ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Βελτίωση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Βελτίωση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας"

Ξενία Καλάρης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Βελτίωση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

2 ÃÐÓ 9 ÐØÛ ÒÛÒ À ÒÒÓ Ø ÔÓØØ ØÛÒ ÒÛÒ ÒØ ÔÓÐ ÙÕÒ ÙÔÓÑÒ ÐØÛ ÓÖÞØ Ñ ÖØÖÓ ØÓ ÞØÓÑÒÓ ØÕÓ ÔÓÙ ÑÔÓÖ Ò ÕØÞØ ÔÐ Ñ ØÒ ÑÒ ØÛÒ ÒÛÒº ³Ø ÐØÛ ÒÖØ Ø ØÓÒ ØÓÒ Ñ ÔÓÛÒ ÕÖØÖ ØôÒ Ø Ò ÔÛ ÙÒÓ¹ Ð ÛØÒ ÒØ Ø Ö ØÛÒ ØÑÑØÛÒ Ø Ò Ø ØÓÒ ÔÖÓÖ Ñ ØÓÙ ÓÖÓÙ ÔÓÙ ÒÕÑÒ ÔÖÞ ØÒ ÑÒ Ñ Ò ÔÖÒÓÕÐ ØÒ ÜÛ ÕÖ Ñ ÔÐÖÓ¹ ÓÖ Ô ØÒ Òº 9. ÌÓÒ Ñ Ø ÛØÒ ÒØ ÙØ ÔÜÖ ÓÖ Ò Ñ ÕÑÐ ÛØÒ ÒØ º ÈÖØ Ò ØÐ Ø ÑÓÙ ÔÓÙ ØÖÓÔÓÔÓ ØÒ ØÑ Ø ÛØÒ ÒØ Ñº À ÖÕ ØÑ x(m, n) ØÖÓÔÓÔÓØ y(m, n) = g(x(m, n)). º½µ Ç ØÐ Ø ÙØ ÙÐÓÔÓØ ÒØ ÑÒ ÓÑÒ Ñ Ø Ó Ò ÔÒ ÒØ ¹ ØÓÕ. ËÙÒÔ Ø ØÖÓÔÓÔÓ ØÛÒ ØÑôÒ Ø ÛØÒ ÒØ Ò ØÖÓÔÓÔÓ ØÓÙ ØÓÖÑÑØÓº ÙÔÓ ÓÙÑ Ø Ò ÔÙÑØ ÔØ ØÓÙ ØÓÖÑÑØÓ Ø ØÑ Ø ÛØÒ ÒØ ÔÓÙ ÔÖÐÑÒÓÒØ ØÓ ØÑ [x min, x max ] ØÓ Ñ ØÓ ÙÒØ ØÑ ØÑôÒ [0, L]º ÌØ ÖÑÑ ÒØ ØÓÕ ØÛÒ ØÑôÒ ÒØ Ñ ØÓÒ ÐÓÙÓ ØÖÔÓ 0 x < x min y = L x x min x max x min + 0, 5 x min x x max (9.2) L x > x max ËØÓ ËÕÑ º½ Ø Ñ Ò ØÓ ÔÓØÐ Ñ ØÓÙ ØÓÒ ÑÓ Ø ÛØÒ ÒØ Ñ ØÒ ÔÖÔÒÛ Õ º Â ÑÔÓÖÓ Ô Ò ÓÖ Ñ Ñ¹ÖÑÑ ÒØ ØÓÕ ÔÛ y = ( ) x γ xmin L + 0, 5, (9.3) x max x min ÔÓÙ γ ØÖ ÔÓÙ ÐÑÒØ ÑÖØÖ ØÓÙ ½ Ò ô ÔÓ ÛØÒ ØÑ ÑÐØÖ ØÓÙ ½ Ò ô ÔÓ ÓØÒ ØÑ ØÒ Ò ÒÐÓ Ñ Ø Ò ØÓÒ Ñ Ø ÛØÒ ÒØ º Ò Ô ÙÒØ ØÖÓÔÓÔÓ ØÓÙ ØÓÖÑÑØÓ Ò ÔÖÓ ÖÑÓ Ø ÓÑÒ Ø Ò ÓÖÞÓÒØ ØÒ ÔÙÑØ ÑÓÖ ØÓÙ ØÖÓÔÓÔÓÑÒÓÙ ØÓÖÑÑØÓº Ò ÔôØ 39

3 (a) (b) ËÕÑ 9.: ÌÓÒ Ñ Ø ÛØÒ ÒØ º (a) (b) (c) (d) ËÕÑ 9.2: ÌÓÒ Ñ Ø ÛØÒ ÒØ ÖÑÑ Ñ¹ÖÑÑ γ = 0, 7µ Ñ Ü ÓÖ¹ ÖÔ ØÓÖÑÑØÓº 40

4 ØÓ ØÐ ØÖÑÑ Ó ØÑ Ò Ò ÓÑÓÑÓÖ ØÒÑÑÒ ØØ ÒÖÑ Ø ØÒ Ó ØÑ ØÓÙ ØÓÖÑÑØÓ ÔÓÙ ÔØÙÕÒØ Ñ ØÓÒ ÐÓÙÓ ØÖÔÓ y = L P(x) P(x min) + 0, 5, (9.4) P(x min ) ÔÓÙ P(x) = u x p(u) p(.) ÒØ ØÓ ØÖÑÑ Ø ÖÕ Òº Ï Ø Ó Ò Ñ Ó ØÑ ÑÒÓ ØÖÑÑ ÙÕÒØØ Ò ÒÓÒØ ØÖ Ù ÔÛ ÔÖÑ ØÓ ËÕÑ º¾(d). ³ ÙØ Ò ÔÖÓØÑØÖ ØÖÓÔÓÔÓ ØÓÙ ØÓÖÑÑØÓ ô Ø Ò ÓÐÓÙ Ñ ØÒÓÑ ÔÓÙ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ØÓ ÑÓ ÖÓ ØÑôÒ Ò Ò ÔÙÒØÖ ÔÖ Ø Ñ ØÑ ÔÛ ØÒÓÑ Gauss. 9.2 ÅÛ ÓÖÓÙ À ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ ÑÔÓÖ Ò ÔØÙÕ ÕÖ ÑÓÔÓôÒØ Ò ÖÑÑ ÐØÖÓ Ñ ÙÝÐ ÔÖ Ø ÕÑÐ ÙÕÒØØ ÑØÐØÓ Ø Ó Ñ ÑØØÔ Ó Ñ ÔÖ ØÖÓº Ò h(m, n) ÖÓÙ Ø ÔÖ ØÓÙ Ù ØÑØÓ ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ØÓÔ ØÓ Ñ Ò ØÖ Ñ ØÑ µ Ø ÔÓÖ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ò σ 2 º Ò ÑÒ ÙÔÖÜ ÑØÓÐ Ø Ñ ØÑ ØÓÙ ÑØÓ ÔØØ ÔÛ M N h(m, n) =, m= M n= N ºµ ÓÒ ØÓ ÐØÖÓ Ò ÔÔÖ ÑÒ ÖÓÙ Ø ÔÖ ØÒØ ÙÑÑØÖ Û ÔÖÓ ØÒ ÖÕº Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø Ó ÖÙÓ Ò ÐÙ Ð ÕÛÖ Ù ÕØ ØÓ ÔÓÖ ØÓÙ ÓÖÓÙ ØÒ ÜÓÓ ØÓÙ ÐØÖÓÙ Ò ÙØ ÔÓÖ Ò ÐÕ Ø Ò σ 2 M h(m, n) = N m= M n= N h 2 (m, n). (2M + )(2N + ). ÈÖØ ÔÓÑÒÛ Ò ÐØÖÓ Ñ ØÑ Ñ ÔÖ y(m, n) = (2M + )(2N + ) M N k= M l= N x(m k, n l). ºµ À Ñ ØÑ Û ÒÛ ØÒ ÐÕ ØÓÔÓ ØÒ ØØÖÛÒ ÔÐ M k= M l= N N (x(m k, n l) y(m, n)) 2. Ç Ñ ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ ÔÓÙ ÔØÙÕÒØ Ò β = Mm= M Nn= N = (2M + )(2N + ). (9.7) h 2 (m, n) 4

5 Ï Ø Ó Ø ÔÖÓÕ ÔÓÙ ÙÔ ØÖÓ ÑØÓ Ò Õ ØÓ Ñ Ù ØØ ÔÖÑÖÛ ÔÓÙ Ò ØÖ Ø Ø Ñ Ð Ø Ö ÑØÜ ÖÛÒ ØÑÑØÛÒ Ø Òº À Ù ÑÒ ÙÒÔ Ø ÔÖÑÖÛ ÑØÖÞØ Ò Ó ÙÒØÐ Ø ØÓÙ ÐØÖÓÙ Ò Ò ÐÓ Óº ÙØ ÓÙÒÑ Ñ ØÒ ÐÕ ØÓÔÓ Ñ ØÑ ÑÒ ØØÖÛÒ ÔÐ M N h(k, l)(x(m k, n l) y(m, n)) 2. k= M l= N ÈÖÑ Ò ØØÓÓÙ ÐØÖÓÙ Ñ ÔÔÖ ÑÒ ÖÓÙ Ø ÔÖ Ò ØÓ ÐÓÙÓ 4 m 2 + n 2 = 0 h(m, n) = 8 m 2 + n 2 = 6 m 2 + n 2 (9.8) = 2 0 ÐÐÓ ³ÐÐÓ ÔÖÑ Ñ ÔÖ ÑÛ ÖÓÙ Ø ÔÖ Ò ØÓ ÐØÖÓ Gauss, ÔÓÙ ÓÐ ØÓ ÒÓÑ ØÓÙ ØÓ ÓÒ Ø ÖÓÙ Ø ÔÖ ÔÖÓÖÕØ Ô ØÒ ÔÙÒØØ ÔÒØØ Gauss, h(m, n) = ( 2πα 2 exp m2 + n 2 ) 2α 2. (9.9) Ô ÑÔÓÖÓ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ò ØÑ Ñ ÖÓÙ Ø ÔÖ h(m, n) = ( ) α 2 α m + n, 0 < α <. + α Ç ÙÒØÐ Ø ÑÛ ÓÖÓÙ ØÓ ØÐÙØÓ ÐØÖÓ Ø ØÓ ËÕÑ º º β α ËÕÑ 9.3: ËÙÒØÐ Ø ÑÛ ÓÖÓÙº ÔÖÑÖÛ ØÛÒ ÑôÒ Ò ÖØ ÔÐÖÛº ÃÐØÖ Ü ÓÖÖÔ ÒÑ Ø ÒØ¹ ÑÕÑÒ ÔÓØÐ ÑØ Ø ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ø ØÖ ÒÐÐÓÛØÓÙ ØÓÙ ÑØÓ ÔØÙÕÒØ Ñ ØÒ ÔÖÓ ÖÑÓ ØÓÙ ÐØÖÓÙ Ø ÓÑÒ Ø Òº À ÕÖ Ñ ÖÑÑôÒ ÐØÖÛÒ ÑÔÓÖ Ô Ò Ñô ØÓ ÖÙÓ Ñ ÐØÖ ÙÒÔ ØÓ Ñº ÌØÓÓ Ò ØÓ ÐØÖÓ Ñ ØÑº Ò D Ò ÒÓÐÓ ÑÛÒ Ñ ÔÖØØ ¾

6 ÔÐ ÖÑ K = (2M + )(2N + ) ÔÓÙ Ò ÙÑÑØÖ Û ÔÖÓ ØÓ ÑÓ ¼ ¼µ ÔÖÐÑÒ ØÓ ÑÓ ¼ ¼µº ÌÓ ÐØÖÓ Ñ ØÑ ØÒ Ü ÔÖ y(m, n) = Å {x(m k, n l) : (k, l) D}. º½¼µ À Ö Ø Ñ ØÑ ÔÖÓÔØ Ô Ø ØÜ ØÛÒ ØÑôÒ ØÓÙ ÙÒÐÓÙ {x(m k, n l) : (k, l) D}º À Ñ ØÑ Õ Ø ØÓ ØÑÒÓ ÒÓÐÓ (K +)/2 ÐÕ ØÓÔÓ ØÒ Ø³ ÔÐÙØ ØÑ ÔÐ M N k= M l= N y(m, n) x(m k, n l) = 0. ÌÓ ÐØÖÓ Ñ ØÑ Õ Ø ÐÓÙ ØØ Å [αx(m, n)] = αy(m, n) Å [α + x(m, n)] = α + y(m, n) Å [x (m, n)+x 2 (m, n)] Õ ÙÔÓÕÖÛØ Ñ Å [x (m, n)]+å [x 2 (m, n)] À ØÐÙØ ØØ ÕÒ Ø ØÓ ÐØÖÓ Ñ ØÑ Ò Ò ÖÑÑº À Ñ ÖÑÑ¹ ØØ ÔØÖÔ Ø ØÖ ØÛÒ ÑôÒ Ø Ò Ñ ØÙØÕÖÓÒ ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙº ËØÓ (a) (b) (c) ËÕÑ 9.4: ÅÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ñ ÐØÖÓ Ñ ØÑ Ñ ÐØÖÓ Ñ ØÑº ËÕÑ º Ø Ñ ÙÒØ Ò ØÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ñ³ Ò ÐØÖÓ Ñ ØÑ Ñ³ Ò ÐØÖÓ Ñ ØÑ Ø Ó Ø ÛÒ º Ò ÒÓÙÑ Ø ÙÔÓ ØÓ Ñ ØÓ ÖÙÓ ÔÛ ÙØ ÔÓÙ ÒÖÒ ØÒ ÔÖÔØÛ ØÛÒ ÖÑÑôÒ ÐØÖÛÒ Ò ÔÔÐÓÒ ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ÙÒÖØ ÔÙÒØØ ÔÒØØ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ò ÙÑÑØÖ ØØ ÑÔÖ Ñ ØÑ Ò Ñ ÑÖÐÔØ ØÑØÖ Ø ÛÖØ Ñ ØÑ ÔÓÙ Ô ØÙØÞØ Ñ Ø Ñ ØÑº ÔÓÒØ Ø ÑÛ Ø ÔÓÖ ØÓÙ ÓÖÓÙ ÜÖØØ Ô Ø ÙÒÖØ ÔÙÒØØ ÔÒØØ ØÓÙ ÓÖÓÙº ÔÓÒØ Ø Ó ÙÒØÐ Ø ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ β Ò. Ò Ó ÖÙÓ ØÒÑØ ÓÑÓÑÓÖ β = K Ò Ó ÖÙÓ ÓÐÓÙ ØÒ ÒÓÒ ØÒÓÑ β 2(K )+π π 43

7 3. Ò Ó ÖÙÓ ÓÐÓÙ ØÒ ØÒÓÑ Laplace, β 2K Ç ÑÐØÖÓ ÙÒØÐ Ø ÑÛ ÓÖÓÙ ØÒ ÔÖÔØÛ Ø ØÒÓÑ Laplace ÜØ ÐÛ ØÓÙ ÓÒØÓ Ø Ñ ØÑ ÔÓØÐ ØÒ ØÑ Ñ Ø ÔÒÓÒ Ø Û¹ ÖØ Ñ ØÙØÕÖÓÒ Ñ ØÑ Ø ÑØÐØº ÌÓ ÐØÖÓ Ñ ØÑ Õ Ô ÔÓÐ Ð Ô ØÒ ÔÖÔØÛ ØÓÙ ÖÓÙ ØÓ ÓÖÓÙ ÔÓÙ ÐÐÓôÒ Ø ÔÖÑØ ØÑ ÖÓ Ø Ñ ØÖ ÑÐ ØÑº ÒÖÓÒ ÔÖÓÙ Þ Ô Ó ÙÒÙ Ñ ØÛÒ ÐØÖÛÒ Ñ ØÑ ÑÒ Ñ µ ØÑ Ñ ØÓ ÐØÖÓ Ñ ØÑ ô Ø Ò ÜÓÔÓÓÒ Ø ØÓ ÙÒØ Ó ÔÙÑØ ØØ ØÛÒ Ó ÕÛÖ Ø ÑÓÒØÑØº ÌØÓÓ Ò ØÓ ØÖÓÔÓÔÓÑÒÓ ÐØÖÓ ÔÖÖÝ ÔÓÙ ÔÖÖÝ ÓÖ ÑÒÛÒ ØÑôÒ ÒØ Ñ ÕÖ ØÓÙ ÐØÖÓÙ Ñ ØÑ Ñ ØÑ ÒÕÑÒ ØÑ ÑÒ ØÒ ÔÖ ÔÖÓÖÞÑÒ ÑÒÓ Ø ÒÔÓÑÒÓÙ ØÑ y(m, n) = Mk= M Nl= N h(k, l)φ(x(m k, n l) Å [x(m, n)])x(m k, n l) Mk= M Nl= N h(k, l)φ(x(m k, n l) Å [x(m, n)]) ÔÓÙ φ(x) = { x δ 0 x > δ º½½µ À ØÑ ØÓÙ δ ÑÔÓÖ Ò ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ø ÔÓÖ ØÛÒ ØÑôÒ Ñ Ò ÔÓ Ó Ø ÔÖÖÝº 9.3 ÌÓÒ Ñ ÑôÒ Ç ØÓÒ Ñ ØÛÒ ÑôÒ ÑÔÓÖ Ò Ò Ø Ñ ÔÓÓ ÙÝÔÖØ ÐØÖÓ Ò Ó ÖÙÓ Ò ÕÑÐ Ø Ñ ÔÓÓ ÞÛÒÓÔÖØ ÐØÖÓ Ò ØÙØÕÖÓÒ ÔØØ ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙº ÈÖÑ ÙÝÔÖØÓ ÐØÖÓÙ Ò ÖØ ÙÐÓÔÓ ØÓÙ ÐÔÐ ÒÓ (Laplacian) ØÐ Ø h(m, n) = 4 m + n = 0 m + n = 0 ÐÐÓ (9.2) ÌÓ ÐØÖÓ Ñ ÖÓÙ Ø ÔÖ δ(m, n) λh(m, n) ÔÓÙ λ Ñ Ø ØÖ ØÒ ÜÓ ØÓÙ Ñ Ò Ñ ØÓÒ ÑÒ Ñº ³Ò ÞÛÒÓÔÖØ ÐØÖÓ ÑÔÓÖ Ò ÙÐÓÔÓ Ò Ñ ÓÖ Ó ÙÔÖØôÒ ÐØÖÛÒº ËÙÕÒ Û ÙÔÖØ ÐØÖÓ ÕÖ ÑÓÔÓØ ØÓ ÐØÖÓ Gauss (Ü Û 9.9). Ö Ò ÐÓÒ Ø ÓÖ Ó ÓÖØ ØÑ Ø ÔÖÑØÖÓÙ αº ³Ç Ó ÑÐØÖÓ Ò ØÓ α Ø Ó ÔÓ ÙÔÖØ Ò ØÓ ÐØÖÓ Ð Ø Ó ÔÓ ÔÖÓÖ¹ ÑÒÓ Ò ØÓ ÖÓ ØÛÒ ÙÕÒÓØØÛÒ ØÒ ÜÓÓ ØÓÙ ÐØÖÓÙº 9.4 ÅÙÒ ÔÖÑÓÐ ÈÓÐÐ ÓÖ Ò ÔÙÑØ ÑÙÒ Ò ØÑÑØÓ Ñ Òº À ÑÙÒ ÑÔÓÖ Ò ÔÖ Ø Ñ Ñ ÔÖÑÓÐ ÑÒôÒ Ø ÔÓÙ ÐÔÓÙÒ Ó ØÑ Ø Ò ÓÐÓÙÓÑÒ À ÙÒÖØ ÔÙÒØØ ÔÒØØ Ò ( p(x) = ) 2 x µ σ 2 exp σ 44

8 Ô Ò ÙÔÖØ ÐØÖÓº Ò ØÓ ÐØÖÓ Ò ÕÛÖ ÑÓ Ñ ½¹ ÖÓÙ Ø ÔÖ h(.) ÞØØ ÑÙÒ Ô Ó Ø Ø Ø Ò ØØ ØÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ÑÙÒ Ò y(m, n) = h(m 2k)h(n 2l)x(k, l). (9.3) À ÔÖ Ø ÙÕÒØØ Ò k= l= Y (u, v) = H(u)H(v)X(2u, 2v). º½µ Ò h(m) = m = 0 m = h(m) = 0 ÐÐÓ ØØ ÑÙÒ ÒØ Ñ ÔÐ ÒØÖ ØÛÒ ØÑôÒ Ø Òº ÓÖØ ÒØ ÔÖÑÓÐ ØÛÒ ØÑôÒ Ø Ò Ø Ñ ÔÓÙ Ò ØÒØ ØÑº ÃØÐÐÐÓ ØØÓÓ ÐØÖÓ Ò ÙØ Ø ÖÑÑ ÔÖÑÓÐ m 2 + n 2 = 0 0, 5 m h(m, n) = 2 + n 2 = 0, 25 m 2 + n 2 (9.5) = 2 0 ÐÐÓ À Õ ÓÙ»ÜÓÙ ÒØ x(k, l) m = 2k, n = 2l y(m, n) = 2 (x(k, l) + x(k +, l)) m = 2k +, n = 2l 2 (x(k, l) + x(k, l + )) m = 2k, n = 2l + (x(k, l) + x(k +, l) + x(k, l + ) + x(k +, l + )) m = 2k +, n = 2l + 4 ËØÓ ËÕÑ º Ø ØÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ÕÖ ØÓÙ ÐØÖÓÙ Ø Ü Û º½µ ØÓ ÔÐ Ñ ØÓÙ ÑÓÙ Ñ Òº (a) (b) ËÕÑ 9.5: ÔÐ Ñ ØÓÙ ÑÓÙ Ñ Òº 45

9 ÈÖÖØÑ ÔÓÖ Ø Ñ ØÑ À ÙÒÖØ ÔÙÒØØ ÔÒØØ Ø ØÑØÖ Ø Ñ ØÑ M k Ò f m (x) = (2k + )! (k!) 2 F(x) k ( F(x)) k f(x), ÔÓÙ f(x) Ò ÙÒÖØ ÔÙÒØØ ÔÒØØ Ø ÖÕ ÑØÐØ F(x) Ò ÖÓ Ø Ø ÔÒØØ K = 2k + Ò Ó ÖÑ ØÛÒ ÓÑÒÛÒº ÂÛÖÓÑ ØÒ ÖÕ ÑØÐØ ÓÑÓÑÓÖ ØÒÓÑ ØÓ ØÑ [ 2, 2 ]º ÙÖ ÓÙÑ ÔÓÑÒÛ ( ) (2k + )! k f m (x) = (k!) 2 4 x2, x 2. ÄÛ ÙÑÑØÖ ÔÖÓÔØ ÓÐ Ø ÔÖÓ ÓØ ØÑ Ø ØÑØÖ Ø Ñ ØÑ Ò ÑÒº ÓÑÒÓÙ Ø ÓÐ ÔÒØØ Ò ½ ÕÓÙÑ /2 /2 ÇÔØ ÔÓÖ Ø M k Ò = (2k + )! (k!) 2 = 4 var{m k } = (2k + )! (k!) 2 /2 /2 ( 4 x2 ) k dx =. ( ) (2k + )! k (k!) 2 x 2 4 x2 dx ( /2 ( ) k /2 ( ) k+ 4 /2 4 x2 dx dx) /2 4 x2 (2k + )! ((k + )!) 2 (k!) 2 (2k + 3)! Ó ÔÓÖ Ø ÖÕ ÑØÐØ Ò ÕÖ Ø Ñ ØÑ Ò = 4 k + 2(2k + 3) = 4(2k + 3). 2 Ó ÙÒØÐ Ø ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ñ β = 2k = K

10 . Ø Ñ Ò 8 8 ÑÛÒ Û ÓÐÓÛº ØØ ØÖÓÔÓÔÓ ØÛÒ ØÑôÒ Ø Ò ô Ø Ò Ü ÓÖÖÓÔ ØÓ ØÖÑÑ ØÓ ØÑ ÑØÜ ¼ º 2. ÂÛÖ Ø ØÓ ÖÑÑ ÐØÖÓ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÔÖ ØÓ ØØÓ ¾¹µ Ñ x(m, n) Ò y(m, n) ô Ø y(m, n) = 6 ÔÓÙ g(0) = 4, g() = 2 g(2) =. k= l= g( k + l )x(m k, n l), (a) Ò ØÓ ÔÖÔÒÛ ÐØÖÓ ÑØÐØÓ ÑØØÔ ; ô Ø ØÒ ÖÓÙ Ø ÔÖ ØÓÙ ÐØÖÓÙ ØÓ ÑØ ÕÑØ Ñ Fourier Ø ÖÓÙ Ø ÔÖ º (b) Ò ØÓ ÐØÖÓ ÙØ ÕÛÖ ÑÓ; Ë ÖÑØ ÖÛÒ ÖÑôÒ ÔÛ ÑÔÓÖ Ò ÙÐÓÔÓ ØÓ ÐØÖÓ ÕÛÖ ÔÓÐÐÔÐ ÑÓ; È ÔÖÓ ÔØÓÒØ Ò ÑÓ; Ø Ø ÔÓÖ ØÓÙ ÓÖÓÙ ØÒ ÜÓÓ Ò ÐØÖÓÙ h(m, n) Ò σ 2 h = σ 2 (m, n) Z 2 h 2 (m, n), ÔÓÙ σ 2 Ò ÔÓÖ ØÓÙ ÓÖÓÙ ØÒ ÓÓ ØÓÙ ÐØÖÓÙº (c) ÈÓ Ò ÔÓÖ ØÓÙ ÓÖÓÙ ØÒ ÜÓÓ ØÓÙ ÔÖÔÒÛ ÐØÖÓÙ; (d) ÈÓ ÒÔÑØÓ ÔÓØÐ Ñ ÑÔÓÖ Ò Õ ÕÖ ÙØÓ ØÓÙ ÐØÖÓÙ ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ; ØÒ ØÓÔ ÔÖÓ ÖÑÓ { Ø ÓÖØ ÔÖÓÕ Ø Ò ÛÖ Ø Ø 0 ψ > δ ÙÒÖØ φ(ψ) = ØÓ ÐØÖÓ Ñ ØÒ ÐÓÙ ÔÖ ψ δ y(m, n) = k= l= φ(x(m k, n l) x(m, n))g( k + l )x(m k, n l) k= l=. φ(x(m k, n l) x(m, n))g( k + l ) (e) Ò ÙØ ØÓ ÐØÖÓ ÖÑÑ; 47

11 3. ÓÒØ Ø ÐÓÙ ØØ ÖØ ÑØ ((m, n) Z 2 ): u(m, n) = { m 0 n 0 0 ÐÐô { n 0 s 0 (m, n) = 0 ÐÐô { m + n 0 s (m, n) = 0 ÐÐô (a) Æ ÙÖ ÔÖ Ø ÔÖÔÒÛ ÑØ ØÓÙ ÐØÖÓÙ ÒÑ ØÑ Ø ÐÓÙ ÒÓÐ ÑÛÒ D = {(k, l) : k 2 +l 2 } D 2 = {(k, l) : k 2 +l 2 2} Ô ÔÖ Ò ÕÛÖ ÑÓ ÐØÖÓ Ñ ØÑ ØÖôÒ ÑÛÒ ÙÒØØÑÒº ÔÓ ÐØÖ Ø ÔÖÔÒÛ ÑØ ÔÖÑÒÓÙÒ ÒÐÐÓÛØ; Å ÔÖÓÙ ÒÜÖØØÓÙ ÖÓ ØÓ ÓÑÓÑÓÖ ØÒÑÑÒÓÙ ÓÖÓÙ ÔÓ Ò Ó ÙÒØÐ Ø ÑÛ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ø ØÖ ÔÖÔØô ÐØÖÓÙ ÒÑ ØÑ; (b) Æ ÙÖ ÔÖ Ø ÔÖÔÒÛ ÑØ ØÛÒ ÐÓÙÛÒ Ó ÐØÖÛÒ ÙÐÓÔÓ ØÓÙ ÐÔÐ ÒÓ ØÐ Ø h (m, n) = 4 m 2 + n 2 = 0 m 2 + n 2 = 0 m 2 + n 2 > 4 m 2 + n 2 = 0 h 2 (m, n) = 0, 5 m 2 + n 2 = Ø m 2 + n 2 = 2 0 m 2 + n 2 > 2 ËÙÖÒØ Ø ÙÑÔÖÓÖ ØÛÒ Ó ÐØÖÛÒ ÛÒ ØÒ Ù ØÓÙ ØÒ ØÙÒ Ñ Ùº ËØÒ ÔÖÔØÛ ÔÖÜ ÒÜÖØØÓÙ ÖÓ ØÓ ÓÖÓÙ Ø ÔÖÔÒÛ ÐØÖ ØÓÒ ÑôÒÓÙÒ ØÓÒ Ò ÕÓÙÒ Ñ ÔÓ ÙÒØÐ Ø; 48

12 Σημειώματα Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας «Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων - Βελτίωση εικόνων». Έκδοση:.0. Ηράκλειο 205. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

13 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 11 ÅÑØ ÑÓÖÓÐÓ 11.1 ÅÓÖÓÐÓ ÔÜÖ ÙôÒ ÒÛÒ À ÑÑØ