.5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f: Α, g: Β υπάρχει υποσύνολο Γ των Α, Β ώστε για κάθε x Γ να ισχύει f λέμε ότι συναρτήσεις είναι ίσες στο σύνολο Γ. Παράδειγμα: Για τις συναρτήσεις: x 4 x x f( x ) = / Α= { } g x = / Β = 0 x+ x Επειδή: x 4 ( x )( x+ ) f ( x) = = = x x+ x+ και x ( ) ( ) x g x x x = = = x x x Παρατηρούμε ότι είναι:, ( ) {} f( x) = g( x ) για κάθε x Γ = g, τότε όπου Γ= {,0}, υποσύνολο των Α, Β. Άρα οι συναρτήσεις είναι ίσες στο σύνολο Γ..5.. Πράξεις με συναρτήσεις Πρόσθεση: f + g ( f + g )(x) = f(x) + g(x) / Α Β ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.38..57 495 97
Αφαίρεση: f g ( f g )(x) = f(x) g(x) / Α Β Πολλαπλασιασμός f g ( ) f g (x) = f(x) g(x) / Α Β Διαίρεση: f f * (x) = f(x) / Α Β g g g(x) Η συνάρτηση g * = ονομάζεται συμμετρική συνάρτηση της g g Δηλαδή g * = είναι η συνάρτηση με τύπο: Ρίζες της εξίσωσης: g g x = 0 Παράδειγμα: g(x) * = / Β =Β { g(x) = 0} * g(x) Αν έχουμε την συνάρτηση g : συμμετρική αυτής, είναι: g(x) x = Β = x x x ( ) = / Β= { } { } * * * g : g (x) /, τότε η.5.3. Άρτιες - περιττές συναρτήσεις Σημείωση: Μια συνάρτηση για να είναι άρτια ή περιττή, πρέπει το πεδίο ορισμού της Α, να είναι συμμετρικό διάστημα ως προς το 0. Όπως: Α = [ 5,5] ή Α = ( 5,5) ή (, 7) (7, + ) ή το ή το * Η συνάρτηση f/α είναι άρτια, όταν ισχύει: f( x) = f(x) x Α και x Α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.38..57 495 98
Παράδειγμα: Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) =συνx /. Παρατηρούμε ότι: f ( x) =συν( x) =συν x = f( x) Άρα η συνάρτηση είναι άρτια. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης, παρουσιάζει συμμετρία ως προς τον άξονα yy. Η συνάρτηση f /Α είναι περιττή, όταν ισχύει: f( x) = f(x) x Α και x Α Παράδειγμα: Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) =ημx /. Παρατηρούμε ότι: f ( x) =ημ( x) = ημ x = f ( x) Επομένως η συνάρτηση είναι περιττή. Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης, παρουσιάζει συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων..5.4. Κλαδικές συναρτήσεις Έστω f / μια συνάρτηση με τύπο: f(x) = x + 3x + 5x 6 Με την βοήθεια του πίνακα: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.38..57 495 99
Παρατηρούμε ότι: Για x > έχουμε: x > 0 και x > 0 Η συνάρτηση έχει τη μορφή: f(x) = x + 3x 6+ 5x 6= 0x 3, x> Για x έχουμε: x 0 και x 0 Επομένως η συνάρτηση έχει τη μορφή: f(x) = x 3x+ 6+ 5x 6= 4x, x Για x < έχουμε: x < 0 και x < 0 Άρα η συνάρτηση έχει τη μορφή: f(x) = x+ 3x+ 6+ 5x 6=, x< Οι παρατηρήσεις που έγιναν, μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση f / Α είναι μια κλαδική συνάρτηση με γενικό τύπο: 0x 3 όταν x > f(x) = 4x όταν x όταν x < Από τον γενικό τύπο της συνάρτησης προκύπτουν για παράδειγμα οι τιμές: f () = 4 = 3, f ( 000) =, f ( ) = 4 7, f ( 0) = ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.38..57 495 00
.5.5. Μονοτονία συνάρτησης Η συνάρτηση f /A είναι: Γνησίως αύξουσα και συμβολίζεται f ( ) ( ) x < x f x < f x Γνησίως φθίνουσα και συμβολίζεται f Σταθερή και συμβολίζεται f ( x) ( ) ( ) x < x f x > f x = c ( ) ( ) x < x f x = f x Ακόμη η συνάρτηση f /Α είναι: Απλά αύξουσα και συμβολίζεται f x < x f(x ) f(x ) Απλά φθίνουσα και συμβολίζεται f x < x f(x ) f(x ) Η μονοτονία μιας συνάρτησης, εξετάζεται πάντα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. Προκειμένου να βρούμε την μονοτονία μιας συνάρτησης, έχουμε δυο τρόπους δουλειάς. α τρόπος: Ελέγχουμε την μονοτονία αυτής, εξετάζοντας ποιος από τους ορισμούς αυτής ισχύει. Ο τρόπος αυτός προσδιορισμού της μονοτονίας, ονομάζεται συνθετικός. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.38..57 495 0
β τρόπος: Ο έλεγχος της μονοτονίας, γίνεται με τον λόγο μεταβολής της συνάρτησης, που είναι: f(x ) f(x ) λ= με x x x x Έτσι λοιπόν έχουμε: Για λ > 0 η f είναι γνησίως αύξουσα. Για λ < 0 η f είναι γνησίως φθίνουσα. 3 Για λ = 0 η f είναι σταθερή. 4 Για λ 0 η f είναι απλά αύξουσα. 5 Για λ 0 η f είναι απλά φθίνουσα. Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = 3x+ 5 / Α = Να βρεθεί η μονοτονία της. Λύση: α τρόπος (συνθετικά) Έστω x,x Α= με x < x και παρατηρούμε ότι: 3x > 3x 3x + 5 > 3x + 5 f(x ) > f(x ) Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. β τρόπος: (λόγος μεταβολής) Για x x ο λόγος μεταβολής της συνάρτησης, είναι: λ= = ( 3x + 5) ( 3x + 5) f(x ) f(x ) x x x x 3(x x ) x x λ = = < 3 0 Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.38..57 495 0
.5.6. Συνάρτηση ένα προς ένα Το παραπάνω διάγραμμα, εκφράζει μια συνάρτηση f / Α Β, που είναι «-» Μια συνάρτηση είναι «-» όταν ικανοποιεί έναν από τους παρακάτω ορισμούς: Ορισμός ος : Αν για κάθε x x που ανήκουν στο πεδίο f x f x τότε η f είναι «-». ορισμού Α ισχύει ( ) ( ) Ορισμός ος : Αν με την υπόθεση ότι f ( x ) = f( x ) συνεπάγεται x = x, τότε η συνάρτηση f είναι «-». Ορισμός 3 ος : Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα, τότε είναι «-». Για τον 3 ο ορισμό, έχουμε να παρατηρήσουμε ότι: Αν είναι x < x τότε πρέπει να είναι f(x ) > f(x ) ή f(x ) < f(x ). Δηλαδή για κάθε x x έχουμε f(x ) f(x ). Παράδειγμα : Να εξετασθεί αν η συνάρτηση f(x) = 3x + / είναι «-». Λύση: Υποθέτουμε ότι ισχύει f(x ) = f(x ) και έχουμε: 3x + = 3x + 3x = 3x x = x x = x x = x ή x = x ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.38..57 495 03
Επομένως η συνάρτηση δεν είναι «-». Παράδειγμα : Να εξετασθεί αν η συνάρτηση g(x) 3x / ( 3,0) = + είναι «-». Λύση: Έστω ότι είναι g(x ) = g(x ) από την υπόθεση αυτή, προκύπτει τελικά: x = x x = x () Επειδή x,x ( 3,0), συνεπάγεται ότι x,x > 0 επομένως από την () προκύπτει: Άρα η συνάρτηση είναι «-». x = x ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.38..57 495 04