Κεφάλαιο 13 Σύγκριση των Παραμέτρων Δύο Πληθυσμών

Κεφάλαιο 13 Σύγκριση των Παραμέτρων Δύο Πληθυσμών

Σύγκριση Δύο Πληθυσμών Προηγούμενα εξετάσαμε τεχνικές για την εκτίμηση και τον έλεγχο παραμέτρων για έναν πληθυσμό. Θα συνεχίσουμε να εξετάζουμε αυτές τις παραμέτρους και στην περίπτωση που έχουμε δύο πληθυσμούς, ωστόσο τώρα θα ασχοληθούμε με: Την διαφορά μεταξύ δύο μέσων. Τον λόγο δύο διασπορών. Την διαφορά μεταξύ δύο αναλογιών.

Διαφορά Μεταξύ Δύο Μέσων Για να ελέγξουμε και να εκτιμήσουμε τη διαφορά μεταξύ των μέσων δύο πληθυσμών, επιλέγουμε τυχαία δείγματα από τους δύο πληθυσμούς. Αρχικά θα συζητήσουμε την περίπτωση όπου τα δείγματα είναι ανεξάρτητα, δηλαδή δείγματα που είναι τελείως άσχετα μεταξύ τους. Πληθυσμός 1 Μέγεθος δείγματος: n 1 Παράμετροι: Στατιστικά μεγέθη: (Ομοίως, εξετάζουμε τα για τον πληθυσμό 2)

Διαφορά Μεταξύ Δύο Μέσων Επειδή συγκρίνουμε μέσους δύο πληθυσμών χρησιμοποιούμε το στατιστικό μέγεθος, το οποίο είναι ένας αμερόληπτος και συνεπής εκτιμητής του µ 1 - µ 2.

Κατανομή Δειγματοληψίας του 1. Η κατανομή δειγματοληψίας της διαφοράς είναι κανονική όταν οι δύο πληθυσμοί έχουν κανονική κατανομή ή κατά προσέγγιση κανονική όταν οι δύο πληθυσμοί δεν έχουν κανονική κατανομή αλλά τα μεγέθη των δειγμάτων είναι μεγάλα (n 1, n 2 > 30) 2. Η αναμενόμενη τιμή του είναι µ 1 - µ 2 3. Η διασπορά του είναι και το τυπικό σφάλμα είναι:

Συμπεράσματα Σχετικά με μ 1 -μ 2 Αφού η κατανομή δειγματοληψίας της διαφοράς είναι κανονική όταν οι αρχικοί πληθυσμοί έχουν κανονική κατανομή ή - κατά προσέγγιση κανονική όταν οι πληθυσμοί δεν έχουν κανονική κατανομή αλλά τα μεγέθη των δειγμάτων είναι μεγάλα, τότε η μεταβλητή: είναι μια κανονική (ή κατά προσέγγιση κανονική) τυχαία μεταβλητή. Θα μπορούσαμε να την χρησιμοποιήσουμε για να δομήσουμε τον έλεγχο και τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης για το µ 1 - µ 2.

Συμπεράσματα Σχετικά με μ 1 -μ 2 στην πράξη όμως ο έλεγχος z χρησιμοποιείται σπάνια αφού οι διασπορές των πληθυσμών είναι άγνωστες. ;; Αντ αυτού χρησιμοποιούμε τον έλεγχο t. Παίρνουμε δύο περιπτώσεις για τις άγνωστες διασπορές πληθυσμών: όταν πιστεύουμε ότι είναι ίσες και, αντιθέτως, όταν πιστεύουμε ότι είναι άνισες. Περισσότερα επ αυτού αργότερα

Έλεγχος για μ 1 -μ 2 (ίσες διασπορές) Υπολογίστε τον τον σταθμισμένο εκτιμητή διασποράς ως και χρησιμοποιήστε τον εδώ: βαθμοί ελευθερίας

Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης για μ 1 -μ 2 (ίσες διασπορές) Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για μ 1 -μ 2 όταν οι διασπορές πληθυσμών είναι ίσες δίδεται από τον τύπο: σταθμισμένος εκτιμητής διασποράς βαθμοί ελευθερίας

Έλεγχος για μ 1 -μ 2 (άνισες διασπορές) Ο έλεγχος για μ 1 -μ 2 όταν οι διασπορές πληθυσμών είναι άνισες δίδεται από τον τύπο: βαθμοί ελευθερίας Ομοίως, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης είναι:

Ποιος Έλεγχος θα πρέπει να Χρησιμοποιείται; Ποιον έλεγχο χρησιμοποιούμε; Ίσων διασπορών ή άνισων διασπορών; Όποτε δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία που βεβαιώνουν ότι οι διασπορές είναι άνισες, είναι προτιμότερο να προβούμε στον έλεγχο t ίσων διασπορών. Και τούτο, επειδή για κάθε δύο δεδομένα δείγματα: Αριθμός βαθμών ελευθερίας στην περίπτωση ίσων διασπορών Αριθμός βαθμών ελευθερίας στην περίπτωση άνισων διασπορών Οι μεγάλοι αριθμοί βαθμών ελευθερίας έχουν την ίδια επίπτωση που έχουν τα μεγάλα μεγέθη δειγμάτων

Έλεγχος των Διασπορών Πληθυσμών Έλεγχος Διασπορών Πληθυσμών H 0 : σ 12 / σ 22 = 1 H 1 : σ 12 / σ 22 1 Έλεγχος: s 12 / s 22, που ακολουθεί την κατανομή F με ν 1 = n 1 1 και ν 2 = n 2 2 βαθμούς ελευθερίας Η απαιτούμενη συνθήκη είναι η ίδια όπως και στον έλεγχο t του µ 1 - µ 2, όπου και οι δύο πληθυσμοί έχουν κανονική κατανομή.

Έλεγχος των Διασπορών Πληθυσμών Είναι ένας έλεγχος δύο άκρων, έτσι η περιοχή απόρριψης είναι F F ή F F 1 / 2, 2 / 2, 1, 2 1,

Παράδειγμα 13.1 Εκατομμύρια επενδυτές αγοράζουν αμοιβαία κεφάλαια επιλέγοντας ανάμεσα σε χιλιάδες δυνατότητες. Κάποια αμοιβαία κεφάλαια αγοράζονται απευθείας από τράπεζες ή άλλους χρηματοοικονομικούς οργανισμούς ενώ άλλα κεφάλαια πρέπει να αγοράζονται μέσω χρηματιστών που χρεώνουν μια αμοιβή για τις υπηρεσίες τους. Αυτό εγείρει το ερώτημα εάν είναι καλύτερο για τους επενδυτές να αγοράζουν αμοιβαία κεφάλαια απευθείας ή να τα αγοράζουν μέσω χρηματιστών.

Παράδειγμα 13.1 Για να βοηθήσουν στην απάντηση του ερωτήματος, μια ομάδα ερευνητών επέλεξε τυχαίο δείγμα ετήσιων αποδόσεων αμοιβαίων κεφαλαίων άμεσης αγοράς και αμοιβαίων κεφαλαίων μέσω χρηματιστών και κατέγραψε τις καθαρές ετήσιες αποδόσεις, οι οποίες είναι οι αποδόσεις της επένδυσης μετά την αφαίρεση όλων των σχετικών αμοιβών (αρχείο Xm13-01). Μπορούμε να συμπεράνουμε με στάθμη σημαντικότητας 5% ότι τα αμοιβαία κεφάλαια που αγοράζονται απευθείας έχουν υψηλότερη απόδοση από αυτά που αγοράζονται μέσω χρηματιστών;

Παράδειγμα 13.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Για να απαντήσουμε στην ερώτηση θα πρέπει να συγκρίνουμε τον πληθυσμό των αποδόσεων αμοιβαίων κεφαλαίων άμεσης αγοράς με τις αποδόσεις αμοιβαίων κεφαλαίων μέσω χρηματιστών. Τα δεδομένα είναι εμφανώς συνεχή/ποσοτικά (έχουμε καταγράψει πραγματικούς αριθμούς). Σκοπός του προβλήματος αυτού ο συνδυασμός του τύπου των δεδομένων μας λέει ότι η παράμετρος που θα πρέπει να ελεγχθεί είναι η διαφορά μεταξύ δύο μέσων µ 1 - µ 2.

Παράδειγμα 13.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Η υπόθεση που θα πρέπει να ελεγχθεί είναι ότι η μέση καθαρή ετήσια απόδοση των απευθείας αγορασμένων αμοιβαίων κεφαλαίων (µ 1 ) είναι υψηλότερη από τη μέση απόδοση των αμοιβαίων κεφαλαίων μέσω χρηματιστών (µ 2 ). Επομένως, η εναλλακτική υπόθεση είναι και H 1 : µ 1 - µ 2 > 0 H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 Για να αποφασίσουμε ποιος από τους ελέγχους t του µ 1 - µ 2 θα πρέπει να εφαρμοστεί, διενεργούμε τον έλεγχο F του σ 12 / σ 22.

Παράδειγμα 13.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Από τα δεδομένα υπολογίσαμε τα παρακάτω στατιστικά στοιχεία. s 12 = 37,49 και s 2 2 = 43,34 Έλεγχος: F = 37,49/43,34 = 0,86 Περιοχή απόρριψης: F F 2,, F.025,49,49 F.025,50, 50 / 1 2 1.60 ή F F / 2,, F.975,49,49 1/ F.025,49,49 1/ F.025,50, 50 1 1 2 1/1.60.63

Παράδειγμα 13.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Κλικ Data, Data Analysis, and F-Test Two Sample for Variances

Παράδειγμα 13.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C F-Test Two-Sample for Variances Direct Broker Mean 6.63 3.72 Variance 37.49 43.34 Observations 50 50 df 49 49 F 0.86 P(F<=f) one-tail 0.3068 F Critical one-tail 0.6222 Η τιμή του ελέγχου είναι F = 0.86. Το Excel εξάγει την τιμήp του ενός άκρου. Επειδή διενεργούνε έλεγχο δύο άκρων, διπλασιάζουμε αυτή την τιμή. Επομένως, η τιμή-p του ελέγχου που διενεργούμε είναι 2 0.3068 = 0.6136.

Παράδειγμα 13.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία ώστε να συμπεράνουμε ότι οι διασπορές πληθυσμών διαφέρουν. Επομένως πρέπει να εφαρμόσουμε τον έλεγχο ίσων διασπορών για µ 1 - µ 2

Παράδειγμα 13.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Κλικ Data, Data Analysis, t-test: Two-Sample Assuming Equal Variances

Παράδειγμα 13.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A B C t-test: Two-Sample Assuming Equal Variances Direct Broker Mean 6.63 3.72 Variance 37.49 43.34 Observations 50 50 Pooled Variance 40.41 Hypothesized Mean Difference 0 df 98 t Stat 2.29 P(T<=t) one-tail 0.0122 t Critical one-tail 1.6606 P(T<=t) two-tail 0.0243 t Critical two-tail 1.9845

Παράδειγμα 13.1 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Η τιμή του ελέγχου είναι 2.29. Η τιμή-p ενός άκρου είναι 0.0122. Παρατηρούμε ότι η τιμή-p του ελέγχου είναι μικρή (και ο έλεγχος εμπίπτει μέσα στην περιοχή απόρριψης). Επομένως, καταλήγουμε ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι τα αγοραζόμενα απευθείας αμοιβαία κεφάλαιο προσφέρουν υψηλότερη μέση απόδοση από τα αμοιβαία κεφάλαια που διατίθενται μέσω χρηματιστών.

Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F t-estimate of the Difference Between Two Means (Equal-Variances) Sample 1 Sample 2 Confidence Interval Estimate Mean 6.63 3.72 2.91 ± 2.52 Variance 37.49 43.34 Lower confidence limit 0.39 Sample size 50 50 Upper confidence limit 5.43 Pooled Variance 40.42 Confidence level 0.95

Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης ΕΡΜΗΝΕΙΑ Σύμφωνα με τα αποτελέσματα, τα αμοιβαία κεφάλαια που αγοράζονται απευθείας έχουν υψηλότερη μέση απόδοση κατά 0.39 έως 5.43 τοις εκατό από αυτά που διατίθενται μέσω χρηματιστών.

Παράδειγμα 13.2 Τι συμβαίνει σε μια οικογενειακή επιχείρηση όταν ο ιδρυτής αποσυρθεί και αναλαμβάνει την επιχείρηση ο γιός ή η κόρη του; Είναι καλύτερο για την επιχείρηση εάν ο νέος διευθυντής είναι απόγονος του ιδιοκτήτη ή είναι καλύτερα να αναλάβει την επιχείρηση ως διευθύνων σύμβουλος (CEO) κάποιος εκτός της οικογένειας; Μια έρευνα επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 140 εταιρειών μεταξύ του 1994 και του 2002, το 30% εκ των οποίων πέρασε στην ιδιοκτησία ενός απογόνου και το 70% προσέλαβε έναν CEO εκτός της οικογένειας.

Παράδειγμα 13.2 Για κάθε επιχείρηση οι ερευνητές υπολόγισαν την ποσοστιαία μεταβολή του συνολικού ενεργητικού (λειτουργικά έσοδα) ένα χρόνο πριν και ένα χρόνο μετά την ανάληψη καθηκόντων του νέου CEO. Η μεταβολή (λειτουργικά έσοδα μετά λειτουργικά έσοδα πριν) στη μεταβλητή αυτή καταγράφηκε στο αρχείο (Xm13-02) Μπορούμε από τα δεδομένα αυτά να συμπεράνουμε ότι η επίπτωση ανάληψης ενός CEO-απογόνου είναι διαφορετική από την επίπτωση της πρόσληψης ενός ξένου CEO;

Παράδειγμα 13.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός του προβλήματος είναι η σύγκριση δύο πληθυσμών. Πληθυσμός 1: Λειτουργικά έσοδα επιχειρήσεων των οποίων ο CEO είναι απόγονος του προηγούμενου CEO Πληθυσμός 2: Λειτουργικά έσοδα επιχειρήσεων των οποίων ο CEO είναι ξένος Τα δεδομένα είναι συνεχή/ποσοτικά (λειτουργικά έσοδα). Επομένως, η παράμετρος που θα πρέπει να ελεγχθεί είναι η µ 1 - µ 2, όπου µ 1 = μέσα λειτουργικά έσοδα για τον πληθυσμό 1 και µ 2 = μέσα λειτουργικά έσοδα για τον πληθυσμό 2.

Παράδειγμα 13.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Θέλουμε να καθορίσουμε εάν υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία ώστε να συμπεράνουμε ότι ο µ 1 είναι διαφορετικός από τον µ 2. Δηλαδή, ότι µ 1 - µ 2 δεν είναι ίσο με 0. Επομένως, και H 1 : µ 1 - µ 2 0 H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έλεγχο ίσων ή άνισων διασπορών.

Παράδειγμα 13.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Κλικ Data, Data Analysis, and F-Test Two Sample for Variances

Παράδειγμα 13.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C F-Test Two-Sample for Variances Offspring Outsider Mean -0.10 1.24 Variance 3.79 8.03 Observations 42 98 df 41 97 F 0.47 P(F<=f) one-tail 0.0040 F Critical one-tail 0.6314 Η τιμή του ελέγχου είναι F = 0.47. Η τιμή-p του ελέγχου που διενεργούμε είναι 2 0.0040 = 0.0080.

Παράδειγμα 13.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Επομένως, η ορθή τεχνική είναι ο έλεγχος t άνισων διασπορών του µ 1 - µ 2.

Παράδειγμα 13.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Κλικ Data, Data Analysis, t-test: Two-Sample Assuming Unequal Variances

Παράδειγμα 13.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B C t-test: Two-Sample Assuming Unequal Variances Offspring Outsider Mean -0.10 1.24 Variance 3.79 8.03 Observations 42 98 Hypothesized Mean Difference 0 df 111 t Stat -3.22 P(T<=t) one-tail 0.0008 t Critical one-tail 1.6587 P(T<=t) two-tail 0.0017 t Critical two-tail 1.9816

Παράδειγμα 13.2 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ο έλεγχος t είναι 3.22 και η τιμή-p είναι 0.0017. Επομένως καταλήγουμε ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι υπάρχει διαφορά στη μέση απόδοση των οικογενειακών επιχειρήσεων.

Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης Μπορούμε επίσης να εξάγουμε συμπεράσματα σχετικά με τη διαφορά μεταξύ των δύο μέσων των πληθυσμών υπολογίζοντας τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης. Χρησιμοποιούμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης άνισων διασπορών και στάθμη εμπιστοσύνης 95%.

Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F t-estimate of the Difference Between Two Means (Unequal-Variances) Sample 1 Sample 2 Confidence Interval Estimate Mean -0.10 1.24-1.34 ± 0.82 Variance 3.79 8.03 Lower confidence limit -2.16 Sample size 42 98 Upper confidence limit -0.51 Degrees of freedom 110.75 Confidence level 0.95

Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης ΕΡΜΗΝΕΙΑ Εκτιμούμε ότι η μέση μεταβολή στα λειτουργικά έσοδα στην περίπτωση του ξένου διευθυντή υπερβαίνει την μεταβολή στα λειτουργικά έσοδα στην περίπτωση του διευθυντή-απογόνου κατά 0.51 έως 2.16 τοις εκατό.

Έλεγχος της Απαιτούμενης Συνθήκης Τόσο η τεχνική ίσων διασπορών όσο και η τεχνική άνισων διασπορών απαιτούν ότι οι πληθυσμοί έχουν κανονική κατανομή. Όπως και πριν, για να ελέγξουμε εάν ικανοποιείται αυτή η προϋπόθεση μπορούμε να εξετάσουμε τα ιστογράμματα των δεδομένων.

Frequency Frequency Έλεγχος της Απαιτούμενης Συνθήκης: Παράδειγμα 13.1. 20 10 0 Histogram -5 0 5 10 15 20 More Direct 20 10 0 Histogram -5 0 5 10 15 20 More Broker

Frequency Frequency Έλεγχος της Απαιτούμενης Συνθήκης: Παράδειγμα 13.2. 20 10 0 Histogram -4-2 0 2 4 Offspring 40 20 0 Histogram -4-2 0 2 4 6 8 10 Outsider

Παραβίαση της Απαιτούμενης Συνθήκης Όταν η συνθήκη της κανονικότητας δεν ικανοποιείται, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια μη παραμετρική τεχνική τον έλεγχο Wilcoxon για ανεξάρτητα δείγματα (Κεφάλαιο 19) για να αντικαταστήσουμε τον έλεγχο ίσων διασπορών του µ 1 -µ 2. Δεν υπάρχει εναλλακτικός τρόπος ελέγχου άνισων διασπορών του µ 1 -µ 2 όταν έχουμε ακραίες αποκλίσεις από την κανονική κατανομή των πληθυσμών.

Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 1 Οι μαθηματικοί τύπου στην ενότητα αυτή είναι σχετικά πολύπλοκοι. Ωστόσο, εννοιολογικά, οι υπολογισμοί βασίζονται στις τεχνικές που έχουμε γνωρίσει στο Κεφάλαιο 11 και έχουμε επαναλάβει στο Κεφάλαιο 12. Δηλαδή, η τιμή του στατιστικού στοιχείου είναι η διαφορά μεταξύ της στατιστικής και υποθετικής τιμής της παραμέτρου που μετράται με όρους τυπικού σφάλματος. Test statistic Statistic Parameter Stan dard error

Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 2 Όπως είχαμε δει για τον εκτιμητή διαστήματος του p, το τυπικό σφάλμα πρέπει να υπολογίζεται από τα δεδομένα όλων των επαγωγικών διαδικασιών που εισάγονται εδώ. Η μέθοδος που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό του τυπικού σφάλματος του x1 x 2 εξαρτάται από το εάν οι διασπορές των πληθυσμών είναι ίσες. Όταν είναι ίσες υπολογίζουμε και χρησιμοποιούμε τον σταθμισμένο εκτιμητή διασποράς s p2. Εδώ εφαρμόζουμε μια βασική αρχή, και θα την εφαρμόσουμε και πάλι στην Ενότητα 13.5 καθώς και σε μετέπειτα κεφάλαια. Όπου είναι εφικτό, είναι επωφελές να σταθμίζονται τα δεδομένα του δείγματος για την εκτίμηση του τυπικού σφάλματος.

Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 2 Στην προηγούμενη εφαρμογή είμαστε σε θέση να σταθμίσουμε επειδή υποθέτουμε ότι τα δύο δείγματα εξήχθησαν από πληθυσμούς με κοινή διασπορά. Ο συνδυασμός των δύο δειγμάτων αυξάνει την ακρίβεια της εκτίμησης. Επομένως, ο s p2 είναι καλύτερος εκτιμητής της κοινής διασποράς απ ότι είναι είτε ο s 12 είτε ο s 22. Όταν οι διασπορές δύο πληθυσμών είναι άνισες, δεν μπορούμε να σταθμίσουμε τα δεδομένα και να εξάγουμε ένα κοινό εκτιμητή. Πρέπει να υπολογίσουμε και να τις χρησιμοποιήσουμε για να εκτιμήσουμε τον σ 12 και τον σ 22, αντιστοίχως.

Καθορισμός Παραγόντων I Παράγοντες που καθορίζουν τον έλεγχο t και τον εκτιμητή ίσων διασπορών του :

Καθορισμός Παραγόντων II Παράγοντες που καθορίζουν τον έλεγχο t και τον εκτιμητή άνισων διασπορών του :

Παράδειγμα 13.3 Παρά τις αντιπαραθέσεις, οι επιστήμονες γενικώς συμφωνούν ότι τα δημητριακά που είναι πλούσια σε φυτικές ίνες μειώνουν την πιθανότητα εμφάνισης διαφόρων μορφών καρκίνου. Ωστόσο, ένας επιστήμονας ισχυρίζεται ότι οι άνθρωποι που τρώνε για πρόγευμα δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες θα καταναλώσουν, κατά μέσο όρο, λιγότερες θερμίδες για γεύμα απ ότι άνθρωποι που δεν τρώνε για πρόγευμα δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες.

Παράδειγμα 13.3 Εάν αυτό ισχύει, οι παραγωγοί δημητριακών πλούσιων σε φυτικές ίνες θα είναι σε θέση να προσθέσουν ένα ακόμη πλεονέκτημα στην κατανάλωση του προϊόντος τους την εν δυνάμει μείωση βάρους ανθρώπων που κάνουν δίαιτα. Ως ένας προκαταρκτικός έλεγχος του ισχυρισμού αυτού επελέγη ένα τυχαίο δείγμα 150 ανθρώπων που ρωτήθηκαν τι τρώνε συνήθως για πρόγευμα και για γεύμα.

Παράδειγμα 13.3 Κάθε άτομο αναγνωρίσθηκε είτε ως καταναλωτής είτε μηκαταναλωτής δημητριακών πλούσιων σε φυτικές ίνες, και ο αριθμός των θερμίδων που καταναλώνονται στο γεύμα μετρήθηκε και καταγράφηκε (αρχείο Xm13-03) Μπορεί ο επιστήμονας να συμπεράνει με στάθμη σημαντικότητας 5% ότι η πεποίθηση αυτή είναι ορθή;

Παράδειγμα 13.3 H 2 0 : ( 1 ) 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 H 2 1 : ( 1 ) A B C t-test: Two-Sample Assuming Unequal Variances 0 Consumers Nonconsumers Mean 604.02 633.23 Variance 4103 10670 Observations 43 107 Hypothesized Mean Difference 0 df 123 t Stat -2.09 P(T<=t) one-tail 0.0193 t Critical one-tail 1.6573 P(T<=t) two-tail 0.0386 t Critical two-tail 1.9794

Παράδειγμα 13.3 Η τιμή του ελέγχου είναι 2.09. Η τιμή p ενός άκρου είναι 0.0193. Καταλήγουμε ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι οι καταναλωτές δημητριακών πλούσιων σε φυτικές ίνες όντως καταναλώνουν λιγότερες θερμίδες στο γεύμα απ ότι οι μη-καταναλωτές αυτών των δημητριακών.

Παρατηρησιακά και Πειραματικά Δεδομένα Από το αποτέλεσμα αυτό τείνουμε να πιστεύουμε ότι η κατανάλωση για πρόγευμα δημητριακών πλούσιων σε φυτικές ίνες μπορεί να αποτελεί ένα τρόπο απώλειας σωματικού βάρους. Ωστόσο, κι άλλες ερμηνείες είναι εύλογες. Για παράδειγμα, άνθρωποι που καταναλώνουν λιγότερες θερμίδες είναι πιθανώς πιο ευαισθητοποιημένοι όσον αφορά στην υγεία τους, και οι άνθρωποι αυτοί είναι πιθανό να καταναλώνουν για πρόγευμα δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες ως μέρος της υγιεινής διατροφής τους. Στην ερμηνεία αυτή, τα πλούσια σε φυτικές ίνες δημητριακά δεν οδηγούν απαραίτητα σε κατανάλωση λιγότερων θερμίδων στο γεύμα.

Παρατηρησιακά και Πειραματικά Δεδομένα Αντιθέτως, ένας άλλος παράγοντας, δηλαδή η ευαισθητοποίηση όσον αφορά στην υγεία, οδηγεί τόσο σε λιγότερες θερμίδες στο γεύμα όσο και σε δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες για πρόγευμα. Σημειώστε ότι το συμπέρασμα της στατιστικής διαδικασίας παραμένει αμετάβλητο. Κατά μέσο όρο, άνθρωποι που καταναλώνουν δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες καταναλώνουν λιγότερες θερμίδες στο γεύμα. Ωστόσο, λόγω του τρόπου συλλογής των δεδομένων, έχουμε μεγαλύτερη δυσκολία στην ερμηνεία αυτού του αποτελέσματος.

Παρατηρησιακά και Πειραματικά Δεδομένα Έστω ότι επαναλαμβάνουμε το Παράδειγμα 13.3 χρησιμοποιώντας την πειραματική προσέγγιση. Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα 150 ανθρώπων για να συμμετέχουν στο πείραμα. Λέμε στους 75 να φάνε για πρόγευμα δημητριακά πλούσια σε φυτικές ίνες και στους άλλους 75 να φάνε κάτι άλλο. Στη συνέχεια καταγράφουμε τον αριθμό των θερμίδων που καταναλώνει κάθε άτομο στο γεύμα.

Παρατηρησιακά και Πειραματικά Δεδομένα Και οι δύο ομάδες θα πρέπει να είναι παρόμοιες σε όλες τις άλλες διαστάσεις, συμπεριλαμβανομένης και της ευαισθητοποίησης όσον αγορά στην υγεία. (Τα μεγάλα μεγέθη δειγμάτων αυξάνουν την πιθανότητα να είναι παρόμοιες οι δύο ομάδες). Εάν το στατιστικό αποτέλεσμα είναι περίπου το ίδιο όπως και στο Παράδειγμα 13.3, τότε έχουμε βάσιμους λόγους να πιστεύουμε ότι η κατανάλωση στο πρόγευμα δημητριακών πλούσιων σε φυτικές ίνες οδηγεί σε μείωση πρόσληψης θερμίδων στο γεύμα.

Πείραμα Σύγκρισης κατά Ζεύγη Όταν προηγουμένως συγκρίναμε δύο πληθυσμούς εξετάσαμε ανεξάρτητα δείγματα. Εάν όμως μια παρατήρηση στο ένα δείγμα αντιστοιχεί με μια παρατήρηση σε ένα δεύτερο δείγμα, αυτό ονομάζεται πείραμα σύγκρισης κατά ζεύγη. Για να κατανοήσουμε αυτή την έννοια ας δούμε το Παράδειγμα 13.4

Παράδειγμα 13.4 Τα τελευταία χρόνια έχουν κάνει την εμφάνισή τους αρκετές διαδικτυακές εταιρείες που προσφέρουν ευκαιρίες καριέρας. Ο διευθυντής μιας τέτοιας εταιρείας θέλησε να ερευνήσει τις προσφορές που δέχονται οι κάτοχοι πτυχίου ΜΒΑ. Συγκεκριμένα, ήθελε να γνωρίζει εάν αυτοί που προέρχονται από οικονομικές σπουδές δέχονται καλύτερες προσφορές σε σύγκριση με αυτούς που προέρχονται από σπουδές μάρκετινγκ.

Παράδειγμα 13.4 Σε μια προκαταρκτική έρευνα επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 50 κατόχων πτυχίου ΜΒΑ, οι μισοί από τους οποίους προέρχονταν από οικονομικές σπουδές και οι άλλοι μισοί από σπουδές μάρκετινγκ. Από κάθε έναν από αυτούς κατέγραψε την υψηλότερη προσφορά (συμπεριλαμβανομένων παροχών) στο αρχείο Xm13-04. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι κάτοχοι πτυχίου ΜΒΑ που προέρχονται από οικονομικές σπουδές δέχονται καλύτερες προσφορές σε σύγκριση με αυτούς που προέρχονται από σπουδές μάρκετινγκ;

Παράδειγμα 13.4 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Η παράμετρος είναι η διαφορά μεταξύ δύο μέσων (όπου µ 1 = μέσος των προσφορών που δέχθηκαν αυτοί που προέρχονται από οικονομικές σπουδές και µ 2 = μέσος των προσφορών που δέχθηκαν αυτοί που προέρχονται από σπουδές μάρκετινγκ). Επειδή θέλουμε να καθορίσουμε εάν στους προερχόμενους από οικονομικές σπουδές προσφέρονται υψηλότερες αμοιβές, η εναλλακτική υπόθεση θα διευκρινίσει ότι είναι όντως έτσι. Ο υπολογισμός του ελέγχου F των δύο διασπορών δείχνει τη χρήση του ελέγχου ίσων διασπορών.

Παράδειγμα 13.4 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Οι υποθέσεις είναι H 2 0 : ( 1 ) H 2 1 : ( 1 ) 0 0 Το αποτέλεσμα του Excel είναι:

Παράδειγμα 13.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A B C t-test: Two-Sample Assuming Equal Variances Finance Marketing Mean 65,624 60,423 Variance 360,433,294 262,228,559 Observations 25 25 Pooled Variance 311,330,926 Hypothesized Mean Difference 0 df 48 t Stat 1.04 P(T<=t) one-tail 0.1513 t Critical one-tail 1.6772 P(T<=t) two-tail 0.3026 t Critical two-tail 2.0106

Παράδειγμα 13.4 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Η τιμή του ελέγχου (t =1.04) και η τιμή-p του (0.1513) δείχνουν ότι υπάρχουν ελάχιστα στοιχεία που να υποστηρίζουν την υπόθεση ότι οι προερχόμενοι από οικονομικές σπουδές δέχονται υψηλότερες προσφορές από τους προερχόμενους από σπουδές μάρκετινγκ.

Παράδειγμα 13.4 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Υπάρχουν κάποια στοιχεία που υποστηρίζουν την εναλλακτική υπόθεση, ωστόσο δεν είναι επαρκή. Σημειώστε ότι η διαφορά στους δειγματικούς μέσους είναι x1 x 2 = (65.624-60.423) = 5.201

Παράδειγμα 13.5 Έστω τώρα ότι επαναλαμβάνουμε το πείραμα με τον ακόλουθο τρόπο. Εξετάζουμε τις βαθμολογίες των κατόχων πτυχίων ΜΒΑ που προέρχονται από οικονομικές σπουδές και από σπουδές μάρκετινγκ. Επιλέγουμε τυχαία έναν προερχόμενο από οικονομικές σπουδές και έναν από σπουδές μάρκετινγκ των οποίων ο μέσος όρος βαθμολογίας (GPA) είναι μεταξύ 3.92 και 4 (με μέγιστο βαθμό το 4). Στη συνέχεια επιλέγουμε τυχαία έναν προερχόμενο από οικονομικές σπουδές και έναν από σπουδές μάρκετινγκ των οποίων ο μέσος όρος βαθμολογίας (GPA) είναι μεταξύ 3.84 και 3.92.

Παράδειγμα 13.5 Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία μέχρι την επιλογή του 25 ου ζεύγους ατόμων οικονομικών σπουδών και σπουδών μάρκετινγκ των οποίων ο GPA βρίσκεται μεταξύ 2.0 και 2.08. (Ο ελάχιστος απαιτούμενος για την αποφοίτηση GPA είναι 2.0.) Όπως και στο Παράδειγμα 13.4, καταγράφουμε την υψηλότερη προσφορά στο αρχείο (Xm13-05). Μπορούμε από τα δεδομένα αυτά να συμπεράνουμε ότι οι προερχόμενοι από οικονομικές σπουδές δέχονται καλύτερες προσφορές από τους προερχόμενους από σπουδές μάρκετινγκ;

Παράδειγμα 13.5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Το πείραμα που περιγράφεται στο Παράδειγμα 13.4 είναι ένα πείραμα στο οποίο τα δείγματα είναι ανεξάρτητα. Δηλαδή, δεν υπάρχει καμία σχέση μεταξύ των παρατηρήσεων στο ένα δείγμα και των παρατηρήσεων στο δεύτερο δείγμα. Ωστόσο, στο παράδειγμα αυτό, το πείραμα σχεδιάστηκε με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε παρατήρηση στο ένα δείγμα να αντιστοιχεί σε μια παρατήρηση στο άλλο δείγμα. Η αντιστοιχία διενεργείται με την επιλογή ατόμων με οικονομικές σπουδές και ατόμων με σπουδές μάρκετινγκ που έχουν παρόμοιους GPA. Έτσι, είναι λογικό να συγκρίνουμε τις προσφορές και των δύο σε κάθε ομάδα. Αυτός ο τύπος πειράματος ονομάζεται κατά ζεύγη.

Παράδειγμα 13.5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Για κάθε ομάδα GPA, υπολογίζουμε την κατά ζεύγη διαφορά μεταξύ των προσφορών των προερχόμενων από οικονομικές σπουδές και των προερχόμενων από σπουδές μάρκετινγκ.

Παράδειγμα 13.5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Τα νούμερα με μαύρο χρώμα είναι τα δεδομένα των αρχικών προσφορών (Xm13-05) ενώ τα νούμερα με μπλε χρώμα υπολογίστηκαν. Αν και ένας φοιτητής είναι είτε των Οικονομικών ΕΙΤΕ του Μάρκετινγκ (δηλαδή, ανεξάρτητοι), το ότι τα δεδομένα ομαδοποιούνται με τέτοιο τρόπο καθιστά το πείραμα ένα πείραμα κατά ζεύγη (δηλαδή, στους δύο φοιτητές στην ομάδα #1 υπάρχει «αντιστοιχία» κατά το εύρος του GPA τους) Η διαφορά των μέσων είναι ίση με τον μέσο των διαφορών, επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε τον «μέσο των κατά ζεύγη διαφορών» ως την παράμετρο που μας ενδιαφέρει:

Παράδειγμα 13.5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Έχουν όντως οι προερχόμενοι από τα Οικονομικά καλύτερες προσφορές από τους προερχόμενους από το Μάρκετινγκ; Αφού: Θέλουμε να ερευνήσουμε αυτή την υπόθεση: H 1 : (και η μηδενική μας υπόθεση γίνεται H 0 : )

Ο Έλεγχος για τον ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Ο έλεγχος για τον μέσο του πληθυσμού των διαφορών ( ) είναι: που ακολουθεί την κατανομή Student t με n D 1 βαθμούς ελευθερίας, με την προϋπόθεση ότι οι διαφορές κατανέμονται κανονικά.

Παράδειγμα 13.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Κλικ Data, Data Analysis, t-test: Paired Two- Sample for Means

Παράδειγμα 13.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A B C t-test: Paired Two Sample for Means Finance Marketing Mean 65,438 60,374 Variance 444,981,810 469,441,785 Observations 25 25 Pearson Correlation 0.9520 Hypothesized Mean Difference 0 df 24 t Stat 3.81 P(T<=t) one-tail 0.0004 t Critical one-tail 1.7109 P(T<=t) two-tail 0.0009 t Critical two-tail 2.0639

Παράδειγμα 13.5 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Η τιμή-p είναι 0.0004. Υπάρχουν συντριπτικά στοιχεία ότι οι προερχόμενοι από τα Οικονομικά δέχονται όντως υψηλότερες αρχικές προσφορές από τους συναδέλφους τους που προέρχονται από το Μάρκετινγκ.

Παράδειγμα 13.6 Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον µ D Μπορούμε να εξάγουμε αλγεβρικά τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης ως: 1 2 3 4 5 6 7 A B C t-estimate: Mean Difference Mean 5065 Standard Deviation 6647 LCL 2321 UCL 7808

Έλεγχος της Απαιτούμενης Συνθήκης Ο αριθμός των διαφορών πρέπει να είναι κανονικής κατανομής. Όπως και πριν, μπορούμε να διαπιστώσουμε εάν ικανοποιείται η συνθήκη σχεδιάζοντας ένα ιστόγραμμα των διαφορών.. Histogram Frequency 10 5 0 0 5000 10000 15000 20000 Difference

Παραβίαση της Απαιτούμενης Συνθήκης Εάν οι διαφορές έχουν ακραίες αποκλίσεις από την κανονικότητα, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο t του µ D. Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε μια μη παραμετρική τεχνική - τον έλεγχοwilcoxon για σύγκριση κατά ζεύγη, την οποία παρουσιάζουμε στο Κεφάλαιο 19.

Ανεξάρτητα Δείγματα ή Σύγκριση Κατά Ζεύγη: Ποιος Πειραματικός Σχεδιασμός είναι Καλύτερος; Τα Παραδείγματα 13.4 και 13.5 έδειξαν ότι ο πειραματικός σχεδιασμός είναι σημαντικός παράγοντας στην επαγωγική στατιστική. Ωστόσο, αυτά τα δύο παραδείγματα εγείρουν αρκετά ερωτήματα σχετικά με τους πειραματικούς σχεδιασμούς. 1. Γιατί το πείραμα σύγκρισης κατά ζεύγη καταλήγει στην απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης, ενώ το πείραμα των ανεξάρτητων δειγμάτων όχι;

Ανεξάρτητα Δείγματα ή Σύγκριση Κατά Ζεύγη: Ποιος Πειραματικός Σχεδιασμός είναι Καλύτερος; 2. Θα πρέπει να χρησιμοποιούμε πάντα το πείραμα της σύγκρισης κατά ζεύγη; Συγκεκριμένα, υπάρχουν μειονεκτήματα στη χρήση αυτού του πειράματος; 3. Πώς μπορούμε να αναγνωρίσουμε πότε έχει πραγματοποιηθεί ένα πείραμα σύγκρισης κατά ζεύγη;

Ανεξάρτητα Δείγματα ή Σύγκριση Κατά Ζεύγη: Ποιος Πειραματικός Σχεδιασμός είναι Καλύτερος; 1. Το πείραμα σύγκρισης κατά ζεύγη λειτούργησε στο Παράδειγμα 13.5 με τη μείωση της διασποράς των δεδομένων. Για να το καταλάβετε, εξετάστε τα στατιστικά στοιχεία και από τα δύο παραδείγματα. Στο Παράδειγμα 13.4, βρήκαμε x 1 x2 5.201 και στο Παράδειγμα 13.5 x D 5.065

Ανεξάρτητα Δείγματα ή Σύγκριση Κατά Ζεύγη: Ποιος Πειραματικός Σχεδιασμός είναι Καλύτερος; Άρα, οι αριθμητές των δύο ελέγχων είναι παρόμοιοι. Ωστόσο, ο έλεγχος στο Παράδειγμα 13.5 ήταν πολύ μεγαλύτερος από τον έλεγχο στο Παράδειγμα 13.4 λόγω των τυπικών σφαλμάτων.

Ανεξάρτητα Δείγματα ή Σύγκριση Κατά Ζεύγη: Ποιος Πειραματικός Σχεδιασμός είναι Καλύτερος; Στο Παράδειγμα 13.4, υπολογίσαμε s 2 p 311,330,926 s 2 p 1 n 1 n 1 2 4,991 Το Παράδειγμα 13.5 έδωσε s D 6,647 s n D D 1,329

Ανεξάρτητα Δείγματα ή Σύγκριση Κατά Ζεύγη: Ποιος Πειραματικός Σχεδιασμός είναι Καλύτερος; 2. Θα δίνει πάντα το πείραμα σύγκρισης κατά ζεύγη ένα μεγαλύτερο έλεγχο από το πείραμα ανεξάρτητων δειγμάτων; Η απάντηση είναι, «όχι απαραίτητα». Έστω ότι στο παράδειγμά μας βρίσκουμε ότι οι εταιρείες δεν λαμβάνουν υπόψη τη μέση βαθμολογία όταν αποφασίζουν σχετικά με την προσφορά που θα κάνουν στους πτυχιούχους ΜΒΑ. Σε αυτή την περίπτωση, το πείραμα σύγκρισης κατά ζεύγη θα κατέληγε σε ασήμαντη μείωση στη διασπορά σε σύγκριση με τα ανεξάρτητα δείγματα.

Ανεξάρτητα Δείγματα ή Σύγκριση Κατά Ζεύγη: Ποιος Πειραματικός Σχεδιασμός είναι Καλύτερος; 3. Όπως έχετε δει, στο μάθημα αυτό ασχολούμαστε με ερωτήματα που προκύπτουν από πειράματα τα οποία έχουν ήδη διενεργηθεί. Επομένως, ένα από τα καθήκοντά μας είναι να καθορίσουμε τον κατάλληλο έλεγχο. Στην περίπτωση της σύγκρισης δύο πληθυσμών συνεχών/ποσοτικών δεδομένων, πρέπει να αποφασίσετε εάν τα δείγματα είναι ανεξάρτητα ή κατά ζεύγη ώστε να επιλέξετε τον σωστό έλεγχο.

Ανεξάρτητα Δείγματα ή Σύγκριση Κατά Ζεύγη: Ποιος Πειραματικός Σχεδιασμός είναι Καλύτερος; Για να βοηθηθείτε, υποθέτουμε ότι θέτετε και απαντάτε τα εξής ερωτήματα: Υπάρχει κάποια φυσική σχέση μεταξύ κάθε ζεύγους παρατηρήσεων που παρέχει μια λογική αιτία για σύγκριση της πρώτης παρατήρησης του δείγματος 1 με την πρώτη παρατήρηση του δείγματος 2, της δεύτερης παρατήρησης του δείγματος 1 με την δεύτερη παρατήρηση του δείγματος 2, και ούτω καθεξής; Εάν συμβαίνει αυτό, το πείραμα διενεργήθηκε κατά ζεύγη. Εάν όχι διενεργήθηκε με τη χρήση ανεξάρτητων δειγμάτων.

Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 1 Δύο από τις σημαντικότερες αρχές της Στατιστικής εφαρμόστηκαν σε αυτή την ενότητα. Η πρώτη είναι η έννοια της ανάλυσης των πηγών της διασποράς. Στα Παραδείγματα 13.4 και 13.5 είδαμε ότι μειώνοντας τη διακύμανση [διασπορά] μεταξύ προσφορών σε κάθε δείγμα είμαστε σε θέση να ανιχνεύσουμε μια πραγματική διαφορά μεταξύ των οικονομικών σπουδών και των σπουδών μάρκετινγκ.

Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 1 Αυτή ήταν μια εφαρμογή της γενικότερης διαδικασίας ανάλυσης δεδομένων και απόδοσης ενός μέρους της διασποράς σε διάφορες πηγές. Στο Παράδειγμα 13.5, οι δύο πηγές διασποράς ήταν ο GPA και η κατεύθυνση των σπουδών. Ωστόσο, δεν ενδιαφερόμασταν για τη διασπορά μεταξύ πτυχιούχων με διαφορετικούς GPA. Αντιθέτως, θέλαμε μόνο να εξουδετερώσουμε αυτή την πηγή διασποράς, διευκολύνοντας έτσι τον καθορισμό του εάν οι πτυχιούχοι με οικονομικές σπουδές προσέλκυαν υψηλότερες προσφορές.

Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 1 Στο Κεφάλαιο 14, θα εισάγουμε μια τεχνική που ονομάζεται ανάλυση της διασποράς που κάνει αυτό που υποδηλώνει η ονομασία της, δηλαδή αναλύει τις πηγές διασποράς σε μια προσπάθεια ανίχνευσης πραγματικών διαφορών. Στις περισσότερες εφαρμογές αυτής της διαδικασίας ο στόχος θα είναι η ενασχόληση με κάθε πηγή διασποράς και όχι απλώς η εξουδετέρωση της μιας πηγής διασποράς. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται εξήγηση της διασποράς. Η έννοια της εξήγησης της διασποράς εφαρμόζεται επίσης στα Κεφάλαια 16-18.

Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 2 Η δεύτερη αρχή που παρουσιάστηκε σε αυτή την ενότητα είναι ότι οι στατιστικοί αναλυτές μπορούν να εκπονήσουν διαδικασίες συλλογής δεδομένων με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούν να αναλύουν πηγές διασποράς. Πριν τη διενέργεια του πειράματος στο Παράδειγμα 13.5, υπήρχε η υποψία ότι υπήρχαν μεγάλες διαφορές μεταξύ πτυχιούχων με διαφορετικούς GPA.

Κατανόηση Στατιστικών Εννοιών 2 Κατά συνέπεια, το πείραμα οργανώθηκε με τρόπο που να εξουδετερώνονταν στο μεγαλύτερο μέρος τους οι επιπτώσεις αυτών των διαφορών. Είναι επίσης εφικτός ο σχεδιασμός πειραμάτων που να επιτρέπουν την εύκολη ανίχνευση πραγματικών διαφορών και την ελαχιστοποίηση του κόστους συλλογής δεδομένων.

Καθορισμός Παραγόντων Παράγοντες που καθορίζουν τον έλεγχο t & τον εκτιμητή της :

Λόγος δύο Διασπορών Μέχρι τώρα εξετάσαμε συγκρινόμενες μετρήσεις κεντρικής θέσης, δηλαδή τον μέσο δύο πληθυσμών. Όταν εξετάζουμε τις διασπορές δύο πληθυσμών, λαμβάνουμε υπόψη τον λόγο των διασπορών. Ο λόγος ακολουθεί την κατανομή F με βαθμούς ελευθερίας.

Λόγος δύο Διασπορών Η μηδενική μας υπόθεση είναι πάντα: H 0 : (δηλαδή, οι διασπορές των δύο πληθυσμών θα είναι ίσες, επομένως ο λόγος τους θα είναι ίσος με τη μονάδα) Άρα, το στατιστικό μέγεθός μας απλοποιείται σε:

Παράδειγμα 13.7 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Στο Παράδειγμα 12.3 πραγματοποιήσαμε έναν έλεγχο μιας διασποράς για να προσδιορίσουμε εάν υπήρχαν επαρκή στοιχεία ώστε να συμπεράνουμε ότι η διασπορά πληθυσμού ήταν μικρότερη από 1.0. Έστω ότι οι στατιστικοί αναλυτές συνέλεξαν κι αυτοί δεδομένα από μια άλλη μηχανή εμφιάλωσης και κατέγραψαν τις ποσότητες ενός τυχαία επιλεγμένου δείγματος. Μπορούμε να συμπεράνουμε, με 5% στάθμη σημαντικότητας, ότι η δεύτερη μηχανή είναι πιο αξιόπιστη από την πρώτη;

Παράδειγμα 13.7 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός του προβλήματος είναι η σύγκριση δύο πληθυσμών όπου τα δεδομένα είναι συνεχή/ποσοτικά. Επειδή θέλουμε πληροφορίες για την αξιοπιστία και των δύο μηχανών, η παράμετρος που θέλουμε να ελέγξουμε είναι η σ 12 / σ 22, όπου σ 12 είναι η διασπορά της μηχανής 1 και σ 22 είναι η διασπορά της μηχανής 2.

Παράδειγμα 13.7 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Θα πρέπει να διενεργήσουμε τον έλεγχο F για να καθορίσουμε εάν η διασπορά του πληθυσμού 2 είναι μικρότερη από αυτήν του πληθυσμού 1. Εκφράζοντάς το διαφορετικά, θέλουμε να καθορίσουμε εάν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι το σ 12 είναι μεγαλύτερο από το σ 22. Επομένως, οι υποθέσεις που ελέγχουμε είναι H 0 : σ 12 / σ 22 = 1 H 1 : σ 12 / σ 22 > 1

Παράδειγμα 13.7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Κλικ Data, Data Analysis, F-Test Two-Sample for Variances.

Παράδειγμα 13.7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C F-Test Two-Sample for Variances Machine 1 Machine 2 Mean 999.7 999.8 Variance 0.6333 0.4528 Observations 25 25 df 24 24 F 1.40 P(F<=f) one-tail 0.2085 F Critical one-tail 1.9838

Παράδειγμα 13.7 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι η διασπορά της μηχανής 2 είναι μικρότερη από τη διασπορά της μηχανής 1.

Παράδειγμα 13.8 Εκτιμήστε με στάθμη εμπιστοσύνης 95% τον λόγο των διασπορών των δύο πληθυσμών στο Παράδειγμα 13.7. Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για σ 12 / σ 22 είναι:

Example 13.8 COMPUTE 1 2 3 4 5 6 A B C D E F-Estimate of the Ratio of Two Variances Sample 1 Sample 2 Confidence Interval Estimate Sample variance 0.6333 0.4528 Lower confidence limit 0.6164 Sample size 25 25 Upper confidence limit 3.1741 Confidence level 0.95 Δηλαδή, εκτιμούμε ότι το σ 12 / σ 22 είναι μεταξύ 0.6164 και 3.1741 Σημειώστε ότι η μονάδα (1.00) βρίσκεται εντός αυτού του φάσματος.

Καθορισμός Παραγόντων Παράγοντες που καθορίζουν τον έλεγχο F και τον εκτιμητή του :

Διαφορά Μεταξύ Δύο Αναλογιών Πληθυσμών Τώρα θα εξετάσουμε τις διαδικασίες εξαγωγής συμπερασμάτων γύρω από τη διαφορά μεταξύ πληθυσμών των οποίων τα δεδομένα είναι ονομαστικά (δηλαδή, κατηγορικά). Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, με τα ονομαστικά δεδομένα, υπολογίζουμε αναλογίες εμφανίσεων (συχνότητα) κάθε τύπου ενδεχόμενου. Επομένως, η παράμετρος που θα πρέπει να ελεγχθεί και να εκτιμηθεί στην ενότητα αυτή είναι η διαφορά μεταξύ αναλογιών δύο πληθυσμών: p 1 p 2.

Εκτιμητής και Κατανομή Δειγματοληψίας Για να εξάγουμε συμπεράσματα για την παράμετρο p 1 p 2, λαμβάνουμε δείγματα του πληθυσμού, υπολογίζουμε τις αναλογίες δείγματος και εξετάζουμε τη διαφορά τους. είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής της p 1 p 2. x 1 επιτυχίες σε ένα δείγμα μεγέθους n 1 από τον πληθυσμό 1

Κατανομή Δειγματοληψίας Ο έλεγχος έχει κατά προσέγγιση κανονική κατανομή αν τα μεγέθη των δειγμάτων είναι αρκετά μεγάλα. Αφού έχει «κατά προσέγγιση κανονική κατανομή» μπορούμε να περιγράψουμε την κανονική κατανομή με όρους μέσου και διασποράς. Επομένως αυτή η μεταβλητή z είναι κατά προσέγγιση τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή.

Έλεγχος και Εκτίμηση της p 1 p 2 Επειδή οι αναλογίες πληθυσμών (p 1 & p 2 ) είναι άγνωστες, το τυπικό σφάλμα: είναι άγνωστο. Άρα, έχουμε δύο διαφορετικούς εκτιμητές για το τυπικό σφάλμα, οι οποίοι εξαρτώνται από την μηδενική υπόθεση.

Παράδειγμα 13.9 Η εταιρεία General Products Company παράγει και πουλάει ένα σαπούνι μπάνιου, που έχει χαμηλές πωλήσεις. Ευελπιστώντας να βελτιώσεις τις πωλήσεις της, η εταιρεία αποφασίζει να λανσάρει μια πιο ελκυστική συσκευασία. Το διαφημιστικό τμήμα της εταιρείας σχεδίασε δύο νέες συσκευασίες.

Παράδειγμα 13.9 Η πρώτη συσκευασία έχει διάφορα φωτεινά χρώματα για να ξεχωρίζει από τον ανταγωνισμό. Η δεύτερη έχει ανοικτό πράσινο χρώμα με τον λογότυπο της εταιρείας επάνω της. Για να καταλήξει σε μία από τις δύο συσκευασίες, ο διευθυντής μάρκετινγκ επέλεξε δύο πολυκαταστήματα. Στο ένα πολυκατάστημα χρησιμοποιήθηκε η πρώτη συσκευασία και στο δεύτερο η δεύτερη συσκευασία.

Παράδειγμα 13.9 Οι σαρωτές κάθε πολυκαταστήματος κατέγραψαν για μια εβδομάδα όλους τους αγοραστές του σαπουνιού. Τα πολυκαταστήματα κατέγραψαν τα τέσσερα τελευταία ψηφία του κωδικού του σαρωτή για κάθε πωλούμενο σαπούνι κάθε ενός εκ των τεσσάρων σημαντικότερων ανταγωνιστών (αρχείο Xm13-09). Ο κωδικός για το σαπούνι της εταιρείας General Products είναι 9077 (οι άλλοι κωδικοί είναι 4255, 3745, 7118, και 8855).

Παράδειγμα 13.9 Μετά από μια δοκιμαστική περίοδο τα δεδομένα του σαρωτή μεταβιβάστηκαν σε ένα ηλεκτρονικό αρχείο. Επειδή η πρώτη συσκευασία είναι ακριβότερη, η διοίκηση αποφάσισε ότι θα την προτιμήσει μόνο αν αποδειχθεί ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία που να επιτρέπουν το συμπέρασμα ότι αυτό είναι η καλύτερη λύση. Θα πρέπει η διοίκηση να προτιμήσει τη συσκευασία με τα φωτεινά χρώματα ή τη συσκευασία με το απλό πράσινο χρώμα;

Παράδειγμα 13.9 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός του προβλήματος είναι η σύγκριση δύο πληθυσμών. Ο πρώτος είναι ο πληθυσμός των πωλήσεων σαπουνιού στο πολυκατάστημα 1 και ο δεύτερος των πωλήσεων σαπουνιού στο πολυκατάστημα 2. Τα δεδομένα είναι ονομαστικά επειδή οι τιμές είναι «αγορά σαπουνιού της General Products» και «αγορά σαπουνιού άλλων εταιρειών». Αυτοί οι δύο παράγοντες μας λένε ότι η παράμετρος που θα πρέπει να ελεγχθεί είναι η διαφορά μεταξύ αναλογιών δύο πληθυσμών p 1 -p 2 (όπου p 1 και p 2 είναι οι αναλογίες πωλήσεων του σαπουνιού της General Products στα πολυκαταστήματα 1 και 2, αντιστοίχως).

Παράδειγμα 13.9 Επειδή θέλουμε να ξέρουμε εάν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να καταλήξουμε στη συσκευασία με τα φωτεινά χρώματα, η εναλλακτική υπόθεση είναι H 1 : (p 1 p 2 ) > 0 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Η μηδενική υπόθεση πρέπει να είναι H 0 : (p 1 p 2 ) = 0 που μας λέει ότι αυτή είναι μια εφαρμογή της Περίπτωση 1.

Παράδειγμα 13.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Κλικ Add-Ins, Data Analysis Plus, Z-Test: 2 Proportions

Παράδειγμα 13.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C z-test: Two Proportions Supermarket 1 Supermarket 2 Sample Proportions 0.1991 0.1493 Observations 904 1038 Hypothesized Difference 0 z Stat 2.90 P(Z<=z) one tail 0.0019 z Critical one-tail 1.6449 P(Z<=z) two-tail 0.0038 z Critical two-tail 1.96

Παράδειγμα 13.9 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Η τιμή του ελέγχου είναι z = 2.90 και η τιμή-p είναι 0,.0019. Υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι η συσκευασία με τα φωτεινά χρώματα είναι δημοφιλέστερη από την απλή συσκευασία. Ως αποτέλεσμα, συνιστάται στη διοίκηση να προωθήσει την πρώτη συσκευασία.

Παράδειγμα 13.10 Έστω ότι στο σενάριο της δοκιμαστικής προώθησης των συσκευασιών σαπουνιού, αντί της διαπίστωσης απλώς μιας διαφοράς μεταξύ των συσκευασιών, θέλαμε η συσκευασία με τα φωτεινά χρώματα να είχε υπερκεράσει την απλή συσκευασία κατά τουλάχιστον 3%

Παράδειγμα 13.10 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Η υπόθεση έρευνάς μας γίνεται τώρα: H 1 : (p 1 p 2 ) >.03 Κι έτσι η μηδενική υπόθεση είναι: H 0 : (p 1 p 2 ) = 0,03 Από τη στιγμή που η H 0 δεν είναι μηδενική, είναι ένας τύπος προβλήματος «περίπτωσης 2»

Παράδειγμα 13.10 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Κλικ Add-Ins, Data Analysis Plus, Z-Test: 2 Proportions

Παράδειγμα 13.10 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C z-test: Two Proportions Supermarket 1 Supermarket 2 Sample Proportions 0.1991 0.1493 Observations 904 1038 Hypothesized Difference 0.03 z Stat 1.14 P(Z<=z) one tail 0.1261 z Critical one-tail 1.6449 P(Z<=z) two-tail 0.2522 z Critical two-tail 1.96

Παράδειγμα 13.10 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι η συσκευασία με τα φωτεινά χρώματα θα προσελκύσει πωλήσεις κατά 3%, ή πάνω από 3%, περισσότερες από την άλλη συσκευασία.

Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνη για την p 1 p 2 δίδεται από το τύπο:

Παράδειγμα 13.11 Για να εκτιμήσει τη διαφορά σε κερδοφορία, ο Διευθυντής Μάρκετινγκ στα Παραδείγματα 13.9 και 13.10 θα ήθελε να υπολογίσει τη διαφορά μεταξύ των δύο αναλογιών. Προτείνεται μια στάθμη εμπιστοσύνης 95%.

Παράδειγμα 13.11 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Κλικ Add-Ins, Data Analysis Plus, Z-Estimate: 2 Proportions

Παράδειγμα 13.11 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D z-estimate: Two Proportions Supermarket 1 Supermarket 2 Sample Proportions 0.1991 0.1493 Observations 904 1038 LCL 0.0159 UCL 0.0837