SECTION 8 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 8. Ορθογώνια Σύνολα Συναρτήσεων Ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων Θεωρούµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις f () και g() ορισµένες, διαφορετικές και όχι ταυτοτικά µηδέν, σε ένα διάστηµα (a, ), εκτός ίσως από ένα πεπερασµένο πλήθος σηµείων. Αν f( ) g( ) a τότε οι συναρτήσεις f () και g() καλούνται ορθογώνιες στο (a, ). Αν {u },,,, είναι ένα σύνολο πραγµατικών συναρτήσεων τέτοιο ώστε a u ( ) u ( ) j τότε το σύνολο {u } καλείται ορθογώνιο και κανονικό ή απλά ορθοκανονικό στο διάστηµα (a, ). Το σύµβολο του Kroecer δ j ισούται πάντα µε για j και µε για j. Αν οι συναρτήσεις u είναι µιγαδικές, ισχύουν τα ίδια αλλά µε u j * αντί u j στο προηγούµενο ολοκλήρωµα. Αν το ολοκλήρωµα έχει τη γενικότερη µορφή a u ( ) u ( ) w( ) j τότε το σύνολο {u } καλείται ορθογώνιο και κανονικό ή απλά ορθοκανονικό στο διάστηµα (a, ) µε συνάρτηση βάρους w(). Στην περίπτωση αυτή το σύνολο {[w()] / u } είναι ορθοκανονικό. Πλήρες ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων εδοµένου ενός ορθοκανονικού συνόλου συναρτήσεων {u } και µιας τετραγωνικά ολοκληρώσιµης συνάρτησης f () (δηλαδή συνάρτησης για την οποία το f( ) υπάρχει) υπολογίζουµε τους γενικευµένους συντελεστές Fourer a και σχηµατίζουµε το άθροισµα c f( ) u ( ) a j j
SECTION M S ( ) c u ( ) M όπου M ακέραιος θετικός αριθµός. Το άθροισµα S M προσεγγίζει τη συνάρτηση f () µε µέσο τετραγωνικό σφάλµα Ers [ f( ) SM ( )] a a το οποίο (µε δεδοµένες τις u και το M) είναι το ελάχιστο δυνατό από οποιαδήποτε άλλη επιλογή των c. Αν E rs όταν M, τότε λέµε ότι έχουµε µέση σύγκλιση του S M () στην f () και γράφουµε l...s M f (). Αν αυτό συµβαίνει για κάθε συνάρτηση f () [τετραγωνικά ολοκληρώσιµη στο (a, )], τότε το σύνολο {u } καλείται πλήρες. Στην περίπτωση µέσης σύγκλισης είναι [ f ( )] c [ταυτότητα του Parseval] a Ανάπτυγµα σε σειρά ορθοκανονικών συναρτήσεων Συχνά, απλοποιώντας καταχρηστικά το συµβολισµό, γράφουµε το ανάπτυγµα f( ) c u ( ) εννοώντας µέση σύγκλιση. Επίσης, αρκούµεθα σε γενικότερες συνθήκες τµηµατικής συνέχειας και παραγωγισιµότητας για την f (), οι οποίες είναι ικανές αλλά όχι και αναγκαίες για µέση σύγκλιση. Οι συνθήκες αυτές πληρούνται συνήθως από συναρτήσεις που απαντώνται στις εφαρµογές, µε κυριότερη διόρθωση ότι στα σηµεία ασυνέχειας το ανάπτυγµα δίνει την! [ f ( + ) +f ( )] αντί της f (). Μέθοδος ορθοκανονικοποίησης των Gra-Scht εδοµένου ενός αριθµήσιµου (πεπερασµένου ή άπειρου) συνόλου γραµµικά ανεξάρτητων συναρτήσεων {φ },,,, κατασκευάζουµε ένα σύνολο ορθοκανονικών συναρτήσεων {u } µε τους τύπους (,, ) ( ) f( ), u ( ( ) ) f f (, ), ( ) ( ) ( u, ) + + + u( ) όπου ( f, g) f( ) g( ) είναι το εσωτερικό γινόµενο των f () και g(). a /
SECTION 3 8. Ορθογώνιες Συναρτήσεις από Σ Ε Συχνά ένα φυσικό πρόβληµα οδηγεί σε µια διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους (Μ Ε) και µετά από χωρισµό των µεταβλητών σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (Σ Ε) της µορφής [p()y']' + [q() + λr()]y σε κάποιο διάστηµα (a, ), όπου η σταθερή λ προκύπτει από το χωρισµό της Μ Ε. Αυτή η Σ Ε, µαζί µε τις συνοριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι y() και y'() συνήθως στα άκρα του [a, ], συνιστούν ένα σύστηµα Stur-Louvlle. Λόγω των συνοριακών και άλλων συνθηκών, λύσεις y() υπάρχουν µόνο για ορισµένες τιµές της λ, που καλούνται ιδιοτιµές. Οι αντίστοιχες λύσεις y() καλούνται ιδιοσυναρτήσεις. Συνήθως σε κάθε τιµή του λ αντιστοιχεί µία ιδιοσυνάρτηση, αλλά µερικές φορές και περισσότερες. Αν οι p(), q(), r() και οι τιµές των y(), y'() στα άκρα a, είναι πραγµατικές και r() στο (a, ), τότε (α) οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και (β) οι ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές συνιστούν ένα ορθογώνιο σύνολο συναρτήσεων µε συνάρτηση βάρους r().??? Ορθογώνια πολυώνυµα από Σ Ε Μερικά ορθογώνια σύνολα συναρτήσεων που προκύπτουν από Σ Ε περιλαµβάνουν απλές και εύχρηστες συναρτήσεις, όπως ηµίτονα και συνηµίτονα (που οδηγούν στις σειρές Fourer) και πολυώνυµα (ενδεχοµένως σε συνδυασµό µε άλλες στοιχειώδεις συναρτήσεις). Ο παρακάτω πίνακας δίνει τους συντελεστές της Σ Ε p(), q(), r(), τη συνάρτηση βάρους w(), τη σταθερή λ και το διάστηµα (a, ). Πολυώνυµα * p() q() r() w() λ (a, ) Legere, P () ( + ) (, ) Προσαρτηµένες Legere, P () ( + ) (, ) Herte, H () ep( ) ep( ) ep( ) (, ) Laguerre, L () e e e (, ) Προσαρτηµένα Laguerre, L () + e e e (, ) Cheyshev I, T () ( ) / ( ) / ( ) / (, ) Cheyshev II, U () ( ) 3/ ( ) / ( ) / ( + ) (, ) * Όλα είναι πολυώνυµα εκτός από τις P () για περιττό.
4 SECTION 8.3 Πολυώνυµα Herte Βασικές σχέσεις Για,,, η διαφορική εξίσωση Herte y'' y' + y ικανοποιείται από τα πολυώνυµα Herte H e ( ) ( ) ( e ) Γεννήτρια συνάρτηση Πρώτα πολυώνυµα H () e H t ( )! tt (τύπoς του Rorgues) H () H () H () 4 3 5 3 H 3 () 8 3 5 H 4 () 6 4 48 + H 5 () 3 5 6 3 + H 6 () 64 6 48 4 + 7 Σχ. 8-: 3 4 5 H 7 () 8 7 344 5 + 336 3 68 H 8 () 56 8 3584 6 +344 4 344 + 68 H ( ) Ιδιότητες + 3 4 3 3 4 5 6 + 6 Αναδροµικές σχέσεις H + () H () H () H '() H ()
SECTION 5 Ορθογωνιότητα Άλλες ιδιότητες H( ) H( ) e! p H ( ) ( ) ( ) ( )( )( 3) ( ) + ( )!! H () () H () H ( ) ( ) ( )!, H + ( )! H () () 3 5 () H+ ( ) H+ ( ) H () t t ( + ) ( + ) e H e { H ( )} + ( ) t e H () t t H e ( ) H ( ) ( y) e H ( ) p y 4 t te H( tt ) pp! ( ) H y H H y ( + ) ( ) ( ) / [Αθροιστικός τύπος για τα πολυώνυµα Herte] H( ) H( y) H+ ( ) H( y) H( ) H+ ( y) +!!( y) H ( ) ( t) + e t t p
6 SECTION ep[ ( a) ] ( ) ph ( a) Αναπτύγµατα σε σειρά f () A H () + A H () + A H () + όπου s e cos e sh e cosh e A ( ) H ( + )! ( ) H ( )!! p + ( ) ( ) H + ( ) ( + )! H ( )! ( ) 8.4 Πολυώνυµα Laguerre e f( ) H ( ) Βασικές σχέσεις Για,,, η διαφορική εξίσωση του Laguerre y'' + ( )y' + y ικανοποιείται από τα πολυώνυµα Laguerre L e ( ) ( e ) (τύπος του Rorgues)! Γεννήτρια συνάρτηση ep[ t/ ( t)] t L ( ) t
SECTION 7 Πρώτα πολυώνυµα L () 4 3 L () L () ( + L ()! ( 4 + ) L 3 () % ( 3 + 9 8 + 6) 3 4 5 L 4 () 4 (4 6 3 + 7 L 5 () L 6 () L 7 () 96 + 4) (5 + 5 4 3 + 6 6 + ) 3 4 3 4 5 Σχ. 8-7 (6 36 5 + 45 4 4 3 + 54 43 + 7) 54 (7 + 49 6 88 5 + 735 4 94 3 + 59 358 + 54) ( ) L ( ) ( ) +!!! Ιδιότητες Αναδροµικές σχέσεις ( + )L + () ( + )L () + L () L' + () L' () + L () + ( )! L' () L () + L () Ορθογωνιότητα e L ( ) L ( ) Άλλες ιδιότητες L () L ( t) t L( ) L + ( )
8 SECTION p p, < e L ( ) ( )!, p L L y y L L y L L y ( ) ( ) + [ ( ) + ( ) + ( ) ( )] t L ( ) t ej! L ( )! ( t) Αναπτύγµατα σε σειρά u ue J( u) u f () A L () + A L () + A L () + A e f( ) L ( ) 8.5 Προσαρτηµένα Πολυώνυµα Laguerre Βασικές σχέσεις Για και µη αρνητικούς ακέραιους η προσαρτηµένη διαφορική εξίσωση του Laguerre y'' + ( + )y' + ( )y ικανοποιείται από τα προσαρτηµένα πολυώνυµα Laguerre Είναι L ( ) e! L + ( e ) (τύπος του Rorques) ( ) ( ) L + ( ) όπου L () είναι τα πολυώνυµα Laguerre µε L () L () και L (), αν >.
SECTION 9 Γεννήτρια συνάρτηση ep[ t/ ( t)] + ( t) όπου t <. Πρώτα πολυώνυµα L ( ) t 4 3 5 L () 5 5 5 3 L () ( ) L () + + (, ) 3 4 L ()! [ ( + ) + ( + )( + )] (,, ) 3 4 5 Σχ. 8-3 L 3 () % [ 3 3( + 3) + 3( + )( + 3) ( + )( + )( + 3)] (,,, 3) ( ) ( + )! L ( ) ( ) ( )!( + )!! Ιδιότητες Αναδροµικές σχέσεις ( + ) L ( ) ( + + ) L ( ) + ( + ) L ( ) + L ( ) L ( ) L ( ) L L L + ( ) ( ) + ( ) L L L ( ) ( ) + ( + ) ( ) Ορθογωνιότητα e L L ( + )! ( ) p ( )! p Άλλες ιδιότητες + e L ( + + )( + )! { ( )}!
SECTION Αναπτύγµατα σε σειρά f () A () L () + A () L () + A () L () + A ( )! ( + )! 8.6 Πολυώνυµα Cheyshev Βασικές σχέσεις e L ( ) f( ) Για,,, η διαφορική εξίσωση του Cheyshev ( )y'' y' + y ικανοποιείται από τα πολυώνυµα Cheyshev πρώτου είδους T () cos(cos ) και τις συναρτήσεις ( ) / U (), όπου U () s(cos ) είναι τα πολυώνυµα Cheyshev δεύτερου είδους. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Cheyshev είναι ct ( ) + c U ( ),,, 3, y c + c s, όπου U () είναι τα πολυώνυµα Cheyshev δεύτερου είδους. Οι τύποι του Rorgues που δίνουν τα πολυώνυµα Cheyshev είναι ( )! T ( ) ( )! ( ) U ( ) ( )! ( ) + ( + )! ( )
SECTION 8.7 Πολυώνυµα Cheyshev Πρώτου Είδους Γεννήτρια συνάρτηση t t + t T ( ) t Πρώτα πολυώνυµα T () T () T () T 3 () 4 3 3 T 4 () 8 4 8 + T 5 () 6 5 3 + 5 T 6 () 3 6 48 4 + 8 T 7 () 64 7 5 + 56 3 7 [ / ] T ( )! ( ) ( )!( )! ( ).5.5.5 T () Σχ. 8-4.5 3 4 5 Ιδιότητες Αναδροµικές σχέσεις T + () T () + T () ( )T' () + T () T () Ορθογωνιότητα T( ) T( ), { T ( )}, p p /,,, Τιµές T () () T () T () () T + () T () T () ()
SECTION Αναπτύγµατα σε σειρά f ()!A T () + A T () + A T () + A p f( ) T ( ) 8.8 Πολυώνυµα Cheyshev εύτερου Είδους ιαφορική εξίσωση Τα πολυώνυµα U () ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση ( )y'' 3y' + ( + )y Γεννήτρια συνάρτηση t + t U ( ) t Πρώτα πολυώνυµα U () U () U () 4 U 3 () 8 3 4 U 4 () 6 4 + U 5 () 3 5 3 3 + 6 U 6 () 64 6 8 4 + 4 3.5.5 3 U () Σχ. 8-5 3 4 5 U 7 () 8 7 9 5 + 8 3 8 U [ / ] ( ) ( ) ( )!!( )! ( ), Ιδιότητες Αναδροµικές σχέσεις U + () U () + U ()
SECTION 3 ( )U' () + U () ( +)U () Ορθογωνιότητα U ( ) U ( ) p Τιµές U () () U () U () () U + () U () + U () () ( + ) Αναπτύγµατα σε σειρά f () A U () + A U () + A U () + A f( ) U( ) p Σχέσεις µεταξύ πολυωνύµων Cheyshev T () U () U () ( )U () T + () T + () T '() U () U ( ) p T + ( y) U T ( ) y p y () y y y () y y