Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανικ ές ταλαντώέ σέις Όπου χρειάζεται, θεωρείστε ότι g = 10m/s 2 1. Σε μία απλή αρμονική ταλάντωση η μέγιστη απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας είναι Α = 30cm. Ο χρόνος που χρειάζεται για ν α ολοκληρωθεί μία πλήρης ταλάντωση (περίοδος) είναι Τ = 2s. Την χρονική στιγμή t = 0 ο ταλαντωτής βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του και κινείται με θετική ταχύτητα. Α. Να προσδιορίσετε τις τιμές των μεγεθών: i) κυκλική συχνότητα ω, αρχική φάση φ ο, ii) μέγιστη ταχύτητα υ max και μέγιστη επιτάχυνση α max Β. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης του ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας του σε σχέση με τον χρόνο x = f(t). Γ. Γράψτε την εξίσωση της ταχύτητας υ = f(t) Δ. και της επιτάχυνσης του αντικειμένου α = f(t), συναρτήσει του χρόνου. 2. Για την ταλάντωση που περιγράφεται στην προηγούμενη άσκηση (1): Α. Σχεδιάστε το διάγραμμα της απομάκρυνσης του ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας, σε αριθμημένους άξονες x t. Β. Σχεδιάστε το διάγραμμα της ταχύτητας του ταλαντωτή κατά την διάρκεια της ταλάντωσης, σε αριθμημένους άξονες υ t. Γ. Σχεδιάστε το διάγραμμα της επιτάχυνσης του ταλαντωτή κατά την διάρκεια της ταλάντωσης, σε αριθμημένους άξονες υ t. 3. Ένα αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η εξίσωση που περιγράφει την απομάκρυνση του από την θέση ισορροπίας σε σχέση με τον χρόνο είναι: x=0,1 ημ ( 20π t + π 3 ) (S.I.) Α. Να προσδιορίσετε τις τιμές των μεγεθών: Πλάτος ταλάντωσης Α, κυκλική συχνότητα ω, αρχική φάση φ ο. Β. Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα υ max και ποια η μέγιστη επιτάχυνση α max που έχει ο ταλαντωτής; Γ. Γράψτε τις εξισώσεις της ταχύτητας υ = f(t) και της επιτάχυνσης του αντικειμένου α = f(t) συναρτήσει του χρόνου. Δ. Σε πόσο χρόνο το αντικείμενο ολοκληρώνει μία πλήρη ταλάντωση ( περίοδος Τ); 4. Ένα αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η εξίσωση που περιγράφει την ταχύτητά του από κατά την διάρκεια της ταλάντωσης σε σχέση με τον χρόνο είναι: υ=10π συν ( 5π t + π 2 ) (S.Ι.) Α. Να προσδιορίσετε τις τιμές των μεγεθών: Πλάτος ταλάντωσης υ max, κυκλική συχνότητα ω, αρχική φάση φ ο. Β. Ποιες είναι οι τιμές των: i) πλάτος Α της ταλάντωσης,
ii) μέγιστη επιτάχυνση α max που έχει ο ταλαντωτής iii) περίοδος Τ ( και σε πόσο χρόνο ολοκληρώνει μία πλήρη ταλάντωση ) Γ. Γράψτε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης x = f(t) και της επιτάχυνσης του αντικειμένου α = f(t) Δ. Σε ποια θέση βρίσκεται ο ταλαντωτής την χρονική στιγμή t= 2s, και με πόση ταχύτητα κινείται τότε; 5. Για την ταλάντωση που περιγράφεται στην προηγούμενη άσκηση (4): Α. Σχεδιάστε το διάγραμμα της ταχύτητας του ταλαντωτή κατά την διάρκεια της ταλάντωσης, σε αριθμημένους άξονες υ t. Β. Σχεδιάστε το διάγραμμα της απομάκρυνσης του ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας, σε αριθμημένους άξονες x t. Γ. Σχεδιάστε το διάγραμμα της επιτάχυνσης του ταλαντωτή κατά την διάρκεια της ταλάντωσης, σε αριθμημένους άξονες υ t. 6. Ένα μικρό αντικείμενο μάζας m = 100g, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 10cm. O χρόνος που χρειάζεται για να εκτελέσει μία πλήρη ταλάντωση είναι Τ = 0,5s. Α. Ποια είναι η περίοδος και ποια η συχνότητα της ταλάντωσης; Β. Υπολογίστε την σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης. (Θεωρείστε ότι π 2 = 10) Γ. Πότε δέχεται μέγιστη δύναμη επαναφοράς ο ταλαντωτής και πόση είναι αυτή (μέτρο); Δ. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης τoυ ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας του σε σχέση με τον χρόνο, αν γνωρίζετε ότι την χρονική στιγμή t = 0 ισχύει: x = 0 & υ > 0. 7. Ένα μικρό αντικείμενο μάζας m = 200g, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης είναι D =180N/m. H μέγιστη απόσταση που φτάνει κατά την διάρκεια της ταλάντωσής του από την θέση ισορροπίας είναι 15cm. Α. Ποια είναι η περίοδος και ποια η συχνότητα της ταλάντωσης; Β. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης τoυ ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας του σε σχέση με τον χρόνο, αν γνωρίζετε ότι την χρονική στιγμή t = 0, ισχύει ότι x = 0 & υ > 0. Γ. Ποια είναι η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται ο ταλαντωτής, σε σχέση με την απομάκρυνση από την Θ.Ι., F επ = f(χ); Δ. Ποια είναι η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς συναρτήσει του χρόνου ταλάντωσης, F επ = f(t); 8. Για την ταλάντωση που περιγράφεται στην προηγούμενη άσκηση (7): A. Σχεδιάστε το διάγραμμα της απομάκρυνσης του ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας, σε αριθμημένους άξονες x t. B. Σχεδιάστε το διάγραμμα της δύναμης επαναφοράς, σε αριθμημένους άξονες F x. Γ. Σχεδιάστε το διάγραμμα της δύναμης επαναφοράς, σε αριθμημένους άξονες F t. 9. Ένα σώμα μάζας m = 400g, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η εξίσωση της ταχύτητάς συναρτήσει του χρόνου είναι: υ=π συν ( 5 π t+ π 6 ) (S.I.) Α. Ποιο είναι το πλάτος Α της ταλάντωσης;
Β. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης τoυ ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας του σε σχέση με τον χρόνο. Γ. Πόση είναι σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης και πόση συνισταμένη δύναμη δέχεται το σώμα στην θέση x = -A/2; Δ. Να παραστήστε γραφικά σε αριθμημένους άξονες την φάση της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο. 10. Μία απλή αρμονική ταλάντωση περιγράφεται από το διπλανό διάγραμμα θέσης χρόνου(xt). H μάζα του ταλαντωτή είναι m = 0,5kg. Α. Ποιο είναι το πλάτος Α της ταλάντωσης και πόση η περίοδός της Τ; Β. Γράψτε τις εξισώσεις i) της απομάκρυνσης τoυ ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας του σε σχέση με τον χρόνο. ii) της ταχύτητάς του σε σχέση με τον χρόνο iii) και της επιτάχυνσής του σε σχέση με τον χρόνο. Γ. Πόση συνισταμένη δύναμη δέχεται το σώμα στην θέση x = 5cm; 2 4 6 8 10 12 14 Δ. Να παραστήσετε γραφικά σε αριθμημένους άξονες την φάση της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο. 11. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής μάζας m = 400g, έχει κατά την διάρκεια της κίνησης του μέγιστη ταχύτητα μέτρου υ max = 2m/s. Συχνότητα της ταλάντωσής του είναι f = 5Hz Α. Ποια είναι η κυκλική συχνότητα και πόση η μέγιστη απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας (πλάτος Α) για τον ταλαντωτή; Β. Υπολογίστε την σταθερά επαναφοράς και την τιμή της δύναμης επαναφοράς όταν ο ταλαντωτής βρίσκεται στην θέση ισορροπίας. Γ. Πόση είναι η ενέργεια της ταλάντωσης; Δ. Πόση είναι η μέγιστη δυναμική και πόση η μέγιστη κινητική ενέργεια που έχει ο ταλαντωτής κατά την διάρκεια της κίνησης του; 12. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής, ταλαντώνεται με πλάτος ταλάντωσης A = 20cm και μέγιστη ταχύτητα μέτρου υ max = 2m/s. Η σταθερά επαναφοράς για την ταλάντωση είναι D=100N/m. Α. Ποια είναι η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης και ποια η μάζα του ταλαντωτή; Β. Υπολογίστε την ενέργεια της ταλάντωσης. Γ. Πόση είναι η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης και πόση η δυναμική την στιγμή που η ταχύτητα του ταλαντωτή είναι υ = 1m/s; Δ. Κάποια στιγμή ο ταλαντωτής βρίσκεται στην θέση x = 5cm. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητάς του τότε; 13. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής μάζας m = 5kg, ταλαντώνεται με πλάτος ταλάντωσης A = 20cm. Η σταθερά επαναφοράς για την ταλάντωση είναι D=80N/m. Α. Ποια είναι η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης και ποια η μέγιστη τιμή επιτάχυνσης που αποκτάει ο ταλαντωτής;
Β. Υπολογίστε την ενέργεια της ταλάντωσης. Γ. Πόση είναι η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης Κ την στιγμή που η δυναμική είναι το ¼ της ολικής, U = E/4; Δ. Κάποια στιγμή ο ταλαντωτής βρίσκεται έχει ταχύτητα υ= 0,2m/s. Ποιες είναι οι πιθανές του θέσεις; 14. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής μάζας m = 1kg, ταλαντώνεται έτσι ώστε σε χρόνο 2 sec να μετακινείται από την θέση ισορροπίας του στην μέγιστη απομάκρυνση του. Όταν βρίσκεται στην θέση x = 5cm, η ταχύτητα του έχει μέτρο υ = 1m/s 2. Aν γνωρίζουμε ότι την χρονική στιγμή t = 0, ο ταλαντωτής βρισκόταν στην θέση ισορροπίας του κινούμενος προς την θετική κατεύθυνση, να υπολογίσετε: Α. Την περίοδο και την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. Β. Την ενέργεια της ταλάντωσης. Γ. Το πλάτος της ταλάντωσης και την ταχύτητα που έχει την χρονική στιγμή t = 0. Δ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x από την θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με τον χρόνο. 15. Απλός αρμονικός ταλαντωτής μάζας m = 600g εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α = 20cm και περιόδου T = 4s. Την χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στην θέση x = 10 3 κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση. Α. Υπολογίστε την αρχική φάση της ταλάντωσης. B. Γράψτε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της επιτάχυνσης του ταλαντωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο, x = f(t), α = f(t). Γ. Γράψτε τις εξισώσεις της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του ταλαντωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο, K = f(t), U = f(t). Δ. Πόση ταχύτητα θα έχει ο ταλαντωτής όταν για πρώτη φορά βρεθεί στην θέση x = -A/2; 16. Ένα μικρό αντικείμενο μάζας m = 0,4kg, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έτσι ώστε σε χρόνο π sec να μετακινείται από την μία ακραία θέση της διαδρομής του στην άλλη. Την χρονική στιγμή t = 0 το αντικείμενο βρίσκεται στην θέση x = -8cm και κινείται με ταχύτητα υ = 6 cm/s. Α. Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης; Β. Πόση είναι η αρχική φάση του ταλαντωτή; Γ. Πόση ταχύτητα θα έχει ο ταλαντωτής την πρώτη φορά που θα βρεθεί στην θέση ισορροπίας του; Δ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x από την θέση ισορροπίας και της δύναμης επαναφοράς F επ σε συνάρτηση με τον χρόνο. 17. Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά k = 100N/m, και ελεύθερο στο άκρο του κρέμεται σώμα μάζας m = 1kg. Μετακινούμε την μάζα κατά 6cm χαμηλότερα από την θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη, την χρονική στιγμή t = 0. Α. Πόση ήταν η αρχική παραμόρφωση του ελατηρίου; Β. Να δείξετε ότι το σύστημα θα εκτελέσει α.α.τ., και να υπολογίσετε την περίοδο της. Γ. Ποιο είναι το πλάτος και ποια η αρχική φάση της ταλάντωσης (θεωρώντας θετική φορά προς τα κάτω)
Δ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x από την θέση ισορροπίας και της ταχύτητας του ταλαντωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο. 18. Στο κεκλιμένο επίπεδο του σχήματος στερεώνουμε ένα ελατήριο μάζας σταθεράς k = 20N/m. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ένα αντικείμενο μάζας m = 50 g. Απομακρύνουμε το σύστημα από την θέση ισορροπίας δίνοντας του επιπλέον ενέργεια E = 0,016 J. Αν θεωρήσουμε αμελητέες τις δυνάμεις τριβής και την χρονική στιγμή t = 0 το αντικείμενο βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την αρνητική κατεύθυνση Α. δείξτε ότι η κίνηση που θα αρχίσει να εκτελεί είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Β. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης του ταλαντωτή από την θέση ισορροπίας του σε σχέση με τον χρόνο, x = f(t). Γ. Σε ποια θέση θα βρίσκεται την χρονική στιγμή t = 3T/4; Δ. Για την προηγούμενη χρονική στιγμή, υπολογίστε την συνισταμένη δύναμη που δέχεται.
Ηλέκτρικ ές ταλαντώέ σέις 19. Ένα κύκλωμα αμείωτων ηλεκτρομαγνητικών ταλαντώσεων αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας C = 20μF ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 2mH και διακόπτη που αρχικά είναι ανοικτός. Αρχικά ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο 100μC. Την χρονική στιγμή t = 0, κλείνουμε τον διακόπτη. Α. Υπολογίστε την περίοδο και την συχνότητα της H/M ταλάντωσης που αρχίζει. Β. Ποιες είναι οι μέγιστες τιμές του φορτίου που αποκτάει ο πυκνωτής, Q, και του μέγιστου ρεύματος, Ι, στο κύκλωμα; Γ. Να γράψετε τις εξισώσεις του φορτίου στον αρχικά θετικό οπλισμό του πυκνωτή, q = f(t), καθώς και του ρεύματος στο κύκλωμα i = f(t), σε συνάρτηση με τον χρόνο Δ. Πόσο είναι το φορτίο τις χρονικές στιγμές t 1 = T/4, t 2 = T/2, t 3 = 3T/4; 20. Σε κύκλωμα αμείωτων ηλεκτρομαγνητικών ταλαντώσεων L-C φορτίζουμε τον πυκνωτή χωρητικότητες C = 9μF, χρησιμοποιώντας πηγή τάσης V = 10V. Το πηνίο του κυκλώματος έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 4H και ο διακόπτης είναι αρχικά ανοικτός. Την χρονική στιγμή κλείνουμε τον διακόπτη. Α. Πόσο είναι το φορτίο που απόκτησε ο πυκνωτής μετά την πλήρη φόρτισή του; Β. Περιγράψτε το φαινόμενο που άρχισε αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη. Γ. Υπολογίστε την κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης και την μέγιστη τιμή του ρεύματος, Ι, στο κύκλωμα. Δ. Ποιες τιμές έχει το ρεύμα στο κύκλωμα τις χρονικές στιγμές t 1 = T/4, t 2 = T/2, t 3 = 3T/4; 21. To κύκλωμα L-C του διπλανού σχήματος χρησιμοποιείται ως ηλεκτρομαγνητικός ταλαντωτής L-C, ο οποίος την χρονική στιγμή t = 0 διαρρέεται από ρεύμα I = +2mA ενώ ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C = 10μF και η κυκλική συχνότητα των H/M ταλαντώσεων που αποκαθίστανται, είναι ω = 500 r/s. Α. Ποιός είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου; Β. Σε πόσο χρόνο μετά το κλείσιμο του διακόπτη, το πηνίο θα διαρρέεται από ρεύμα i = -2mA (αντίθετης φοράς με το αρχικό); Γ. Γράψτε τις εξισώσεις του φορτίου στον οπλισμού Β του πυκνωτή και του ρεύματος στο κύκλωμα, σε σχέση με τον χρόνο, q =f(t), i=f(t). Δ. Ποιες τιμές έχουν το ρεύμα i στο κύκλωμα και το φορτίο q στον οπλισμό Β, τις χρονικές στιγμές t 1 = T/4, t 2 = T/2; 22. Σε ένα κύκλωμα L-C ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C =8μF, φορτίο q= 40μC και το πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L = 4H. Την χρονική στιγμή t = 0 ο διακόπτης που αρχικά ήταν ανοικτός, κλείνει και ξεκινάει ηλεκτρομαγνητική ταλάντωση. Α. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα; Β. Υπολογίστε την ενέργεια της ταλάντωσης. Γ. Πόση ενέργεια θα είναι αποθηκευμένη στο ηλ. πεδίο του πυκνωτή και πόση στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου, όταν το φορτίο έχει την τιμή q = 20μC; Δ. Να γράψετε τις συναρτήσεις που περιγράφουν την ενέργεια του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου, σε συνάρτηση με τον χρόνο, U E = f(t) και U B = f(t). 23. Σε ένα κύκλωμα L-C γίνεται αμείωτη Η/Μ ταλάντωση. Την χρονική στιγμή t = 0 ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος ενώ το ρεύμα θεωρούμε ότι έχει θετική φορά και τιμή i =0,1A. Αν ο α
συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L = 4H και η μέγιστη τιμή που αποκτάει το φορτίο κατά την διάρκεια της ταλάντωσης Q = 20mC, να υπολογίσετε: Α. Την κυκλική συχνότητα ω και την συχνότητα f της ταλάντωσης, και την εξίσωση της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα σε συνάρτηση με τον χρόνο. Β. Πόση είναι η ενέργεια της ταλάντωσης; Γ. Υπολογίστε την τιμή της έντασης i του ρεύματος και την τιμή του φορτίου q στον πρώτο θετικό οπλισμό του πυκνωτή όταν οι δύο ενέργειες U E και U B είναι ίσες. Δ. Να παραστήσετε γραφικά τις ενέργειες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο κύκλωμα σε συνάρτηση με ην ένταση του ρεύματος, U E = f(i) και U B = f(i). 24. Σε ένα κύκλωμα L-C εξελίσσεται αμείωτη Η/Μ. Η εξίσωση που περιγράφει την τιμή της έντασης του ρεύματος συναρτήσει του χρόνου είναι: i = -0,4.ημ(600πt) (S.I.) O συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L = 0,5H: Α. Γράψτε την εξίσωση που δίνει το φορτίο q στον αρχικά θετικό οπλισμό του πυκνωτή, σε συνάρτηση με τον χρόνο q = f(t) Β. Υπολογίστε την ενέργεια της ταλάντωσης και τον ρυθμό μεταβολής του φορτίου dq/dt, την χρονική στιγμή t = T/4. Γ. Υπολογίστε το φορτίο την στιγμή που ισχύει ότι U E = ¼ U B Δ. Ποιο είναι το μέτρο του ρυθμού μεταβολής του ρεύματος di/dt, την προηγούμενη χρονική στιγμή; 25. Ένα σύστημα μάζας ελατηρίου m-k, ταλαντώνεται χάνοντας ενέργεια λόγω της δύναμης απόσβεσης που δέχεται της μορφής: F απ = - 0,4.υ (S.I.) (υ είναι η ταχύτητα του ταλαντωτή). Την χρονική στιγμή t = 0 ο ταλαντωτής βρίσκεται στην μέγιστη απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας του, Α ο = 9cm. H ταλάντωση γίνεται με περίοδο Τ = 2sec και η μάζα του ταλαντωτή είναι m = 0,2kg. Θεωρώντας ότι η σταθερά εκθετικής μείωσης της ταλάντωσης δίνεται από την σχέση Λ = b/2m, Α. Πόση είναι η σταθερά απόσβεσης b και πόση η σταθερά εκθετικής μείωσης για την ταλάντωση; Β. Πόσο θα είναι το πλάτος της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t = 4s; Γ. Υπολογίστε το πηλίκο των πλατών Α ο /Α 1. Δ. Υπολογίστε τον χρόνο υποδιπλασιασμού του πλάτους της ταλάντωσης. Δίνεται ότι e -4 = 0,02 και ln2 = 0,7. 26. Ένα κύκλωμα R-L-C, εκτελεί Η/Μ ταλαντώσεις και το μέγιστο φορτίο Q του ελαττώνεται εκθετικά με τον χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση: Q k = -100.e -100.t (q σε μc, t σε s.) H ταλάντωση γίνεται με περίοδο Τ = 2 msec. Α. Πόσο θα είναι το μέγιστο φορτίο στο κύκλωμα την στιγμή t = 2msec; Β. Πόση ενέργεια έχει χάσει το κύκλωμα στον προηγούμενο χρόνο (των 2ms;) Γ. Πόση ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα στην πρώτη περίοδο;. Δ. Πόση ενέργεια πρέπει να προσφέρουμε ανά περίοδο με κατάλληλη πηγή στο κύκλωμα ώστε να διατηρείται σταθερή η αρχική τιμή του φορτίου; (Q =100μC) Δίνεται ότι e -0,2 =0,8
27. Ένα κύκλωμα R-L-C, εκτελεί εξαναγκασμένη Η/Μ ταλάντωση και το φορτίο στον πυκνωτή δίνεται από την εξίσωση: q = 200.συν(300t) (q σε μc, t σε s.) Ο πυκνωτής του κυκλώματος έχει χωρητικότητα C = 32μF και το πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,5H. Α. Ποια είναι η συχνότητα της πηγής που εξαναγκάζει το κύκλωμα σε ηλεκτρική ταλάντωση (διεγέρτης) Β. Ποια είναι η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος; Γ. Πόση πρέπει να γίνει η συχνότητα της πηγής για να βρεθεί το κύκλωμα σε συντονισμό; Δ. Αν γνωρίζετε ότι κατά τον συντονισμό η μέγιστη τιμή του ρεύματος είναι Ι ο = 0,16Α, υπολογίστε την μέγιστη τιμή του φορτίου,q o και γράψτε την καινούρια εξίσωση του φορτίου συναρτήσει του χρόνου q = f(t). 28. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής μάζας m =100g, εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι δύο επιμέρους ταλαντώσεις έχουν εξισώσεις απομάκρυνσης που δίνονται από τις σχέσεις: x 1 = 3.ημ(20πt+π) & x 1 =7.ημ(20πt) (x σε cm, t σε sec) Α. Υπολογίστε το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης και γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης της με τον χρόνο, x = f(t). Β. Γράψτε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του ταλαντωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο, υ = f(t), α = f(t). Γ. Γράψτε τις εξισώσεις της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του ταλαντωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο, Κ = f(t), U = f(t). Δ. Πόση δύναμη θα δέχεται ο ταλαντωτής την χρονική στιγμή t = 1/40s; Θεωρείστε ότι π 2 = 10. 29. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής μάζας m = 0,2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι δύο επιμέρους ταλαντώσεις έχουν εξισώσεις απομάκρυνσης που δίνονται από τις σχέσεις: x 1 = 6.ημ(10πt+π) & x 1 =2.ημ(10πt) (x σε cm, t σε sec) Α. Υπολογίστε το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης και την αρχική της φάση Β. Γράψτε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του ταλαντωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο, x = f(t), υ = f(t), α = f(t). Γ. Υπολογίστε την ταχύτητα του ταλαντωτή όταν x = 2cm και απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας. Δ. Σε ποιες θέσεις ισχύει ότι η δυναμική ενέργεια είναι τριπλάσια της κινητικής, U = 3K ; 30. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής μάζας m =50g, εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι δύο επιμέρους ταλαντώσεις έχουν εξισώσεις απομάκρυνσης που δίνονται από τις σχέσεις: x 1 = 3.ημ(10πt+π/2) & x 1 =4.ημ(10πt) (x σε cm, t σε sec) Α. Υπολογίστε το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης Β. Πόση είναι η αρχική της φάση; Γ. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης από την θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με τον χρόνο, x = f(t). Δ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του, την στιγμή που ο ταλαντωτής περνάει για πρώτη φορά από την θέση ισορροπίας του; Δίνεται ότι εφ53 ο = 4/3
31. Δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιου πλάτους Α = 4cm, εξελίσσονται ταυτόχρονα στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν συχνότητες f 1 = 100Hz και f 2 = 102Hz. Α. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η μέγιστη τιμή του πλάτους της σύνθετης ταλάντωσης που προκύπτει; Β. Ποια είναι η συχνότητα f και η περίοδος Τ της σύνθετης ταλάντωσης; Γ. Πόση είναι η συχνότητα f δ και πόση η περίοδος Τ δ του διακροτήματος; Δ. Γράψτε την εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης.