Äy t. -y t-1. =(1-L)y t. =y t

56 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ 2.9 ÔåëåóôÞò ÕóôÝñçóçò Óôçí áíüëõóç ôùí ñïíïëïãéêþí óåéñþí ñçóéìïðïéåßôáé óõ íü ï ôåëåóôþò õóôýñçóçò (lag operator) ï ïðïßïò äéåõêïëýíåé ôá ìýãéóôá ôç äéåîáãùãþ ôùí áëãåâñéêþí ðñüîåùí. Áõôüò óõìâïëßæåôáé ìå ôï ãñüììá L êáé ìåôáôïðßæåé ñïíéêü ðñïò ôá ðßóù ôç ìåôáâëçôþ ðïõ ðïëëáðëáóéüæåé, äçëáäþ /\ \ ÊáôÜ ôïí ßäéï ôñüðï /\ //\ /\ \ êáé ãåíéêü M /\ \ M j0,1,2... (2.22) Ðáñüìïéá ïé ðñþôåò äéáöïñýò ôçò y t ìðïñïýí íá ãñáöïýí ùò Äy t y t -y t-1 (1-L)y t Ìå ôïí ôåëåóôþ õóôýñçóçò ìðïñïýìå íá åêôåëýóïõìå êáíïíéêü üëåò ôéò áëãåâñéêýò ðñüîåéò. Ãéá ðáñüäåéãìá, ôï õðüäåéãìá $5ðïõ ïñßóáìå óôçí (2.16) ãñüöåôáé ùò Þ i/ \ n \ i/ n i/ n 1 6 (2.22á) óôçí ïðïßá, ãéá i <, ï üñïò (1-áL) -1 ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò ôï üñéï ìéáò ãåùìåôñéêþò ðñïüäïõ áðåßñïõ ôüîåùò, ïðüôå êáé Üñá 1 i/ 6 + i/ + i / + M M \ i/n M M M in M (2.22â)

ÓÕÃ ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 57 Ç ó Ýóç áõôþ åßíáé ßäéá ìå ôç (2.17á) êáé áðïôåëåß ìéá ìïñöþ êéíçôþí ìýóùí (ÌÁ) ôïõ AR(1) õðïäåßãìáôïò, üðùò èá äïýìå ðéï äéåîïäéêü óå åðüìåíç åíüôçôá. 2.10 Áõôïðáëßíäñïìï Õðüäåéãìá ÄåõôÝñáò ÔÜîåùò, AR(2) H ãåíéêþ ìïñöþ ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò åßíáé óýìöùíá ìå ôç (2.13): l+ i + i + n (2.23) Þ ãéá ñïíïëïãéêþ óåéñü y t ìå ìýóï ìçäýí: \ i \ + i \ + n (2.23á) üðïõ ôá ìéêñü ãñüììáôá y t äçëþíïõí áðïêëßóåéò áðü ôï ìýóï. Áêïëïõèþíôáò ôçí ßäéá äéáäéêáóßá üðùò ðñïçãïýìåíá ãéá ôï AR(1), âñßóêïõìå üôé ï ìýóïò åßíáé: u l i i (2.24á) Ãéá íá åßíáé ðåðåñáóìýíïò ï ìýóïò ì, ç ó Ýóç (2.24á) óõíåðüãåôáé üôé èá ðñýðåé á 1 +á 2 <1 ÁõôÞ áðïôåëåß êáé ìéá ðñþôç óõíèþêç ãéá ôçí óôáóéìüôçôá ôçò óåéñüò y t. Ãéá ôç äéáêýìáíóç èá Ý ïõìå: m ( \ ( \ i \ + i \ + n im + i m y n (2.24â) Ïw}\ < uripy n ( n ðïõ ðñïýêõøå áðü áíôéêáôüóôáóç ôïõ y t óôçí áíáìåíüìåíç ôéìþ c \n (n. ñçóéìïðïéþíôáò ôïí ïñéóìü ôïõ 1 6 3 8

58 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ ôåëåóôþ õóôýñçóçò (2.22), ôï AR(2) õðüäåéãìá ãñüöåôáé ùò i/ i / \ n (2.25) Þ ïñßæïíôáò ôï ðïëõþíõìï ôïõ L óôçí ðáñýíèåóç ùò Á(L), ç (2.25) ëáìâüíåé ôç óõíïðôéêþ ìïñöþ: 16 $/\ n Áí åîéóþóïõìå ôï áñéóôåñü ìýëïò ìå ôï ìçäýí ôüôå Ý ïõìå ôçí ïìïãåíþ ìïñöþ ôçò åîßóùóçò äéáöïñþí (difference equation) ðïõ ïñßæåé ç (2.25). Ç ëýóç ôçò åîßóùóçò áõôþò åîáñôüôáé áðü ôéò ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò (characteristic equation): ; i ; i (2.25á) ÁõôÞ åßíáé ìéá äåõôåñïâüèìéá åîßóùóç ïé ñßæåò ôéò ïðïßáò, Ýóôù s êáé s, éêáíïðïéïýí ôç óõíèþêç: (X - ë 1 ) ( - ë 2 ) 0 êáé óõíäýïíôáé ìå ôéò ðáñáìýôñïõò á ùò åîþò: ë 1 + ë 2 á 1 êáé ë 1 ë 2 - á 2 Ïé ñßæåò ôçò äåõôåñïâüèìéáò åîßóùóçò (2.25á) õðïëïãßæïíôáé áðü ôïí ãíùóôü ôýðï: 4 9 (2.25â) s s i ± i + i Ïé ñßæåò áõôýò ìðïñåß íá åßíáé åßôå ðñáãìáôéêýò åßôå ìéãáäéêýò áíüëïãá ìå ôï áí ç äéáêñßíïõóá (ç ðïóüôçôá êüôù áðü ôï ñéæéêü) åßíáé èåôéêþ Þ áñíçôéêþ áíôßóôïé á. Áðïäåéêíýåôáé üôé ãéá ôçí ýðáñîç óôáóéìüôçôáò ôçò ñïíïëïãéêþò óåéñüò ïé ñßæåò (2.25â) ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò (2.25á) èá ðñýðåé íá

ÓÕà ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 59 åßíáé ñßæåò ìéêñüôåñåò ôçò ìïíüäáò óå áðüëõôåò ôéìýò ë 1 <1 êáé ë 2 <1 (2.25ã) Ïé óõíèþêåò áõôýò ðñïêýðôïõí êáô áíáëïãßá ðñïò ôá AR(1) õðïäåßãìáôá. Ãéá íá ôï äåßîïõìå áõôü ðñïâáßíïõìå ðñþôá óå ðáñáãïíôïðïßçóç ôïõ ðïëõùíýìïõ A(L) ôçò 2.25: 16 3 8 1 61 6 $/ i/ i/ s/ s/ (2.25ä) üðïõ ë 1 êáé ë 2 åßíáé ïé ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò (2.25á). ÅíáëëáêôéêÜ ç (2.25ä) ðñïêýðôåé áí èýóïõìå óôç (2.25á) üðïõ 1/L êáé ðïëëáðëáóéüóïõìå êáôü ìýëç ìå L 2. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò êáôü ìýëç ôç (2.25) ìå ôï áíôßóôñïöï ðïëõþíõìï A(L) -1 ëáìâüíïõìå: \ $ / n 16 s/ s / n u s/ n Y s/ n + 1 61 6 üðïõ ì - ë 1 /(ë 2 - ë 1 ) êáé v ë 2 /(ë 2 - ë 1 ). Óõãêñßíïíôáò ôçí ôåëåõôáßá ó Ýóç ìå ôçí áíôßóôïé ç (2.22á) ôïõ AR(1) õðïäåßãìáôïò, óõìðåñáßíïõìå üôé ãéá ôç óôáóéìüôçôá ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò áðáéôïýíôáé ïé óõíèþêåò (2.25ã), äçëáäþ üôé ïé ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò íá åßíáé ìéêñüôåñåò ôçò ìïíüäáò óå áðüëõôåò ôéìýò Þ üðùò óõíçèßæåôáé íá ëýãåôáé èá ðñýðåé íá âñßóêïíôáé åíôüò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ (within the unit circle). ÌåñéêÝò öïñýò ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò äéáôõðþíïíôáé óå ó Ýóç ìå ôï ðïëõþíõìï (2.25ä). ÅðåéäÞ ïé ñßæåò ôïõ ðïëõùíýìïõ áõôïý åßíáé 1/ë 1, 1/ë 2 êáé áöïý ç óôáóéìüôçôá åðéâüëëåé s < s < ìðïñïýìå åíáëëáêôéêü íá ëýìå üôé ïé ñßæåò ôïõ Á(L) èá ðñýðåé íá âñßóêïíôáé åêôüò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ (outside the unit circle).

60 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ Ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò (2.25ã) óõíåðüãïíôáé ôïõò åîþò ðåñéïñéóìïýò ãéá ôéò ôéìýò ôùí ðáñáìýôñùí á 1 êáé á 2 ðïõ õðåéóýñ ïíôáé óôïí õðïëïãéóìü ôùí ñéæþí ë 1 êáé ë 2 : á 1 + á 2 <1 á 2 - á 1 <1 (2.26) á 2 <1 Ïé óõíèþêåò (2.26) áðïôåëïýí ôéò óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò. ÅíáëëáêôéêÜ ïé åðéôñåðüìåíåò ôéìýò ôùí á 1 êáé á 2 êáèïñßæïíôáé áðü ôïí ãåùìåôñéêü ôüðï üëùí ôùí óçìåßùí ðïõ âñßóêïíôáé ìýóá óôï ôñßãùíï Áàôïõ ðáñáêüôù ó Þìáôïò. ÄéÜãñáììá 2.6 ÓõíèÞêåò Óôáóéìüôçôáò AR(2) Õðïäåßãìáôïò i $ i % Ôï ôüîï ÁÆ åßíáé ôï üñéï ðïõ äéá ùñßæåé ôçí ðåñéï Þ üðïõ ïé ñßæåò åßíáé ðñáãìáôéêýò áðü áõôþí ôùí öáíôáóôéêþí. ôóé üëá ôá óçìåßá ðüíù óôï ôüîï ÁÆ áíôéóôïé ïýí óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç äéáêñßíïõóá b i + i åßíáé ìçäýí (Ä0), ç ðåñéï Þ ðüíù áðü ôï ôüîï êáé ìýóá óôï üñéï ðïõ êáèïñßæïõí ïé åõèåßåò Áà êáé àáíôéóôïé åß óôçí ðåñßðôùóç ôùí ðñáãìáôéêþí ñéæþí (Ä>0). ÔÝëïò, ç ðåñéï Þ êüôù áðü ôï ôüîï êáé ðüíù áðü ôï åõèýãñáììï ôìþìá Á áíôéóôïé åß óôçí ðåñßðôùóç ôùí ìéãáäéêþí ñéæþí (Ä<0).

ÓÕÃ ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 61 Óõíïøßæïíôáò, ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò å- ðéâüëëïõí ðåñéïñéóìïýò óôéò ðáñáìýôñïõò i êáé i ôïõ áõôïðáëßíäñïìïõ õðïäåßãìáôïò ïé ïðïßïé äéáóöáëßæïíôáé üôáí ïé ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ áíôéóôïé åß óôï AR(2) åßíáé üëåò åíôüò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ, äçëáäþ ìýóá óôïí ôñéãùíéêü þñï ÁÃÂ. 2.11 Áõôïðáëßíäñïìï Õðüäåéãìá AR(p) ÔÜîåùò Ç ãåíéêþ ìïñöþ åíüò áõôïðáëßíäñïìïõ õðïäåßãìáôïò p ôüîåùò ïñßóôçêå óôç (2.13) êáé ìðïñåß íá åêöñáóôåß óå üñïõò ôïõ ôåëåóôþ õóôýñçóçò (2.22) ùò åîþò: S i/ i / \ n üðïõ ôï \ åêöñüæåôáé óå áðïêëßóåéò áðü ôïõò ìýóïõò, äçëáäþ \ ( u l i i is ìå âüóç ôçí (2.24á). Ðáñüìïéá ìå ôï AR(2) õðüäåéãìá, ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò ãéá ôï ÁR(p) õðüäåéãìá ðñïóäéïñßæïíôáé áðü ôéò ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò S S S ; i ; i (2.27) ôóé ãéá íá åßíáé óôüóéìï Ýíá AR(p) õðüäåéãìá èá ðñýðåé ïé ñßæåò ôçò ðáñáðüíù áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò íá åßíáé üëåò ìéêñüôåñåò ôçò ìïíüäáò óå áðüëõôåò ôéìýò Þ áëëéþò íá âñßóêïíôáé üëåò ìýóá óôï ìïíáäéáßï êýêëï 4. Óôç âéâëéïãñáößá õðüñ åé êáé Ýíáò åíáëëáêôéêüò ôñüðïò ðñïóäéïñéóìïý ôùí óõíèçêþí óôáóéìüôçôáò. Áõôüò âáóßæåôáé óôï ðïëõþíõìï ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôï (2.27) áí áíôéêáôáóôþóïõìå ôï ìå 1/L êáé ìåôü ðïëëáðëáóéüóïõìå êáôü ìýëç ôçí åîßóùóç ìå / S ïðüôå ëáìâüíïõìå ôï ðïëõþíõìï: S S i/ i / (2.27á) S 4 Ãéá ðåñéóóüôåñåò ëåðôïìýñåéåò óôï èýìá ôùí óõíèçêþí óôáóéìüôçôáò ôùí AR(p) õðïäåéãìüôùí âëýðå Box, Jenkins and Reinsel (1994), Hamilton (1994), Enders (1995) ê.á.

62 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ Ãéá ôç óôáóéìüôçôá ôïõ AR(p) õðïäåßãìáôïò óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èá ðñýðåé íá éó ýåé ç áíôßóôñïöç ôçò ðñïçãïýìåíçò óõíèþêçò, äçëáäþ ïé ñßæåò ôïõ ðïëõùíýìïõ (2.27á) íá åßíáé üëåò ìåãáëýôåñåò ôçò ìïíüäáò óå áðüëõôåò ôéìýò Þ áëëéþò íá âñßóêïíôáé Ýîù áðü ôï ìïíáäéáßï êýêëï. ÅðïìÝíùò ñåéüæåôáé ðñïóï Þ óå ó Ýóç ìå ôï ðïéü ìïñöþ ðïëõþíõìïõ [(2.27) Þ (2.27á)] åðéëýãåé êáíåßò ðñïêåéìýíïõ íá äéáôõðþóåé ôéò óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò. 2.12 ÓõíáñôÞóåéò Áõôïóõó Ýôéóçò ãéá Õðïäåßãìáôá ÌïñöÞò AR Ç óõíüñôçóç áõôïóõó Ýôéóçò ãéá ôï AR(1) õðüäåéãìá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç (2. 21á). Ãéá ôï AR(2) õðüäåéãìá ïé áõôïóõó åôßóåéò õðïëïãßæïíôáé åýêïëá áêïëïõèþíôáò ôçí åîþò äéáäéêáóßá. Áðü ôï õðüäåéãìá (2.23á) ðïëëáðëáóéüæïíôáò ìå \, \ Þ ãåíéêü \ N êáé ðáßñíïíôáò áíáìåíüìåíåò ôéìýò ðñïêýðôïõí ïé óõíäéáêõìüíóåéò: m ( \ \ N N (\ i\ + i \ + n N im + i m 1 6 N N êáèüóïí ìå âüóç ôçí (2.19á) (\ Nn mpi N (2.28) Äéáéñþíôáò ìå ã 0 ëáìâüíïõìå ôç óõíüñôçóç áõôïóõó Ýôéóçò ùò óõíüñôçóç ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò: x i x + i x N (2.29) N N N ôóé ãéá k1,2 ëáìâüíïõìå ôéò äýï ðñþôåò áõôïóõó åôßóåéò ñ 1 êáé ñ 2 : x i + i x x i x + i

ÓÕà ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 63 ïðüôå ëýíïíôáò ùò ðñïò ñ 1 êáé ñ 2 Ý ïõìå åêöñüóåé ôïõò óõíôåëåóôýò áõôïóõó Ýôéóçò óå üñïõò ôùí áõôïðáëéíäñïìéêþí óõíôåëåóôþí á 1 êáé á 2 : x i i i êáé x i + (2.29á) i Oé õðüëïéðïé óõíôåëåóôýò áõôïóõó Ýôéóçò ñ k, k>2 õðïëïãßæïíôáé ìå âüóç ôç ó Ýóç (2.28) ñçóéìïðïéþíôáò ôéò ôéìýò ôùí ñ 1 êáé ñ 2 áðü ôçí (2.29á). Ðáñüìïéá ìå ôá ÁR(2) õðïäåßãìáôá, ìðïñïýìå íá åêöñüóïõìå ôïõò óõíôåëåóôýò áõôïóõó Ýôéóçò xn N S åíüò AR(p) õðïäåßãìáôïò óå üñïõò ôùí áõôïðáëéíäñïìéêþí óõíôåëåóôþí ill S. Ïé ó Ýóåéò áõôýò åßíáé ãíùóôýò ùò åîéóþóåéò ôùí Yule-alker êáé, üðùò áðïäåéêíýåôáé óôï ÐáñÜñôçìá Á ðïõ ðáñáôßèåôáé óôï ôýëïò ôïõ âéâëßïõ, ðñïêýðôïõí ëýíïíôáò ôï óýóôçìá ôùí åîéóþóåùí: xn ixn + ixn + + isxn SN S (2.30) ÅðïìÝíùò ç ìïñöþ ôçò óõíüñôçóçò áõôïóõó Ýôéóçò åíüò AR(p) õ- ðïäåßãìáôïò åîáñôüôáé áðü ôéò ôéìýò ðïõ ëáìâüíïõí ïé ðáñüìåôñïé ôïõ áõôïðáëßíäñïìïõ õðïäåßãìáôïò á 1, á 2,...,á p. ¼ðùò Ý åé äåé èåß ãéá ôï AR(2) õðüäåéãìá áí ïé ðáñüìåôñïé ðëçñïýí ôéò óõíèþêåò (2.26) ôüôå ç óåéñü Y t åßíáé óôüóéìç. Ïé óõíèþêåò áõôýò äéáóöáëßæïõí êáé ôçí ðïñåßá ôùí ñ ê. ÐñÜãìáôé ç åîßóùóç (2.29) [Þ ãåíéêü ç (2.30] áðïôåëåß ìéá åîßóùóç äéáöïñþí, ç ãåíéêþ ëýóç ôçò ïðïßáò åîáñôüôáé áðü ôéò ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ Á(L): (1 -á 1 L - á 2 L 2 ) ñ ê A (L)ñ ê 0 Ôï ðïëõþíõìï üìùò áõôü åßíáé ßäéï ìå áõôü ôçò åîßóùóçò (2.25) êáé Üñá ïé ñßæåò ôïõ, ðïõ åßíáé óõíüñôçóç ôùí á 1 êáé á 2, ðñïóäéïñßæïõí êáé ôéò ôéìýò ôùí ñ k, k1,2,... Ãéá óôüóéìç óåéñü áõôýò èá êåßíôáé åíôüò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ êáé åðïìýíùò ç áêïëïõèßá ôéìþí ôçò ñ k èá óõãêëßíåé åßôå ãåùìåôñéêü áí ïé ñßæåò åßíáé ðñáãìáôéêýò, åßôå ìå êõìáôïåéäþ (çìéôïíïåéäþ) ôñüðï áí áõôýò åßíáé ìéãáäéêýò. ôóé áí i + i, ïé ñßæåò åßíáé ðñáãìáôéêýò êáé ç ñ k Ý åé ìéá ìïñöþ öèßíïõóáò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò. Åéäéêü-

64 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ ôåñá óôçí ðåñéï Þ 2 ôïõ ôñéãþíïõ Áàóôï ÄéÜãñáììá 2.6 äåóðüæåé ç èåôéêþ ñßæá êáé Ýôóé ç ñ k ðáñáìýíåé èåôéêþ üðùò êáé ç ö kk, åíþ óôçí ðåñéï Þ 1 äåóðüæåé ç áñíçôéêþ ìå áðïôýëåóìá ïé ñ k êáé ö íá åíáëëüóóïõí ðñüóçìá. kk Áí ôï i + i <, ïé ñßæåò åßíáé ìéãáäéêýò êáé öèßíïõí ìå êõìáôïåéäþ ìïñöþ. Éäéáßôåñá óôçí ðåñéï Þ 4 ôïõ ôñéãþíïõ Áàç ñ k öèßíåé îåêéíþíôáò ìå èåôéêþ ôéìþ, åíþ óôçí ðåñéï Þ 3 áëëüæåé ðñüóçìï áðü ôï ñ 0 óôï ñ 1. Ïé ðåñéðôþóåéò áõôýò ðáñïõóéüæïíôáé óôï ÄéÜãñáììá 2.6á êáôü ðåñéï Þ. Ãåíéêåýïíôáò ç óõíüñôçóç áõôïóõó Ýôéóçò ñ k åíüò áõôïðáëßíäñïìïõ õðïäåßãìáôïò äåõôýñáò Þ áíùôýñáò ôüîçò èá öèßíåé óôáäéáêü ðñïò ôï ìçäýí êáèþò ôï k ìåãáëþíåé åöüóïí ðëçñïýíôáé ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò. Ç óõíüñôçóç áõôþ èá áðïôåëåß ìéá ãåùìåôñéêü öèßíïõóá êáìðýëç Þ Ýíá óýíïëï êáìðõëþí ìå öèßíïõóá ðïñåßá äçëáäþ èá Ý åé ìéá çìéôïíïåéäþ ìïñöþ (âëýðå ÄéÜãñáììá 2.7 óôçí åíüôçôá 2.18 ðáñáêüôù). Oé óõíôåëåóôýò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò ö kk, k1,2... ìðïñïýí íá åêôéìçèïýí áðü áõôïðáëßíäñïìá õðïäåßãìáôá áýîïõóáò ôüîåùò üðùò åëý èç ðñïçãïýìåíá [(âëýðå ó Ýóç 2.9)]. ôóé ãéá ðáñüäåéãìá, ãéá íá åêôéìþóïõìå ôïí óõíôåëåóôþ p ôüîåùò, ö pp, åêôéìïýìå Ýíá AR(p) õðüäåéãìá êáé åîéóþíïõìå ôçí åêôßìçóç ôïõ óõíôåëåóôþ á p ôçò õóôýñçóçò ôïõ Y t-p ìå ôïí óõíôåëåóôþ áõôü. Óôçí ðñüîç üìùò äéåõêïëýíåé íá õðïëïãßæïõìå ôïõò óõíôåëåóôýò ϕ NN óå üñïõò ôùí óõíôåëåóôþí áõôïóõó Ýôéóçò x N åðéëýïíôáò ôï ðáñáðüíù óýóôçìá (2.30) ôùí Yule-alker åîéóþóåùí äéáäï éêü ãéá k1,2,..,p. ÐñÜãìáôé, îåêéíþíôáò áðü ôï k1, ï ðñþôïò óõíôåëåóôþò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò ö 11 äåí åßíáé Üëëïò áðü ôï óõíôåëåóôþ ñ 1 áöïý äåí ðáñåìâüëëïíôáé Üëëåò õóôåñþóåéò ìåôáîý Õ t êáé Õ t-1. ñá: ö 11 á 1 ñ 1 Ãéá ôçí åêôßìçóç ôïõ ö 22 ëýíïõìå ôï óýóôçìá ôùí åîéóþóåùí (2.30) ãéá k1,2. Ëýíïíôáò ùò ðñïò á 2 ôï óýóôçìá ôùí äýï áõôþí åîéóþóåùí ëáìâüíïõìå ôï æçôïýìåíï óõíôåëåóôþ: i x x x (2.31) Ãéá ôï ö 33 ëýíïõìå ôï óýóôçìá ôùí Yule-alker åîéóþóåùí ãéá k1,2

ÓÕà ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 65 ÄéÜãñáììá 2.6á ÓõíáñôÞóåéò Áõôïóõó Ýôéóçò êáé ÌåñéêÞò Áõôïóõó Ýôéóçò ôïõ AR(2) õlp ove õlp ove Ýk kk Ýk kk õlp ove õlp ove Ýk kk Ýk kk

66 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ êáé 3, ïðüôå ç ëýóç ùò ðñïò á 3 äßíåé ôïí óõíôåëåóôþ ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò ôñßôçò ôüîåùò. Ìå áíüëïãï ôñüðï õðïëïãßæïõìå êáé ôïõò õðüëïéðïõò óõíôåëåóôýò, üðùò ðåñéãñüöåôáé óôï ÐáñÜñôçìá Á ðïõ ðáñáôßèåôáé óôï ôýëïò ôïõ âéâëßïõ. Åäþ èá ðñýðåé íá ðáñáôçñþóïõìå ôá åîþò. Áí ôï ðñáãìáôéêü õðüäåéãìá åßíáé, Ýóôù AR(2), ôüôå åßíáé ðñïöáíýò üôé ïé áëçèéíïß óõíôåëåóôýò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò áðü ôçí ôñßôç ôüîç êáé ðüíù èá åßíáé ìçäýí äçëáäþ, êáé ãåíéêü NN ãéá k>2. Ðáñüìïéá ãéá Ýíá AR(3) õðüäåéãìá, ïé óõíôåëåóôýò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò èá ìçäåíßæïíôáé ãéá ôüîç ìåãáëýôåñç áðü ôñßá, ôçí ôüîç ôïõ õðïäåßãìáôïò. Âåâáßùò èá ðñýðåé íá åðéóçìüíïõìå êáé ðüëé üôé áõôü éó ýïõí óôïí ðëçèõóìü êáé Üñá ïé äåéãìáôéêýò ôéìýò ôùí ö kk äåí ðñüêåéôáé íá ëáìâüíïõí ðïôý áêñéâþò ôçí ìçäåíéêþ ôéìþ. ÁíáìÝíïõìå üìùò üôé ïé ôéìýò áõôýò, äåí èá äéáöýñïõí óôáôéóôéêü óçìáíôéêü áðü ôï ìçäýí ãéá k>p, ôçí ôüîç ôïõ áëçèéíïý AR(p) õðïäåßãìáôïò óôïí ðëçèõóìü. ÔÝëïò, åßíáé óçìáíôéêü íá ãßíåé óáöþò ç äéüêñéóç ìåôáîý ôùí óõíôåëåóôþí áõôïóõó Ýôéóçò êáé ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò. Ãéá ðáñüäåéãìá, óå Ýíá AR(2) õðüäåéãìá ãßíåôáé óõó Ýôéóç ôçò Y t ìå ôéò äýï ðñþôåò õóôåñþóåéò ôçò Y t-1 êáé Y t-2. Aõôü äåí óçìáßíåé üôé ç Y t äåí óõó åôßæåôáé ìå ôçí Y t-3 Þ ôéò åðüìåíåò õóôåñþóåéò, åðåéäþ äåí õðåéóýñ ïíôáé Üìåóá óôçí åîßóùóç (2.23) ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò. ÌÜëéóôá ï óõíôåëåóôþò áõôïóõó Ýôéóçò ìåôáîý Y t êáé Y t-3 äçëáäþ óôçí ðñïêåéìýíç ðåñßðôùóç ï ñ 3 éóïýôáé ìå âüóç ôçí (2.28) ìå ñ 3 á 1 ñ 2 + á 2 ñ 1 Ç ìåñéêþ üìùò óõó Ýôéóç ìåôáîý Õ t êáé Y t-3 (ëáìâüíïíôáò äçëáäþ õ- ðüøç êáé ôéò åíäéüìåóåò óõó åôßóåéò ìå Y t-1 êáé Y t-2 ), èá åßíáé ìçäýí. Ôï ßäéï óõìâáßíåé êáé ìå üëåò ôéò ìåñéêýò óõó åôßóåéò ìåôáîý Y t êáé õóôåñþóåùí ôïõ Õ t ôüîçò ìåãáëýôåñçò ôïõ äýï. Ãé áõôü êáé óôá AR(p) õðïäåßãìáôá, üðùò äåßîáìå, ïé óõíôåëåóôýò áõôïóõó Ýôéóçò ñ k öèßíïõí áëëü ðïôý äåí ìçäåíßæïíôáé ãéá k>p, óå áíôßèåóç ìå ôïõò ö kk ïé ïðïßïé ëáìâüíïõí ìçäåíéêþ ôéìþ ìåôü ôçí ôüîç p ôïõ õðïäåßãìáôïò.

ÓÕà ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 67 ÅðïìÝíùò, óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá, ãéá ìéá äéáäéêáóßá AR(p) ïé áõôïóõó åôßóåéò x M öèßíïõí ãåùìåôñéêü Þ êõìáôéóôü áðü ôï x S, åíþ ïé óõíôåëåóôýò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò åßíáé ìçäýí ìåôü ôï ϕ SS üðùò óõíïøßæåôáé êáé óôïí Ðßíáêá 2.4 ðáñáêüôù. 2.13 Õðïäåßãìáôá Êéíçôþí ÌÝóùí, MA H ãåíéêþ ìïñöþ åíüò õðïäåßãìáôïò êéíçôþí ìýóùí åßíáé ç åîþò: < u+ n q n q n (2.32) T T üðïõ ôá è åßíáé óôáèåñïß ðáñüìåôñïé êáé å t åßíáé ëåõêüò èüñõâïò. Óôï õðüäåéãìá áõôü õðïèýôïõìå üôé ç ñïíïëïãéêþ óåéñü Y t äçìéïõñãåßôáé ùò Ýíáò óôáèìéêüò ìýóïò ôùí ôõ áßùí óöáëìüôùí ôùí q ðñïçãïýìåíùí ðåñéüäùí êáé ïíïìüæåôáé õðüäåéãìá êéíçôþí ìýóùí (moving average) ôüîåùò q, óõìâïëéæüìåíï ùò MA(q). Óçìåéþóôå üôé ï üñïò êéíçôüò ìýóïò äåí áíôáðïêñßíåôáé óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ãéáôß ïé óôáèìßóåéò äåí Ý ïõí Üèñïéóìá ôç ìïíüäá. Ðáßñíïíôáò ôçí áíáìåíüìåíç ôéìþ ôçò (2.32) âñßóêïõìå üôé ï ìýóïò ôçò Y t éóïýôáé ìå ì áöïý, ìå âüóç ôéò éäéüôçôåò ôïõ ëåõêïý èïñýâïõ, (n (n (n T Ãé áõôü ôï ÌÁ(q) õðüäåéãìá ãñüöåôáé êáé ùò \ < u n q n q Tn T (2.33) Ç äéáêýìáíóç ôçò Õ t õðïëïãßæåôáé åýêïëá ùò 1 6 3 8 T T 1 6 n3 T8 m YDU< ( < u ( n + q (n + + q (n q cnn (2.34) y + q + + q