Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών. «Προηγμένα Συστήματα Πληροφορικής»

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Συστήματα Πληροφορικής» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίτλος Διατριβής Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Κατεύθυνση Επιβλέπων Μοντέλα Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων σε παραγωγικές διαδικασίες δύο σταδίων. ΜΠΣΠ/09047 Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Δημήτρης Κ. Δεσπότης, Καθηγητής Ημερομηνία Παράδοσης Δεκέμβριος 013

Τριμελής Εξεταστική Επιτροπή Δ. Αποστόλου Επικ. Καθηγητής Δ. Δεσπότης Καθηγητής Χ. Κωνσταντόπουλος Επικ. Καθηγητής

Περίληψη Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων αποτελεί μια από τις σπουδαιότερες μη-παραμετρικές τεχνικές εκτίμησης της αποδοτικότητας των μονάδων απόφασης σε ένα σύστημα. Τα τελευταία χρόνια, τα μοντέλα Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων χρησιμοποιήθηκαν στην αποτίμηση της αποδοτικότητας μονάδων απόφασης με εσωτερικές δομές. Οι εσωτερικές δομές ποικίλουν από μια απλή παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων ως ένα σύνθετο σύστημα. Σε αυτή την εργασία, μελετώνται οι παραγωγικές διαδικασίες δύο σταδίων ως προς τη δομή τους, την εκτίμηση της συνολικής και επιμέρους αποδοτικότητας αλλά και ως προς την αποτελεσματική εύρεση προβολών προς το σύνορο αποδοτικότητας. Επίσης μελετώνται και ταξινομούνται εφαρμογές πάνω σε παραγωγικές διαδικασίες δύο σταδίων ως προς τη μέθοδο που υιοθετούν αλλά και τα πεδία εφαρμογής. Abtract ata Evelopet Aalyi i coidered a oe of the ot iportat o-paraetric techique to evaluate the efficiecy core of eciio Makig Uit. Recetly, etwork EA odel have bee developed to exaie the efficiecy of MU with iteral tructure. The iteral etwork tructure rage fro a iple two-tage proce to a coplex yte. I thi curret work, twotage etwork EA are dicued with repect to the etiatio of overall ad diviioal efficiecy ad projectio. Furtherore, we tudy ad categorize two-tage etwork EA applicatio, baed o the approach they ue ad their cope of applicatio. Πίνακας περιεχομένων 3

1.Εισαγωγή... 6 1.1 Γενικά... 6 1. Βασικές έννοιες... 7 1.3 Βασικά μοντέλα... 9 1.3.1 Το CCR μοντέλο... 10 1.3. Το BCC μοντέλο... 1 1.3.3 Το Additive μοντέλο... 13 1.4 Παραγωγικές διαδικασίες πολλών σταδίων... 14. Τύποι παραγωγικών διαδικασιών δύο σταδίων... 15.1 Τυπική παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων... 15.1.1 Πολλαπλασιαστικό μοντέλο (Kao et al. 008)... 16.1. Προσθετικό μοντέλο (Che et al. 009)... 0.1.3 epoti et al (01)... 5.1.4 Slack Baed Meaure... 9. Παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων με επιπλέον εισροές στο δεύτερο στάδιο... 35..1 Liag et al (006)... 35.. Li et al (009)... 37..3 Airteioori et al (01)... 40.3 Παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων με διαμοιραζόμενες εισροές μεταξύ των δύο σταδίων... 43.3.1 Che et al (006)... 43.3. Che et al (010b)... 45.4 Παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων με διαμοιραζόμενες εισροές, ενδιάμεσες εκροές και αποκλειστικές εισροές... 50.4.1 Che et al (010b)... 50 4

3. Εφαρμογές παραγωγικών διαδικασιών δύο σταδίων... 54 4. Συμπεράσματα... 60 5. Βιβλιογραφία... 6 5

1. Εισαγωγή 1.1 Γενικά Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων-ΠΑΔ (ata Evelopet Aalyi - EA) αποτελεί µια µη παραμετρική μέθοδο γραμμικού προγραμματισμού για την εκτίμηση της σχετικής αποδοτικότητας των Μονάδων Απόφασης ΜΑ (eciio Makig Uit - MU) οι οποίες καταναλώνουν πολλαπλές εισροές (iput) και παράγουν πολλαπλές εκροές (output). Από την εφαρμογή της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων, δημιουργείται ένα σύνορο μέγιστων παραγωγικών δυνατοτήτων το οποίο περικλείει όλες τις υπό διερεύνηση μονάδες, οι οποίες ταξινομούνται σύμφωνα με την αποδοτικότητά τους. Βάση αυτού του συνόρου οι μη αποδοτικές μονάδες συγκρίνονται με κάποιες αποδοτικές μονάδες οι οποίες καλούνται σύνολο αναφοράς. Η κάθε μονάδα μπορεί να βελτιώσει την αποδοτικότητά της, είτε μειώνοντας τις εισροές της, είτε αυξάνοντας τις εκροές της ή και τα δύο. Η μεθοδολογία της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων εφαρμόστηκε για πρώτη φορά το 1978 από τους Chare, Cooper και Rhode (CCR) και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τους Baker et al (1984)-(BCC). Οι δύο παραπάνω προσπάθειες είχαν συνέπεια τη δημιουργία των δύο βασικών μοντέλων της μεθοδολογίας που είναι το CCR και το BCC, όπως ονομάστηκαν από τα αρχικά των συγγραφέων. Η διαφορά των δύο μοντέλων έγκειται στο ότι το CCR βρίσκει εφαρμογή υπό την υπόθεση σταθερών αποδόσεων κλίμακας (Cotat Retur to Scale-CRS), ενώ το BCC υπό την υπόθεση μεταβλητών αποδόσεων κλίμακας (Variable Retur to Scale-VRS). Βασικά πλεονεκτήματα της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων είναι ότι δεν προϋποθέτει τη γνώση της συνάρτησης παραγωγής, ώστε να γίνει ανάλυση, σε αντίθεση με άλλες τεχνικές αποτίμησης αποδοτικότητας, που στηρίζονται στη στατιστική (regreio aalyi). Επίσης δεν χρειάζεται να ορισθούν από την αρχή τα βάρη (weight), αφού η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων υπολογίζει μόνη της τα βέλτιστα βάρη για κάθε μονάδα. Η αποδοτικότητα μπορεί να εκτιμηθεί ως το πηλίκο της εκροής προς την εισροή. Για την εκτίμηση π.χ. της αποδοτικότητας των καταστημάτων μιας αλυσίδας, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το πηλίκο των κερδών του καταστήματος ανά πλήθος υπαλλήλων. Η προσέγγιση της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων, δεν προϋποθέτει την επιλογή των βαρών που θα χρησιμοποιηθούν. Συγκεκριμένα, τα βάρη που χρησιμοποιούνται στη Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων, προκύπτουν από τα ίδια τα δεδομένα κατά τέτοιο τρόπο ώστε να βελτιστοποιούν την αποδοτικότητα της εκάστοτε μονάδας σε σύγκριση με τις υπόλοιπες μονάδες του συστήματος ώστε για κάθε μονάδα να επιλέγονται τα καλύτερα δυνατά βάρη. Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων αποτελεί βασικό εργαλείο για την αποτίμηση της αποδοτικότητας παραγωγικών μονάδων και οργανισμών. Έχει εφαρμοστεί σε ευρεία κλίμακα στον τραπεζικό τομέα [(Avkira, et al. 009), (Cook et al. 000), (Seiford et al. 1999)] και στην οργάνωση παραγωγής σύνθετων οργανισμών όπως εργοστάσια και δίκτυα καταστημάτων (u J et al. 010). Επίσης, εφαρμόζεται στην αξιολόγηση ξενοδοχειακών συγκροτημάτων (Hieh et al. 010), την αποτίμηση της χρεοκοπίας (Preachadra et al. 011) στον επιχειρηματικό τομέα, τα μέσα μαζικής μεταφοράς, όπως τα αεροδρόμια (Yu MM 010), οι σιδηρόδρομοι (Yu MM 009b), λεωφορεία [(Yu MM 009a), (Yu MM et al. 009)] κ.ά. Επίσης, σημαντική εφαρμογή έχει στην αξιολόγηση του τομέα της εκπαίδευσης (Thaaouli et al. 1994), των δημόσιων βιβλιοθηκών (Haod 00), των τηλεπικοινωνιακών μονάδων (Uri 001), των δασών (Kao et al. 1993) και στον τομέα της υγείας (Chiligeria et al. 1990). 6

1. Βασικές έννοιες Για την καλύτερη κατανόηση των βασικών εννοιών της ΠΑΔ, θα χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο παράδειγμα (Willia W. Cooper, Lawrece M. Seiford ad Kaoru Toe, ata Evelopet Aalyi). Στο ακόλουθο παράδειγμα, παρουσιάζονται στον Πίνακα 1, οχτώ καταστήματα (A-H). Ως εισροή θεωρούμε τους υπαλλήλους και ως εκροή τις πωλήσεις. Κατάστημα A B C E F G H Υπάλληλοι 3 3 4 5 5 6 8 Πωλήσεις 1 3 3 4 3 5 Πωλήσεις/Υπαλλήλους 0.5 1 0.667 0.75 0.8 0.4 0.5 0.65 Πίνακας 1: Παράδειγμα οχτώ καταστημάτων Σε κάθε στήλη αναγράφεται το πλήθος των υπαλλήλων και των πωλήσεων του αντίστοιχου καταστήματος. Επίσης, στην τελευταία γραμμή αναγράφεται ο λόγος των πωλήσεων ανά πλήθος υπαλλήλων. Εύκολα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το κατάστημα (μονάδα απόφασης) Β είναι το πιο αποδοτικό. Στην εικόνα 1 απεικονίζονται στο επίπεδο τα παραπάνω δεδομένα, όπου ο οριζόντιος άξονας αντιπροσωπεύει το πλήθος των υπαλλήλων και ο κάθετος τις πωλήσεις. Επίσης, απεικονίζεται και η ευθεία παλινδρόμησης. Εικόνα 1: Σύνορο αποδοτικότητας και γραμμή παλινδρόμησης 7

Η κλίση της ευθείας που ξεκινά από την αρχή των αξόνων και περνά από τις παρατηρήσεις αντιστοιχεί στο λόγο πωλήσεις ανά υπαλλήλους, του εκάστοτε καταστήματος (Εικόνα 1). Η παρατήρηση Β βρίσκεται πάνω στην ευθεία που αποτελεί το σύνορο αποδοτικότητας (efficiet frotier). Παρατηρώντας την Εικόνα 1, αντιλαμβανόμαστε ότι το σύνορο αποδοτικότητας περιβάλλει τις υπόλοιπες μη-αποδοτικές μονάδες και από αυτή την ιδιότητα προήλθε και η ονομασία της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων. Επιπλέον ο χώρος των σημείων που περιβάλλεται από το σύνορο αποδοτικότητας ονομάζεται χώρος παραγωγικών δυνατοτήτων. Η ευθεία παλινδρόμησης διέρχεται από το κέντρο των παρατηρήσεων, οπότε θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε τις παρατηρήσεις που βρίσκονται πάνω από αυτήν την ευθεία αποδοτικές, ενώ όσες βρίσκονται από κάτω μη αποδοτικές και ο βαθμός της αποδοτικότητας τους θα μπορούσε να υπολογιστεί με βάση την απόσταση τους από την ευθεία της παλινδρόμησης. Αντίθετα, στην ΠΑΔ το σύνορο αποδοτικότητας διέρχεται από τις βέλτιστες παρατηρήσεις και υπολογίζει την αποδοτικότητα των υπόλοιπων μονάδων με βάση την απόσταση που έχουν από αυτήν. Με αυτό τον τρόπο διαμορφώνεται μια θεμελιώδη διαφορά στη στατιστική προσέγγιση των δύο παραπάνω μεθοδολογιών. Η γραμμική παλινδρόμηση παρουσιάζει την κεντρική τάση που έχουν οι παρατηρήσεις σε αντίθεση με την ΠΑΔ που αναδεικνύει τις καλύτερες παρατηρήσεις. Είναι σαφές ότι οι δύο αυτές τεχνικές οδηγούν σε σημαντικές διαφορές εκτίμησης της αποδοτικότητας καθώς ακόμα και σε διαφορετικούς τρόπους βελτιστοποίησης των μη-αποδοτικών παρατηρήσεων. Όσον αφορά, λοιπόν, στις μη-αποδοτικές μονάδες (A,C,,E,F,G,H) μπορούμε να εκτιμήσουμε την αποδοτικότητα τους με βάση την αποδοτικότητα της μονάδας Β με την ακόλουθη σχέση: πωλήσεις ανα υπαλλήλους της i μονάδας 0 1, i = (A,C,,E,F,G,H) πωλήσεις ανα υπαλλήλους της Β μονάδας Αξίζει ακόμα να σημειωθεί ότι στο παραπάνω παράδειγμα η απεικόνιση του συνόρου αποδοτικότητας στηρίζεται στην υπόθεση περί κλίμακας σταθερών αποδόσεων. Για το λόγο αυτό έχει νόημα να θεωρούμε ότι η ευθεία του συνόρου αποδοτικότητας έχει σταθερή κλίση και μπορεί να επεκτείνεται ως το άπειρο. Υπό την υπόθεση κλίμακας μεταβλητών αποδόσεων, το σύνορο αποδοτικότητας πλέον είναι μια κυρτή τεθλασμένη γραμμή που διέρχεται από τις αποδοτικές μονάδες. Σχετικά με το πρόβλημα της μετάβασης μιας μη-αποδοτικής μονάδας στο σύνορο αποδοτικότητας, δηλαδή από μη-αποδοτική μπορεί να γίνει αποδοτική, είτε μειώνοντας την εισροή της (προσανατολισμός προς τις εισροές iput orieted) είτε αυξάνοντας την εκροή της (προσανατολισμός προς τις εκροές output orieted). Όπως φαίνεται στην εικόνα, οποιαδήποτε μεταφορά της μονάδας Α στο διάστημα Α1-Α, του συνόρου αποδοτικότητας την καθιστά αποδοτική. 8

Εικόνα : Βελτίωση του καταστήματος Α 1.3 Βασικά μοντέλα Στην ενότητα αυτή θα αναφέρουμε συνοπτικά τα βασικά μοντέλα της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων, όπως είναι το CCR, BCC και Additive. 1.3.1 Το CCR μοντέλο Το CCR αποτελεί το βασικότερο μοντέλο της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων, το οποίο προτάθηκε από τους Chare, Cooper και Rhode το 1978. Στηρίζεται στο γραμμικό προγραμματισμό και στην υπόθεση περί κλίμακας σταθερών αποδόσεων. Επιπλέον, ανάλογα με τον προσανατολισμό προς τις εισροές ή εκροές διακρίνουμε δύο μοντέλα, το μοντέλο που είναι προσανατολισμένο προς τις εισροές (iput orieted) και το μοντέλο που είναι προσανατολισμένο προς τις εκροές (output orieted). Ας θεωρήσουμε ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε την αποδοτικότητα μονάδων απόφασης ενός συστήματος, όπου κάθε μονάδα έχει εισροές και εκροές. Θεωρούμε τις X εισροές και Y εκροές. Η εκτίμηση της αποδοτικότητας μίας μονάδας, υπό σταθερές αποδόσεις κλίμακας γίνεται με το ακόλουθο μοντέλο. Το γραμμικό πρόγραμμα (Προσανατολισμένο στις εισροές): ax θ = uy 0 9

vx 0 = 1 (1) ux vy 0 u, v 0 Έστω (θ, u, v ) μια βέλτιστη λύση του παραπάνω γραμμικού προγράμματος. Ορισμός: Η ΜΑ 0 θα ονομάζεται CCR-αποδοτική αν το θ = 1 και αν υπάρχει τουλάχιστον ένα βέλτιστο (u, v 0). Διαφορετικά, η ΜΑ 0 θα ονομάζεται CCR μη αποδοτική, δηλαδή θ < 1 ή θ = 1 και τουλάχιστον ένα στοιχείο του (u, v ) είναι μηδέν για κάθε βέλτιστη λύση του. Το δυϊκό του παραπάνω γραμμικού προγράμματος είναι το ακόλουθο: Evelopet Model i φ Yλ y 0 () φx 0 Xλ 0 λ 0, φ free Το παραπάνω μοντέλο στην τυπική του μορφή είναι το ακόλουθο: (Φάση 1) i φ Yλ + = y 0 (3) φx 0 Xλ = 0 λ, +, 0 φ free 10

Εκτιμώντας τη βέλτιστη λύση του φ της φάσης 1, η οποία είναι και η CCR-αποδοτικότητα, την ενσωματώνουμε στη δεύτερη φάση: (Φάση ) ax ω = + + Χλ = φ x 0 (4) Υλ + = y 0 λ 0 Έστω (φ, λ,, + ) μια βέλτιστη λύση των δύο γραμμικών προγραμμάτων (Φάση 1 και ). Ορισμός: Μια μονάδα απόφασης θα είναι CCR-αποδοτική αν φ = 1 και = 0, + = 0. Διαφορετικά η μονάδα απόφασης θα ονομάζεται μη αποδοτική. Ορισμός: Για μια μη αποδοτική μονάδα απόφασης «ο» ορίζεται το σύνολο αναφοράς της (referece et) με βάση τα γνησίως θετικά λ ( λ > 0). Η προβολή της μη αποδοτικής μονάδας απόφασης (x 0, y 0 ) στο σύνορο αποδοτικότητας θα ορίζεται ως: x 0 = φ x 0 = λ Χ x 0 y 0 = y 0 + + = λ Y y 0 1.3. Το BCC μοντέλο Το BCC (Baker-Chare-Cooper) μοντέλο προτάθηκε το 1984 και θεωρείται ως μια από τις βασικότερες παραλλαγές του CCR καθώς στηρίζεται στην υπόθεση περί κλίμακας μεταβλητών αποδόσεων σε αντίθεση με το CCR. 11

Όπως και στην προηγούμενη ενότητα, στα πλαίσια της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων η εκτίμηση της BCC αποδοτικότητας μιας μονάδας μπορεί να γίνει με το: Multiplier Model ax z = uy 0 u 0 vx 0 = 1 (5) vx uy u 0 e 0 u, v 0, u 0 free Evelopet Model i Ε b Yλ y 0 (6) Ε b x 0 Xλ 0 eλ = 1 λ 0 Παρατηρούμε ότι η διαφορά στα μοντέλα (1) και (5) είναι η προθήκη της επιπλέον μεταβλητής u 0 στο τελευταίο, ενώ η διαφορά στα μοντέλα () και (6) είναι ο επιπλέον περιορισμός eλ = 1. 1.3.3 Το αθροιστικό μοντέλο Το αθροιστικό μοντέλο (additive) στοχεύει στη μεγιστοποίηση των χαλαρών μεταβλητών που αντιστοιχούν στις εισροές και στις εκροές μιας μονάδας απόφασης. Η λύση του προκύπτει από το αντίστοιχο γραμμικό πρόβλημα: ax z = + + Χλ+ = x 0 (7) Yλ + = y 0 λ,, + 0 Ορισμός: Μια μονάδα απόφασης καλείται additive αποδοτική αν και μόνο αν 0 και 0. Το Additive μοντέλο έχει το ίδιο σύνολο παραγωγικών δυνατοτήτων με τα αντίστοιχα μοντέλα του CCR και BCC, όμως δεν παρέχει ένα δείκτη αποδοτικότητας αλλά διαχωρίζει μόνο τις μονάδες σε αποδοτικές και μη αποδοτικές. Σημειώνουμε ότι εισάγοντας τον περιορισμό κυρτότητας στο παραπάνω γραμμικό πρόγραμμα προκύπτει το additive μοντέλο υπό μεταβλητές αποδόσεις κλίμακας (VRS). 1

1.4 Παραγωγικές διαδικασίες πολλών σταδίων Τα παραπάνω μοντέλα εφαρμόζονται υπό την υπόθεση μιας απλής παραγωγικής διαδικασίας, όπου μια μονάδα απόφασης μετασχηματίζει κάποιες εισροές σε εκροές (ένα στάδιο). Πρόσφατα, το ενδιαφέρον της έρευνας έχει στραφεί σε περισσότερο σύνθετες διαδικασίες (περισσότερα από ένα στάδια) όπου οι εκροές κάποιων σταδίων λειτουργούν ως εισροές για κάποιο άλλο στάδιο. Σημαντικές μελέτες που αφορούν παραγωγικές διαδικασίες πολλών σταδίων έχουν εκπονηθεί από τους Färe et al (1996b), Seiford et al (1999), Kao et al (008), Che et al (009), Catelli (010) ad Che et al (013). Ειδικότερα, οι Kao & Hwag (008) μελέτησαν μια παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων (βλέπε εικόνα 3) όπου οι εισροές που καταναλώνονται από την πρώτη υπό-διαδικασία (πρώτο στάδιο) μετασχηματίζονται σε εκροές οι οποίες λειτουργούν ως εισροές (ενδιάμεσα μεγέθη) για τη δεύτερη υπό-διαδικασία (δεύτερο στάδιο). Πρότειναν μια καινοτόμα προσέγγιση για την εκτίμηση της συνολικής απόδοσης της παραπάνω παραγωγικής διαδικασίας, ως το γινόμενο των αποδοτικοτήτων των δύο επιμέρους υπό-διαδικασιών (σταδίων). Η προσέγγισή τους βασίστηκε στην υπόθεση ότι τα βάρη των ενδιάμεσων μεγεθών μεταξύ των δύο σταδίων είναι τα ίδια, είτε λειτουργούν ως εκροές του πρώτου είτε ως εισροές του δευτέρου. Οι Che et al (009) διατηρώντας την παραπάνω υπόθεση (ίδια βάρη για τα ενδιάμεσα μεγέθη) πρότεινε μια προσέγγιση για την εκτίμηση της συνολικής απόδοσης της παραπάνω παραγωγικής διαδικασίας, ως σταθμισμένο μέσο των αποδοτικοτήτων των δύο επιμέρους υπό-διαδικασιών (σταδίων). Οι παραπάνω μέθοδοι, αρχικά, υπολογίζουν τη συνολική αποδοτικότητα της διαδικασίας και στη συνέχεια την αναλύουν στις αποδόσεις των επιμέρους σταδίων. Αργότερα, οι Toe & Tutui (009) επέκτειναν το μοντέλο SBM, το οποίο είχε προταθεί από τον Toe (001), ώστε να εφαρμόζεται σε παραγωγικές διαδικασίες πολλών σταδίων και περισσότερο σύνθετες. Μελέτες που αφορούν σύνθετες διαδικασίες δύο σταδίων προτάθηκαν από τους Che et al (010b) και Zha et al (010), όπου οι εισροές της παραγωγικής διαδικασίας διαμοιράζονται μεταξύ των δύο υπό- διαδικασιών. Οι Che et al (010a) και Che et al (013) διαπίστωσαν ότι τα μοντέλα που είχαν προταθεί μέχρι τότε δεν παρέχουν ικανή πληροφορία ώστε οι μη αποδοτικές μονάδες να καταστούν αποδοτικές. Ειδικότερα, η προσαρμογή των εισροών και των εκροών βάσει των αποδόσεων δεν επαρκεί για τον υπολογισμό προβολών προς το σύνορο αποδοτικότητας. Επιπλέον, οι Cook et al (010) και οι Che et al (013) εξέτασαν την αδυναμία κάποιων μοντέλων να εφαρμοστούν υπό μεταβλητές αποδόσεις κλίμακας. Η υπόλοιπη εργασία οργανώνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Στο Κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά οι τύποι παραγωγικών διαδικασιών που μελετώνται. Στο Κεφάλαιο 3 παραθέτονται χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμογών των παραγωγικών διαδικασιών δύο σταδίων. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται το τελικό συμπέρασμα της εργασίας.. Τύποι παραγωγικών διαδικασιών δύο σταδίων 13

Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζονται οι βασικοί τύποι παραγωγικών διαδικασιών δύο σταδίων όπως αυτοί έχουν προταθεί μέσα από μελέτες διαφορετικών ερευνητικών ομάδων..1. Τυπική παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων Στην Εικόνα 3 παρουσιάζεται ένα γενικευμένο μοντέλο παραγωγικής διαδικασίας δύο σταδίων. Σε αυτό κάθε μονάδα απόφασης αποτελείται από δύο διαδοχικά στάδια όπου οι εκροές του πρώτου σταδίου καταναλώνονται ως εισροές από το δεύτερο στάδιο. Εικόνα 3: Απλή μορφή παραγωγικής διαδικασίας δύο σταδίων Από τους πρώτους που εφήρμοσαν την παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων για την αξιολόγηση της αποδοτικότητας ήταν οι Wag et al (1997), κατά τον υπολογισμό της συνολικής απόδοσης βασίστηκε αποκλειστικά τις εισροές του πρώτου σταδίου και τις εκροές το δεύτερου σταδίου με το ακόλουθο μοντέλο: ax Ε = uυ 0 vχ 0 = 1 uυ vχ 0 (8) u, v 0 Oι Seiford και Zhu (1999) μελέτησαν μια μέθοδο για την αξιολόγηση 55 κορυφαίων Αμερικανικών εμπορικών τραπεζών, εφήρμοσαν τα υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS, μοντέλα (8), (9), (10) για να υπολογίσουν τη συνολική αποδοτικότητα αλλά και την αποδοτικότητα των επιμέρους σταδίων. ax E 1 = wζ 0 ax E = uυ 0 14

vχ 0 = 1, wζ 0 = 1, wz vχ 0 (9) uυ wz 0 (10) w, v 0 u, w 0 Σε αυτή την εργασία, αναφέρθηκαν τα προβλήματα που δημιουργούνται από την ύπαρξη των ενδιάμεσων μεγεθών. Συγκεκριμένα, μια μονάδα για να καταστεί αποδοτική στο πρώτο στάδιο χρειαζόταν να αυξήσει τις εκροές της, το οποίο λειτουργεί ανασταλτικά για το δεύτερο στάδιο όπου μια μονάδα για να καταστεί αποδοτική θα πρέπει να μειώσει τα ενδιάμεσα μεγέθη. Αυτές οι ενέργειες, προκαλούν διαταράξεις στην αποδοτικότητα των δύο σταδίων. ax Ε = 1 [ w 1Z vx + uy 1 w Z ] w 1 Z vx 1 1 (11) uy w Z 1 u, v, w 1, w 0 Από τα πρώτα μοντέλα που λαμβάνουν υπόψη τα ενδιάμεσα μεγέθη στων δύο σταδίων είναι αυτό που εισάγει ο Liag et al (006). Στο μοντέλο (11) η συνολική αποδοτικότητα υπολογίζεται ως αριθμητικός μέσος των δύο επιμέρους αποδόσεων, χωρίς όμως να απεικονίζει επαρκώς τη πραγματική συμβολή των δύο σταδίων σε όλη τη διαδικασία..1.1 Πολλαπλασιαστικό μοντέλο (Kao και Hwag et al. 008) Όπως αναφέρθηκε παραπάνω οι Kao et al (008) μελέτησαν την παραγωγική διαδικασία της εικόνας 3. Βασίστηκαν στην υπόθεση ότι τα βάρη για τα ενδιάμεσα μεγέθη είναι ίδια και για τα δύο στάδια. Ο υπολογισμός της συνολικής απόδοσης μιας μονάδας απόφασης προκύπτει από το γινόμενο των αποδόσεων των επιμέρους σταδίων. Δηλαδή, ορίζεται ως Ε 0 = Ε 1 Ε. Έστω X ij, ι = 1,, και Y rj, r = 1,, οι εισροές και εκροές αντίστοιχα, μιας μονάδας απόφασης ΜΑ j, j = 1,,. Το μοντέλο που πρότειναν για τον υπολογισμό της συνολικής αποδοτικότητας της μονάδας απόφασης k, βασίζεται στην κλίμακα σταθερών αποδόσεων (CRS). Για τον υπολογισμό της συνολικής αποδοτικότητας Ε 0 και των επιμέρους αποδοτικοτήτων Ε 1,Ε χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις: Ε 0 = u r Y rk v i X ik 1, r=1 i=1 15

Ε 1 Ε q = w p Z pk v i X ik 1 (1) p=1 i=1 q = u r Y rk w p Z pk 1 r=1 p=1 Επομένως, η συνολική αποδοτικότητα της ΜΑ κ υπολογίζεται από το ακόλουθο μοντέλο (13): Ε 0 = ax u r Y rk v i X ik r=1 i=1 u r Y rj v i X ij 1, j = 1,,, r=1 i=1 q w p Z pj v i X ij 1, j = 1,,, (13) p=1 i=1 q u r Y rj w p Z pj 1, j = 1,,, r=1 p=1 u r, v i, w p ε, r = 1,, ; i = 1,, ; p = 1,, q. Το μοντέλο (13) είναι ένα κλασματικό πρόγραμμα το οποίο μετασχηματίζεται στο αντίστοιχο γραμμικό του (14): Ε 0 = ax u r Y rκ r=1 v i X iκ = 1, i=1 u r Y rj v i X ij 0, j = 1,,, (14) r=1 i=1 q w p Z pj v i X ij p=1 i=1 0, j = 1,,, 16

q u r Y rj w p Z pj 0, j = 1,,, r=1 p=1 u r, v i, w p ε, r = 1,, ; i = 1,, ; p = 1,, q. Η επίλυση του μοντέλου (14) παρέχει τα βέλτιστα βάρη u r, w p, v i και τη συνολική αποδοτικότητα Ε 0 = ax r=1 u r Y rκ. Όπως αναφέρουν, οι Kao et al (008) τα βέλτιστα βάρη u r, w p, v i του (14) μπορεί να μην είναι μοναδικά, οπότε και η ανάλυση της αποδοτικότητας στα δύο επιμέρους στάδια ενδέχεται να μην είναι μοναδική. Για τον έλεγχο της μοναδικότητας Kao et al (008) προτείνουν την εύρεση της μέγιστης απόδοσης ενός από τα δύο επιμέρους στάδια, ενώ ταυτόχρονα διατηρούν σταθερή την τιμή της συνολικής αποδοτικότητας Ε 0. Η μέγιστη αποδοτικότητα του πρώτου σταδίου δίνεται από το μοντέλο (15): q E 1 + = ax w p Z pk p=1 v i X iκ = 1, i=1 u r Y rj Ε κ v i X iκ = 0, j = 1,,, r=1 r=1 q i=1 u r Y rj v i X ij 0, j = 1,,, (15) p=1 i=1 w p Z pj v i X ij 0, r=1 i=1 q u r Y rj w p Z pj 0, p=1 u r, v i, w p ε, j = 1,,, j = 1,,, r = 1,, ; i = 1,, ; p = 1,, q. Έχοντας υπολογίσει τη μέγιστη αποδοτικότητα του πρώτου σταδίου E 1 +, υπολογίζεται η ελάχιστη αποδοτικότητα του δεύτερου σταδίου E από τη σχέση: E + = Ε o /E 1. (Ανάλογη είναι η διαδικασία για των υπολογισμό της μέγιστης αποδοτικότητας του δεύτερου σταδίου). Σύμφωνα με τους Kao et al (008) αν E + 1 = E 1 ή αν E + = E τότε η ανάλυση της αποδοτικότητας των δύο επιμέρους σταδίων είναι μοναδική. Το αντίστοιχο δυικό πρόγραμμα του (15) είναι το ακόλουθο: 17

i θ λ j x ij θx i0, i = 1,, j=1 μ j y rj y r0, r = 1,, (16) j=1 (λ j μ j )z dj 0, d = 1,,, μ j, λ j 0, θ 1 j=1 Ωστόσο, όπως αναφέρουν οι Che et al (010a) το μοντέλο (16) δε δίνει επαρκή πληροφορία για τον υπολογισμό προβολών προς το σύνορο αποδοτικότητας. Για το λόγο αυτό προτείνουν το ακόλουθο τροποποιημένο μοντέλο του (16),έτσι ώστε να δοθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα: i θ λ j x ij θx i0, i = 1,, j=1 μ j y rj y r0, r = 1,, (17) j=1 λ j z dj z d0, d = 1,, j=1 μ j z dj z d0, d = 1,, j=1 z d0 0, d = 1,, μ j, λ j 0, θ 1, j = 1,, Το μοντέλο των Kao και Hwag (008) δεν είναι επεκτάσιμο υπό μεταβλητές αποδόσεις κλίμακας (VRS)..1. Προσθετικό μοντέλο (Che et al. 009) Οι Che et al (009) μελέτησαν την ίδια παραγωγική διαδικασία και βασίζονται στην υπόθεση των Kao et al (008), όπου τα βάρη των ενδιάμεσων μεγεθών είναι ίδια και για τα δύο στάδια. Πρότειναν μια 18

μέθοδο στην οποία η συνολική απόδοση υπολογίζεται ως σταθμισμένος μέσος των αποδόσεων των επιμέρους σταδίων. Ορίζουν τα βάρη w 1 και w, για τα οποία ισχύει w 1 + w = 1. Ο υπολογισμός της συνολικής απόδοσης μιας μονάδας απόφασης προκύπτει από τη σχέση: Ε 0 = w 1 Ε 1 + w Ε Έστω ΜΑ και κάθε ΜΑ j (j=1,,,) έχει εισροές στο πρώτο στάδιο x ij, όπου (i=1,,,) και εκροές z dj, όπου (d=1,,,). Οι εκροές του πρώτου σταδίου γίνονται οι εισροές στο δεύτερο (ενδιάμεσα μεγέθη). Οι εκροές από το δεύτερο στάδιο είναι και ορίζονται ως y rj, όπου (r=1,,,). Ε 1 = d=1 η dz dj 0 και Ε i=1 v i x = r=1 u ry r0 i0 d=1 η d z dj 0 Το μοντέλο που πρότειναν για τον υπολογισμό της συνολικής αποδοτικότητας, υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS, είναι το ακόλουθο: ax [w 1 d=1 η dz dj 0 + w i=1 v i x r=1 u ry r0 i0 d=1 d=1 η d z dj i=1 v i x ij r=1 u r y rj d=1 η d z dj 1 1 u r, v i, η d 0, j = 1,, η d z dj 0 ] (18) Για τη μετατροπή του παραπάνω προγράμματος σε γραμμικό, οι Che et al (009) χρησιμοποίησαν τα ακόλουθα βάρη, που όπως αναφέρουν, αναπαριστούν το μέγεθος κάθε σταδίου. w 1 = και w = i=1 v i x ij 0 i=1 v i x ij + η 0 d=1 d z dj 0 d=1 η d z dj 0 i=1 v i x ij + η 0 d=1 d z dj 0 Συνεπώς, η αντικειμενική συνάρτηση του (18) παίρνει τη μορφή : 19

d=1 + i=1 v i x ij 0 i=1 v i x ij 0 + d=1 η d z dj 0 ax η dz dj 0 (19) H συνολική αποδοτικότητα της ΜΑ j, υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS, υπολογίζεται ακολούθως: Ε 0 = ax [ d=1 η dz dj 0 + r=1 u ry rj 0] d=1 η d z dj i=1 v i x ij r=1 u r y rj d=1 η d z dj i=1 v i x ij + η 0 d=1 d z dj 0 1 (0) 1 u r, v i, η d 0, j = 1,, Με τη χρήση του μετασχηματισμού Chare-Cooper, το μοντέλο (0) γίνεται το ακόλουθο: d=1 Ε 0 = ax r=1 μ r y rj0 + π d z dj0 d=1 π d z dj i=1 ω i x ij 0 (1) r=1 μ r y rj d=1 π d z dj 0 i=1 ω i x ij0 + d=1 π d z dj0 = 1 π d, μ r, ω i 0, j = 1,, Από την επίλυση του μοντέλου (1) προκύπτει η συνολική απόδοση του συστήματος Ε 0. Σύμφωνα με τους Che et al (009) η αποδοτικότητα των δύο επιμέρους σταδίων Ε 1 και Ε υπολογίζεται με μια μέθοδο παρόμοια με αυτή των Kao et al (008), διότι η ανάλυση της ολικής αποδοτικότητας σε επιμέρους στάδια μπορεί να μην είναι μοναδική. Δοθείσας της ολικής αποδοτικότητας Ε 0 υπολογίζεται η αποδοτικότητα του πρώτου σταδίου (ή αντίστοιχα του δεύτερου) και στη συνέχεια υπολογίζεται και η αποδοτικότητα άλλου σταδίου. Στην περίπτωση που δίνεται προτεραιότητα στο πρώτο στάδιο. Το ακόλουθο μοντέλο (1α) παρέχει την αποδοτικότητα του πρώτου σταδίου ( Ε 1 ), διατηρώντας σταθερή την ολική αποδοτικότητα Ε 0. Ε 1 = ax.t. d=1 η d z dj0 i=1 v i x ij0 + d=1 η d z dj0 0

d=1 η d z dj i=1 v i x ij r=1 u r y rj d=1 η d z dj 1, 1 η d z dj 0 + d=1 r=1 u ry rj 0 i=1 v i x ij 0 + = θ d=1 η d z 0 dj 0 u r, v i, η d 0, j = 1,, (1α) Ή το αντίστοιχο γραμμικό του: 1

Ε 1 = ax d=1 π d z dj0 d=1 π d z dj i=1 ω i x ij 0 r=1 μ r y rj d=1 π d z dj 0 (1β) (1 θ 0 ) d=1 π d z dj0 + r=1 μ r y rj0 = 1 i=1 v i x ij0 = 0 π d, μ r, ω i 0, j = 1,, Στην συνέχεια, η αποδοτικότητα για το δεύτερο στάδιο Ε, υπολογίζεται από τη σχέση Ε = Ε 0 Ε 1w1 w όπου w 1 και w τα βέλτιστα βάρη όπως προκύπτουν από το μοντέλο (0). Στην περίπτωση που ισχύει Ε 1 = Ε 1 και Ε = Ε τότε έχει επιτευχθεί μοναδική ανάλυση της αποδοτικότητας στις επιμέρους των δυο σταδίων. (Δίνοντας προτεραιότητα στο δεύτερο στάδιο ακολουθείται παρόμοια διαδικασία.) Το μοντέλο που παρουσιάζουν οι Che et al (009) επεκτείνεται και υπό την κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων VRS. Οι VRS αποδοτικότητες των δύο επιμέρους σταδίων ορίζονται από τα ακόλουθα μοντέλα: ax Ε 1 = d=1 η d Α z dj 0 +ua Α d=1 η d z dj +u A i=1 v i x ij η d Α, v i > 0 i=1 v i x ij 0 1, j = 1,, u A free και u Β η B d=1 d z dj 0 ax Ε = r=1 u ry rj 0 + u r y rj + r=1 d=1 η d B z dj η d B, u r > 0 u Β u B free 1, j = 1,,

Παρόμοια με την περίπτωση της κλίμακας σταθερών αποδόσεων CRS, Οι Che et al (009) υπολογίζουν τη συνολική αποδοτικότητα, υπό την κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων VRS, βασιζόμενοι στα βάρη w 1 και w που ορίστηκαν στην πρώτη. w 1 = d=1 η d z dj 0 r=1 u r y rj 0 + η d z dj 0 d=1 και w = r=1 u r y rj 0 r=1 u r y rj 0 + d=1 η d z dj 0 Υπό την κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων VRS ορίζουν το ακόλουθο κλασματικό πρόγραμμα () για την εκτίμηση της συνολικής αποδοτικότητας. ax d=1 d z j +u A i=1 v i x ij r=1 u r y rj + u Β d=1 η d z dj d=1 dz dj 0 +ua + r=1 u r y rj 0 + u Β i=1 v i x ij 0 + d=1 η d z dj 0 1 () 1 d, v i, u r > 0 j = 1,, u A, u B free Για να μετασχηματιστεί το μοντέλο () σε γραμμικό πρόγραμμα, χρησιμοποιούν όπως και νωρίτερα τα βάρη w 1 και w. Το αντίστοιχο γραμμικό πρόγραμμα του () είναι το ακόλουθο: Ε 0 = ax r=1 μ r y rj0 + u 1 + d=1 π d z dj0 + u d=1 π d z dj + u 1 i=1 ω i x ij 0 r=1 μ r y rj d=1 π d z dj0 + u 0 (3) i=1 ω i x ij0 + d=1 π d z dj0 = 1 π d, μ r, ω i 0, j = 1,, u 1, u free Επειδή μπορεί η απόδοση των επιμέρους σταδίων να μην είναι μοναδική, ακολουθούν παρόμοια διαδικασία με την περίπτωση του, υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων, CRS μοντέλου. Η evelopet μορφή του μοντέλου, υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων, CRS δεν αποδίδει επαρκή πληροφορία για τον υπολογισμό προβολών στο σύνορο αποδοτικότητας. Αποτελεί πεδίο που χρήζει περαιτέρω έρευνας. 3

.1.3 epoti et al (01) Οι epoti et al (01) μελετούν την απλή παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων (εικόνα 3). Βασίζονται στην υπόθεση ότι τα βάρη των ενδιάμεσων μεγεθών είναι ίδια, όπως οι Kao et al (008) και οι Che et al (009). Στη μέθοδο που εισάγουν, το πρώτο στάδιο χρησιμοποιεί τις εισροές για να παράγει τις εκροές (ενδιάμεσα μεγέθη), οι οποίες με τη σειρά τους γίνονται εισροές για το δεύτερο στάδιο. Για το πρώτο στάδιο επιλέγεται ο προσανατολισμός προς τις εκροές (output orieted) ενώ για το δεύτερο ο προσανατολισμός προς τις εισροές (iput orieted). Η επιλογή αυτή, καθιστά δυνατό τον συνδυασμό των αποδοτικοτήτων των δύο επιμέρους σταδίων. Το προτεινόμενο μοντέλο, αρχικά, υπολογίζει την αποδοτικότητα κάθε σταδίου, ενώ η συνολική αποδοτικότητα της διαδικασίας υπολογίζεται ως αριθμητικός μέσος των δύο επιμέρους. Ωστόσο, επειδή υπολογίζουν αρχικά τις επιμέρους αποδοτικότητες, δύναται να χρησιμοποιηθούν και άλλοι τρόποι υπολογισμού της απόδοσης, όπως το γινόμενο των δύο επιμέρους (Kao et al. 008). Έστω ΜΑ και κάθε ΜΑ j (j=1,,,) έχει εισροές στο πρώτο στάδιο x ij, όπου (i=1,,,) και εκροές z pj, όπου (p=1,,,q). Οι q εκροές του πρώτου σταδίου γίνονται οι εισροές στο δεύτερο (ενδιάμεσα μεγέθη). Οι εκροές από το δεύτερο στάδιο είναι και ορίζονται ως y rj, όπου (r=1,,,). Η αποδοτικότητα της ΜΑ j0, υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS, στο πρώτο στάδιο δίνεται από το ακόλουθο μοντέλο: Στάδιο 1: output orieted Ε 1 = i q i=1 v i x ij0 p=1 w p z pj0 = 1 (4) q p=1 w p z pj i=1 v i x ij 0, j = 1,, w p, v i 0, i = 1,, ; p = 1,, q Και αντίστοιχα για το δεύτερο στάδιο : Στάδιο : iput orieted Ε = ax r=1 u r y rj0 (5) q p=1 w p z pj0 = 1 q r=1 u r y rj p=1 w p z pj 0, j = 1,, w p, u r 0, r = 1,, ; p = 1,, q 4

Σύμφωνα με τους epoti et al (01), προσαρτώντας στo μοντέλο (4) τον περιορισμό q p=1 w p z pj 0, j = 1,, προκύπτει το ακόλουθο επαυξημένο: r=1 u r y rj Ε 1 = i q i=1 v i x ij0 p=1 w p z pj0 = 1 (6) q p=1 w p z pj i=1 v i x ij 0, j = 1,, q r=1 u r y rj p=1 w p z pj 0, j = 1,, w p, u r, v i 0, r = 1,, ; p = 1,, q; i = 1,, Παρόμοια, προσαρτώντας στo μοντέλο (5) τον περιορισμό p=1 w p z pj i=1 v i x ij 0, j = 1,, προκύπτει το ακόλουθο επαυξημένο: q Ε = ax q r=1 p=1 w p z pj0 = 1 q u r y rj0 r=1 u r y rj p=1 w p z pj 0, j = 1,, (7) q p=1 w p z pj i=1 v i x ij 0, j = 1,, w p, u r, v i 0, r = 1,, ; p = 1,, q; i = 1,, Μία βέλτιστη λύση του (4) είναι βέλτιστη λύση και στο (6). Ανάλογα, μία βέλτιστη λύση του (5) είναι βέλτιστη λύση και στο (7). Τα μοντέλα (6) και (7) έχουν κοινούς περιορισμούς. Συνεπώς, συναθροίζοντας τις δύο αντικειμενικές συναρτήσεις προκύπτει το ακόλουθο γραμμικό πρόγραμμα: 5

i F = i=1 v i x ij0 r=1 u r y rj0 q p=1 w p z pj0 = 1 q r=1 u r y rj p=1 w p z pj 0, j = 1,, (8) q p=1 w p z pj i=1 v i x ij 0, j = 1,, w p, u r, v i 0, r = 1,, ; p = 1,, q; i = 1,, Έστω (u r, v i, w p ) μια βέλτιστη λύση του μοντέλου (8) η αποδοτικότητα για τη μονάδα απόφασης j 0 στο πρώτο και δεύτερο στάδιο, αντίστοιχα, είναι: Ε 1 = 1 i=1 v i x ij 0 και Ε = r=1 u r y rj0 Η μονάδα απόφασης j 0 είναι αποδοτική αν και μόνο αν η βέλτιστη λύση της αντικειμενικής συνάρτησης του μοντέλου (7) είναι μηδενική, δηλαδή F = 0. Η προσέγγιση των epoti et al (01), δεν προϋποθέτει τον ορισμό της συνολικής αποδοτικότητας και την ανάλυση αυτής στις επιμέρους, σε αντίθεση με τις προσεγγίσεις των Kao et al (008) και Che et al (009). Σε αυτή την μελέτη, αφού υπολογίζονται οι επιμέρους αποδόσεις, προτείνεται ο υπολογισμός της συνολικής απόδοσης της διαδικασίας ως αριθμητικός μέσος των δύο επιμέρους αποδόσεων: Ε 0 = (Ε 1 + Ε )/ Επιπλέον, η επιλογή του προσανατολισμού στις εκροές για το πρώτο στάδιο και στις εισροές για το δεύτερο δίνει τη δυνατότητα αξιολόγησης της αποδοτικότητας των δύο σταδίων χωρίς να χρειάζεται να ορισθούν βάρη εκ των προτέρων σε αντίθεση με τους Che et al (009). Παρόλα αυτά, αν χρειαστεί να δοθεί διαφορετική βαρύτητα σε κάποιο από τα στάδια μπορούν να οριστούν τα βάρη α 1, α (α 1 + α = 1) και η συνολική αποδοτικότητα της μονάδας j 0 να προκύπτει ως: Ε 0 = α 1 Ε 1 + α Ε 6

Τα βάρη α 1, α ορίζονται από την αρχή της μεθόδου και είναι κοινά για όλες τις μονάδες απόφασης. Το μοντέλο (8) μπορεί να έχει πολλαπλές βέλτιστες λύσεις, οπότε η ανάλυση της συνολική αποδοτικότητας στις επιμέρους μπορεί να μην είναι μοναδική. Για την ανάλυση της αποδοτικότητας οι epoti et al (01), ακολουθούν παρόμοια διαδικασία με αυτή των Kao et al (008) και Che et al (009). Αρχικά, αναζητείται η μέγιστη τιμή αποδοτικότητας στο πρώτο στάδιο ή το δεύτερο στάδιο (ανάλογα σε πιο έχει δοθεί προτεραιότητα), ενώ διατηρείται η βέλτιστη τιμή F της αντικειμενικής συνάρτησης στο μοντέλο (8). Συγκεκριμένα, αν δοθεί προτεραιότητα στο πρώτο στάδιο, από το μοντέλο (6) (ενσωματώνοντας τον επιπλέον περιορισμό F = r=1 u r y rj0 i=1 v i x ij0 ) λαμβάνουμε την υψηλότερη αποδοτικότητα 1 Ε 1 για τη μονάδα j 0. Αν η βέλτιστη λύση που προκύπτει είναι (u r, v 1 1 i, w p ) τότε η αποδοτικότητα για τη μονάδα απόφασης j 0 στο πρώτο και δεύτερο στάδιο, αντίστοιχα, είναι: E 1 1 = 1 i=1 v 1 i x ij 0 και E 1 = r=1 u r 1 y rj0 Ανάλογη διαδικασία ακολουθείται αν δοθεί προτεραιότητα στο δεύτερο στάδιο. Συμπερασματικά, αν ισχύει E 1 1 = E 1 ή E 1 = E η ανάλυση της αποδοτικότητας στα δύο επιμέρους στάδια είναι μοναδική. Οι epoti et al (01), επεκτείνουν το μοντέλο τους και υπό την κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων VRS. Συγκεκριμένα, το αντίστοιχο, υπό την κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων VRS, μοντέλο του (7) μπορεί να προκύψει από τα αντίστοιχα, υπό την κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων VRS, μοντέλα των (3) και (4) με διαδικασία παρόμοια με αυτή που ακολουθήθηκε στην κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS. Σύμφωνα με τα παραπάνω το μοντέλο που προκύπτει είναι το ακόλουθο: i F = i=1 v i x ij0 d 1 r=1 u r y rj0 d q p=1 w p z pj0 = 1 q r=1 u r y rj p=1 w p z pj d 0, j = 1,, (9) q p=1 w p z pj i=1 v i x ij + d 1 0, j = 1,, w p, u r, v i 0, r = 1,, ; p = 1,, q; i = 1,, d, d 1, free Οι epoti et al (01) δεν εξετάζουν αν το μοντέλο που προτείνουν παρέχει προβολές για τις μη αποδοτικές μονάδες στο σύνορο αποδοτικότητας..1.4. SLACK BASE MEASURE (SBM) 7

Οι Toe & Tutui (009) επέκτειναν το μοντέλο SBM, το οποίο είχε προταθεί από τον Toe (001), ώστε να εφαρμόζεται σε παραγωγικές διαδικασίες πολλών σταδίων και περισσότερο σύνθετες. Το SBM είναι ένα (o-radial) μέτρο για την αποτίμηση της αποδοτικότητας όπου οι εισροές και οι εκροές του συστήματος μεταβάλλονται μη αναλογικά. Επιπλέον, δίνεται η δυνατότητα ανάθεσης εξωγενών βαρών σε κάθε τμήμα (iviio) ανάλογα της σημαντικότητα του. Το μοντέλο SBM έχει εφαρμοσθεί εκτός των άλλων και στην αξιολόγηση του επιχειρησιακού και τραπεζικού τομέα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η εφαρμογή του Avkira (009) για την αξιολόγηση εμπορικών τραπεζών στα Ηνωμένα Αραβικά Εμιράτα. Οι Toe & Tutui (009) ονόμασαν τα στάδια της παραγωγικής διαδικασίας ως iviio και τα ενδιάμεσα μεγέθη ως Lik. Στο μοντέλο SBM δεν υπάρχει προσανατολισμός (o-orieted). Η μη ύπαρξη προσανατολισμού εξασφαλίζει την ταυτόχρονη μείωση των εισροών και την αύξηση των εκροών. Συγκεκριμένα, για μονάδες απόφασης (j=1,,) οι οποίες αποτελούνται από k τμήματα (k=1,,k). Επιπλέον, k και r k το πλήθος των εισροών και των εκροών του τμήματος k, αντίστοιχα. Ο σύνδεσμος (lik) που οδηγεί από ένα τμήμα k σε ένα άλλο τμήμα h ορίζεται ως (k,h) και το σύνολο των συνδέσμων αυτών ορίζεται ως L. Για μια διαδικασία όπως στην εικόνα 3, τα δεδομένα προς παρατήρηση είναι: οι εισροές της ΜΑ j που ορίζονται ως x j k (k = 1,, K; j = 1,, ), οι εκροές της ΜΑ j που ορίζονται ως y j k (k = 1,, K; j = 1,, ), τα ενδιάμεσα μεγέθη z j (k,h) (j = 1,, ; (k, h) L ) από το τμήμα k στο τμήμα h, όπου t (k,h) το πλήθος των στοιχείων στο σύνδεσμο (k, h). Το σύνολο παραγωγικών δυνατοτήτων, υπό την κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων VRS,{(x k, y k, z (k,h) )} ορίζεται ως: x k x j k j=1 y k y j k j=1 λ j k, (k = 1,, K), λ j k, (k = 1,, K), z (k,h) = z (k,h) k λ j, ( (k, h)) (ως εκροές από το τμήμα k) (30) j=1 z (k,h) = z (k,h) h λ j, ( (k, h)) (ως εισροές στο τμήμα h) j=1 k λ j = 1, ( k), λ k j 0 ( (j, k)) j=1 Όπου λ k το διάνυσμα έντασης (iteity vector) του τμήματος k. Η μονάδα απόφασης ΜΑ ο (ο= 1,,) αναπαριστάται ως: 8

x k o = X k λ k + k (k = 1,, K), y o k = Y k λ k + k+ (k = 1,, K), eλ k = 1 (k = 1,, K), λ k, k, k+ 0, ( k) Όπου: X k = (x 1 k,., x k ) R k, Y k = (y 1 k,., y k ) R r k. Και k και k+ τα διανύσματα χαλαρών μεταβλητών, που αντιστοιχούν στις εισροές και τις εκροές. Για τα ενδιάμεσα μεγέθη διακρίνονται δύο περιπτώσεις: Η περίπτωση free lik, όπου στα ενδιάμεσα μεγέθη δίνεται η ελευθερία να προκύψουν από τη διαδικασία βελτιστοποίησης, δηλαδή μπορούν να αυξηθούν ή να μειωθούν από τις αρχικές τους τιμές: Ζ (k,h) λ h = Ζ (k,h) λ k, ( (k, h)) Όπου Ζ (k,h) λ h = (Z 1 (k,h),, Z (k,h) ), R t (k,h) Η περίπτωση του fixed lik, όπου τα ενδιάμεσα μεγέθη διατηρούνται στις αρχικές τους τιμές, δηλαδή: Z 0 (k,h) = Ζ (k,h) λ h ( (k, h)) Z 0 (k,h) = Ζ (k,h) λ k ( (k, h)) Αν σε όλα τα ενδιάμεσα μεγέθη εφαρμοστεί αυτή η υπόθεση τότε, κάθε στάδιο της παραγωγικής διαδικασίας εξετάζεται ανεξάρτητα αφού διακόπτεται η σύνδεση με τα υπόλοιπα. Σύμφωνα με τους Toe et al (009), ο υπολογισμός της συνολικής απόδοσης της ΜΑ ο προκύπτει από το ακόλουθο μοντέλο: ρ ο = i λ k, k, k+ Wk [1 1 ( k K k i k=1 k i=1 x k )] io K W k [1+ 1 r ( r k+ k k=1 r k i=1yk )] ro x k o = X k λ k + k (k = 1,, K), k = Y k λ k + k+ (k = 1,, K), (31) y o eλ k = 1 (k = 1,, K), 9

Z (k,h) λ k = Z (k,h) λ k, (k, h) λ k, k, k+ 0, ( k) Όπου K k W k = 1, W k 0 k και W k το σχετικό βάρος του τμήματος k. Σύμφωνα με τους Toe et al (009): Ο όρος ρ ο ορίζεται ως η συνολική αποδοτικότητα της ΜΑ ο. Αν ισχύει ρ ο = 1 τότε η ΜΑ ο είναι ολικά αποδοτική. Η επιμέρους αποδοτικότητα για κάθε τμήμα k ορίζεται ως: ρ k = 1 1 ( i k k k i=1 k ) x io 1 1 r ( r k+ k r k i=1 k ) y ro (k = 1,, K), (3) Όπου k και k+ οι βέλτιστες χαλαρές μεταβλητές (lack) για τις εισροές και τις εκροές, αντίστοιχα από το μοντέλο (31). Μια μονάδα απόφασης είναι αποδοτική αν και μόνο αν είναι αποδοτική και σε όλα τα τμήματα της. Έστω (λ k, k, k+ ) μια βέλτιστη λύση του μοντέλου (31). Η προβολή στο σύνορο αποδοτικότητας, ορίζεται ακολούθως: k x o = x k o k, (k = 1,, K), k y o = y k o k+, (k = 1,, K), z (k,h) o = Ζ (k,h) λ k, ( (j, k)) Οι Che et al (013) παρουσιάζουν μια τροποποιημένη μορφή της μεθόδου SBM. Βασιζόμενοι στην εφαρμογή των Toe et al (009) πρότειναν το ακόλουθο μοντέλο σε evelopet μορφή. Για την παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων της εικόνας 3, το τροποποιημένο μοντέλο δίνεται ακολούθως: ax i i=1 x io + + r r=1 y ro x io = j=1 λ j x ij + i, (i = 1,, ), (33) y rο = j=1 λ j j=1 μ j j=1 μ j y rj r + (r = 1,, ), z dj z d0, (d = 1,, ) y rj z d0, (d = 1,, ) 30

Όπου z d0 οι άγνωστες μεταβλητές απόφασης για τα ενδιάμεσα μεγέθη. Μια radial μορφή του παραπάνω μοντέλου είναι η ακόλουθη: i α β j=1 λ j x ij αx io, (i = 1,, ), (34) (34) j=1 μ j j=1 λ j j=1 μ j y rj βy rο (r = 1,, ), z dj z d0, (d = 1,, ) y rj z d0, (d = 1,, ) z d0 0, d = 1,,, α 1, β 1 λ j 0, μ j 0 j = 1,, Όπου οι μεταβλητές α και β απεικονίζουν τις επιμέρους αποδοτικότητες για το πρώτο και δεύτερο στάδιο, αντίστοιχα. Παρόλα αυτά, όπως αναφέρουν οι Che et al (013), η μεταβλητή α είναι πάντα ίση με τη μονάδα ενώ από τη β προκύπτει η συνολική αποδοτικότητα της παραγωγικής διαδικασίας. Συνεπώς, οι α και β δεν αναπαριστούν τις επιμέρους αποδοτικότητες των δύο σταδίων. Σύμφωνα με τους Che et al (013), η παραπάνω διαπίστωση αποδεικνύει ότι τη μέθοδος SBM δε μπορεί να εφαρμοστεί επιτυχώς στις παραγωγικές διαδικασίες δύο σταδίων. Προτείνουν ένα συνδυασμό της μεθόδου SBM (υπολογισμός προβολών μη αποδοτικών μονάδων) και μιας ultiplier-baed προσέγγισης (υπολογισμός αποδοτικότητας μονάδων). Οι Πίνακες και 3 παρουσιάζουν συνοπτικά τα βασικά χαρακτηριστικά των τεσσάρων μεθόδων που μελετήθηκαν σε αυτή την ενότητα. Κατηγοριοποιούνται σύμφωνα με τον προσανατολισμό (Πίνακας ) των μοντέλων προς τις εισροές ή προς τις εκροές. ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΤΙΣ ΕΙΣΡΟΕΣ ΣΤΙΣ ΕΚΡΟΕΣ ΧΩΡΙΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟ Kao et al (008) X Che et al (009) X epoti et al (01) X X SBM X X 31

Πίνακας : Προσανατολισμός μοντέλων Στον Πίνακα 3 παραθέτουμε, συνοπτικά, τα βασικότερα χαρακτηριστικά των τεσσάρων μεθόδων που παρουσιάζονται σε αυτή την ενότητα. Πιο συγκεκριμένα, και οι τέσσερις αναπτύσσονται υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS. Επίσης, όλες οι μέθοδοι μπορούν να επεκταθούν στην κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων VRS εκτός από αυτή των Kao et al (008). Επιπλέον, οι μέθοδοι εκτός από αυτή του SBM υπολογίζουν τη συνολική και τις επιμέρους αποδόσεις. ΜΕΘΟΔΟΣ Kao et al (008) CRS VRS ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΑΠΟΔΟΣΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΠΡΟΒΟΛΕΣ X CRS Che et al (009) VRS ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΑΠΟΔΟΣΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΠΡΟΒΟΛΕΣ X epoti et al (01) CRS VRS 3

ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΑΠΟΔΟΣΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΠΡΟΒΟΛΕΣ X CRS SBM VRS ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΑΠΟΔΟΣΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΠΡΟΒΟΛΕΣ X Πίνακας 3: Βασικά χαρακτηριστικά μεθόδων. Παραγωγική διαδικασία με επιπλέον εισροές στο δεύτερο στάδιο Άλλη μια μορφή παραγωγικής διαδικασίας δύο σταδίων παρουσιάζεται στην εικόνα 4, η οποία αποτελεί επέκταση της βασικής που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα. Ειδικότερα σε αυτήν, το δεύτερο στάδιο, εκτός από τα ενδιάμεσα μεγέθη, δέχεται και επιπλέον εισροές. Εικόνα 4: Παραγωγική διαδικασία με επιπλέον εισροές στο δεύτερο στάδιο..1 Liag et al (006) 33

Οι Liag et al (006) εξέτασαν την παραγωγική διαδικασία της Εικόνας 4. Στο μοντέλο που προτείνουν το πρώτο και δεύτερο στάδιο έχουν την ίδια βαρύτητα στην παραγωγική διαδικασία και η συνολική απόδοση υπολογίζεται ως αριθμητικός μέσος των δύο επιμέρους σταδίων. Στόχος της προσέγγισης τους είναι η μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας των δύο σταδίων, δεδομένου ότι τα βάρη των ενδιάμεσων μεγεθών είναι ίδια μεταξύ των δύο σταδίων. Στο πρώτο στάδιο, αντιστοιχεί το διάνυσμα των εισροών X S0 και το διάνυσμα των εκροών Y S0. Επιπλέον, Y S0 και X M0 τα διανύσματα των εισροών στο δεύτερο στάδιο και Y S0 το διάνυσμα των εκροών του. Το μοντέλο που προτείνουν, υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS, είναι το ακόλουθο: Ε 0 = ax 1 [CT Y S0 V S T X S0 U M T Y M0 C T Y S0 + V M T X M0 ] C T Y S0 V S T X S0 1 j = 1,, (35) U M T Y M0 C T Y S0 + V M T X M0 C T, V S T, U M T, V S T 0 1 j = 1,, Εφαρμόζοντας στο παραπάνω μοντέλο το μετασχηματισμό των Chare και Cooper ω T T S = t 1 V S (t 1 = 1 V T ), ω S X T T Μ = t V S (t = 1 S0 C T Y S0 + V T ), μ M X T T M = t U M M0 c S T = t 1 C T και c Μ T = t C T. Μεταξύ των c Μ T και c S T υπάρχει γραμμική σχέση οπότε υποθέτουν c Μ T = kc S T. Από τα παραπάνω προκύπτει το μοντέλο (36): Ε 0 = ax 1 [c S T Y S0 + μ T M Y M0 ] ω T S Χ Sj c T S Y Sj 0 j = 1,, ω T Μ Χ Μj + c T Μ Y Sj μ T M Y Mj 0 j = 1,, (36) ω T S Χ S0 = 1 ω T Μ Χ Μ0 +k c T Μ Y S0 = 1 c Μ T = kc S T ω S T, ω Μ T, c Μ T, c S T, μ M T, k 0 34

Το μοντέλο (36) είναι μη γραμμικό, μετασχηματίζεται στο ακόλουθο παραμετρικό γραμμικό πρόγραμμα: 35

Ε 0 = ax 1 [c S T Y S0 + μ T M Y M0 ] ω T S Χ Sj c T S Y Sj 0 j = 1,, ω T Μ Χ Μj + c T Μ Y Sj μ T M Y Mj 0 j = 1,, (37) ω T S Χ S0 = 1 ω T Μ Χ Μ0 +k c T S Y S0 = 1 ω T S, ω T Μ, c T Μ, c T S, μ T M, k 0 Στο μοντέλο (36) λόγω της παραμέτρου k c S T, χρησιμοποιούν μια ευρετική μέθοδο για την απόκτηση βέλτιστης λύσης. Ειδικότερα λόγω των περιορισμών ω Μ T Χ Μ0 +k c S T Y S0 = 1, c S T Y S0 1 και ω Μ T Χ Μ0 > 0 για τη μεταβλητή k ισχύει, k = 1 ω Μ T Χ Μ0 c Μ T YS0 < 1 c Μ T YS0. Ως E M ορίζεται η αποδοτικότητα που μπορεί να επιτευχθεί στο δεύτερο στάδιο εφόσον το πρώτο στάδιο έχει επιτύχει τη βέλτιστη απόδοση. Συνεπώς, η μέγιστη απόδοση του πρώτου σταδίου ( c S T Y S0 ) δε μπορεί να είναι μικρότερη του E M, δηλαδή: 0 k 1 E M (38) Από τη σχέση (38) προκύπτει το άνω και κάτω όριο της παραμέτρου k. Αρχικά, οι Liag et al (006) θέτουν k = 1 E, και λύνουν το αντίστοιχο γραμμικό πρόγραμμα και στη συνέχεια, αρχίζουν να μειώνουν το k M κατά k t = 1 E - εt για κάθε βήμα t, όπου ε ένας πολύ μικρός αριθμός. Σύμφωνα με την τιμή που δίνεται M στο k t, λύνεται κάθε φορά και το ανάλογο γραμμικό πρόγραμμα. Με τον τρόπο αυτό προκύπτει η βέλτιστη ευρετική λύση για το μοντέλο (35). Στη βέλτιστη κατάσταση, οι αποδοτικότητες του πρώτο και δεύτερου σταδίου είναι, E 1 = c T S Y S0 και E = μ T M Y M0. Συμπερασματικά, με τη συνεργατική προσέγγιση των Liag et al (006) υπολογίζεται η συνολική απόδοση της παραγωγικής διαδικασίας ως αριθμητικός μέσος των αποδόσεων των επιμέρους σταδίων.... Li et al (01) Η παραγωγική διαδικασία με επιπλέον εισροές στο δεύτερο στάδιο μελετάται και από τους Li et al (01). Η προσέγγιση τους στηρίζεται στο μοντέλο των Kao et al (008). Συγκεκριμένα, η συνολική αποδοτικότητα της διαδικασίας υπολογίζεται ως γινόμενο των αποδόσεων των δύο επιμέρους σταδίων. Έστω ΜΑ και κάθε ΜΑ j (j=1,,,) έχει εισροές στο πρώτο στάδιο x ij, όπου (i=1,,,) και εκροές z dj, όπου (d=1,,,). Οι εκροές του πρώτου σταδίου γίνονται οι εισροές στο δεύτερο 36

(ενδιάμεσα μεγέθη). Επιπλέον εισροές στο δεύτερο στάδιο είναι οι x hj (h=1,,,h). Οι εκροές από το δεύτερο στάδιο είναι και ορίζονται ως y rj, όπου (r=1,,,). Το μοντέλο για τον υπολογισμό της συνολικής αποδοτικότητας, υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS, δίνεται ακολούθως: θ overall = ax θ 0 1 θ 0 θ overall = ax d=1 w dz d 0 d=1 w d z dj i=1 v i x ij r=1 u r y rj i=1 v i x i 0 d=1 w d z dj + H Q h x h=1 hj r=1 u r y r 0 d=1 w d z d 0 + H Q h x h=1 h 0 1, j (39) 1, j v i, w d, Q h, u r 0, i, d, h, r. Όπου θ 0 1 και θ 0 οι αποδοτικότητες των σταδίων 1 και αντίστοιχα. Επίσης, οι Li et al (01) υιοθετούν την υπόθεση ότι εφαρμόζονται τα ίδια βάρη (w d ) στα ενδιάμεσα μεγέθη (z dj ) και για τα δύο στάδια. H Εξαιτίας των επιπλέον εισροών h=1 Q h x hj στο δεύτερο στάδιο το μοντέλο (39) δε μπορεί να μετασχηματιστεί σε γραμμικό οπότε προτείνουν μια ευρετική μέθοδο για την επίλυση του προγράμματος. Με το ακόλουθο μοντέλο υπολογίζεται η αποδοτικότητα του πρώτου σταδίου: θ 1ax 0 = ax d=1 w dz d 0 d=1 w d z dj i=1 v i x ij r=1 u r y rj i=1 v i x i 0 d=1 w d z dj + H Q h x h=1 hj 1, j (40) 1, j v i, w d, Q h, u r 0, i, d, h, r. Οι περιορισμοί του μοντέλου (39) είναι ίδιοι με αυτούς του μοντέλου (40), οι οποίοι διασφαλίζουν ότι οι αποδοτικότητες του πρώτου και του δεύτερου σταδίου δε θα υπερβούν τη μονάδα. Η μέγιστη απόδοση για το πρώτο στάδιο είναι η θ 0 1ax, οπότε η απόδοση του πρώτου σταδίου θ 0 1 ε[0, θ 0 1ax ]. Το μοντέλο (40) μετατρέπεται σε γραμμικό μέσω του μετασχηματισμού Chare και Cooper: θ 0 1ax = ax d=1 w d z d0 37

.t. d=1 w d z dj i=1 v i x ij 0, j (41) r=1 u r y rj d=1 w d z dj h=1 Q h x hj 0, j i=1 v i x i0 = 1 v i, w d, Q h, u r 0, i, d, h, r. H Επομένως, όπως αναφέρουν οι Li et al (01), η αποδοτικότητα του πρώτου σταδίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μια μεταβλητή θ 1 0 ε[0, θ 1ax 0 ] και η συνολική αποδοτικότητα θ overall να υπολογισθεί ως συνάρτηση αυτής. Το μοντέλο (39) μετασχηματίζεται στο ακόλουθο: θ overall = ax θ 0 1 d=1 w d z dj i=1 v i x ij r=1 u r y rj 1, j d=1 w d z dj + H Q h x h=1 hj θ 1 0 = ax d=1 w dz d 0 i=1 v i x i 0 r=1 u r y r 0 d=1 w d z d + H Q 0 h x h=1 h 0 1, j (4) θ 0 1 ε[0, θ 0 1 ] v i, w d, Q h, u r 0, i, d, h, r. Με το αντίστοιχο παραμετρικό γραμμικό πρόγραμμα: 38

θ overall = ax θ 0 1 i=1 r=1 u r y r0 d=1 w d z dj v i x ij 0, j H r=1 u r y rj d=1 w d z dj h=1 Q h x hj 0, j (43) d=1 w d z d0 + h=1 Q h x h0 = 1 d=1 w d z d0 + θ 1 0 i=1 v i x i0 = 0 H v i, w d, Q h, u r 0, i, d, h, r. θ 0 1 ε[0, θ 0 1ax ] Για την επίλυση του παραμετρικού μοντέλου (43) οι Li et al (01) προτείνουν την ακόλουθη ευρετική μέθοδο. Έστω, θ 1 0 = θ 1ax 0 kδε, όπου Δε το βήμα και k = 0,1,, [k ax ] + 1 όπου ([k ax ]) ο μέγιστος ακέραιος όποιος είναι μικρότερος ή ίσος του θ 1ax 1ax 0 /kδε. Συνεπώς, δοθείσας κάθε θ 0 το μοντέλο (43) μπορεί να λυθεί ως γραμμικό πρόγραμμα. Κατά την επίλυση του μοντέλου (43), η τιμή k αρχικοποιείται στο κάτω όριο της, δηλαδή k = 0. Στη συνέχεια το k αυξάνεται για κάθε βήμα και 1ax ανάλογα με την τιμή που παίρνει το θ 0 λύνεται και το αντίστοιχο γραμμικό πρόγραμμα. Από αύτη τη διαδικασία προκύπτει η βέλτιστη τιμή θ overall (k) που μπορεί να βρεθεί για το μοντέλο (43). Επομένως, η συνολική αποδοτικότητα του συστήματος μπορεί να εκτιμηθεί ως θ overall = ax θ overall (k). Στην παραγωγική διαδικασία δύο σταδίων, δοθείσας της θ overall, η μέγιστη αποδοτικότητα για το πρώτο στάδιο είναι θ 01+ = θ 1 0 (k ), όπου k = i {k θ overall = θ overall (k)}. Η ελάχιστη αποδοτικότητα για το δεύτερο στάδιο θα είναι θ 0 = θ overall. (Ανάλογη είναι η περίπτωση στην οποία η αποδοτικότητα θ 01+ του δεύτερου σταδίου λαμβάνεται ως παράμετρος.) Η ανάλυση της αποδοτικότητας στις επιμέρους αποδόσεις των δύο σταδίων είναι μοναδική αν θ 01 = θ 01+ και θ 0 = θ 0+...3 Airteioori et al (011) Οι Airteioori et al (011) προτείνουν μια διαφορετική προσέγγιση για την αξιολόγηση της αποδοτικότητας σε παραγωγικές διαδικασίες δύο σταδίων με επιπλέον εισροές στο δεύτερο στάδιο. Μελέτησαν την περίπτωση της εφοδιαστικής αλυσίδας όπου το πρώτο στάδιο αποτελεί τον προμηθευτή (Supplier) ενώ το δεύτερο τον κατασκευαστή (Maufacturer). Ειδικότερα, για ΜΑ j (j=1,,), όπου κάθε ΜΑ j αποτελείται από το πρώτο στάδιο με εισροές x ij (i=1,,) και εκροές y rj (r=1,,). Οι εκροές y rj γίνονται εισροές στο δεύτερο στάδιο με τις επιπλέον εισροές z dj (d=1,,). Οι τελικές εκροές του δεύτερου σταδίου είναι οι q lj (l=1,,l). Επίσης, χρησιμοποιούν το κλασικό προσθετικό (Additive) μοντέλο Chare et al (1985). Συγκεκριμένα: Το Additive μοντέλο Airteioori et al (011) 39

z 0 = ax + + z 0 = i 1 + + 3 + 4.t. j=1 λ j x j + = x 0.t. j=1 λ j x j + 1 = x 0 j=1 μ j q j + = q 0 j=1 λ j y j + = y 0 λ j,, + 0 j=1 μ j z j + 3 = z 0 (44) Σύμφωνα με τους Airteioori et al (011): Το πρώτο στάδιο θεωρείται αποδοτικό αν και μόνο αν 1 + = 0. j=1 μ j q j 4 = q 0 λ j, μ j 0, j = 1,, 1, 3, 4 0, free Το δεύτερο στάδιο θεωρείται αποδοτικό αν και μόνο αν + 3 + 4 = 0. Η ΜΑ 0 θεωρείται αποδοτική αν και μόνο αν z 0 = 0 Για μια μη αποδοτική μονάδα S 0 (x 0, y 0 ) στο πρώτο στάδιο ορίζονται οι προβολές: x 0 = j=1 λ j x j 1 y 0 = j=1 λ j y j + Για μια μη αποδοτική μονάδα M 0 (y 0, z 0, q 0 )στο δεύτερο στάδιο ορίζονται οι προβολές: y 0 = j=1 λ j y j + z 0 = j=1 μ j z j 3 q 0 = j=1 μ j q j + 4 Οι Airteioori et al (011) βασίζονται στο ότι τα στάδια μπορούν να καταστούν αποδοτικά καταργώντας τις πλεονάζουσες εισροές και αυξάνοντας τις ελλειμματικές εκροές. Το διάνυσμα αφήνεται ελεύθερο, αφού ο ρόλος του είναι αντικρουόμενος, διότι αντιστοιχεί στα ενδιάμεσα μεγέθη τα οποία λειτουργούν ως εκροές του πρώτου και ως εισροές του δεύτερου σταδίου. Με αυτό τον τρόπο τα ενδιάμεσα μεγέθη θα μειωθούν ή αυξηθούν, αν η αντίστοιχη χαλαρή μεταβλητή λάβει θετική ή αρνητική τιμή. Στον Πίνακα 4 παραθέτουμε, συνοπτικά, τα βασικότερα χαρακτηριστικά των τριών μεθόδων που παρουσιάζονται σε αυτή την ενότητα. Πιο συγκεκριμένα, και οι τρεις χρησιμοποιήθηκαν υπό την κλίμακα σταθερών αποδόσεων CRS, ενώ δεν αναφέρεται αν μπορούν να επεκταθούν στην κλίμακα VRS. Επιπλέον, όλες οι μέθοδοι υπολογίζουν τη συνολική αλλά και τις επιμέρους αποδόσεις των δύο σταδίων εκτός από αυτή των Airteioori et al (011). 40