1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου. Να υπολογίσετε το ύψος στην υποτείνουσα. Π = 8 άρα + + = 8 άρα 3x 3+ x + 3x + 1 = 8 10x =50 x = 5 cm Οπότε = 1cm, = 16 cm, = 0 cm = 0 = 00 και + = 1 + 16 = = 1 + 56 = 00 Άρα = + εποµένως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την. () = 1 1 = = 96 cm 1 16 ν είναι το ύψος στην υποτείνουσα, τότε () = 1 άρα 96 = 1 0 96 = 10 = 96: 10 = 9,6 cm. Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει παράπλευρη επιφάνεια µε εµβαδόν Ε π = 0cm και απόστηµα 10cm. Να υπολογίσετε την πλευρά α της βάσης της πυραµίδας. ν η πλευρά της τετραγωνικής βάσης είναι α = 1 cm, να υπολογίσετε το ύψος της πυραµίδας. Να βρείτε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο της πυραµίδας. Το σχήµα του προβλήµατος φαίνεται δίπλα Έστω α η πλευρά της βάσης. Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης) (απόστηµ Κ Άρα 0 = 1 α 10 απ όπου α = 1cm Ο Ρ
Έστω ΚΟ το ύψος της πυραµίδας. Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΚΟΡ : ΚΟ = ΚΡ ΟΡ = 10 6 = =100 36 = 6 άρα ΚΟ = 6 = 8 cm Ε βάσης = α = 1 = 1 cm οπότε Ε ολικό = Ε παράπλευρο + Ε βάσης = = 0 + 1 = 38 cm V = 1 1 (εµβαδόν βάσης )( ύψος) = = 38 cm3 3 3 1 8 3. Στο διπλανό σχήµα το είναι τραπέζιο µε = = 90 ο, = 10cm, = 6cm και = 18cm. Η είναι διάµετρος του ηµικυκλίου Ε. Να υπολογίσετε την περίµετρο του τραπεζίου Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου Να υπολογίσετε το µήκος της γραµµής Ε 6cm 10cm Ζ 18cm Να υπολογίσετε το εµβαδόν του σχήµατος Ε Φέρνουµε το ύψος Ζ. Τότε το Ζ είναι ορθογώνιο, οπότε Ζ = = 10cm και Ζ = = 6cm. Τότε Ζ = Ζ = 18 10 = 8cm Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ζ: = Ζ + Ζ = 6 + 8 = 36 + 6 = 100 άρα = 100 = 10 cm Η περίµετρος Π του τραπεζίου είναι ίση µε Π = + + + = = 10 + 10 + 18 + 6 = = cm () = ( + ) Ζ (10+ 18)6 = = 8 cm 10 Το ηµικύκλιο Ε έχει ακτίνα ρ = = = 5cm πρ Άρα το µήκος του είναι l = = πρ = 3,1 5 = 15,7 cm Το µήκος της γραµµής Ε είναι : 10 + 15,7 + 18 + 6 = 9, 7 cm πρ 3,1 5 Το εµβαδόν του ηµικυκλίου είναι ίσο µε Ε = = = 39,5 cm Το ζητούµενο εµβαδόν είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών του ηµικυκλίου και του τραπεζίου, δηλαδή ίσο µε : 8 + 39,5 = 13,5 cm Ε
3. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ο ) είναι εφ = 3 και = 8cm. Να υπολογίσετε : Την πλευρά Τα ηµ και συν Το εµβαδόν του τριγώνου Το ύψος στην υποτείνουσα εφ = άρα 3 = 8 = = 6cm Πυθαγόρειο στο τρίγωνο : = + = 8 + 6 = 6 + 36 = 100 οπότε = 100 = 10 cm ηµ = = 8 10 = και συν = 5 = 6 10 = 3 5 1 1 () = = = cm 8 6 8cm ν είναι το ύψος στην υποτείνουσα, τότε ηµ = 5 = 6 5 = = :5 =,8 cm
5. Το 1 ο δεκαήµερο του Ιουνίου η µέγιστη θερµοκρασία που παρατηρήθηκε στην Πάτρα ήταν 18, 17, 18, 0, 16, 0, 0, 18, 18, 16 Να συµπληρώσετε τον πίνακα Θερµοκρασία ιαλογή Συχνότητα Σχ. % συχνότητα Σύνολο Να σχεδιάσετε το ραβδόγραµµα συχνοτήτων και το κυκλικό διάγραµµα των σχετικών % συχνοτήτων Να βρείτε την µέση τιµή και την διάµεσο της κατανοµής Ο πίνακας συµπληρωµένος φαίνεται παρακάτω Θερµοκρασία ιαλογή Συχνότητα Σχ. % συχνότητα 16 0 17 1 10 18 0 0 3 30 Σύνολο 10 100 Το ραβδόγραµµα συχνοτήτων φαίνεται δίπλα. Στον παρακάτω πίνακα προσδιορίζουµε τις γωνίες του κυκλικού διαγράµµατος Τιµές 16 17 18 0 Σύνολο ωνία 10 360ο = 7 ο 1 10 360ο = 36 ο 10 360ο =1 ο 3 10 360ο =108 ο 360 ο Το κυκλικό διάγραµµα φαίνεται δίπλα συχνότητα 3 1 16 17 18 0 θερµοκρασία Θερµοκρασία το 1ο δεκαήµερο του Ιουνίου 17 10% 18 0% 16 0% 0 30%
5 6. Στον διπλανό σχήµα, η ακτίνα του κύκλου είναι 3 cm, Ο = 0 ο και ο κυκλικός τοµέας Ο έχει εµβαδόν διπλάσιο από το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα Ο. Να βρείτε το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα Ο Να βρείτε την γωνία Ο Να υπολογίσετε το εµβαδόν της γραµµοσκιασµένης περιοχής πρ µ Ε = 360 = 3,1 3 0 = 3,1 cm 360 Ε κ.τ Ο = 3,1 = 6,8 cm 3,1 3 µ A O 0 ο ν µ ο είναι η γωνία του, τότε 6,8 = άρα 6,8 360 = 3,1 9µ 360 απ όπου µ = 80 ο Το εµβαδόν της γραµµοσκιασµένης περιοχής προκύπτει αν από το εµβαδόν του κύκλου αφαιρέσουµε το εµβαδόν των δύο κυκλικών τοµέων Ο και Ο. Ε κύκλου = 3,1 3 = 8,6 οπότε Ε ζητούµενο = 8,6 3,1 6,8 = 18,8 cm B 7. Στο διπλανό κώνο, η παράπλευρη επιφάνεια έχει εµβαδόν Ε π = 60π cm και η γενέτειρα λ έχει µήκος 10cm. λ Να βρείτε την ακτίνα ρ της βάσης του κώνου. ν ρ = 6cm, να υπολογίσετε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του κώνου. Ο πό τον τύπο Ε π = π ρ λ και την υπόθεση έχουµε ότι 60π = π ρ 10 άρα ρ = 6 cm Ε β = π 6 = 36π cm οπότε Ε ολικό = Ε π + Ε β = 60π + 36π = 96π cm Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ο : Ο = Ο = = 10 6 = = 100 36 = 6 Άρα το ύψος Ο του κώνου είναι Ο = 6 = 8 cm και εποµένως ο όγκος V είναι ίσος µε V = 1 (εµβαδόν βάσης ) (ύψος) = 3 1 = = 96π cm3 3 36π 8
6 8. Έστω η ευθεία (ε) µε εξίσωση y = x Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής της (ε) µε τους άξονες του ορθοκανονικού συστήµατος συντεταγµένων. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της παραπάνω ευθείας. Πως διαµορφώνεται η γραφική παράσταση αν 1 x ; Να βρείτε το λ ώστε το σηµείο (λ 1, λ + 3) να ανήκει στην παραπάνω ευθεία. ε) Να βρείτε τη εξίσωση µιας άλλης ευθείας (, η οποία είναι παράλληλη στην (ε) και διέρχεται από το σηµείο Μ(, 5) πό την εξίσωση y = x, για x = 0 έχουµε y =, εποµένως το σηµείο τοµής της ευθείας µε τον άξονα των y είναι το (0, ). Επίσης για y = 0 έχουµε x =, εποµένως το σηµείο τοµής µε τον άξονα των x είναι το (, 0). Η γραφική παράσταση φαίνεται δίπλα ν 1 x τότε η γραφική παράσταση είναι το κόκκινο ευθύγραµµο τµήµα. Θα πρέπει να ισχύει λ + 3 = ( λ 1) λ + 3 = λ 3λ = 9 άρα λ = 3 ε) ν y = αx + β η ζητούµενη ευθεία (, Τότε, λόγω της παραλληλίας των (ε) και (, είναι α =. Εποµένως η εξίσωση της ( γίνεται y = x + β Και επειδή διέρχεται από το σηµείο (, 5), είναι 5 = + β άρα β = 1. Εποµένως η εξίσωση της ( είναι η y = x + 1 x y -1 Ο y - -6 x
7 9. Στο διπλανό τραπέζιο είναι = cm, cm = = 90 ο και ɵ = 30 ο και = 6cm. 6cm κόµα δίνεται ότι 3 = 1,73 Να υπολογίσετε την περίµετρο και το εµβαδόν 30 ο του τραπεζίου. Ε Φέρνουµε το ύψος Ε. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ε έχουµε ηµ = Ε οπότε ηµ30 ο Ε = 6 1 = Ε 6 Ε = 3 cm και Επίσης συν = Ε οπότε Ε συν30ο = 6 3 = Ε 6 Ε = 3 3 = 3 1,73 = 5,19 cm πό το ορθογώνιο Ε είναι Ε = = cm και A = BE = 3cm Μετά από αυτά = Ε + Ε = + 5,19 = 7,19 Περίµετρος Π του τραπεζίου είναι Π = + + + = = + 6 + 7,19 + 3 = = 18,19 cm () = ( + ) Ε (+ 7,19)3 = = 13,785 cm
8 50. Το διπλανό ορθογώνιο έχει διαστάσεις = 10 cm και = 16cm. Με κέντρο το και ακτίνα 10cm γράφουµε το τεταρτοκύκλιο ΘΗ στο εσωτερικό του ορθογωνίου και µε διάµετρο την γράφουµε το ηµικύκλιο Ε στο εσωτερικό του ορθογωνίου Να υπολογίσετε : Το εµβαδόν του ορθογωνίου 10cm 16cm Το εµβαδόν του τετραγώνου µε πλευρά την διαγώνιο του ορθογωνίου Το µήκος της γραµµής ΕΗΘ Το εµβαδόν της περιοχής που περικλείεται από την γραµµή ΕΗΘ (γραµµοσκιασµένη ) () = 10 16 = 160cm Πυθαγόρειο στο τρίγωνο : = + = = 10 + 16 = =100 + 56 = 356 Εποµένως το τετράγωνο µε πλευρά την έχει εµβαδόν Ε = = 356cm Το µήκος l του τόξου ΘΗ είναι l = πρ 3,1 10 = = 15,7cm Το µήκος του ηµικυκλίου Εείναι l = πρ = 3,1 5 = 15,7 cm Η = BH = 16 10 = 6 cm Εποµένως το µήκος της γραµµής ΕΗΘ = 16 + 15,7 + 6 + 15,7 = 53, cm Το ζητούµενο εµβαδόν προκύπτει αν από το εµβαδόν του ορθογωνίου αφαιρέσουµε το εµβαδόν του τεταρτοκυκλίου και το εµβαδόν του ηµικυκλίου. πρ Ε τεταρτοκυκλίου = = 3,1 10 = 78,5cm πρ 3,1 5 Ε ηµικυκλίου = = = 39,5 cm οπότε Ε zητούµενο = 160 78,5 39,5 =,5 cm Θ Η Ε