.,.) g(.,.) ÒØ ØÓÕ g = Hf + w, ½¾º µ ÔÓÙ Ó ÔÒ H Ø ÙÞØ Ô Ø ÑØ Ø ÙÒÖØ ÔÓÖ ÑÓÙ h(.,.)º À ÔÓØ Ø ÙÒ ØØ ØÒ ÒØ ØÖÓ ØÓÙ ÒÛ ØÓ ØÐ Ø H Ø ÔÖÔÒÛ Õ ØÒ Ö ØÓÙ f Ô ØÓ ÔÖØÖÓÑÒÓ gº Ç ÔÒ H ÔÛ Õ ÓÖ ÒÛØÖÛ Ò ÑÔÐÓ Toeplitz. ÙØ ÑÒ Ø ÙÒ ØØ Ô ÔÒ Toeplitz Ñ ØÒ ØØ Ø ÜÖØ ØÛÒ ØÓÕÛÒ ØÓÙ ÑÒÓ Ô Ø ÓÖ ØÛÒ ØôÒº ÉÛÖ Ñ ÐÐÓÛ ØÛÒ ÔÖÔÒÛ Ü ô ÛÒ ÔØÒÓÒØ ØÐÐÐ ØÓÙ ÔÒ Ñ ÑÒ ÔÖÓÔØÓÙÒ ÔÒ Ù¹ ÐÓ Òô Ó ÔÒ H ÑØØÖÔØ ÑÔÐÓ Ùк À ÓÑ ØÓÙ ÔÒ H Õ Û Ü Ò N 2 N 2 Ò Ø ØÓÙ ÔÒ H = H(0) H(N 1) H(1) H(1) H(0) H(2)... H(N 1) H(N 2) 69. H(0),
ÔÓÙ Ó ÔÒ H(m) ÕÓÙÒ Ø ÑÓÖ h(m, 0) h(m, N 1) h(m, 1) h(m, 1) h(m, 0) h(m, 2) H(m) =..... h(m, N 1) h(m, N 2) h(m, 0) À ÐÐ ÙØ Ò ØÖ ÒÖÓÙ Ø ÔØÖÔ Ø ÕÖ ØÓÙ ÖØÓ ÑØ Õѹ Ø ÑÓ Fourier Ø Ð ØÓÙ ÔÖÓÐÑØÓ ÔÓØ Ø º ÓÒØ Ø ÙÒÕ Ð ØÓÙ ÒØ ØÖÓÓÙ ÔÖÓÐÑØÓ ØÒ ÔÓØ Ø ØÛÒ ÒÛÒº 12.1 ÒØ ØÖÓÓ ÐØÖÓ ÌÓ ÒØ ØÖÓÓ ÐØÖÓ h ( 1) ÓÖÞØ Û ÓÐÓÛ m n h ( 1) (m m, n n )h(m, n ) = δ(m, n) ½¾ºµ Ø ÔÓÖ Ø ÙÕÒØØ H ( 1) (u, v)h(u, v) = 1 ½¾ºµ ÇÔØ ÕÓÒØ ÑØØÖÝ ØÓÙ ÒØ ØÓÕÓÙ ÔÒ ÙÐÓ Ð ÑÔÓÖ Ò Ó Ñ Û ØÓÙ ÖØÓ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier ˆF(u, v) = G(u, v) H(u, v). (12.6) Å Ó ÑÒÓ Ø ÔÓ ÙÕÒØØ ÑÔÓÖ ÔÖ H(u, v) Ò ÑÒÞØ ØØ Ø³ ÖÕÒ Ò Ñ ÔÖÜ ØÓ ÒØ ØÖÓÓ ÐØÖÓ ÓÔÛ ÔÓØ Ò ÞØÑ Ù Ø Ñ ØÒ ÒÒÓ Ø ÒØÓÕ ØÓ ÖÙÓº ÓÒ ØÓ ÒØ ØÖÓÓ ÐØÖÓ ÙÔÖÕ ÔÖÓ ÓØ ØÑ Ø ÒØ ØÖÓ Ø ÔÖØÖ ÔÓ Ø ØÐ ØÒ Ò Ñ ÔÓÐÐÔÐ ÑÒ ÑÛ Ø ÔÓÖ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ø ÙÝÐ ÙÕÒØغ ÌÓ ÒÑÒÓ ÙØ ÑÔÓÖ Ò ÔÖÓÖ Ñ Ø ÕÖ Ò ÙÔÖØÓ ÐØÖÓÙ ÔÓÙ ÑÛ Ñô ØÒ ÙÖÒ Ø Òº 12.2 ÙÓ¹ÒØ ØÖÓÓ ÐØÖÓ À ÒØ ØÖÓ ØÓÙ ÔÒ H ½¾º µ ÔÖÓ ÙÔÓØ Ø Ò ØØÖÛÒº ÈÓÐ ÙÕÒ Ø Ø ÔÖØÖÓÑÒ Ò Ò ÑÐØÖ Ô ÙØ Ø ÔÓ ØÑÒº ÌØ ÒØ ØÖÓ¹ ÞØØ Ñ ØÒ ÒÒÓ Ø ÐÕ ØÓÔÓ Ø Ô Ø Hf g 2 º Ò Ó ÔÒ H T H Ò ÒØ ØÖÝÑÓ Ð Ò ˆf = (H T H) 1 H T g ½¾ºµ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó ÖØ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier, ˆF(u, v) = H (u, v)g(u, v) H(u, v) 2, H(u, v) 0. (12.8) Ï Ø Ó ØÓ ÔÖÐÑ ÕØ Ñ ØÒ Ù Ø ÔÖÑÒº À ÕÖ Ò ÔÒÐÔØÓ ÐÖÑÓÙ ÔØÖÔ ØÒ Ö Ø Ð ÕÛÖ ØÒ Ñ ÒØ ØÖÓ ØÓÙ ÔÒ H T H 70
ØÙØÕÖÓÒ Ò ØÖÔÓ ØÒ ÒØÑØôÔ ØÓÙ ÞØÑØÓ Ø Ù Øº Ë ÈÖÖØÑØ ÓÒØ Ó ÔÒÐÔØ ÑÓÓ ÔÐÙ Ñ Ø ØÒ ØÙÒ Ø Ð Ñ Ø ÙÞÙÓ Ð Ðк À ÔÖôØ Ò ÔØ Ö Ò ÔÓ Ö Ô Ø ØÖº Ã Ø Ó ÔÖÔØô Ò ÔÒÐÝ ÐØôÒ ØÒ ÔÓ ØÑÒ Ò ÙÜÒÓÒØ ÑÛ ØÙØÕÖÓÒ ØÓ ÖÙÓº À ÐØ Ø ÙÒÓÐ Ð ÔÖÓÔØ ØÒ Ó ÔÒÐÝ ØÖÑØ ÓÒ ÔÖÒ ØÒ ØÐ ÒØ ØÖÓ ØÓÙ ÔÒ H T H. 12.3 ÒÙÑÒ ÒØ ØÖÓ ËØÒ ÔÖÔØÛ ÔÓÙ Ó ÔÒ H T H Ò Ò ÒØ ØÖÝÑÓ ÑÔÓÖ Ò ÞØ Ð Ø ÓÔÓ ØÓ ÑØÖÓ Ò ÐÕ ØÓº ÒÖÑ Ø ØØ Ø ÒÙÑÒ ÒØ ØÖÓ ÔÓÙ ÙÑÓй ÞØ Û Ü f # = H # g. Ç ÒÙÑÒÓ ÒØ ØÖÓÓ ÒÓÔÓ Ø ÙÒ Moore-Penrose HH # H = H H # HH # = H # (HH # ) T = HH # (H # H) T = H # H Ç ÒÙÑÒÓ ÒØ ØÖÓÓ ÑÔÓÖ Ò Ö Ñ Ø Ó ØÛÒ ÞÓÙ ôò ØÑôÒ ØÛÒ ÒØ ØÓÕÛÒ ÒÙ ÑØÛÒ ØÓÙ ÔÒ Hº Ò H = UΛV T, Ñ U T U = I V T V = I ÔÓÙ Ó ÔÒ Λ ÔÖÐÑÒ Ø ÞÓÙ ØÑ ØÓÙ H {λ 1,...,λ R }º Â Õ ØØ H # = R r=1 1 λ r v r u T r, ÔÓÙ u r ÒØ ØÓÕ v r µ Ò Ó ØÐ ØÓÙ U ÒØ ØÓÕ V µº À Ð Ò f # = R r=1 1 λ r g, u r v r. ÌÓ ÔÖÐÑ Ø Ø ÔÖÑÒ ÒØÑØÛÔÞØ ÒÓôÒØ ØÓ ÔÖÔÒÛ ÖÓ Ñ ØÓÙ ÖÓÙ Ñ ÕÑÐ ÞÓÙ ØѺ 12.4 ÜÓÑÐÙÒ ³Ò ÒØ ØÖÓÓ ÔÖÐÑ ÛÖØ Ø Õ Ø ØÛ Ô Ð ÙÒ Ò ÙÔÖÕ Ð Ñ ÑÒ ÔÔÐÓÒ ÙØ Ð Ò ØÖº À ÑÓÓ Ø ÜÓÑÐÙÒ ÑØØÖÔ Ò ÔÖÐÑ ÔÓÙ ØØ ØÛ Ô Ù ÑÒ ÖÓÙ ³ Ò ÔÖÐÑ ÔÓÙ ÑÔÓÖ Ò ÐÙ ØÛ Ô Ð ÙÒº ÈÖÓ ØÓØÓ ÔÖÓ ØØ Ñ ÙÒ Ù Ø ØÓ ÖØÖÓ ÐÕ ØÓÔÓ ÔÓÙ ÖÞ ØÓ ÒØ ØÖÓÓ ÔÖÐѺ ÃØÐÐÐ ØØÓ ÙÒ Ù Ø ÓÖÞÓÒØ Ñ Ø Ó ØÛÒ ØÐ ØôÒ ÔÖô º À ÕÖ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ÑÖôÒ ÔÖôÛÒ ØÒ ÐÓÙ Ð ˆf = (H T H + µ(dx T D x + Dy T D y )) 1 H T g. 71
À ÔÖÑØÖÓ µ ÓÒÓÑÞØ ÙÒØÐ Ø ÜÓÑÐÙÒ º À ÕÖ ØÓÙ ÐÔÐ ÒÓ ØÐ Ø ØÒ Ü Ð ˆf = (H T H + µl T L) 1 H T g. À ÔÐÙ ÑÔÓÖ Ò Ò Ñ Ñ Ô Ø ÔÒÐÔØ ÑÓÙ ÔÓÙ ÓÒØ Ø ÈÖÖØÑØ Ñ ÕÖ ØÓÙ ÖØÓ ÑØ ÕÑØ ÑÓ Fourier. Ò Ò ÒÛ Ø Ø ÑØ ÕÓ Ø Ó Ø ÖÕ Ò P f (u, v)µ Ó ØÓÙ ÓÖÓÙ P w (u, v)µ ØØ ÑÔÓÖÓÒ Ò ÕÖ ÑÓÔÓÓÒ ØÒ ÔÖÓ ÖÑÓ Ø ÜÓÑÐÙÒ ÓÒØ ØÓ ÐØÖÓ Wiener 12.5 ÈÖÖØÑØ ˆF(u, v) = P f(u, v)h (u, v)g(u, v) P f (u, v) H(u, v) 2 + P w (u, v). 12.5.1 ÃØ ØÒ ØÙÒ Ø Ð ÃØ ØÒ ÔÒÐÝ k + 1 Ð Ø Ô ØÒ Ü Û ˆf (k+1) = ˆf (k) βh T (H ˆf (k) g) Ñ ˆf (0) = βh T gº À ÔÒÐÔØ ÙØ Õ ÙÐÒ Ñ ØÒ ÔÖÓ ÙÔ Ø ˆf (k) = β k (I βh T H) l H T g l=0 0 < β < 2 λ 2, max ÔÓÙ λ 2 max Ò Ñ Ø ÓØÑ ØÓÙ ÔÒ HT Hº 12.5.2 ÐÖÑÓ ØÛÒ ÙÞÙôÒ Ð ÛÒ ÔÐÓÔÓ ØÓÙÑ Q = H T H b = H T gº Ç ÔÒ Q Ò ÙÑÑØÖ Ø ÓÖ ÑÒÓ Ø ÛÒ K Kº Ó Ò ÑØ d 1 d 2 ÓÒÓÑÞÓÒØ Q¹ÓÖÓôÒ Ò d T 1 Qd 2 = 0º ÌÓ ÒÓÐÓ K Q¹ÓÖÓôÒÛÒ ÒÙ ÑØÛÒ ÔÓØÐ Ñ ÔÐÖ ØÓ ÕôÖÓ K Ø ÛÒº Â Ò ÔÓÑÒÛ K 1 f = α k d k. k=0 Ç ÐÖÑÓ ØÛÒ ÙÞÙôÒ Ð ÛÒ Ø ÙÞ ØÙØÕÖÓÒ Ø ÙÞÙ Ð Ø Ð ØÓÙ Ù ØÑØÓ ÖÑÑôÒ Ü ô ÛÒ ÙÐÒ K Öô Ñغ Ñ ÓÔÓÔÓØ ÖÕ Ð ˆf (0) ÙÔÓÐÓÞØ Ð d 0 = b Q ˆf (0) º k = 0,...,K 1 ÙÔÓÐÓÞØ Ò Ð ØÓÙ Ù ØÑØÓ Ñ Ñ ÖÛ ØÒ ØÙÒ Ø Ð ˆf (k+1) = ˆf (k) + α k d k, ÔÓÙ α k = (b Q ˆf (k) ) T d k d T k Qd º À Ò Ð Q¹ÓÖÓôÒ Ø ÔÖÓÓÑÒ Ò k ÔÓÙ β k = (Q ˆf (k+1) b) T Qd k d T k Qd. k d k+1 = b Q ˆf (k+1) + β k d k, 72
Σημειώματα Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας «Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων - Αποκατάσταση εικόνων». Έκδοση: 1.0. Ηράκλειο 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://www.csd.uoc.gr/~hy471/ Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.