a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.
|
|
|
- Αγάθη Βενιζέλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ã Ð Ó ½¾ ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ Ø³ ÇÑÓ Ø Ø ½¾º½ Ì Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓ٠س ÇÖ ÑÓ ÇÖ ÑÓ Ø ÓÑÓ Ø Ø Ù Ù Ö ÑÑÛÒ Õ Ñ ØÛÒº ÈÖ Ø ½ ÌÓ ôö Ñ º ÈÖÓØ ¾ ÇÑÓ Ø Ø ØÖ ôòûòº ÈÖÓØ ½ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ñ ØÛÒº ÈÖÓØ ½ ½ Ò ÐÓ Ñ º ½¾
2 ½¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ÈÖÓØ ½ ¾¾ ³ÇÑÓ Ù Ö ÑÑ Õ Ñ Ø º ÈÖ Ø ¾ Ë Ò ØÓ Ð Ó º ÈÖÓØ ¾ ¼ À ÖÑÓ ØÛÒ Ñ ôòº ÈÖÓØ ½ ½ ÓÖ º ½¾º¾ ÇÖ ÑÓ ½º ³ÇÑÓ Õ Ñ Ø Ò ÙØ ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ø ÛÒ ÒØ ØÓ Õ Ø Ô Ö ½ Ø ÛÒ ÒØ ØÓ Õ ÔÐ ÙÖ Ò ÐÓ º ¾º Å Ù Ð Ø Ø Ø ÑÒ Ø ÖÓ Ñ Ó Ð Ó Ø Ò Ð ÔÖÓ ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ØÑ Ñ Ò Ñ ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ØÑ Ñ ÔÖÓ ØÓ Ñ Ö Ø ÖÓº ¾ º ³ÍÝÓ Ô ÒØ Õ Ñ ØÓ Ò Ñ Ò Ô Ø Ò ÓÖÙ ØÓ ÔÖÓ Ø º ½ ΟΕυκλείδηςδενλέγειότιοιαντίστοιχεςπλευρέςείναιαυτέςπουυποτείνονταιαπότις αντίστοιχεςίσεςγωνίες. ¾ Καιπάλιηχρυσήτομή.Αν aείναιτοόλομήκοςκαι xτομεγαλύτεροτμήμα,έχουμε a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.
3 ½¾º º À ï ËÀ ÌÀË ÏÅ ÌÊïÁ Ë ÌÀË ÇÅÇÁïÇÌÀÌ Ë ½¾º ½¾ À Ø ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø ¹ Ø ÌÓ ôö Ñ ØÓÙ ÐÓ٠س ÕÒ Ö Ø ôó ÐÐ Ò ØÓ Ñ Ð Ó Ø Ù Ð ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø º ÈÖ Ø Ø³ ½º Ì ØÖ ÛÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ò ØÛ Ô ØÓ Ó ÝÓ Ò ØÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÐÐÓ ÔÛ Ó ØÓÙº ËÕ Ñ ½¾º½ (a) ÈÖ Ø Ø³ ½º (b) Ç ÓÖ Ñ ØÓÙ Ñ Ó º ³ ØÛ 1 = ABC 2 = ACD Ó ØÖ ÛÒ ØÛ Ô ØÓ Ó ÝÓº ËÕ Ñ ½¾º½ (a)µº Ì Ø Ñ Ò ABC : Ñ Ò ACD = Å Ó BC : Å Ó CD. Ø Ò Ô Ü ÔÖ Ô Ò Û Ó ÓÖ Ñ ØÓÙ ÐÓÙ ³º Ò HC = nbc Ø Ø ØÓ HCA Õ Ñ Ò n Ñ Ò BCA)º ÌÓ Ó Ô Õ Ö Ñ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø CD ØÓ CDAº ³ Ö nbc > mcd n ( Ñ Ò BCA) > m ( Ñ Ò CDA), ÐÔº ËÕ Ð Óº ÌÓ Ö Ó Ø Ò ÈÖ Ø ÙØ Ò Ø ÙÒ Ñ ÓÖ ¹ Ø Ó ÓÙ Ñ Ñ º ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ÔÖÓ Ø Ñ ÕÖÓÒ τους. Ωςσυνήθως,λέγοντας τρίγωνα και παραλληλόγραμμα οευθκλείδηςεννοείταεμβαδά
4 ½ ¼ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ÓÖÓÐÓ º ³ ØÛ a = BC b = CD Ó ØÛÒ ØÖ ôòûò Ñ Ó Ò ÝÓ hº Ì Ø 1 = 1 2 ah, 2 = 1 2 bh ÙÒ Ô Û 1 : 2 = a : b Ò ÔÖÓ Ò º ÍÔ ÖÕ ÑÛ Ò ÔÓÐ Ð ÔØ Ñ Ó Ø ÕÖÓÒ Ô ÖÓÙ Ø ÛÑ ØÖ ÙØ ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒº Ç Ô Ó Ô ÒÛ Ø ÔÓ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ ÐÐ ØÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò Õ Ø ÑÛ Ä Û Ø ÈÖ Ø ³ ½ Ó Ø ÔÓ ØÓ Ñ Ò ØÓÙ ØÖ ôòóù ÔÖÓ ÔØ Ñ Û Ô ØÓÒ Ø ÔÓ ØÓ Ñ Ò ØÓÙ ÓÖ Ó ÛÒÓÙº È Ö ÓÖ Þ ¹ Ñ Ø ÐÓ Ô Ò Ø ÓÖ Ó ôò Ò ÓÖ Ó ôò Ó Ñ ÓÙ a ÝÓÙ ½º ÒØ ¹ Ñ ØÛÔÞÓÙÑ ØôÖ ØÓ Ü ÖôØ Ñ Ì Ñ Ò Ò Ñ ØÖ Ñ Ò ÓÖ Ó ôò Ó Ø Ñ Ò Ò Ñ ØÖ Ñ Ò ØÑ Ñ µ à ÔÓ Ó Ø ÖÓÔÓ Ò ÑÓÒ Ó ØÑ Ñ OE Ý ÕÒ Ò ÔÖ Ñ Ø a Ø ØÓ ÓÒ ô Ø AB = aoe Ð AB : OE = a : 1. Ñ ÔÛ ÙØ ÙÒ Ø Ñ Ø ÛÖ ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒ Ø ÙÞ ¹ Ø ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³º À ÈÖ Ø Ø³ ½ Ò Ò Ñ Ô Ö Ô ÒÛº ËØ ÖÓÔÓ ôòø ØÓ OE Ñ Ò Ø Ø ÖÓÔÓ Ø ØÓ ÑÓÒ Ó Ø ØÖ Û¹ ÒÓ ØÓ ÓÔÓÓ ÒØ ØÓ Õ Ñ Ò Ñ ØÖÓÙµ ½º Å ØÖ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ Ñ Ò Ñ ØÖ ØÓÙ Û ÔÓÐÐ ÔÐ Ó ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ Ø ØÖ ôòóùº Ç Ù ÓÐ Ø Ò Ø³ ½ ÔÖÓ ÔØÓÙÒ Ô Ø ÖÖ Ø ØÑ Ñ Ø º Ï ÙÒ Û Ó Ù Ð ÛÔ Ô Ö ÙØÓ Ó Ø Ò Õ Ò Ö Ø Ò ÒÒÓ Ñ ÕÖ Ø Ñ º ËØÓ ËÕ Ñ ½¾º½ (b) Ð ÔÓÙÑ ÔÛ Ò ÖÖ ØÓ ØÑ Ñ a Ð Ñ Ò Ñ ÒÓ Û Ö Ó Ð Ñ ØÛÒ m/n Ó ØÓ Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ó A ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ Ø ØÖ ôòóùº ½¾º Ì ÛÖ Ñ Ø Ø ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø ÌÓ Ñ Ð ô ôö Ñ Ø³ ½ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Û¹ Ö Ñ ØÓ ØÛÒ Ò Ð ÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ ÔÓÙ Ò ØÓ ÓÐ Ö Ð Ó Ø ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø º Δηλαδή,νέτρησητωνπλευρώνσημαίνειτοπέρασμααπότο2 διάστατομέτροστο1 διάστατομέτρο. ΗΠρότασηστ 1μεάλλαλόγιαείναιοπρώτοςαξιοσημείωτοςπρόλογος κατασκευήςμέτρωνγινομένωνστηθεωρίαμέτρου.
5 ½¾º º ËÁÃï  ÏÊïÀÅ Ì ½ ½ ÈÖ Ø Ø³ ¾º Ò ØÖ ÛÒÓ Õ Ù Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ñ Ô Ø ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ø Ø Ø ÑÒ Ò ÐÓ Ø ÐÐ ÔÐ ÙÖ º Ã Ò Ó ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ØÖ ôòóù ØÑ Ó Ò Ò ÐÓ Ù ÔÓÙ ÒôÒ Ø Ñ ØÓÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø ÐÓ Ô ÔÐ ÙÖ º Ø Õ Õ Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ò ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ð Û Ø ÔÖÓ Ø Ò ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò º ËÕ Ñ ½¾º¾ ÈÖ Ø Ø³ ¾º Ô Ü º ÕÓÙÒ ÙÒ Ó º ( ) ³ Ö ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º Ø ÕÓÙÒ Ø Ò Ö ÓÒØ Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒº à ØÓ Ò Ò ÐÐÓ ØÖ ÛÒÓº Ì Ñ ÕÓÙÒ ÔÖ ØÓ Ó Ñ Ó ØÓÒ Ó Ð Óº ³ Ö ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÔÛ ØÓ ÔÖÓ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º ÐÐ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ØÖ ÛÒÓ ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ö ÓÒØ ØÛ Ô ØÓ Ó ÝÓ ÔÓÙ Ø Ô ØÓ Ø Ø Ò Ò ØÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÐÐÓ ÔÛ Ó ØÓÙº Πρότασηα 38. Πρότασηε 7. Πρότασηστ 1. ØÓÙ ÓÙ Ð ÓÙ
6 ½ ¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò Ö ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ Ø Ò º µ ³ ØÛ Ø ÕÓÙÒ ØÑ Ó ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò ÐÓ Ñ Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ø Ò Ò ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò Õ ÙÒ º Ä Û Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º ËÙÒ ÕÞÓÙÑ Ñ ÕÖÓÒ ÓÖÓÐÓ Ù ÓÐ Ò : = :, : = : Ô Ø Ò Ø³ ½º ³ Ö : = :. ³ÇÑÛ Ø Ø ½¼ = Ø ØÖ ÛÒ Ò Ø Ò º ³ Ö ½½ º ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³ º À Ô Ö ØÛ Ò ÒÛ Ø Û ôö Ñ Ø ÕÓØ ÑÓÙ ËÕ Ñ ½¾º µ ÈÖ Ø Ø³ º Πρότασηε 11. ½¼ Πρότασηε 9. ½½ Πρότασηα 39.
7 ½¾º º ËÁÃï  ÏÊïÀÅ Ì ½ Ò ÕÓØÓÑ ÛÒ ØÖ ôòóù Ø ÑÒÓÙ Ø Ò ÛÒ Ø ÑÒ Ø Ø ØÑ Ñ Ø Ø ÕÓÙÒ ØÓÒ Ó Ð Ó Ñ ÙØ Ò ØÛÒ ÐÓ ÔôÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóùº Ã Ò Ø ØÑ Ñ Ø Ø ÕÓÙÒ ØÓÒ Ó Ð Ó Ñ ÙØ Ò ØÛÒ ÐÓ ÔôÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ù Ô Ø Ò ÓÖÙ ÔÖ Ø Ò ØÓÑ ÕÓØÓÑ Ø Ò ÛÒ ØÓÙ ØÖ ôòóùº Ô Ü º µ Ö Ø º ³ Ö º ³ Ö : = : = :. ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó ÔÓ Ò Ø Ô Ö ÑÓ º ÈÖÓØ» º ËÕ Ñ ½¾º ÈÖÓØ Ø³» º Ç ÈÖÓØ» ÙÒÓÝÞÓÒØ ØÓ Ô Ö ØÛ ÙÑÔ Ö Ñ º ³ ØÛ Ó ØÖ ÛÒ Ñ ÔÐ ÙÖ a, b, c r, s, t Ñ ÛÒ α, β, γ ρ, σ, τ ÒØ ØÓ Õ º Ì Ø α = ρ} {b : c = s : t β = σ γ = τ c : a = t : r. a : b = r : s Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø Ü³ Ø ØÓ ÔÓ Ô Ø ØÖ Õ ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ð º ÈÖÓ ÔØ Ø ØÓ Õ Ñ ÔÛ Ö Þ Ø Ñ Ø ÛÒ µ Ö Þ Ø Ñ Û Ò ÐÓ ôòº ËØ Ò ÔÓÕ ÔÓÙ Ø ÖÖ Ø ØÑ Ñ Ø Ø Ò ÒÛ Ø Ó Ð Ó ØÛÒ
8 ½ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ØÑ Ñ ØÛÒ Ö ÞÓÒØ Ò Ñ Ö ÑÓ ÙÒ Ôô Ø Õ Ñ Ø ØÛÒ ØÖ ôòûò ÐÐ ØÛÒ Õ Ñ ØÛÒ ÔÓÙ ÔÓØ ÐÓ ÒØ Ô ØÖ ÛÒ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ô Ö Ö ¹ Ó Ò Ñ Ö ÑÓ º ½¾ ³ÇÑÛ Ø ËØÓ Õ Ò ÒÓÙÒ Ñ Ø Ù... Ç ÈÖÓØ» Ò ØÓ ÔÖôØÓ Ö Ø Ö Ó ÓÑÓ Ø Ø º Ç ÈÖÓØ» Ò ØÓ Ø ÖÓ Ö Ø Ö Ó ÓÑÓ Ø Ø º ÈÖÓØ» º α = ρ } { β = σ b : c = s : t c : a = t : r. ÌÓ Ô Ö ØÛ Ò ÒÛ Ø Û Â ôö Ñ ØÓÙ Ù ÜÓÙº ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³  ôö Ñ ØÓÙ Ù ÜÓÙº ÈÖ Ø Ø³ Ò ÓÖ Ó ôò Ó ØÖ ÛÒÓ Õ ØÓ Ô Ø Ò ÓÖ ÛÒ ÔÖÓ Ø Ø ØÖ ÛÒ ÖÛ Ô Ø Ò ØÓ Ò Ø Ó ÑÓ ÔÖÓ ØÓ ÐÓ ØÖ ÛÒÓ Ñ Ø Ü ØÓÙº À Ô Ü Ò Ñ Ñ Û ØÛÒ Ö Ø ÖÛÒ ÓÑÓ Ø Ø º Å Ñ ÙÒ ¹ Ô Ø ÈÖ Ø Ø³ Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ ØÓ ÔÛ Ö ÓÙÑ ØÓÒ Ñ Ó Ò ÐÓ Ó Ó ØÑ Ñ ØÛÒº ÈÖ Ø Ø³ ½ º Æ Ö Ó Ñ Ó Ò ÐÓ Ó Ó Ó ÒØÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒº ½¾ Πυθαγόρας:ταπάνταείναιαριθμός.
9 ½¾º º ËÁÃï  ÏÊïÀÅ Ì ½ ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³ ½ Ö ØÓÙ Ñ ÓÙ Ò Ð ÓÙº Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ Ø Ñ Ù ÖÓÙÑ ØÓ Ñ Ð Ó Ñ Ñ ØÖÓ º ³ ØÛ Ø Ø Ò ØÓ º Ô ÛÒ Ò ÓÖ ÕÓÙÑ Ø ÑÓ ØÖ ÛÒ Ø Ø³ º ³ Ö : = :. Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ ÙØ ØÓ Ñ Ó ÔÛ Ó Ø ØÖ ÛÒ Ñ Ø ØÖ ÔÐ ÖÓÙ Ø ÈÖ Ø ³ ½ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ò Ò Ø ØÖ ¹ ÔÐ ÙÖÓ Ø Ø Ö ÓÙÑ ØÓÙ Ñ ÓÙ Ò ÐÓ ÓÙ Ó ÓÕ ôò ÔÐ ÙÖôÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ÞÓÙÑ Ø Õ Ñ ÛÒ Ñ Ø ÈÖÓØ ³ ½»½ º ½ Ç ÙÔ ÐÓ Ô ÔÖÓØ ØÓÙ Å ÖÓÙ ØÓÙ ÐÓ٠س ÕÒÓÙÒ ÔÛ Ø ¹ ÑÒÓÙÑ ØÑ Ñ ÑÓ Ñ Ó Ò Ø ØÑ Ñ ÒÓ ØÑ Ñ ÔÛ Ö ÓÙÑ ØÓÒ ØÖØÓ ØÓÒ Ø Ø ÖØÓ Ò ÐÓ Ó Ó ÒØ ØÑ Ñ Ø º ½ ΟΑριστοτέληςήξερεκαιτιςδύοαποδείξεις.ΛέγειστοΠερίΨυχής: Γιαπαράδειγμα,τιείναιο τετραγωνισμός ; Ηκατασκευήενόςτετραγώνουίσου(σε εμβαδόν)μεδοθένορθογώνιο. Εναςτέτοιοςορισμόςείναιηπαράθεσητουσυμπεράσματος, ενώ,εάνπείτεότιοτετραγωνισμόςείναιηεύρεσητουμέσουαναλόγου,δηλώνετετηναιτία τουπράγματοςπουορίστηκε.
10 ½ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ Ò ÐÓ Ñ ÌÓ Ö Ó ôö Ñ ØÓÙ Ñ ÖÓÙ Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ç Ù Ð ÔÛ Ò ÕÖÓÒÓ Ù Ö Þ Ø Ø ÕÒ Ñ Ö Ø Ô Ü Ò Ð ÑÑ ÈÖ Ø Ø³ ½ µ ÔÖÓ Ø ÔÓ ÙÑÔÐ ÖôÑ Ø ÈÖÓØ Ø³ ½ ½ µº ÌÓ ËÕ Ñ Ø ³ Ô Ò Ñ ÒÞ Ø º ÌÓ Å ÖÓ Ò Ü ÖØ Ø Ô Ø ÔÖôØ Ó Ñ Ö ØÓÙ ÐÓ٠سº Ø Ò Ô Ü Ó Ù Ð Ô ØÖ Ø ÖÞ Ø Ø³ ½º È Ö ØÓÙÑ Ø Ø³ ½ ½ Ö Ó Ñ Ø Ò Ô Ü º ÈÖ Ø Ø³ ½ Ë Ó ôò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ó ÔÐ ÙÖ ÖÛ Ô Ø ÛÒ¹ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ Ó ôò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ø ÓÔÓ Ó ÔÐ ÙÖ ÖÛ Ô Ø ÛÒ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ Ò º ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ô Ü º ÌÓÔÓ ØÓ ÒØ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ø ô Ø Ø Ñ À Ò Ò ÙÒ Ù º È Ö Ø Ö Ø ØÓ ËÕ Ñ ½¾º Ø ÙÔ ÖÕ Ò Ö ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓº ( ) ³ ØÛ Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ò º ÐôÒÓÒØ Ø Ñ Ñ Ô Ö Ò ÔÖÓ ÔØ µ = À µ µ : µ = À µ : µ
11 ½¾º º Á ÄïÁÇ ËÌï Åï ÊÇË ½ ÔÓÙ Ñ ØÓÒ ÒÛ Ø Ù Ð Ó ÙÑ ÓÐ Ñ Ò ØÓ Ô ÒÛ Ö Ø Ö Ô ¹ Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓº ÉÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØôÖ Ø Ò Ø³ ½ µ : µ = :, À µ : µ = : À. ³ Ö : = : À, Ó ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ º ( ) ÒØ ØÖ ÓÙÑ Ø Ñ Ø ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÙ Ñ ÖÓÙ Ø Ô Ü º ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ò Ø Ö Ù Ò Ò ÐÓ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ö Ò Ó Ñ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ñ Ò ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ö Ò Ó Ñ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ñ Ó Ø Ö Ù Ò Ò ÐÓ º ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ô Ü º ËÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ a, b, c, d Ø Ñ ØÛÒ Ù ôò Ñ ad bc Ø Ñ ØÛÒ ÓÖ Ó ÛÒÛÒº Ø Ø Ò ÔÓ Õ Ø a : b = c : d ad = bc. Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø ÙØ Õ Ò Ñ ÔÖÓ Ò Ò Ø ÔÛ Ø ÈÖ Ø Ø³ ½ º
12 ½ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ Ç Ó ÈÖÓØ Ø³ ½»½ Ñ Ð ÓÙÒ Ô Ø Ò Ó Ó ôò Ô ¹ Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ò Ñ Ô Ö Ñ ÒÓÙÒ Ñ Ò ÐÐ ÜÓÙÑ Ø ÛÒ Ö ØôÒØ Ò ÐÐÓÛØ Ø ÔÐ ÙÖ º ÍÔ ÖÕÓÙÒ Ó Ñ ÛÖ Ñ Ø Ô Ö ÓÖ Ó ÛÒÛÒ ÓÑÓ Ø Ø ØÓ Å ¹ ÖÓ ØÓÙ ÐÓ٠سº Ç Ù Ð Ø Ò ÐÐ ØÓ Å ÖÓ Ø ¹ Ò ÔØ ØÓ ÒØ Ñ ÒÓ ØÛÒ ÓÑÓÛÒ Õ Ñ ØÛÒ ØÓ Å ÖÓ º ÈÖ Ø Ñ Ò Õ Ó Ñ Û ÓÑ Ò Ø Ò ÓÑÓ Ø Ø Ô Ö ÓÙÑ Ø ÈÖÓØ Ø³ ¾ ¾ ÒØ ØÓÙ ÒØ Ñ ÒÓÙ Ø ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÖ Ó ÛÒÛÒº ËÙÑ ÓÐÞÓÒØ Ø Ò ÓÑÓ Ø Ø Ñ ÕÓÙÑ ËÕ Ñ ½¾º ÈÖÓØ Ø³ ¾»¾ º ÈÖ Ø Ø³ ¾ º T AC AT TC AC. ÈÖ Ø Ø³ ¾ º AT AC T AC. ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ ³ÇÑÓ Ù Ö Ñ¹ Ñ Õ Ñ Ø ÌÓ ÔÖôØÓ ÔÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ó Ù Ð ØÓ ØÓ ØÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÐÓ٠س Ò Ò Ü ØÓ ÔÛ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ø Ù ØÓ Ò ÑÓ ØÑ Ñ Ø º ÈÖ Ø Ø³ ½ ºµ ³ ÕÓÒØ Ü Ð Ø Ò Ô ÖÜ ÓÑÓÛÒ Õ Ñ ØÛÒ ÔÖÓÕÛÖ ØÓ ÔÐ ÓÒ Ñ ÒØ ôö Ñ ØÓ ÓÔÓÓ ÙÒ Ñ Ñ Û ÔÖÓ Ø Ò ÓÑÓ Ø Ø º
13 ½¾º º Á ÄïÁÇ ËÌï Åï ÊÇË ½ ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ì ÑÓ ØÖ ÛÒ Ò ØÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÐÐÓ ØÓÒ ÔÐ Ó Ð Ó ØÛÒ Òع ØÓ ÕÛÒ ÔÐ ÙÖôÒº ËÕ Ñ ½¾º½¼ ÈÖÓØ Ø³ ¾»¾ º Ç ÔÐ Ó Ð Ó ÓÖÞ Ø ØÓ ÐÓ ³ ÇÖ Ñ ³ º Ò a : b = b : c Ø Ø ØÓ a : c Ð Ø Ó ÔÐ Ó Ð Ó ØÓÙ a : bº Å ÕÖÓÒÓÙ ÖÓÙ Ò a : b = b : c = k Ø Ø a : c = (a : b) (a : b) = k 2 º À ÈÖ Ø Ø³ ½ Ñ Ð ÐÓ Ô Ò Ø Ò Ó ÔÐ ÙÖ Ó ÓÑÓÛÒ ØÖ ôòûò ÙÒ ÓÒØ Ñ Ò Ô Ö ÓÒØ ÓÑÓ Ø Ø k Ø Ø Ø Ñ ØÓÙ ÙÒ ÓÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö ÓÒØ k 2 º ÙØ ÖÑ Þ Ø Ø Ò Ô Ö ØÛ ÈÖ Ø Ø³ ¾ Ô Ø Ò ÐÐ ÔÐ ÙÖ Ü ôò Ø Ñ Õ a : c = k 2 Ø Ñ Þ Ø Ø Ó Ô Ö ÓÒØ k Û Ó Ñ Ó Ò ÐÓ Ó ØÛÒ a cº ËØ Ò Ô Ü Ø Ø³ ½ Ó Ù Ð Õ ÖÞ Ø Ñ Ñ ØÖ Ø Ò ÐÓ Ø Ù Û ØÓÙ Ò ÑÔÓÖ Ò ÖÑ ØÓ Ñ Ð ô ôö Ñ Ø³ ½ Ò Ô Ö Ø Ñ º Ô Ò Ð Ñ ÒÓÙÑ Ø Ô Õ Ö Ñ Ø ØÓÙ Ù Ð ÐÐ Ô Ö ØÓÙÑ ØÓ ËÕ ¹ Ñ ½¾º½¼ Ò ÒÓÙÑ Ø Ò Ð Ó Ô Ó Ò Ñ Ø Ò ÒÒÓ Ø ÓÙÑ Ò Ñ Ó Ó Ñ ÓÐ Ø B Eµº Ò Ñ Ñ Ø Ò β = ǫ Ø Ò AB : BC = DE : EF. À Ò ÐÐ AB : DE = BC : EF.
14 ½ ¼ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ Ã Ø Ù ÞÓÙÑ ØôÖ ØÓ Ñ Ó G Ø Ò BC Ó ØÛ ô Ø ½ ÈÖÓ ÔØÓÙÒ Ó ÙÑÔ Ö Ñ Ø AB : DE = EF : BG. ½º ÌÓ Ñ Ò ØÓÙ ABG Ò Ó Ñ ÙØ ØÓÙ DEF ½ ¾º BC : EF = EF : BG Ö Ó BC : BG Ò Ó ÔÐ Ó Ð Ó ØÓÙ BC : EF º ÌÓ ÔÓØ Ð Ñ ÔÖÓ ÔØ ØôÖ Ô Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ (ABC) : (DEF) + (ABC) : (ABG) = BC : BG. À Ô Ñ Ò ÈÖ Ø Ø³ ¾¼ Ô Ø Ò ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø³ ½ Ø ¹ ÑÓ ÔÓÐ ÛÒ Ñ Û ØÖ ÛÒ ÑÓ º À ÈÖ Ø Ø³ ¾½ ÕÒ Ø Õ Ø ÓÑÓ Ø Ø Ò Ñ Ø Ø º ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ À ÖÑÓ ØÛÒ Ñ ôò ËÙÞ Ø Ñ ØÓ ÐÓ ³ Û Ø ÈÖÓØ ³» ØÓ ÔÛ ÖÑÓ ØÛÒ Ñ ôò Ø ÖÕ ÐÐ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔÓÖ Ò Ñ Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ø ØÖ ÛÒ ôò Ü ô ÛÒº ÒÛÖÞÓÒØ Ø Ò ÙÞ Ø ÓÙÑ Ø Ò Ò Ù ØÓÙ Ô Ø Ø ØÖ ÛÒ Ø ÑÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ò Ø Ø ÈÖÓØ Ø³ ¾»¾ º ½ Ç Ñ Ó Ó ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ò ØÓ ÐÓ ³ ÕÖ Þ Ø Ò ØÖÓÔÓÔÓ ¹ Ó Ò Ð Ó Ø Ò Ø Ô Ü Ø Ô Ö ØÛ ½ Πρότασηστ 11. ½ Πρότασηστ 14. ½ Ξανατονίζουμεσεαυτότοσημείοτηναέναηδιαμάχηιστορικώνκαιμαθηματικώνπερί τουανταελληνικάμαθηματικάήτανκαθαράγεωμετρικάόπωςυποστηρίζουνοιπρώτοι,ή, επηρεασμένααπότιςβαβυλωνιακέςμεθόδους,δενήταντίποτεάλλοαπόάλγεβραμεταμφιεσμένησεγεωμετρίαόπωςυποστηρίζουνοιδεύτεροι.αυτόπουείναιγεγονός,είναιότιενώ οιφιλόλογοιδίδουνιδιαίτεροβάροςστηνέκφρασηκαιστηφόρμα,οιμαθηματικοίτεινουννα θεωρούνταπάνταυπότοβλέμμακάποιουισομορφισμού.καιοιδύοόψειςείναιαπαραίτητες γιατηνκατανόησητωναρχαίωνμαθηματικώνκαικατ επέκτασητωννεώτερων.
15 ½¾º º Á ÄïÁÇ ËÌï Åï ÊÇË ½ ½ ÈÖ Ø Ø³ ¾ º Æ Ø Ù Ø Ò ØÓ ÙØ Õ Ñ ÑÓ Ó Ñ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ Ó Ñ ÐÐÓ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ º ËÕ Ñ ½¾º½½ ÈÖ Ø Ø³ ¾ º ÒØ ØÓÙ ØÖ ôòóù ÔÓÙ ÛÖ Ó Ù Ð Û ØÓ ÔÖôØÓ Ó Ò Õ Ñ ô Ô ÖÓÙÑ ÕÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ABCD ÔÛ ØÓ ËÕ Ñ ½¾º½½º ³ ØÛ Ø ØÓ Ó Ò Ñ Ò Ò Ó Ñ Qº Å Û Ø ³ ÖÑ ÞÓÙÑ ØÓ Q Ø Ò Ù BCº Å Ø Ò Ø³ ½ Ø Ù ÞÓÙÑ ØÓÒ Ñ Ó Ò ÐÓ Ó BH ØÛÒ AB BF º ½ ÌôÖ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó AKMN Ñ ÔÐ ÙÖ AK Ñ BH Ò ÑÓ Ó ÓÑÓ ØÓ Ñ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ABCD Õ Ñ Q Ñ ÛÒ Ñ Ø Ø³ ½»¾¼º Ç ÈÐÓ Ø ÖÕÓ ÑºÉºµ Ó Ù Ö ØÛÒ ÛÒ È Ö ÐÐ ÐÛÒ ÛÖÓ Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ¾ Û Ñ Ñ ÒØ Ò Ù ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓº Ö Ø ËÙÑÔ ØÓÙ Ò Ñ Ø Ô Ö Ø Ö ÛÑ ØÖ ÛÖ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ØÓ ÐÓÙ Ó Ó ÒØÛÒ Ó Õ Ñ ØÛÒ Ò ÖÑÓ Ø Ò ØÖØÓ Ó Ñ ØÓ ÔÖôØÓ ÑÓ Ó Ñ ØÓ ÐÐÓº ËØ Ò Ñ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÙØÓ Ð Ø Ø Ù Ò Ó ÈÙ Ö Ó Ò ÒØÖÖ Ø ØÓ ØÓ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ò Ô Ó Ð ÔØ Ô Ó Ô Ø ÑÓÒ Ô ØÓ ôö Ñ ÔÓÙ ÔÓ Ò Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ù¹ ÔÓØ ÒÓÙ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒº ½ ½ Αλγεβρικά,αυτόσημαίνειότιβρίσκουμετηρίζα BH = AB BF,τοοποίοθαχρησιμοποιηθείστιςστ 28/29. ½ ΠράγματιτοΠυθαγόρειοΘεώρημαμπορείναδιαβαστείκαιωςηλύσητουεξήςπροβλήματος:Νακατασκευαστείτετράγωνο,ίσοπεριεχομένουμεέναάλλοσχήμα,τοοποίοστην περίπτωσηαυτήείναιδύοτετράγωνα.
16 ½ ¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ
½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾
Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÇÖ Ó ÛÒÛÒ º½ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÌÓ ÐÓ ³ Ò ÒØÓÑÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ñ ÒÓ ½ ÔÖÓØ Ó ÓÖ ¹ ÑÓ Ø Ò ÖÕ º ËØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÔÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ÓÖÓÙ ÙÒ Ù ÑÓ ÓÖ Ó ÛÒÛÒ Ø ØÖ ôòûò ÓÙ Ô
Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει
Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ È Ö ÐÓÙ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ½½ ÈÖ Ø ½ ÈÛ Ö ÓÙÑ ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÈÖÓØ ¾ ½ ÉÓÖ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ º ÈÖÓØ ½ ½ ÔØ Ñ Ò º ÈÖÓØ ¾¼ ¾¾ ½ ÛÒ ØÑ Ñ Ø ÐÓÙ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÐÓÙº à ï Ä ÁÇ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ¾ ÓÑ ¹ Ì Ø ÖØ»»¾ ÃÙ ÐôÑ Ø ÔÖ Ü ÛÒ ¹ ËØÓ Õ ô ÑÓÒ Ö Ñ Ø»¾¾ Ö Ñ Ø ÔÖ Ü ÔÓÙ Ø Ð Ø Ò Ò ÀºÍº Ò À ÔÖ ¾ Ù ôò
Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º ½ º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º
È Ö Õ Ñ Ò Á ³ Ò ÖÜ Ñ Ñ ØÓ ÁÁ ÖÕ Ñ Ñ Ø ½ Å Ñ ½ ½º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º º º º º º
º º½ Destination-Sequenced Distance-Vector (DSDV) º º º º. º º Temporally Ordered Routing Algorithm (TORA) º º º
È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖôÒ ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ ÌÑ Ñ Å Õ Ò ôò ÀÐ ØÖÓÒ ôò ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÔÐÛÑ Ø Ö Ð Ö ÑÓ Ô Ó ÒÛÒ Ad-hoc Ã Ò Ø ØÙ È Ò ôø à ÒÓ Å ¾½¾ Ô Ð ÔÛÒ ÉÖ ØÓ ÖÓÐ È ØÖ ÁÓ Ð Ó ¾¼¼ c Copyright È Ò ôø à ÒÓ ÁÓ Ð Ó ¾¼¼
p din,j = p tot,j p stat = ρ 2 v2 j,
ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Öº Ò ÍÔÙØ ØÚÓ Þ Ð ÓÖ ØÓÖ Ú ¹ Å Ò ÐÙ Í Å Ò ÐÙ Ø ÓÖ ÔÖÓÙÕ Ú Ù ÒÓ Ñ ÒÞ ØÖÙ Ò Ø Ü ÚÓ ÐÙ º Ç ÒÓÚÙ Ø ÞÒ Õ Ò ÖÒÙÐ Ú Ò Õ Ò Ò Õ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÖÓ¹ Ö ÕÙÒ ØÖÙ Ò ÓØÔÓÖ º ÅÒÓ Ó Ø ÓÖ ÞÒ ÒÓ Ñ ÒÞ ØÖÙ ÑÓ Ù ÔÖÓÚ
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης.
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Πειράματα Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1
![M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1](/thumbs/59/43190514.jpg "M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1")
Å Ü Ò ÙÐØ Ø ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Ã Ø Ö Þ Ñ Ò Ù ÐÙ Ð Ò Ö Ëº Ó Ì Ä ÈÊÇÊ ÉÍÆ Æ ÃÁÀ ËÌÊÍ ËÌÁ ÁÎÇ ÄÍÁ Á ÆÌÊÇÈËÃ Ê Ä Á κ = 1.4µ ½ ½ ÁÞ ÒØÖÓÔ Ö Ð ÃÓÖ Ø Ò ÑÓ Þ Þ ÒØÖÓÔ Ó ØÖÙ ½ Ú ÔÓÑÓ Ù Ò ÜÙ ØÓØ ÐÒ Ú Ð Õ Ò Ø Ø
S i L L I OUT. i IN =i S. i C. i D + V V OUT
Ç ÒÓÚÒ ÓÒÚ ÖØÓÖ ÈÓ Ó ÒÓÚÒ Ñ ÔÖ Ñ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ñ ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ù ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ù ÓÓ Ø Ù ¹ ÓÓ Øº ËÚ ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ù Ö Ø Ö Ò Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ ÖÓ Ñ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø Ú Ù Ò ÓÒØÖÓÐ Ò ÔÖ ÒÙ Ó Ù Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÒÞ ØÓÖº Æ Ò Ó ÓÚ ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÌÅÀÅ Ä ÉÇÍ Controlµ Ã Ì ÉÏÊÀÌ Ë Registersµ º Bussesµ ÃÍÃÄÇÁ ÅÀÉ ÆÀË Machine Cyclesµ Á ÍÄÇÁ ØÑ Ñ Ð ÕÓÙ
f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº
![f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº](/thumbs/103/160734174.jpg "f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº")
ÇÐÓ Ð ÖÛ º½ Å ØÖ Ñ ËÙÒ ÖØ È Ö Ø Ö º½ µ Å ÙÒ ÖØ f : X Y Ñ Ø Ü Ñ ÒôÒ ÙÒ ÐÛÒ Ô ½ Ñ Ô Ò f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. À Ô Ò ÙØ Ø Ö ÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Ù Ö Ø Òô Ù Ö Ø ØÓÑ º µ Ò B P(Y ) Ò σ¹ Ð Ö Ó Ó Ò
ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ
ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ ËÓÑÑ Ö Ò Ò ÖÞ Ù Ø Ñ Ø Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ë ØØ Ò ÔÙÖ µ ½ ÒÐ
v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9
![v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9](/thumbs/58/41284213.jpg "v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9")
Á ¹ È ÖÙÔ ½º ÖÞ ÚÓÞ Ö ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 1 = 45,0 m/s ÔÖÙ ÒÓÑ ÔÖ Ð ÞÙ Ó ÔÙØ Ñ ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò ÔÖ Ú ÔÖÙ Ö ÙØÓÑÓ Ð ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 2 = 15,0 m/s Ó Ò Ð º Í ÓÐ Ó Ö Ò ÚÓÞ Ñ ØÙ ÞÚÙ ÙÕ Ø ÒÓ
Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼
Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼ ¾ È Ö Õ Ñ Ò ÈÖ ÐÓ Ó i ½ Ð Ö ÑÓ Ë ÐÑ Ø ½ ½º½ ÔÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ö ÑÓ Ù Ó ô º º º
tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α
½º ÙÒ Ð ØØ ½º Ò Ò Å Ò Ò M 1 = {1,4,9,16,25,36,49,64,...}, M 2 = {4,6,8,9,10,12,14,15,...}. µ Ö Ò Ë M 1 ÙÒ M 2 ÙÖ Ò Ò Ö Ò Ø ÓÖÑ Ð Ù º µ Ò Ë M 1 M 2 Òº µ Ò Ë M 1 \M 2 ÙÒ M 2 \M 1 Òº µ Ï Ú Ð ÚÓÒ Ò Ò Ö Ú Ö
Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί νόμοι
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί
Z
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö ÈÖ ÑÓö È Ø ÖÐ Ò Ë ËÚ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ê ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú ÌÇÅËÃÇ Â ÊÇ º½ ÍÚÓ Î Ø Ñ ÔÓ Ð Ú Ù ÓÑÓ Ù Ú Ö Ð Þ Ó ÒÓÚÒ Ñ Ð ØÒÓ ØÑ ØÓÑ Öº ÈÓÞÒ Ú Ò Ø Ð ØÒÓ Ø ÔÓÑ Ñ ÒÓ Þ Ö ÞÙÑ Ú Ò Ñ Ò ÒÓ Ø Ò
v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w
Íö Ú Ò ÔÖ Ø Ô Ö ÔÖ ØÝ Ô Ð Ùö Ú ÒÝÒ ÝÖ Ð ÓØ Ó µ º ºÃÐ ØÒ Ë ÓÖÒ Þ ÔÓ ÒÐ Ø Ó ÓÑ ØÖ ½ ÁÞ Ø Ð ØÚÓ Æ Ù Å Ú º ÖÙ µº Ã Ø Ùö Ú Ò ÝÖ Ú Ø ÒÅ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» Ø ÖÓ» ¾» л Ò Ó» ÓÑ ÙÞ º ØÑ ½ Î ØÓÖ Ð Ö ÒÅ Ö Ú ØÓÖ ÒÅ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 2 ËÕÑØ Ñ ÒØÐÝ ÒÛÒ 2.1 ËÕÑØ Ñ ÒÛÒ
N i. D i (x) = 1 N i. D(x, x ik ). (3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8) (4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2). k=1. j=1
Å Ì Å ÌÁà Á Î µ ÍÔÓÖ Å Ø Ñ Ø Á Ú Ð ØÖÓØ Ò ÚØÓÖ ØÙÑ Å Ð Ø À Ò Ú Ù Ø ¾¼¼ ½ âì ÎÁÄËà ÎÊËÌ ½º Ê ÎÊâ Æ ΠÇÊ Î ÃÓ ö Ð ÑÓ Ò Ö ÞÚÖ Ò ÚÞÓÖ ÑÓ ÒÓ Ö ÞÚÖ Ø Ø ÓÞº ÓÔÖ Ð Ø ÞÖ ÙÒ ÑÓ Ö Þ Ð Ø ÚÞÓÖ Ó Ú ÞÒ Ò Ö ÞÖ ÓÚ ÚÞÓÖ
arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007
![arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007](/thumbs/97/132296862.jpg "arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007")
Ì Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÛÓ Ò ÐÓ Ó Ø Å Ò ÓÛ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ô º Ò Ö Áº Ó Ö Ò Ó ½ arxiv:0709.0158v1 [math.dg] 3 Sep 2007 ØÖ Ø ÙØ ÓÖ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÓÔ Ò Ò ÐÓ ÙÖ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ô º Ì Ö ØÓ Ð ÔÖÓ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 11 ÅÑØ ÑÓÖÓÐÓ 11.1 ÅÓÖÓÐÓ ÔÜÖ ÙôÒ ÒÛÒ À ÑÑØ
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 ΕΡΓΑΣΙΑ η Θέμα (μονάδες ) i. Δείξτε ότι ( a b) c a ( b c ) + b( a c ). a b c+ c a b+ b c a ii. Δείξτε την ταυτότητα Jacobi : ( ) ( ) ( ) Απάντηση i.
¾
Ù Ð ÛÑ ØÖ Ë Ñ ô Áº º ÈÐ Ø ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ôò È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ¾ ÈÖ ÐÓ Ó Ç Ñ ô ÙØ Ö Ø Ò Ø Ó Ø ØÖ ØÓÙ Ó Ø Ø ØÓÙ ÌÑ ¹ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ ÃÖ Ø ÔÓÙ Ô Ð Ü Ò ØÓ Ñ Ñ Å¾¼ Ù Ð ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÒÓÒ Ó ÈÖÓ
Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009
ÄÓ Ñ ÒÓ ØÓ Ãô ØÓ Ë Ø Ñ Ø Ì Ñ À Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009 ½ º Ó Ó Ð Ó Διεύθυνση Πληροφορικής ΔΕΗ Τομέας Συστημάτων Γραφείου ÚºÞÓÙ Ó ºÓѺ Ö ¹Ñ Ð Αθήνα 19 Ιουνίου 2009 Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009
+ m ev 2 e 2. 4πε 0 r.
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö Ë ËÚ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ê ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú ÇËÆÇÎ ÅÇÄ ÃÍÄËà ÁÇ Á Áà º½ ÍÚÓ ÅÓÐ ÙÐ Ó Þ Ó Ö ÚÒ Ú Ð ØÒÓ Ø Ó ÒÓÚÒ Ø ÚÒ ÐÓÚ ÓÐÓ Ø ÑÓÚ ØÓ ØÓ¹ ÑÓÚ ÑÓÐ ÙÐ ÓÒÓÚ Ò Ñ ÖÓÑÓÐ Ùк Ç Ö ÚÒ Ú ØÙ ÞÚ ÞÓ
¾ Ë Öö º¾º Å ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÞÙÐØ Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ê ÞÙÐØ
Ë Öö ½º ÍÚÓ Ó Ò Ú Ò ÓÐÓ ÑÖ ö Ø ÓÖ ÓÑ Ö ÓÚ ½º½º ÍÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÈÓÖ î Ò ÑÖ ö ÔÖ Ó Ò ÓÚ ÚÓ Ø Ú º º º º º º º º º º º ½º º ÅÓ Ð ÑÖ ö º º º º º º º
plants d perennials_flowers
ÈÖÓ Ð Ø Ç Ø ÌÀÇÅ Ë ÁÌ Ê Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò Â Å Ë Âº ÄÍ Ù Ò ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÌÀÇÅ Ë ÄÍà ËÁ ÏÁ Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò Ò Îº ˺ ËÍ Ê ÀÅ ÆÁ Æ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÖÝÐ Ò Ì ÓÙ Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ö Ò Ó Ø ÓÖ ÒØ Ø ÑÓ Ð ÓÓ
Οδιαχωρισμόςτωνσχημάτωνσετρίπλευρα,τετράπλευρακλπ. οφείλεταιστονίδιοτον Ευκλείδη,αφούδεναπαντάταιούτεστονΠλάτωναούτεστονΑριστοτέλη.
Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ ÛÑ ØÖ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ¾ ÒÒÓ ÓÖÞÓÒØ Ô Ö Ö ÓÒØ º Ü ôñ Ø ½ ÃÓ Ò ÒÒÓ ½ Ì Ü ôñ Ø Ó Ó Ò ÒÒÓ Ò Ø Ü ôñ Ø Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ º ÈÖÓØ ½ ¾ ÈÖÓØ ¾ ¾ ÈÖÓØ ÈÖÓØ Â Ñ ÐÛ Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ ÕÛÖ Ø Ò
ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë
ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë ØÓÖ ØÖ Â ÐÓÒ ¾¼¼ ËÁÄÀË ÃÇÍÃÇÍÄÇ Á ÆÆÀË ÍÔ ØÖÓ Ó ØÓÙ
Reserve & Trapped. Mission Fuel. Military Ordnance. Expendable Payload. Passengers + Bags ( lbs/pass.) Revenue Cargo. Non expendable Payload
ÈÖÐÑÒÖÝ ØÑØ Ó Ì¹Ç«ÏØ ÈÓØÓÖÔ Ó ÓÒ ¹½ ÐÓÑ ØÖ Ø Ø¹Ó«ÅÜÑÙÑ Ø¹Ó«ÛØ ÕÙÐ ¼¼¼ Ð ÑÜÑÙÑ ÔÝÐÓ ½ ¼¼¼ Ð ÓÙÖØ Ý Ó Ø ÓÒ ÓÑÔÒݵº ½ Ï Ì Ç Ï ÙÐ Ï ÔÝÐÓ Ï ÑÔØÝ ¾½ Ï ÔÝÐÓ Ï ÜÔÒÐ Ï ÒÓÒ ÜÔÒÐ ¾¾ 000000000000 111111111111 000000000000
The Prime Number Theorem in Function Fields
È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø ËÕÓÐ Â Ø ÛÒ & Ì ÕÒÓÐÓ ÛÒ Ô Ø ÑÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ Å Ø ÔØÙÕ Ö ÌÓ Â ÛÖ Ñ ÌÛÒ ÈÖÛØÛÒ Ö ÑÛÒ ËÛÑ Ø ËÙÒ ÖØ ÛÒ ôö Ó Ã Ô Ø Ò ØÓÙ Æ ÓÐ ÓÙ ÔÓÔ ÛÒ Ø Â ÓÙÐÓ Ö Ð ÀÊ ÃÄ ÁÇ Đ ¾¼¼ University of Crete School
Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή
ÔØ Ö ΕΙΣΟΔΟΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ º½ ÉÄ Ò Ø Ηβασ ικήκατηγορίατης ÉØγιαείσ οδοδεδομένωνείναιηéä Ò Øμετηνοποία οχρήσ τηςμπορείναεισ άγεισ εμιαγραμμήένααλφαριθμητικόºστοναλγόριθμο º½παρουσ ιάζεταιηδήλωσ ηγιαένακεντρικόπαράθυρομετοοποίοοχρήσ
Δυαδικά Συστήματα. URL:
Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Δυαδικά Συστήματα ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò Ù Ë Ø Ñ ½ ¾ Δυαδικό
ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ÔØ Ö ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στοκεφάλαιοαυτόθαπαρουσ ιασ τούνμερικέςαπότιςδυνατότητεςπουπαρέχειη βιβλιοθήκη ÉÌσ εαρχείακαθώςκαιτρόποισ ύνδεσ ηςκαιεκτέλεσ ηςερωτημάτων σ εβάσ ειςδεδομένωνº º½ Ηκατηγορία
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
arxiv:quant-ph/ v1 28 Nov 2002
Ò ÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ ÉÙ ÒØÙÑ Ñ Ì ÓÖÝ arxiv:quant-ph/0211191v1 28 Nov 2002 Û Ö Ïº È ÓØÖÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÓÖ Ø Ð È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ý ØÓ Ä ÔÓÛ ½ ÈÐ ½ ¾ Ý ØÓ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ô ÐÔ ºÙÛ º ÙºÔÐ Â Ò Ë ÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö
Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής
Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Προγραμματισ μόςσ ε» ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
Προγραμματισμόςσε» ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ½º½ Μεταβλητές ½º½º½ Δήλωση Η δήλωσημεταβλητώνμπορεί να γίνει σε οποιοδήποτεσημείοτου κώδικα σε αλλάείναιπροτιμότεροναγίνεταιστηναρχήτουπρογράμματος
iii vii Abstract xiii iii
È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ ÇÑÓ Ò Å ØÖ Einstein Ë Ò ÙÑ Ò ÈÓÐÐ ÔÐÓØ Ø Ë Ñ ÛÒ ÁÛ ÒÒ Ãº ÉÖÙ Ó ØÓÖ ØÖ Ô Ð ÔÛÒ Ô ÓÙÖÓ Ã Ø Ò Ö Ö Ò ØÓ ÛÖ Ó È ØÖ ¾¼½¼ ÖôÒ Ø ØÓÙ ÓÒ ÑÓÙ ÃÖØÛÒ Å Ö È Ö Õ Ñ Ò È Ö Õ Ñ Ò ÙÕ Ö Ø
Γραφικάμετηνχρήσ η ÛØ
Γραφικάμετηνχρήση ÛØ ΙωάννηςΓºΤσούλος Νοέμβριος ¾¼ Η Úδιαθέτειένα δικό της σύστημαγραφικών τοοποίομπορεί να είναι κάπωςπεριορισμένοσεσχέσημετο ÉÌήτο ÏÁÆ ¾ ÈÁαλλάδίνειμεταφέρσιμο κώδικακαιμπορείναχρησιμοποιηθείγιατηνκατασκευήπρογραμμάτωνγραφικής
Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù
Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù ËÙÑ Ö Ó ½ Î Ò Ó Ú Ö ÓÙÐØ ½ ½º½ Ú Ò Ó Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Å Ò ÑÓ Ò Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ ÍÚÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔ Ó Ò Ó Ù Ø ÓÖ Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ñ ÔÓ Ù Ú ÑÓ Ó Ö ÑÓ ÐÓö ÒÓ Ø Ø ö ÒÙ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ù ÔÖ Ø Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ ö Ð ÑÓ ØÓ ÔÖ ÞÒ ÔÖÓ Ò ÑÓ Ó Ú
Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ØÒ Ö Þ ÔÖ Ñ Ø ËÐÓö ÒÓ Ø ÞÖ ÙÒ Ú Ò Å Ð Ò Ò ÓÚ ¾¼¾½»¼ ¼ º ¼¾º ¾¼¼ º Ë ö Ø ÇÚ Ö ÔÖ Ø ÚÐ Ö Ø ÔÖ Ð Ò Ñ ØÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ñ ÙØÓÖ Ö ÙÔÓÞÒ Ó Ù Ó Ú ÖÙ ÙÖ ËÐÓö ÒÓ Ø ÞÖ ÙÒ Ú Ò Ò ÔÖÚÓ Ó Ò ÔÓ Ø ÔÐÓÑ
p a (p m ) A (p v ) B p A p B
½ ËØ Ø ÐÙ ½º½ ÍÚÓ ÈÖ ÔÖÓÙÕ Ú Ù Ñ Ò ÐÙ Ð Ó ÐÙ Ù Ò ÐÙ ÑÓ ÑÓ ÔÓ Ð Ø Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Ð ¹ ÐÙ Ù Ò Ú ÐÙ Ò Ð ÙÒÙØ Ö ÔÓ Ñ ØÖ Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Þ Ò Ó Ö ØÒÓ Þ Õ Ó ÓÒØ Ø Ð Þ Ñ Ò Ø Ò Ö ÐÒ Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÒ Ð µº ÇÚ Ð Ó ÕÒÓ ÞÖ Ú Ù ÔÓ
½ È Ê Ç Î Ç Ê ÇÚ ÒÓÚ ÓØ À Ð ÖØÓÚ Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ ÔÖ Ö º ÍÔÖ ÚÓ Ù Ò Ò Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ñ Ò ÓÔÙÒ º Í ÓÔÙÒ I Ù ÙÔÐ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø ÑÙ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÓ¹ Ú
½ ËÊÈËà à ÅÁÂ Æ Íà ÃÄ ËÁ ÆÁ Æ Í ÆÁ ËÈÁËÁ ÃÆÂÁ XIV Å Ì Å ÌÁ ÃÁ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÃÆÂÁ ½ ÍÖ Ò Ñ Ê ÁÎÇ à â ÆÁÆ ÍÔÖ ÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ø ØÙØ Ë Æ º ÀÁÄ ÊÌ ÇËÆÇÎ ÇÅ ÌÊÁ ÈÊ Î Ç Ë ÇËÅÇ Æ Å ÃÇ Á ÆÂ êº Ê â ÆÁÆ ÈÖ ÑÐ ÒÓ Ò XI
Δυναμικοί τύποι δεδομένων
Δυναμικοί τύποι δεδομένων ΙωάννηςΓºΤσούλος Δεκέμβριος ¾¼ Η ÂÚπεριέχειμιασειράαπόχρήσιμεςκατηγορίεςπουχρησιμοποιούνταιγια τηνδιαχείρισηδυναμικώνδεδομένων σταοποίαδενγνωρίζουμεεκτωνπροτέρων όχι μόνον την
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 3 ¾¹ ÙÒÕ ÑØ Å ÙÒÕ Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖ Ø Ô Ò ¾¹ ÙÒÕ Ñ Ð
ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ù ÖÒ Ö ÄÝÓÒ Á ÁÒ Ø ØÙØ È Ý ÕÙ ÆÙÐ Ö ÄÝÓÒ Ì ÓØÓÖ Ø ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ ØÙ Ù Ò Ð À ¼ ¼ ÙÜ ÓÐÐ ÓÒÒ ÙÖ ÖÓÒ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÐÓÖ Ñ ØÖ Ù ÊÙÒ ÁÁ Ù Ì Ú ØÖÓÒº Ô Ö È ÖÖ ¹ ÒØÓ Ò Ð ÖØ ËÓÙØ ÒÙ Ð ½
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H
È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙ
È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ò Å Ø Ö Ð Ë Ò ÖÒ Å ÐÐÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÆÓÚ Ñ
ΟπτικόςΠρογραμματισ μός. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
ΟπτικόςΠρογραμματισμός ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ÔØÖ ½ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σεαυτήτηνενότηταθαεξεταστούνμερικέςαπότιςβασικέςδομέςπάνωστις οποίεςστηρίζεταιηβιβλιοθήκη É̺Οιδομέςαυτέςπεριλαμβάνουνδυναμικούς πίνακες
Montreal - Quebec, Canada.
ÂÆÁÃÇ Å ÌËÇ ÁÇ ÈÇÄÍÌ ÉÆ ÁÇ ËÉÇÄÀ ÀÄ ÃÌÊÇÄÇ ÏÆ ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ Ã Á ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ ÍÈÇÄÇ ÁËÌÏÆ ÌÇÅ Ë ËÀÅ ÌÏÆ Ä ÉÇÍ Ã Á ÊÇÅÈÇÌÁÃÀË ËÙÑ ÓÐ Ø Ò Ò ÔØÙÜ ÈÓÐÙÔÖ ØÓÖ ÖÕ Ø ØÓÒ Ò ÔØÙÜ Ó ÊÓÑÔÓØ Ó Ð ÕÓÙ Ø Ó Ò ÕÙØ Å : ÖÑÓ ØÓÒ
! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C
Scientific knowledge is the common heritage of mankind. Abdus Salam
È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÂÀÆÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË ÈÌÍÉÁ ÃÀ Ê ËÁ Ô Ö ØÒÓÙ ÖÕ ÓÒ ÈÙÖ ÒÓ Ò ÇÖ Ø Ð ºÅº ¾¼¼¾¼¼¼¾ Ô Ð ÔÛÒ Ã Ø Ò Ó Ä Õ Ò ¾ Scientific knowledge is the common heritage of mankind. Abdus Salam È Ö Õ Ñ Ò ÈÖ ÐÓ Ó ½
Γιατηνδήλωσ ητωνδομώνχρησ ιμοποιείταιοπροσ διορισ τής ØÖÙØ όπωςσ την σ υνέχεια
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΟΜΕΣ º½ Απλές δομές Ηδομήχρησ ιμοποιείταισ ανσ υλλογήμεταβλητώνδιαφορετικούτύπουπροκειμένου ναπεριγράψεισ υνολικάμιαοντότηταº ΓιαπαράδειγμαηοντότηταΑΝΘΡΩΠΟΣ αποτελείταιαπόταπεδία ½º Ονομα αλφαριθμητικόµ
Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º
Þ ÔÓÚ Ø Ø Ö Ø Ò ÈÖ ÙÖ Ò ÐÙÖÙ ÔÖ Ð ½ ¾¼½¼ Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º ÓÒØ ÒØ ½ Å Ò ½ ½º ÄÙÑ Ñ Ø
Σανπρώτοπαράδειγμαχρήσ εωςτης ÉÈ ÒØ Öπαρουσ ιάζεταιέναπαράδειγμασ χεδιασ μούκύκλωνμέσ ασ εένακεντρικόπαράθυροº
ÔØ Ö ΓΡΑΦΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΜΕΣΑ Ηβιβλιοθήκη ÉÌμπορείναχρησ ιμοποιηθείκαιγιατηνδημιουργίαπρογραμμάτων μεαπλάγραφικά γραμμές κείμενο κύκλουςκτλµόπωςεπίσ ηςγιατηνδημιουργία γραφημάτων από δεδομέναº º½ Àκατηγορία
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 12 ÔÓØ Ø ÒÛÒ ÈÓÐÐ ÓÖ Ó Ò Ø Ø ÐÝ Ù ØÒØ ÔÖÑÖÛ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Εισαγωγή. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Εισαγωγή Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 1 Û Å ØÒ ÐÙ Ø Ý ÛØÓÖ Ý Ò Ò ÔÐÓÒ ØÑ ØÓÙ ÙÖÛ ÓÒÓº À ÔÜÖ ÒÛÒ
Τμήμα Φυσικής, Εργαστήριο Αστρονομίας
Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ À ÆÁÉÆ ÍËÀ Ã Á Å Ä ÌÀ Ï Ä Á ÃÏÆ ÍÈÇÄ ÁÅÅ ÌÏÆ ÍÈ ÊÃ ÁÆÇ ÆÏÆ Ë ÈÇÄÄ ÈÄ ÅÀÃÀ ÃÍÅ ÌÇË Ä ÏÆÁ ÃÀ ÁÏ ÆÆ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ È ÌÊÏÆ ¹ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË ÂÆÁÃÇ ËÌ ÊÇËÃÇÈ ÁÇ ÂÀÆÏÆ Ë ÔØ Ñ Ö Ó ¾¼½¾ Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 5 ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier ¾¹ ÓÐÓÙôÒ
Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις
Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις Τσούλος Ιωάννης, Επίκουρος Καθηγητής Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. Άρτα, Μάιος 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ
ÔØ Ö ¾ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ¾º½ Δημιουργία απλού παραθύρου Γιατηνδημιουργίαπαραθύρουθαχρειασ τείοχρήσ τηςνατοποθετήσ ειμέσ ασ ε μιακυρίωςεφαρμογήέναοπτικόσ υσ τατικό Ï ØµΤοπιοαπλόοπτικόσ υσ τατικόπουμπορείναχρησ
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσ ουμεγιατααρχείασ τηνγλώσ σ α ºΘαχρησ ιμοποιηθούνσ υναρτήσ ειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισ όδου»εξόδου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΧΕΙΑ Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσουμεγιατααρχείαστηνγλώσσα ºΘαχρησιμοποιηθούνσυναρτήσειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισόδου»εξόδου ØÓºµκαι γιααυτόγίνεταιμιαπρώτηπαρουσίασηαυτήςτηςβιβλιοθήκηςº º½
) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,
[Na + ] [NaCl] + [Na + ]
![[Na + ] [NaCl] + [Na + ]](/thumbs/85/92069557.jpg "[Na + ] [NaCl] + [Na + ]")
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö ÂÙÖ Ö Ò ÊÙ ÓÐ ÈÓ ÓÖÒ Ò Ë ËÚ Ø Ò ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú Ä ÃÌÊÁ ÆÁ ÁÆ Å Æ ÌÆÁ ÈÇ ÎÁ º½ º½º½ Ð ØÖ ÒÓ ÔÓÐ Ò ØÓ Ð ØÖ Ò Ò Ó Ð ØÖ Ò ÔÓ Ú Ð Ó Ö ÞÐÓö ÑÓ Ò Ó ÒÓÚ Ù ÓØÓÚ ØÚ Ñ Ó Ó ÒÓÚÒ Ð ÓØ Ø
Μονοδιάσ τατοιπίνακες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ ¾º½ Μονοδιάστατοιπίνακες Οιπίνακεςείναιδομέςδεδομένωνπουδιαθέτουνέναπλήθοςαπόστοιχείατουίδιου τύπουº Γιαπαράδειγμαηβαθμολογίασεέναμάθημααποθηκεύτεταισεπίνακαº Κάθεστοιχείοτουπίνακααντιπροσωπεύειτηνβαθμολογίαενόςσπουδαστήστο
c = a+b AC = AB + BC k res = k 1 +k 2
Ã Ô Ø Ð Á ÒÐ ØÙÒ ï ½ ÅÓ ÐÐ ÚÓÒ Î ØÓÖÖÙÑ Ò ÁÒ Ñ Ö ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ò Òµ È Ö Ö Ô Ò Ò ÐÒ Û Ö Ô Ð ÞÙÖ Ð Ö ¹ Ò ËØÖÙ ØÙÖ Î ØÓÖÖ ÙÑ º Ò Ö ÙÒ Ò Ø Ò ØÞ Ò Û Ö Ð ÒÒØ ÚÓÖ Ù º Ò ÈÖÞ ÖÙÒ Ö ÓÐ Ø ÔØ Ö Û ÒÒ Û Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ñ Ø
Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1.
Î Ð Ù ËØ Å Ò Ì ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó Ô ØÓ Î ÐÒ Ù ¾¼¼ ÌÙÖ ÒÝ ½ Ì ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º ËØ Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÃÐ Ò ÑÓ Ð º º º º º º º º
Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Faculté des Sciences. Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale
Faculté des Sciences Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale Promoteur : Annick Sartenaer Directeur : Caroline Sainvitu Mémoire présenté pour l'obtention du
imagine virtuală plan imagine
Ô ØÓÐÙÐ ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ¾ ÈÁÌÇÄÍÄ ½º ÅÇ ÍÄÍÄ ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÙÔÖ Ò ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ Ù Ö ÑÓ Ð ÓÑ ØÖ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÈÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú º º º º º º º
Κληρονομικότητα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
Κληρονομικότητα ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ½ Ηκατηγορία ÈÖ ÓÒ ΗκληρονομικότητααποτελείένααπόταβασικότεραχαρακτηριστικάτουαντικειμενοστραφούςπρογραμματισμούºΤαβασικάτηςστοιχείασε είναι ½ºΤαπεδίαπουχρειάζεταιναπεράσουνστηνκατηγορίαπουκληρονομείθα
Αρχείασ την Â Ú. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
Αρχείαστην ÂÚ ΙωάννηςΓºΤσούλος Νοέμβριος ½½ ½ Ηκατηγορία ÁÒÔÙØËØÖÑ Ηκατηγορία ÁÒÔÙØËØÖÑείναιμιααφηρημένηκατηγορίακαιχρησιμοποιείταιγια τηνανάγνωση δεδομένων στην ÂÚαπόαρχείαεισόδουº Ωςαρχείαεισόδου μπορούμεναθεωρήσουμεαρχείαπουβρίσκονταιστονσκληρόδίσκοτουυπολογιστήήκαισυσκευέςεισόδουόπωςτοπληκτρολόγιοºοισημαντικότερεςμέθοδοι
Πρότυπα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
Πρότυπα ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼ ½ Συναρτήσειςπροτύπων Μετιςσυναρτήσειςπροτύπωνμπορούμενακάνουμεσυναρτήσειςοιοποίεςεκτελούντονίδιοκώδικα γιαδιαφορετικούςτύπουςδεδομένων όπωςπαρουσιάζεται καιστοεπόμενοπαράδειγμαºοιδηλώσειςσυναρτήσεωνμετηνχρήση
:$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\
![:$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\](/thumbs/57/40570010.jpg ":$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\")
ù ù ø ³ ò :$3 û :$3 ù ñ 6,0 ù" :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\ ñ û " 6RQ\(UL VVRQ7 *60 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ô6rq\(ul VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$%
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 11: SPLINES Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
0RELOH,QWHUQHW :$3 :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\
![0RELOH,QWHUQHW :$3 :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\](/thumbs/66/56247555.jpg "0RELOH,QWHUQHW :$3 :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\")
ù ù ø ³ ò 0RELOH,QWHUQHW :$3 û 0RELOH,QWHUQHW :$3 ù ñ 6,0 ù" :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\ ñ û " 6RQ\(UL VVRQ ù 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ô6rq\(ul VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 6RQ\(UL
Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý
9 Õâñéäéóìüò ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ 9.1 ÅéóáãùãÞ 9.2 Õâñéäéóìüò & õâñéäéêü ôñï éáêü 9.3 Åßäç õâñéäéóìïý êáé õâñéäéêþí ôñï éáêþí 9.4 Õâñéäéóìüò êáé ðïëëáðëïß äåóìïß 9.5 Õâñéäéóìüò êáé ìïñéáêþ ãåùìåôñßá 9.6 ÅñùôÞóåéò
Θα εμφανίσει την τιμή 232 αντί της ακριβούς
Ì ÔÓ ÓÑ ÒÛÒ Ö Å Ø ØÖÓÔ ÑôÒ Fahrenheit ÑÓ Celsius Fahrenheit Celsius c = (5/9)(f 32) public class Fahr2Cels { public static void main(string args[]) { int f = 451; // Τι συμβαίνει στους 451F? int c; c =
ÔÖÓØ Ô ØÓ ESO (M. Sarazin and F. Roddier, A&A 227, 294-300, 1990) Õ Ò ¹
Seeing-GR Å ØÖôÒØ Ø Ø Ö Õ Ø ØÑ Ö Ø Ò ÐÐ Å Ð Ñ ØÖ 1 Æ ØÓÖ ÒÒ 2 È ÖÞ ËØ Ð Ó 3 ÌÖ ÑÓÙ Ù Ð 4 Ã Ö Ñ Ò Ð 5 ÒØÛÒ ÒÒ 5 ÓÙÐ ÒÒ 5 ÃÓÙÖÓÙÑÔ ØÞ Ãô Ø 5 Ë Ö ÒÒ 5 1 Hamburger Sternwarte, Gojenbergsweg 112, 21029 Hamburg,
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Βελτίωση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Βελτίωση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 9 ÐØÛ ÒÛÒ À ÒÒÓ Ø ÔÓØØ ØÛÒ ÒÛÒ ÒØ ÔÓÐ ÙÕÒ ÙÔÓÑÒ
Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
6,0 1RWIRU&RPPHU LDO8VH
6,0 ò ò ø ô 6,0 ù" ñ û" (UL VVRQ$V (UL VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ò (UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ø (UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 58/=7 5$,1129$75213$7(176 ø *60 ù ø 7Œ7H[W,QSXW± 7HJL &RPPXQL DWLRQV
Άλγεβρα Boole, λογικές συναρτήσεις και κυκλώματα. URL:
Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Άλγεβρα Boole, λογικές συναρτήσεις και κυκλώματα ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ
ÌÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò Ö Ò Û Ø ÓÙØ Û ÓÑ Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÙÐ Ò Ú Ö ÓÑÔÐ Ø
ÇÆ ÌÀ Ä ËËÁ Á ÌÁÇÆ Ç ÄÇË Ä Ì ÇÍʹŠÆÁ ÇÄ Ë Ý Ì ÓÑ È ÙÐ Ä Ñ ÖØ ÖØ Ø ÓÒ ËÙ Ñ ØØ ØÓ Ø ÙÐØÝ Ó Ø Ö Ù Ø Ë ÓÓÐ Ó Î Ò Ö ÐØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Ç ÌÇÊ Ç ÈÀÁÄÇËÇÈÀ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ù
x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2
![x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2](/thumbs/20/424851.jpg "x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2")
¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð
:$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. %OXHWRRWK GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\
![:$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. %OXHWRRWK GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\](/thumbs/57/40570217.jpg ":$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. %OXHWRRWK GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\")
ù ù ø ³ ò :$3 :$3 û :$3 :$3 ù %OXHWRRWK ô ñ 6,0 ù" GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\ ñ û" 6RQ\(UL VVRQ 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ô6rq\ (UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 58/=75$
0RELOH,QWHUQHW :$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. 6,0 GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\
![0RELOH,QWHUQHW :$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. 6,0 GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\](/thumbs/71/64541886.jpg "0RELOH,QWHUQHW :$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. 6,0 GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\")
ô ù ù ø ³ ò 0RELOH,QWHUQHW :$3 ô ñ 6,0 ù" GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\ ò û" 6RQ\(UL VVRQ7 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ô6rq\(ul VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 58/=75$,1129$75213$7(176
, z = 1 ( Lψ = Eψ, E = E fixed, L = +v(x,t), = 4 z z, x R 2 ½º µ
ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÆÌÊ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ÈÈÄÁÉÍ Ë ÍÅÊ ÆÊË ½ ½½¾ È Ä ÁË Í Ê Æ µº Ì Ð ¼½ ¼¼º Ü ¼½ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ÔºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö» Ò Ó ÓÐ ØÓÒ Û Ø Ù ÒØ Ð Ö ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÆÓÚ ÓڹΠÐÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ò Ö Ý ÒÒ Ã Þ
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Preisdifferenzierung für Flugtickets
Ë Ñ Ø Ö Ö Ø ÏÄ ÌÀ Ö ÈÖ Ö ÒÞ ÖÙÒ Ö ÐÙ Ø Ø Ù Ò ËØÖ Ò Ö ¹ ÄÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö Ò ÙÖØ ¹ Æ Û ÓÖ ÙØÓÖ Ò Ì ÓÑ ÖÙÒÒ Ö À ÙÖ ØÖº ¼ Ö Ñ ÐØ ÓÑ ÖÙÒÒ Öº Ö ØÓÔ Ã Ö ÐÙÑ ÒÛ ½¼ Ç ÖÛ Ð Ö ØÙ Òغ Ø Þº ØÖ Ù Ö ËØ Ò Ä Ù Ò Ø Ò ÈÖÓ ÓÖ ÖÑ
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÆÌÁ Ç ÇÅÈÇËÌ Ä ÍÄÌ ËÁ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ È ÖØ ÙÐ Ó Ý ÈÖÓ Ö Ñ Ò ÓÖ ÒØ Ó Ç ØÓ Ð Ê ÓÒ ØÖÙ Ò ËÙ Ó Ò Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ À Ë ÓÐ ÓÒ Æ Ð Ó¹Æ Ð Ó Å ÑÓÖ ÔÖ ÒØ Ô Ö ÓÔØ Ö Ð Ö Ó Ä Ò Ó Ò Ò ÔÓÖ Å ÒÙ Ð Ë Ò Þ Ö Å ÖÞÓ ½ ¾
Εισαγωγικά. URL:
Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Εισαγωγικά ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò ½ Οργάνωση Μαθήματος Διαδικαστικά
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Ì Ø Ò Ð Ð ØÙÑ Ñ ØÓ ÖÓ Û ÃÖ Ù Ú Ë ßÛ Þ ÔÓ Ð Û Ø ÒØ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ ÍÒ Ú
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÙÐØ Ø Ì Ø Ò Ð Ð Ê ÇÎÁ ÁÂ Â Æ ÂÅ Ï Ã Ê ÃÌ ÊÁËÌÁ Æ ÎÊ ÆÇËÌ ÅÁÆÁÅ ÄÆ Í Æ ÃÁÅ ÃÄ Ë Å Ê ÇÎ Ó ØÓÖ ÖØ ÃÖ Ù Ú ¾¼½¾º Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ