ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ A y Ορισμός: Η αντιστοιχία : λέγεται συνάρτηση αν για κάθε x αντιστοιχίζεται ένα μόνο : συνάρτηση, με ( x ) ( x ) ή ισοδύναμα : συνάρτηση, με (x ) ( x ) x x Το σύνολο Α λέγεται σύνολο αφετηρίας ή σύνολο ορισμού ή πεδίο ορισμού της συνάρτησης, ενώ το σύνολο Β λέγεται σύνολο άφιξης. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Ορισμός: Με τον όρο πεδίο ορισμού εννοούμε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο η (x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Ο συμβολισμός για το πεδίο ορισμού είναι: i)d() (D το αρχικό γράμμα της λέξης Domain) ii)d iii)με κεφαλαίο γράμμα Α,Β,Γ κλπ 127

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΔΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όνομα Τύπος Πεδιο Ορισμού Πολυωνυμική F(x)=α ν χ ν +.+α 1 χ+α 0 R Ομοπαραλληλική F(x)=αχ+β R Σταθερή F(x)=c R Ταυτοτική F(x)=x R Ρητή Px F(x)= ( ), P( x), Q( x) Qx ( ) R x: Q( x) 0 πολυωνικές συναρτήσεις του χ Ομογραφική Fx ( ) 0 και R Άρρητη F( x) P( x) Λογαριθμική F(x)=lo α h(x),α>0 α Τριγωνομετρικές x : P( x) 0 F(x)=ημχ F(x)=συνχ F(x)=εφχ F(x)=σφχ 1 x : h( x) 0 R R R, 2 R, 128

3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω οι συναρτήσεις και με τύπους (x) και (x) και πεδία ορισμού Α=D() και Β=D() αντίστοιχα.τότε: Το άθροισμα των συναρτήσεων και είναι η συνάρτηση + (εφ όσον ορίζεται ) με Πεδιο ορισμού : D( ) D( ) D( ) A Τύπο : (+)(x)=(x)+(x), x A Για να ορίζεται πρέπει A Η διαφορά των συναρτήσεων και είναι η συνάρτηση - (εφ όσον ορίζεται) με Πεδίο ορισμού : D( ) D( ) D( ) A Τύπο: (-)(x)=(x)-(x), x A Για να ορίζεται πρέπει A Το γινόμενο των συναρτήσεων και είναι η συνάρτηση (εφ όσον ορίζεται) με Πεδίο ορισμού : D( ) D( ) D( ) A Τύπο: ()(x)=(x)(x), x A Για να ορίζεται πρέπει A Το πηλίκο των συναρτήσεων και είναι η συνάρτηση (εφ όσον ορίζεται ) με Πεδίο ορισμού Τύπο: D D( ) D'( ) A ' όπου ' : x ( ) 0 ( x) ( x) x A ' ( x) A ' Για να ορίζεται πρέπει 129

4 ΓΡΑΦΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση : A. Ονομάζουμε γράφημα ή γραφική παράσταση ή καμπύλη της σ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οχy, το σύνολο των σημείων Μ(χ,(x)) για όλα τα Συμβολίζεται με το C. 2 C ( x, ( x) R, x A C M x y R y x 2 (, ), ( ) x A. ΑΡΤΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση με τύπο (x) και πεδίο ορισμού το Α=D().Τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι άρτια,αν και μόνο αν, x D( ), x D( ) (δηλαδή το D() είναι συμμετρικό ως προς το 0) (-x)=(x) x D( ) Μεθοδολογια: 1. Βρίσκουμε το D() 2. Εξετάζουμε αν το D() είναι συμμετρικό σύνολο ως προς 0) (1) Αν δεν ισχύει η (1) τότε η συνάρτηση δεν είναι άρτια Αν ισχύει η (1) τότε εξετάζουμε αν 3.(-x)=(x) για κάθε x D( ) Γεωμετρική ερμηνεία: Αν μια συνάρτηση είναι άρτια γεωμετρικά σημαίνει ότι το γράφημα της είναι καμπύλη συμμετρική ως προς τον άξονα y y. 130

5 ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση με τύπο (x) και πεδίο ορισμού το Α=D().Τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι περιττή,αν και μόνο αν: x D( ), x D( ) (δηλαδή το D() είναι συμμετρικό σύνολο ως προς το 0) (-x)=-(x) x D( ) Μεθοδολογία: 1. Βρίσκουμε το D() 2. Εξετάζουμε αν το D() είναι συμμετρικό ως προς 0. (1) Αν δεν ισχύει η (1) τότε η συνάρτηση δεν είναι περιττή Αν ισχύει η (1) τότε συνεχίζουμε και εξετάζουμε αν: 3.(-x)=-(x) για κάθε x D( ) Γεωμετρική ερμηνεία: Αν η είναι περιττή γεωμετρικά σημαίνει ότι το γράφημα της είναι καμπύλη συμμετρική ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Θεώρημα: Το γινόμενο δύο άρτιων ή δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση, ενώ το γινόμενο μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης είναι περιττή συνάρτηση. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A Ορισμός: Η συνάρτηση : λέγεται γνησίως αύξουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ1,χ2 A με χ1<χ2 ισχύει (x1)<(x2). Ορισμός: Η συνάρτηση : A όταν για οποιαδήποτε σημεία χ1,χ2 λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Α A με χ1<χ2 ισχύει (x1)>(x2). Ορισμός: Η συνάρτηση : A λέγεται αύξουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ1,χ2 A με χ1<χ2 ισχύει (x1) ( x2 ) Ορισμός: Η συνάρτηση : A λέγεται φθίνουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ1,χ2 A με χ1<χ2 ισχύει ( x ) ( x )