ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο 0 είναι η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στο συγκεκριμένο σημείο. d f f d f() 1 η Παράγωγος Συνάρτησης Συνάρτηση της οποίας ζητάω την Παράγωγο Συμβολισμός Παραγώγου (δείχνει ως προς ποια μεταβλητή παραγωγίζω) 0
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ (ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ) Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(), f d, είναι η συνάρτηση g() τέτοια ώστε g = f(). α) Αόριστα ολοκληρώματα: Δεν αναφέρονται σε κάποιο συγκεκριμένο υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f(), άρα δεν προσδιορίζουμε που ολοκληρώνουμε. Σαν λύση έχουμε μια οικογένεια συναρτήσεων που διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια αυθαίρετη σταθερά C. f d = g + C, αφού g + C = g = f() β) Ορισμένα ολοκληρώματα: Αναφέρονται σε συγκεκριμένο διάστημα του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f(), έστω το α, β, και γραφικά είναι το εμβαδόν μεταξύ της γραφικής παράστασης της f(), του άξονα των και των ευθειών = α και = β. Στη φυσική γίνεται χρήση κυρίως ορισμένων ολοκληρωμάτων αφού τα φυσικά μεγέθη πρέπει να έχουν τιμή. Ισχύει: f d g C α β f d = g β g(α) f() Διαφορικό (δείχνει την ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης ως προς την οποία ολοκληρώνω) =α =β
Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε διάφορα φυσικά μεγέθη τα οποία θα πρέπει κάθε φορά να αναγνωρίζουμε σε ποια κατηγορία ανήκουν προκειμένου να είμαστε σε θέση να τα περιγράψουμε πλήρως. Δυο είναι οι κατηγορίες φυσικών μεγεθών: Βαθμωτά μεγέθη & Διανυσματικά μεγέθη. Βαθμωτά: Χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους (για τον πλήρη προσδιορισμό τους αρκεί μόνο η ερώτηση πόσο). Παραδείγματα τέτοιων μεγεθών είναι: η μάζα, ο χρόνος και η θερμοκρασία. Διανυσματικά: Χαρακτηρίζονται όχι μόνο από το μέτρο τους αλλά και από τη διεύθυνση και τη φορά που ακολουθούν. Για τον πλήρη προσδιορισμό τους χρειάζονται οι ερωτήσεις πόσο και προς τα πού. Παραδείγματα τέτοιων μεγεθών είναι: η μετατόπιση, η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η δύναμη, η ορμή και η στροφορμή. Ένα φυσικό διανυσματικό μέγεθος Α απεικονίζεται με τη μορφή ενός διανύσματος, δηλαδή ένα βέλος που δείχνει τη διεύθυνσή του ενώ η φορά υποδηλώνεται από την αιχμή του βέλους, και συμβολίζεται με Α.
Για να κατανοήσουμε τα διανυσματικά μεγέθη και την περιγραφή τους είναι απαραίτητο να εισάγουμε τον όρο του μοναδιαίου διανύσματος. Τι είναι μοναδιαίο διάνυσμα και τι περιγράφει; Κάθε άξονας στο Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων περιγράφεται από ένα διάνυσμα το οποίο έχει μέτρο ίσο με τη μονάδα και δείχνει τη διεύθυνση και τη θετική φορά του κάθε άξονα. Κάθε ένα από αυτά τα διανύσματα ονομάζεται μοναδιαίο. Συμβολισμός Μοναδιαίων Διανυσμάτων j j ˆ ή εναλλακτικά ŷ ẑ z
Διάνυσμα σε μια διάσταση (1-d) Διάνυσμα σε δύο διαστάσεις (2-d) r r =a r =b j r r =a z r = r 0j 0 = a z r = r r j 0 = a b j r = r 0 0 = a 2 2 2 r = r r 0 = a b 2 2 2 2 2
Περιγραφή διανύσματος σε τρεις διαστάσεις (3-d). z r z =c r (r, r, r z ) ή (a, b, c) j r =a r =b r = r r r = a b j c j z (r, r, 0) ή (a, b, 0) r = r r r = a b c 2 2 2 2 2 2 z
Αλγεβρικές Πράξεις Πρόσθεση-Αφαίρεση διανυσμάτων (ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΠΑΝΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑ) Έστω δύο διανύσματα στο χώρο (3-d) με συντεταγμένες: A = A A j A και Β = Β j z z Τότε ισχύουν οι εξής πράξεις: ca = ca ca j ca και cβ = cβ c j c z z A Β = (A Β ) (A )j (A ) c(a Β) = ca cβ z z A+Β + C = A +(Β + C) = (A + Β) + C Αυθαίρετη πολλαπλασιαστική σταθερά (π.χ. ένας πραγματικός αριθμός) Προσεταιριστική ιδιότητα
Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Έστω 2 διανύσματα με συντεταγμένες: A = A A j A z και Β = Β j z Τότε για την πράξη του εσωτερικού γινομένου ισχύουν τα εξής: A Β = A Β cosθ A θ B A Β = Β A Το μέτρο των δυο διανυσμάτων Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου A(Β C) = A Β A C ΠΡΟΣΟΧΗ: ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΙΝΑΙ ΒΑΘΜΩΤΟ A Β = AΒ A Az z A // Β τότε 0 και ισχύει A Β= A Β Εάν τότε ισχύει A Β= - A Β Αντιπαράλληλα διανύσματα Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου μοναδιαίων διανυσμάτων = 1 j j = 1 = 1 j = 0 Καθώς και οποιοσδήποτε άλλος συνδυασμός.
Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Έστω 2 διανύσματα με συντεταγμένες: A = A A j A z και Β = Β j z Το εξωτερικό τους γινόμενο Διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που δημιουργούν τα άλλα δύο A Β = C z ΠΡΟΣΟΧΗ: ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι: A Β = A Β snφ C j φ B A (Α, Α, 0) (Β, Β, 0) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1) Πως γράφονται τα διανύσματα Α και Β στη μορφή συνιστωσών; 2) Σε ποιο επίπεδο κείτονται τα διανύσματα Α και Β ; 3) Πως υπολογίζεται τελικά το διάνυσμα C ; Σχήμα 1
Έστω 2 διανύσματα με συντεταγμένες: A = A A j A z και Β = Β j z Αλγεβρικός υπολογισμός του εξωτερικού γινομένου j C = A Β = A A A = z B B B z Bz AzB - ABz AzB j+ AB AB = A Επομένως για τα διανύσματα του Σχήματος 1 της προηγούμενης σελίδας: C = A Β = A A 0 = = A B A j B B 0 B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου μοναδιαίων διανυσμάτων j j = ΕΝΩ j = -