ΜΕΡΟΣ Α 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Μεταβλητή Ένα γράμμα π.χ x,y,z,ω, ( ελληνικό ή λατινικό) πο παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό, λέγεται μεταβλητή. Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή ομοίων όρων Μια παράσταση πο περιέχει πράξεις με αριθμούς, λέγεται αριθμητική παράσταση. π. χ 3.6 5.( ) + 4 Μια παράσταση πο περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. π. χ 4x y + 1, 6x + 5 5 4x + Οι προσθετέοι μιας αλγεβρικής παράστασης λέγονται όροι ατής. (α + β) γ α γ + β γ, επιμεριστική ιδιότητα, β α + γ α (β + γ ) α Άλλη μορφή της επιμεριστικής ιδιότητας πο μας βοηθάει να κάνομε εύκολα πράξεις στις αλγεβρικές παραστάσεις: π. χ 6x + 4x ( 6 + 4) x 10x, - y + 3y - y (- + 3-1) y 0y 0 Η διαδικασία με την οποία γράφομε σε απλούστερη μορφή μια αλγεβρική παράσταση, ονομάζεται "αναγωγή ομοίων όρων". ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α το διπλανού πίνακα με ένα στοιχείο της στήλης. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ α) x+5x-3x ί) -4x β) x-3x+4x ii) -5x γ) -x+3x-6x iii) 4x δ) -x+4x-7x iv) x ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ α) x+5x-3x(+5-3)x4x iii ί) -4x β) x-3x+4x(1-3+4)xx iv ii) -5x γ)-x+3x-6x(-1+3-6)x-4x i iii) 4x δ)-x+4x-7x(-+4-7)x-5x ii iv) x
4 ΜΕΡΟΣ Α -1.1- Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Για κάθε αλγεβρική παράσταση της 1 ης στήλης το παρακάτω πίνακα, δίνονται τρεις απαντήσεις Α, και Γ, από τις οποίες μία μόνο είναι σωστή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Α Γ α) x-4x+6x 1x -x 4x β 3y-3y+4y 4y 10y -5y γ) -5α+3α-α 3α -3α 9α δ) 3α-4β+4β-5α 8α+8β α -α ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α Γ α) x-4x+6x (-4+6)x4x Γ 1x -x 4x β 3y-3y+4y(3-3+4)y4y Α 4y 10y -5y γ) -5α+3α-α (-5+3-1)α-3α 3α -3α 9α δ) 3α-4β+4β-5α(3-5)α+(-4+4)β -α+0β -α Γ 8α+8β α -α 3. Να αντιστοιχίσετε κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της παράσταση πο βρίσκεται στη στήλη. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) (3x+5) + (x-6) ί) -4 β) (-3x+5) - (x-6) ii) -4x+1 γ) (-3x+5) - (x+6) iii) -4x-1 δ)-(3x+5) - (x-6) iv) 4x-1 ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ α) (3x+5) + (x-6)3x+5+x-6 (3+1)x-14x-1 iv ί) -4x+11 β) (-3x+5) - (x-6)-3x+5-x+6(-3-1)x+11-4x+11 i ii) -4x+1 γ) (-3x+5) - (x+6)-3x+5-x-6(-3-1)x-1-4x-1 iii iii) -4x-1 δ)-(3x+5) - (x-6)-3x-5-x+6(-3-1)x+1-4x+1 ii iv) 4x-1
ΜΕΡΟΣ Α 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 5 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: α) Το τριπλάσιο ενός αριθμού αξημένο κατά 1. β) Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9. γ) Την περίμετρο ενός ορθογωνίο, πο το μήκος το είναι m μεγαλύτερο από το πλάτος το. α) 3x+1 β) 9(x + y) X X+ X α) Αν σμβολίσομε τον αριθμό με x τότε το τριπλάσιό το είναι 3x και όταν λέμε αξημένο κατά 1 εννοούμε προσθέτομε το 1 στο 3x. β) Αν σμβολίσομε τος αριθμούς x και y τότε το άθροισμά τος είναι x+y και η ζητούμενη αλγεβρική παράσταση 9(x+y). X+ γ) Αν σμβολίσομε το πλάτος με x,τότε το μήκος θα είναι x+ οπότε η περίμετρος θα είναι x+x+x++x+4x+4 (βλέπε διπλανό σχήμα) γ) x+x+x++x+4x+ 4 ΑΣΚΗΣΗ Να χρησιμοποιήσετε μια μεταβλητή για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: α) Το σνολικό ποσό πο θα πληρώσομε για να αγοράσομε 5 κιλά πατάτες αν γνωρίζομε την τιμή το ενός κιλού. β) Την τελική τιμή ενός προϊόντος, αν γνωρίζομε ότι ατή είναι η αναγραφόμενη τιμή σν 19% Φ.Π.Α. α) 5x 19 β) x + x x + 0,19x 1,19x 100 α) Αν σμβολίσομε ότι x είναι η τιμή το ενός κιλού τότε για τα 5 κιλά θα πληρώσομε 5x. β) Αν σμβολίσομε με x την αναγραφόμενη τιμή τότε η τελική τιμή θα προκύψει αν στην αναγραφόμενη προσθέσομε 0,19x πο είναι ο Φ. Π. Α, δηλαδή: x+0,19x 1,19x ΑΣΚΗΣΗ 3 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 0x-4x+x, β) -7α-8α-α, γ) 14y+1y+y δ) 14ω-1ω-ω+3ω, ε) -6x+3+4x-, στ) β-β+3β-4β
6 ΜΕΡΟΣ Α -1.1- Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ α) 0x-4x+x (0-4+1)x17x β) -7α-8α-α (-7-8-1)α -16α γ) 14y+1y+y (14+1+1)y7y δ) 14ω-1ω-ω+3ω (14-1-1+3)ω4ω ε) -6x+3+4x- (-6+4)x+3--x+1 α) Κάνομε αναγωγή ομοίων όρων χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. β) Ομοίως. γ) Ομοίως. δ) Ομοίως. ε) Ομοίως. στ) Ομοίως στ) β-β+3β-4β (1-+3-4)β-β ΑΣΚΗΣΗ 4 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x-4y+3x+3y, β) 6ω-ω+4α+3ω+α γ) x+y-3x-4y, δ)-8x+ω+3ω+x-x α) x 4y + 3x + 3y x + 3x 4y + 3y ( + 3) x + ( 4 + 3) β) 6ω - ω 6ω - ω ( 6 - + 3) ω + ( 4 + ) γ) x + ( 1 3) x + ( 4) δ) - 8x -8x + + 4α + 3ω + α + 3ω + 4α + α y - 3x - 4y + ω + 3ω + x - x 1 α 7ω + 5α x 3x + y 4y y x y x - x + ω + 3ω y 5x y (- 8 + -1) x + ( 1+ 3) ω 7x + 4ω α) Εφαρμόζομε την αντιμεταθετική ιδιότητα μεταξύ το ο και 3 ο όρο, για να μας δοθεί η δνατότητα να χρησιμοποιήσομε την επιμεριστική ιδιότητα μεταξύ των όρων με τις ίδιες μεταβλητές. β) Εργαζόμαστε παρόμοια εφαρμόζοντας την αντιμεταθετική ιδιότητα μεταξύ 3 ο και 4 ο ό- ρο. γ) Εργαζόμαστε παρόμοια εφαρμόζοντας την αντιμεταθετική ιδιότητα μεταξύ ο και 3 ο ό- ρο. δ) Εφαρμόζοντας αρχικά την αντιμεταθετική ιδιότητα μεταξύ 1 ο και ο όρο και στην σνέχεια μεταξύ ο και 3 ο όρο ατής πο θα προκύψει μας δίνεται η δνατότητα εφαρμογής της επιμεριστικής ιδιότητας ΑΣΚΗΣΗ 5 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α, και στη σνέχεια να πολογίσετε την τιμή τος. Α3(x+y)-(x+y), όταν x1, y-. 5(α-3β)+3(4β-α), όταν α-3, β5
ΜΕΡΟΣ Α 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 7 3x x B 5 ( x + y) ( x y) 3x 6y 4x + 6y y ( 3 4) x + ( 6 ) + 4y 1+ 4( ) 1 8 9 ( α - 3β) + 3( 4β α) A 3 + + 4x y 10α 15β + 1β 3α 10α 3α 15β + 1β y ( 10 3) α + ( 15 + 1) β 7α 3β 7( 3) 3.5 1 15 36 Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα διώχνομε τις παρενθέσεις. Εφαρμόζομε την αντιμεταθετική ιδιότητα μεταξύ ο και 3 ο όρο και κατόπιν κάνομε αναγωγή ομοίων όρων χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. Τέλος στην απλοποιημένη παράσταση αντικαθιστούμε τις τιμές των x,y πο μας δώσανε και κάνοντας τις πράξεις πολογίζομε την τιμή της παράστασης. Ομοίως και για την παράσταση αλλά με μεταβλητές τα α και β. ΑΣΚΗΣΗ 6 Να πολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: Α(α-3β) + 3(α + β), όταν α0,0 και β005. 3(x+y)+(3x+y) + y, όταν A B x + y ( α 3β) + 3( α + β) α 6β + 3α + 6β ( + 3) α 5α 5.0,0 0,1 3( x + y) + ( 3x + y) + y 3x + 6y + 6x + 3x + 6x + 6y + y + y ( 3 + 6) x + ( 6 + + 1) 9x + 9y 9( x + y) 9.1 9 1 ΑΣΚΗΣΗ 7 1 9 α + 3α y + y y Ομοίως όπως και στην προηγούμενη άσκηση με την διαφορά ότι για την παράσταση αντικαθιστούμε το ά- θροισμα x+y πο μας δώσανε. Οι διαιτολόγοι για να εξετάσον αν ένα άτομο είναι αδύνατο ή παχύ, χρησιμοποιούν τον αριθμό (δείκτης σωματικού βάρος ή body mass index, δηλαδή ΜΙ), όπο το βάρος το ατόμο και το ύψος το σε μέτρα. Ανάλογα με τον αριθμό ατό το άτομο κατατάσσεται σε κατηγορία σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα:
8 ΜΕΡΟΣ Α -1.1- Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΑΝΔΡΕΣ Κανονικό βάρος 18,5-3,5 19,5-4,9 1ος βαθμός παχσαρκίας 3,6-8,6 5-9,9 ος βαθμός παχσαρκίας 8,7-40 30-40 3ος βαθμός παχσαρκίας Πάνω από 40 Πάνω από 40 Να χαρακτηρίσετε: α) Το Γιώργο, με βάρος 87 κιλά και ύψος 1,75 μέτρα, β) Την Αλέκα, με βάρος 64 κιλά και ύψος 1,4 μέτρα, γ) Τον εατό σας. α) Γ β) Α γ) Δ 87 1,75 64 1,4 87 3,065 64,0164 8,4 31,7 α) Για τον Γιώργο κάνομε αντικατάσταση στην αλγεβρική παράσταση πο μας δώσανε τις τιμές το βάρος και το ύψος και βρίσκομε ότι ο δείκτης σωματικού βάρος είναι 8,4 οπότε βρίσκεται στον 1 ο βαθμό παχσαρκίας. β) Ομοίως για την Αλέκα βρίσκομε ότι ο δείκτης σωματικού βάρος είναι 31,7 οπότε βρίσκεται στον ο βαθμό παχσαρκίας. γ) ρείτε και τον δικό σας δείκτη σωματικού ΓΙΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ