ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 4: Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Η ενότητα αυτή έχει σαν βασικό σκοπό την παρουσίαση και ανάλυση χρονολογικών σειρών καθώς και τον ορισμό των στοχαστικών διαδικασιών. Στόχος της στοχαστικής ανάλυσης των χρονολογικών σειρών είναι η μελέτη της στοχαστικής διαδικασίας διαμόρφωσης των δεδομένων (data generating process) και η διενέργεια προβλέψεων. 4

Περιεχόμενα ενότητας (1 από 2) Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Στοχαστικές Διαδικασίες. Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης και Μερικής Αυτοσυσχέτισης. Λευκός Θόρυβος (White Noise). Υποδείγματα ARMA(p,q). Στασιμότητα. 5

Περιεχόμενα ενότητας (2 από 2) Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα. Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης. Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins. Διαγνωστικός Έλεγχος. Προβλέψεις υποδειγμάτων ARIMA. Διατύπωση του υποδείγματος ARCH. 6

Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών Βασικός σκοπός της οικονομετρικής ανάλυσης. Προβλέψεις των μελλοντικών τιμών των οικονομικών μεγεθών. Τεχνικές ανάλυσης χρονολογικών σειρών. Στα υποδείγματα χρονολογικών σειρών. Η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής μεταβλητής Υ εκφράζεται ως συνάρτηση των προηγούμενων τιμών της. Στα υποδείγματα παλινδρόμησης: Η μεταβλητή Υ είναι συνάρτηση των Κ ερμηνευτικών μεταβλητών. 7

Στοχαστικές Διαδικασίες (1 από 5) Χρονολογική σειρά είναι ένα δείγμα y 1, y 2,,y T Δείκτης παριστάνει ισαπέχοντα χρονικά σημεία. Έτη, μήνες, κ.ο.κ. Υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις y 1, y 2,,y T είναι συγκεκριμένες τιμές των τυχαίων μεταβλητών Υ 1, Υ Τ. Οι τυχαίες μεταβλητές Υ 1, Υ Τ είναι μέρος μιας άπειρης σειράς ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών. Η ακολουθία των τ.μ. ονομάζεται στοχαστική διαδικασία. {Y T } 8

Στοχαστικές Διαδικασίες (2 από 5) Μια στοχαστική διαδικασία μπορεί να περιγραφεί από μία συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας (σ.π.) f(y 1, y 2,,y T ). H πιθανότητα συγκεκριμένης πραγματοποίησης μπορεί να υπολογιστεί μόνο όταν είναι γνωστή η σ.π. Όμως στα εμπειρικά προβλήματα: Η σ.π. δεν είναι γνωστή. Σκοπός, λοιπόν, της αναλύσεως χρονολογικών σειρών είναι η διατύπωση υποδειγμάτων που περιγράφουν το μηχανισμό της στοχαστικής διαδικασίας από την οποία προέκυψε η υπό μελέτη σειρά. 9

Στοχαστικές Διαδικασίες (3 από 5) Μια στοχαστική διαδικασία Υ t θεωρείται στάσιμη όταν η κάθε συνδυασμένη κατανομή πιθανότητας Τ όρων της δεν αλλάζει με την μεταβολή του χρόνου. Παράδειγμα: Η μεταβλητή Υ θεωρείται στάσιμη όταν: Η κατανομή των δυο πρώτων όρων μιας μεταβλητής Υ (y 1, y 2 ) είναι ίδια με την κατανομή (y t, y t+1 ) οποιονδήποτε άλλων όρων στο μέλλον. Είναι πολλές φορές δύσκολο να ισχυριστούμε τη στασιμότητα σ ένα τυχαίο δείγμα. Όμως μπορούμε να διαπιστώσουμε τη μη στασιμότητα σχετικά εύκολα από τις βασικές ιδιότητες της εν λόγω στατιστικής διαδικασίας. 10

Στοχαστικές Διαδικασίες (4 από 5) Οι ιδιότητες που καθορίζουν τη στασιμότητα αφορούν τις πρώτες ροπές της στοχαστικής διαδικασίας (της κατανομής πιθανότητας). Παράδειγμα: Όταν υπάρχει τάση στα δεδομένα, τότε η χρονοσειρά θεωρείται μη στάσιμη. Μεταβάλλεται η μέση τιμή Ε(y t ) στο χρόνο. Τα βασικά χαρακτηριστικά μιας στάσιμης χρονολογικής σειράς είναι η σταθερότητα. Του μέσου. Της διακύμανσης. Της συσχέτισης στο χρόνο. 11

Στοχαστικές Διαδικασίες (5 από 5) Τα βασικά χαρακτηριστικά μιας στάσιμης χρονολογικής σειράς είναι η σταθερότητα. Του μέσου. Η πρώτη ροπή είναι σταθερή Ε(y t )=μ. Της διακύμανσης και Η διακύμανση είναι σταθερή Var(y t ) = cov(y t, y t )=γ 0. Της συσχέτισης στο χρόνο. H συνάρτηση αυτοσυνδιακύμανσης εξαρτάται μόνο από την απόσταση χρονική υστέρηση cov(y t, y t+k )=γ k Στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές είναι απαραίτητη μόνον η διαπίστωση των παραπάνω βασικών χαρακτηριστικών. Στην περίπτωση αυτή η σειρά χαρακτηρίζεται ασθενώς ή κατά συνδιακύμανση στάσιμη. 12

Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης και Μερικής Αυτοσυσχέτισης Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας στάσιμης στοχαστικής διαδικασίας είναι ίση με: Παρατηρούμε ότι λόγω της στασιμότητας ο συντελεστής συσχέτισης εξαρτάται μόνο από τη χρονική υστέρηση k των μεταβλητών. 13

Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης στις πρακτικές εφαρμογές Ο αντίστοιχος συντελεστής αυτοσυσχέτισης για ένα συγκεκριμένο δείγμα (autocorrelation function ACF) απεικονίζεται σε ένα διάγραμμα (correlogram). Από το διάγραμμα αντλούνται χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με τη φύση της στοχαστικής διαδικασίας από την οποία προκύπτει η υπό έρευνα χρονολογική σειρά. 14

Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχέτισης O συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης α k εκφράζει τη γραμμική συσχέτιση μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών Υ t και Y t-k. Κατόπιν απαλοιφής της επίδρασης των Υ t-1,υ t-2 Υ t-κ+1 που γραμμικά παρεμβάλλονται μεταξύ των Υ t και Y t-k. H δειγματική συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης (partial autocorrelation function PACF) προκύπτει από την παλινδρόμηση της Y t στις Υ t-1,υ t-2 Υ t-κ. Τα διαγράμματα ACF και PACF αποτελούν ένα από τα κύρια εργαλεία αναζήτησης ενός κατάλληλου υποδείγματος. Μέσω των διαγραμμάτων ACF και PACF μπορούν να ανιχνευθούν πρότυπα όπως οικονομικοί κύκλοι, εποχικότητα. 15

Ροπές του δείγματος Μέσος του δείγματος Διακύμανση Αυτοσυνδιακύμανση Αυτοσυσχέτιση 16

Λευκός Θόρυβος (White Noise) (1 από 2) Μια στοχαστική διαδικασία μια χρονοσειράς ε t, t (-, + ) χαρακτηρίζεται λευκός θόρυβος όταν για κάθε t. E(ε t ) = 0. E(ε t2 ) = σ 2 που σημαίνει αυτόματα λόγω της E(ε t ) = 0 ότι και var(ε t ) = σ 2 Cov(ε t, ε s )=0 για s t. Αναμφισβήτητα, ο λευκός θόρυβος είναι στάσιμη στοχαστική διαδικασία. Η δειγματική κατανομή του συντελεστή αυτοσυσχέτισης στην περίπτωση του λευκού θορύβου ακολουθεί προσεγγιστικά την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και τυπική απόκλιση. 17

Λευκός Θόρυβος (White Noise) (2 από 2) Η δειγματική κατανομή του συντελεστή αυτοσυσχέτισης στην περίπτωση του λευκού θορύβου ακολουθεί προσεγγιστικά την κανονική κατανομή: Με μέσο μηδέν και Τυπική απόκλιση 18

Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα AR(p) (1 από 3) Όταν η σχέση της μεταβλητής y t με τις προηγούμενες τιμές της είναι της μορφής: y t =μ+α 1 y t-1 + α 2 y t-2 + + α p y t-p +u t, Τότε έχουμε μια αυτοπαλίνδρομη διαδικασία τάξεως p. u t : διαδικασία λευκού θορύβου. Για p=1 έχουμε την πιο διαδεδομένη διαδικασία αυτοπαλινδρόμησης την AR(1). Δηλαδή y t =μ+α 1 y t-1 + u t Αν θέσουμε μ=0 τότε y t =α 1 y t-1 + u t 19

Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα AR(p) (2 από 3) 20

Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα AR(p) (3 από 3) Η διαδικασία αυτή είναι μια διαδικασία κινητού μέσου με άπειρους όρους ΜΑ( ) < Που σημαίνει ότι, όταν α 1 <1 (στασιμότητα) οι συντελεστές της ACF φθίνουν γεωμετρικά στο μηδέν. Παράδειγμα: 0,1 4 < 0,1 3 < 0,1 2 < 0,1. Η στασιμότητα μιας χρονοσειράς αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για την επίτευξη αξιόπιστων προβλέψεων. 21

Κινητοί Μέσοι ΜΑ(q) (1 από 3) Έστω μια πραγματοποίηση χρονοσειράς από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές u t (t=1,2 ) με Ε(u t )=0 και var(u t )=σ 2. Τότε, Y t =μ+u t +θ 1 u t-1 + θ 2 u t-2 + + θ q u t-q είναι το μοντέλο κινητού μέσου τάξεως q, δηλαδή ΜΑ(q). To μοντέλο του κινητού μέσου είναι απλώς ένας γραμμικός συνδυασμός διαδικασιών λευκού θορύβου. Για q=1 το μοντέλο γίνεται Y t =μ+u t +θ 1 u t-1 22

Κινητοί Μέσοι ΜΑ(q) (2 από 3) Tο μοντέλο Y t =μ+u t +θ 1 u t-1 Αν θέσουμε y t =Y t μ τότε tο μοντέλο Y t =μ+u t +θ 1 u t-1 γίνεται y t =u t +θ 1 u t-1 Mε τη χρήση τελεστή υστερήσεως L. y t =u t +θ 1 Lu t y t =u t (1+θ 1 L) Για θ <1 λύνουμε ως προς u t 23

Κινητοί Μέσοι ΜΑ(q) (3 από 3) 24

Υποδείγματα ARMA(p,q) (1 από 4) Τα υποδείγματα ARMA(p,q) αφορούν στο συνδυασμό των διαδικασιών AR(p) και ΜΑ(q). Προϋπόθεση: η χρονοσειρά είναι στάσιμη. Η μικτή διαδικασία ARMA(p,q) εκφράζει τη γραμμική εξάρτηση της παρούσας τιμής y t. Με τις προηγούμενές της τιμές. Σε συνδυασμό με την παρούσα και τις προηγούμενες τιμές του λευκού θορύβου. y t =α 1 y t-1 +α 2 y t-2 + +α q y t-p +u t +θ 1 u t-1 +θ 2 u t-2 + +θ q u t-q 25

Υποδείγματα ARMA(p,q) (2 από 4) Εάν ένα ARMA υπόδειγμα παρουσιάζει έλλειψη στασιμότητας, τότε παράγεται το γενικό υπόδειγμα ARIMA(p,d,q). Οι χρονολογικές σειρές που δεν είναι στάσιμες και μπορούν να μετατραπούν σε στάσιμες. Λαμβάνοντας τις πρώτες διαφορές της υπό μελέτη μεταβλητής. Ονομάζονται ολοκληρωμένες πρώτης τάξεως I(1). Αν η σειρά μετατραπεί σε στάσιμη με τις δεύτερες διαφορές. Τότε η σειρά χαρακτηρίζεται ως ολοκληρωμένη δεύτερης τάξεως Ι(2) κ.ο.κ. 26

Υποδείγματα ARMA(p,q) (3 από 4) Οι πρώτες διαφορές ορίζονται ως εξής: y t -y t-1 =(1-L)y t =Δy t. Επομένως, στην περίπτωση των d διαφορών θα έχουμε Δ d =(1- L) d. Εάν σε μη στάσιμη διαδικασία πάρουμε d διαφορές για να καταστεί μη στάσιμη: Τότε η σειρά αυτή είναι ολοκληρωμένη τάξεως d και εκφράζεται ως y t ~I(d). Επομένως, αν y t ~I(d), τότε Δ d y t =I(0) στάσιμη διαδικασία. Εφαρμόζοντας την διαφορά Δd φορές, οδηγούμαστε σε μια ολοκληρωμένη σειρά μηδενικής τάξεως I(0). 27

Υποδείγματα ARMA(p,q) (4 από 4) Εάν σε μια διαδικασία I(d) εφαρμόσουμε τον τελεστή διαφοράς Δ περισσότερες από d φορές έχουμε ως αποτέλεσμα: Εκ νέου μια στάσιμη διαδικασία. Με σφάλματα όμως που ακολουθούν τη διαδικασία ΜΑ. Η πλειοψηφία των οικονομικών χρονοσειρών περιέχει μια μοναδιαία ρίζα. Αρκετές είναι στάσιμες. Πολύ λιγότερες περιέχουν δυο μοναδιαίες ρίζες. π.χ. πληθωρισμός, ονομαστικοί μισθοί. Οι σειρές Ι(1) και Ι(2) συναντούν το μέσο τους σπάνια, ενώ η σειρά Ι(0) συναντά το μέσο της πολύ συχνά. 28

Στασιμότητα (1 από 6) Οι χρονολογικές σειρές χαρακτηρίζονται συνήθως από τάση που τις καθιστά ολοκληρωμένες μη στάσιμες. Τάση ονομάζεται η διαχρονική αύξηση ή μείωση των τιμών. Αν υπάρχει τάση. Τότε ο μέσος και η διακύμανση μεταβάλλονται με το χρόνο. Σε αντίθεση με τις ασθενώς στάσιμες σειρές που έχουν σταθερό μέσο, σταθερή διακύμανση και σταθερές αυτοσυνδιακυμάνσεις σε κάθε υστέρηση. Οι μεταβλητές που είναι μη στάσιμες θα πρέπει να αντιμετωπίζονται διαφορετικά. 29

Στασιμότητα (2 από 6) Οι κυριότεροι λόγοι που καθιστούν τoν έλεγχο στασιμότητας απαραίτητο είναι: α) Οι ιδιότητες μιας σειράς λόγω στασιμότητας. Για παράδειγμα, στις στάσιμες σειρές, η επίδραση μιας αναπάντεχης μεταβολής (shock) φθίνει με το πέρασμα του χρόνου. Γεγονός που προκάλεσε μεταβολή στο χρόνο t έχει μικρότερη επίδραση στη μεταβλητότητα της περιόδου t+1, ακόμη μικρότερη στην περίοδο t+2 κ.ο.κ. Στις μη στάσιμες σειρές μια αναπάντεχη μεταβολή στο χρόνο t ακολουθείται από ισοδύναμες μεταβολές για τα επόμενα έτη. Η μεταβλητότητα δεν φθίνει με το πέρασμα του χρόνου. 30

Στασιμότητα (3 από 6) Ως αναπάντεχη μεταβολή (shock) μιας μεταβλητής πρακτικά μπορεί να θεωρηθεί η τιμή του καταλοίπου σε δεδομένη χρονική στιγμή. Το κατάλοιπο στην παλινδρόμηση έχει την έννοια της διαφοράς της παρατήρησης από το μέσο όρο και συνεπώς σημαίνει μεταβολή. 31

Στασιμότητα (4 από 6) Οι κυριότεροι λόγοι που καθιστούν τoν έλεγχο στασιμότητας απαραίτητο είναι: β) Η φαινομενική (spurious) παλινδρόμηση λόγω μη στάσιμων δεδομένων. Π.χ. εάν δυο μη στάσιμες μεταβλητές παραχθούν από δύο τυχαίες ανεξάρτητες σειρές θα έπρεπε να αναμένουμε χαμηλό R 2 στην παλινδρόμηση και μη σημαντικά t statistics. 32

Στασιμότητα (5 από 6) Παρόλα αυτά, αν οι δυο μεταβλητές παρουσιάζουν τάση με την ίδια κατεύθυνση. Τότε το R 2 της παλινδρόμησης είναι υψηλό και δίνει ψευδή εντύπωση για τη σχέση των μεταβλητών. Τα t statistics είναι τεχνητά υψηλά. Αν οι μεταβλητές δεν είναι στάσιμες, τα στατιστικά μέτρα μπορεί να φαίνονται σημαντικά, όμως δεν είναι έγκυρα. 33

Στασιμότητα (6 από 6) Οι κυριότεροι λόγοι που καθιστούν τoν έλεγχο στασιμότητας απαραίτητο είναι: γ) Στην περίπτωση της μη στασιμότητας δεν ισχύουν οι υποθέσεις της κλασσικής γραμμικής παλινδρόμησης. t και F στατιστικά δεν ακολουθούν τις αντίστοιχες κατανομές: Συνεπώς οι στατιστικοί έλεγχοι δεν είναι έγκυροι. 34

Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα (1 από 4) Έστω μια το υπόδειγμα AR(1) Y t =α 1 Y t-1 + u t. H σειρά θα είναι στάσιμη αν 1<α<1. Αν α=1, η σειρά Y t θα είναι μη στάσιμη. Η εκτίμηση με την παλινδρόμηση θα μπορούσε να παράσχει t και F test για τον έλεγχο. Η ο :α=1 υπαρξη μοναδιαίας ρίζας - μη στασιμότητα. Η 1 :α<1 ύπαρξη στασιμότητας. Όμως οι έλεγχοι δεν θα είναι έγκυροι αν ισχύει το α=1 διότι οι εκτιμήσεις σ αυτή την περίπτωση δεν ακολουθούν τις κατανομές t και F. 35

Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα (2 από 4) Με τον έλεγχο Dickey Fuller είναι εφικτός ο έλεγχος της στασιμότητα. Ο έλεγχος στην περίπτωση μπορεί να γίνει με επαναπαραμετροποίηση του υποδείγματος ως εξής: Αφαιρούμε το y t-1 και από τα δύο μέλη Y t =α 1 Y t-1 + u t Υ t -Υ t-1 =αυ t-1 -Υ t-1 +u t ΔΥ t =(α-1)υ t-1 +u t ΔΥ t =β Υ t-1 + u t συνεπώς ο έλεγχος γίνεται: Η ο :α-1=0 ή β=0 ή α=1 ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας. Η 1 :α<1 ή β<0 ύπαρξη στασιμότητας. 36

Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα (3 από 4) Σύμφωνα με τους Dickey and Fuller, οι παραπάνω στατιστικοί έλεγχοι θα πρέπει να βασιστούν: Στη στατιστική συνάρτηση. Και στις κριτικές τιμές των πινάκων DF (Dickey and Fuller). Οι τιμές των πινάκων DF διαφέρουν από τις αντίστοιχες της κατανομής t. Διότι η παραπάνω συνάρτηση δεν ακολουθεί την t κατανομή. Λόγω έλλειψης στασιμότητας της υπό μελέτης σειράς. 37

Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα (4 από 4) Οι έλεγχοι όμως προϋποθέτουν ότι τα σφάλματα (υπόλοιπα) u t είναι λευκός θόρυβος. Συνεπώς, τα κατάλοιπα δεν θα πρέπει να αυτοσυσχετίζονται. Η εξομάλυνση της χρονοσειράς Δy t από την πιθανή αυτοσυσχέτιση επιτυγχάνεται με την προσθήκη των απαραίτητων υστερήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής Δy t. 38

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (1 από 9) Έστω η εξίσωση παλινδρόμησης. Δy t =βy t-1 +u t Η ο : β=0 ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας. Η 1 : β<0 ύπαρξη στασιμότητας. Με την απόρριψη της βασικής υπόθεση Η 0 δεν συνάγεται αυτόματα το συμπέρασμα της ύπαρξης μοναδιαίας ρίζας, δηλαδή β=0 ή α-1=0 ή α=1. Το δεύτερο βήμα της διαδικασίας περιλαμβάνει την υπόθεση: Η ο : y t ~I(2). Η 1 : y t ~I(1). 39

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (2 από 9) Στο δεύτερο βήμα. Η ο : y t ~I(2). Η 1 : y t ~I(1). Παλινδρομείται η Δ 2 y t (Δy t - Δy t-1 ) στην Δy t-1 και προστίθενται οι απαραίτητες υστερήσεις για τη μη αυτοσυσχέτιση των καταλοίπων. Η μη απόρριψη της Η 0 (γεγονός σπάνιο) οδηγεί στο συμπέρασμα της ολοκληρωμένης σειράς y t τουλάχιστον κατά 2, y t ~I(2). Η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως την απόρριψη της Η 0. 40

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (3 από 9) Σύμφωνα με τους Dickey and Pantula (1987), ο έλεγχος θα πρέπει γίνεται από τη μεγαλύτερη δυνατή τάξη και να προχωρά στη μικρότερη. Όμως επειδή οι οικονομικές σειρές είναι ολοκληρωμένες συνήθως μία φόρα και σπάνια δύο φορές. Η αντίστροφη προσέγγιση της διαδικασίας δεν αποτελεί πρόβλημα. 41

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (4 από 9) H τάση στις χρονοσειρές δημιουργεί φοινομενικές σχέσεις. Η απαλοιφή της τάσης από της χρονοσειρές γίνεται με την εισαγωγή της μεταβλητής του χρόνο t στην παλινδρόμηση y t =α+βt+u t. H εκτίμηση των καταλοίπων εκφράζει τη μεταβλητή y t απαλλαγμένη από την τάση. Η εισαγωγή του χρόνου είναι ένας έγκυρος τρόπος απαλοιφής της τάσης μόνον όταν η σειρά είναι στάσιμη ως προς την τάση (trend stationary). 42

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (5 από 9) Έστω τώρα το υπόδειγμα της προσδιοριστικής τάσης y t =μ+φy t-1 +u t όπου u t λευκός θόρυβος. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Αν Φ>1, τότε η σειρά είναι μη στάσιμη: Χαρακτηρίζεται «εκρηκτική». Συνεχής αύξηση της μεταβλητότητας. Η αναπάντεχη (απροσδόκητη) μεταβολή σε χρόνο t έχει ως αποτέλεσμα μεγαλύτερη μεταβλητότητα σε χρόνο t+1 και ακόμη μεγαλύτερη σε χρόνο t+2 κ.ο.κ. Κατά συνέπεια, η μεταβλητότητα τείνει στο άπειρο, μια σπάνια περίπτωση για οικονομικές σειρές. 43

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (6 από 9) Αν Φ=1, τότε αναφερόμαστε στον «τυχαίο περίπατο με περιπλάνηση». Η σειρά είναι και πάλι μη στάσιμη. Μετατρέπεται εύκολα σε στάσιμη με τις πρώτες διαφορές (difference stationary). Αξίζει να σημειωθεί ότι πολλές οικονομικές σειρές κατατάσσονται σ αυτή την κατηγορία. Αν Φ<1 η χρονολογική σειρά είναι στάσιμη. 44

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (7 από 9) Ένα από τα πιο διαδεδομένα αυτοπαλίνδρομα σχήματα είναι το AR(1). y t =Φy t-1 +u t τυχαίος περίπατος. Οι υστερήσεις μίας και δύο περιόδων είναι ίσες με: y t-1 =Φy t-2 +u t-1 y t-2 =Φy t-3 +u t-2 Αντικαθιστώντας. y t =Φ(Φy t-2 +u t-1 )+u t y t =Φ 2 y t-2 +Φu t-1 +u t Αντικαθιστώντας. y t =Φ 2 (Φy t-3 +u t-2 )+Φu t-1 +u t y t =Φ 3 y t-3 +Φ 2 u t-2 + Φ 2 u t-2 +u t Αν συνεχίσουμε τις αντικαταστάσεις θα έχουμε: y t =Φ 3 y t-3 +Φ 2 u t-2 + Φ 2 u t-2 + + Φ Τ u t-τ + u t 45

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (8 από 9) y t =Φ 3 y t-3 +Φ 2 u t-2 + Φ 2 u t-2 + + Φ Τ u t-τ + u t Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις 1. Φ<1 => Φ Τ > 0 Συνεπώς, η επίδραση μιας αναπάντεχης μεταβολής θα φθίνει σταδιακά μέχρι που θα μηδενιστεί. 2. Φ=1 => Φ Τ =1 για κάθε Τ. Συνεπώς, η επίδραση μιας αναπάντεχης μεταβολής ποτέ δεν εξαντλείται, παραμένει για πάντα στο σύστημα. Επομένως, η τρέχουσα τιμή του y είναι ένα άπειρο άθροισμα προηγούμενων μεταβολών (shocks) συν την αρχική τιμή y 0. Η σειρά χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας (unit root). 46

Έλεγχος για υψηλότερο βαθμό ολοκλήρωσης (9 από 9) y t =Φ 3 y t-3 +Φ 2 u t-2 + Φ 2 u t-2 + + Φ Τ u t-τ + u t Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: 3. Φ>1 Η επίδραση μιας αναπάντεχης μεταβολής θα γίνεται εντονότερη με την έλευση του χρόνου δηλαδή, αν Φ>1, τότε Φ 3 >Φ 2 >Φ κ.ο.κ. Η μεταβλητότητα και στην περίπτωση αυτή δεν εξαντλείται αλλά αντιθέτως ακολουθεί μια αύξουσα πορεία στο χρόνο. 47

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (1/10) Η μεθοδολογία πρόβλεψης των Box Jenkins διαφοροποιείται από τις περισσότερες μεθόδους. Διότι δεν στηρίζεται στην υπόθεση ότι τα ιστορικά δεδομένα της χρονοσειράς ακολουθούν ένα συγκεκριμένο πρότυπο που πρέπει να προβλεφθεί. Στηρίζεται σε μια επαναλαμβανόμενη προσέγγιση ταυτοποίησης ενός πιθανού υποδείγματος από μια γενικότερη οικογένεια υποδειγμάτων. Στη συνέχεια, το υπόδειγμα ελέγχεται για το αν περιγράφει με ακρίβεια τη χρονοσειρά. 48

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (2/10) Τα δεδομένα προσαρμόζονται καλά στο υπόδειγμα όταν τα κατάλοιπα δεν περιέχουν καμία χρήσιμη πληροφορία. Δηλαδή ακολουθούν το λευκό θόρυβο. Γενικότερα, σκοπός της μεθοδολογίας Box Jenkins είναι η εξεύρεση ενός οικονομικού στατιστικού υποδείγματος. Με το λιγότερο αριθμό παραμέτρων. Που παριστάνει ικανοποιητικά τη στοχαστική διαδικασία που παρήγαγε τα δεδομένα (δείγμα). 49

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (3/10) Βήμα 1 ο : Ταυτοποίηση identification Εξειδίκευση ενός υποδείγματος ARIMA(p,d,q), με βάση τις πληροφορίες του διαθέσιμου δείγματος. Αυτό σημαίνει καθορισμός των κατάλληλων τιμών p,d και q. 1.Έλεγχος στασιμότητας. Αν η σειρά δεν είναι στάσιμη, τότε καθορίζεται ο αριθμός (d) των απαιτούμενων διαφορών, προκειμένου η σειρά να καταστεί στάσιμη. Ο έλεγχος στασιμότητας μπορεί να γίνει με τις κάτωθι δύο προσεγγίσεις: 50

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (4/10) Βήμα 1 ο : Ταυτοποίηση identification. 1.Έλεγχος στασιμότητας. Α.Συμπεριφορά δειγματικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης i.αν οι συναρτήσεις ACF και PACF συγκλίνουν ταχύτατα προς το μηδέν, είναι ένδειξη ότι η σειρά είναι στάσιμη. ii.αν οι συναρτήσεις ACF και PACF φθίνουν με αργό ρυθμό, είναι πολύ πιθανό η σειρά να μην είναι στάσιμη. Β.Έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας. Επειδή πολλές φορές τα συμπεράσματα από τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης δεν είναι ξεκάθαρα, επιβάλλεται ο περαιτέρω έλεγχος στασιμότητας με πιο τεκμηριωμένες μεθόδους (π.χ. Dickey Fuller test). 51

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (5/10) Βήμα 1 ο : Ταυτοποίηση identification 1.Έλεγχος στασιμότητας. 2.Τάξη του υποδείγματος ARIMA. Οι τιμές p και q προσδιορίζονται βάσει των δειγματικών, απλών και μερικών, αυτοσυσχετίσεων. Το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης (correlogram) παριστά γραφικά τις αυτοσυσχετίσεις σε σχέση με τη χρονική απόσταση m των μεταβλητών y t και y t+m. 52

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (6/10) Ο έλεγχος των αυτοσυσχετίσεων μπορεί να γίνει με τη στατιστική συνάρτηση: Με την οποία ελέγχεται η από κοινού σημαντικότητα ενός αριθμού m συντελεστών αυτοσυσχετίσεως. Κατ αυτόν τον τρόπο, ελέγχεται η μηδενική υπόθεση Η 0 :r 1 =r 2 = =r m =0. Στην περίπτωση μιας στατιστικά σημαντικής αυτοσυσχέτισης η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. H στατιστική συνάρτηση Q LB ή LB ακολουθεί προσεγγιστικά την κατανομή Χ 2 με m βαθμούς ελευθερίας. Όπου m είναι ο αριθμός των συντελεστών αυτοσυσχέτισης που εξετάζονται κάθε φορά. 53

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (7/10) Αξίζει να σημειωθεί ότι το τεστ Q LB μπορεί να χρησιμοποιηθεί για δύο λόγους: 1) Για την εξ αρχής διαπίστωση της γραμμικής συσχέτισης σε μια χρονολογική σειρά. 2) Για τον έλεγχο των καταλοίπων μετά την εκτίμηση του υποδείγματος. 54

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (8/10) Πίνακας 1: Ισολογισμός Walker Wilson Πηγή: Διδάσκων (2015). 55

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (9/10) Πίνακας 2: Ισολογισμός Walker Wilson Πηγή: Διδάσκων (2015). 56

Εκτίμηση υποδειγμάτων ARIMA με τη μεθοδολογία Box Jenkins (10/10) Πίνακας 3: Ισολογισμός Walker Wilson Πηγή: Διδάσκων (2015). 57

Βήμα 2 ο : Εκτίμηση των παραμέτρων p της διαδικασίας ARMA(p,q) (1/2) 1. Αν η διαδικασία είναι μόνο AR. Τότε οι συντελεστές α 1, α 2,,α p μπορούν να εκτιμηθούν με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. 2. Αν όμως η διαδικασία περιέχει και όρους κινητού μέσου MA. Τότε οι συντελεστές πρέπει να εκτιμηθούν με μη γραμμικές μεθόδους. Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται συχνά, επειδή έχει αρκετές επιθυμητές ιδιότητες, είναι αυτή της μέγιστης πιθανοφάνειας. 58

Βήμα 2 ο : Εκτίμηση των παραμέτρων p της διαδικασίας ARMA(p,q) (2/2) Βήμα 3 ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (Diagnostic Checking). O διαγνωστικός έλεγχος αφορά: A. Το στατιστικό έλεγχο των σφαλμάτων (εκτιμώμενα κατάλοιπα). Αν το εκτιμηθέν υπόδειγμα ταιριάζει πράγματι με τα δεδομένα, τα κατάλοιπα πρέπει να ακολουθούν τη διαδικασία του λευκού θορύβου. Δηλαδή δεν θα πρέπει να αυτοσυσχετίζονται. 59

Βήμα 3ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (1 από 8) Τα κατάλοιπα, καθώς αυξάνει το μέγεθος του δείγματος, πλησιάζουν προς τα πραγματικά υπόλοιπα λευκού θορύβου. Επομένως, για να είναι επαρκές το υπόδειγμα δεν πρέπει να απορριφθεί στατιστικά η υπόθεση Η 0 : r 1 =r 2 = =r m =0. Ο έλεγχος μπορεί να γίνει: Είτε με τις συναρτήσεις ACF και PACF. Οπότε ελέγχονται μία προς μία οι αυτοσυσχετίσεις των σφαλμάτων. Είτε με τη στατιστική Q LB οπότε ελέγχονται συνολικά οι αυτοσυσχετίσεις. 60

Βήμα 3ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (2 από 8) Β. Υπερπροσαρμογή (overfitting). Το υπόδειγμα επεκτείνεται σε άλλο: Μεγαλύτερης τάξεως. Στο οποίο διενεργούνται στατιστικοί έλεγχοι στις παραμέτρους του. Το εκτιμηθέν υπόδειγμα ARIMA(p,d,q) συγκρίνεται με τα υποδείγματα ARMA(p+1,d,q) και ARMA(p,d,q+1). 61

Βήμα 3ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (3 από 8) C. κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων: α. το κριτήριο πληροφοριών Akaike β. το κριτήριο Schwartz όπου ο εκτιμητής της διακύμανσης των καταλοίπων. n ο αριθμός παρατηρήσεων του δείγματος. k ο αριθμός συντελεστών στο υπόδειγμα. Εκτιμώνται εναλλακτικές μορφές ARIMA υποδειγμάτων με διαφορετικές τάξεις παραμέτρων. Στη συνέχεια επιλέγεται το υπόδειγμα με τη μικρότερη τιμή AIC ή SBC, η οποία μπορεί να είναι και αρνητική. 62

Βήμα 3ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (4 από 8) C. κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων: Τα κριτήρια αυτά θέτουν μια «ποινή» στην αύξηση των παραμέτρων. Η προσθήκη μιας επιπλέον μεταβλητής στο υπόδειγμα επιφέρει δύο αποτελέσματα με διαφορετικές κατευθύνσεις: α) Μειώνει το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων, με συνέπεια τη μείωση της διακύμανσης και επομένως μείωση της τιμή των κριτηρίων. β) Αυξάνει τον αριθμό των παραμέτρων (k) στους και συνεπώς αυξάνει την τιμή των κριτηρίων. Αν η προστιθέμενη μεταβλητή δεν έχει ερμηνευτική ικανότητα, οι τιμές και των δυο κριτηρίων AIC και SBC θα αυξηθούν. 63

Βήμα 3ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (5 από 8) C. κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων: Η επιλογή του υποδείγματος με το μικρότερο σφάλμα τετραγώνων σφαλμάτων (SSE) ή τη μεγαλύτερη πιθανοφάνεια θα μπορούσε να ήταν ένα κριτήριο αξιολόγησης υποδειγμάτων. Δυστυχώς, όμως η προσέγγιση αυτή δεν οδηγεί πάντοτε σε ασφαλή συμπεράσματα. Η φτωχή προβλεπτική ικανότητα πολυμεταβλητών μοντέλων με υψηλή τιμή μέγιστης πιθανοφάνειας (ή R 2 ) είναι πιθανό να οφείλεται σε τυχαίους συνδυασμούς των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής με τις ανεξάρτητες. Η προσέγγιση του φαινομένου θα πρέπει να αφορά στο διαχωρισμό μεταξύ «θορύβου» και «σήματος». 64

Βήμα 3ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (6 από 8) C. κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων: Η επιλογή του υποδείγματος με το μικρότερο σφάλμα τετραγώνων σφαλμάτων (SSE) ή τη μεγαλύτερη πιθανοφάνεια θα μπορούσε να ήταν ένα κριτήριο αξιολόγησης υποδειγμάτων. Δυστυχώς, όμως η προσέγγιση αυτή δεν οδηγεί πάντοτε σε ασφαλή συμπεράσματα. Η φτωχή προβλεπτική ικανότητα πολυμεταβλητών μοντέλων με υψηλή τιμή μέγιστης πιθανοφάνειας (ή R 2 ) είναι πιθανό να οφείλεται σε τυχαίους συνδυασμούς των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής με τις ανεξάρτητες. Η προσέγγιση του φαινομένου θα πρέπει να αφορά στο διαχωρισμό μεταξύ «θορύβου» και «σήματος». 65

Βήμα 3ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (7 από 8) C. κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων: Το μοντέλο θα πρέπει να αντανακλά τα σήματα. Τάσεις και κινήσεις που θα συνεχιστούν στο μέλλον. Όχι φαινομενικές παλινδρομήσεις που αντανακλούν «θόρυβο». Λύση στο πρόβλημα αποτελεί ο διορθωμένος συντελεστή R 2 adj, όταν όμως το μοντέλο αποτελείται μόνο από διαδικασία AR. Ενα σημαντικό πλεονέκτημα των κριτηρίων AIC και SBC έναντι του R 2 adj είναι: Η δυνατότητα εφαρμογής τους και στην περίπτωση που χρησιμοποιούνται τιμές εκτός δείγματος εκτίμησης του υποδείγματος. 66

Βήμα 3ο : Διαγνωστικός Έλεγχος (8 από 8) C. κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων: Τέλος, θα πρέπει να αναφέρουμε ως διαγνωστικό κριτήριο ελέγχου την προβλεπτική ικανότητα του μοντέλου σε τιμές εκτός δείγματος εκτίμησης του υποδείγματος. Πρακτικά αυτό σημαίνει το διαχωρισμό του δείγματος σε δύο δείγματα: Όπου με βάση το πρώτο και μεγαλύτερο (in sample) γίνεται η εκτίμηση του δείγματος. Ενώ με βάση το δεύτερο (out of sample) γίνεται η αξιολόγηση βάσει στατιστικών συναρτήσεων. 67

Προβλέψεις υποδειγμάτων ARIMA α) Πρόβλεψη διαδικασίας ΜΑ(q). (1 από 6) H μνήμη μιας διαδικασίας ΜΑ(q) έχει μήκος q, γεγονός που περιορίζει τον ορίζοντα πρόβλεψης. Έστω για παράδειγμα το υπόδειγμα MA(1). Υποθέτουμε ότι οι εκτιμηθείσες παράμετροι του υποδείγματος είναι σταθερές και θα ισχύουν και για τις επόμενες χρονικές περιόδους t+1, t+2, Η πρόβλεψη για την περίοδο t+1 μπορεί να επιτευχθεί λαμβάνοντας την υπο συνθήκη αναμενόμενη τιμή του με παράλληλη μετατόπιση των δεικτών κατά ένα. 68

Προβλέψεις υποδειγμάτων ARIMA (2 από 6) Πρόβλεψη διαδικασίας ΜΑ(q). Η υπό συνθήκη αναμενόμενη τιμή έχει την έννοια των πληροφοριών που είναι διαθέσιμες μέχρι τη χρονική στιγμή t. Η αναμενόμενη τιμή των σφαλμάτων μετά τη χρονική περίοδο t είναι 0. διότι σύμφωνα με την υπόθεση των μοντέλων κινητού μέσου ΜΑ, το u t είναι λευκός θόρυβος, και συνεπώς: 69

Προβλέψεις υποδειγμάτων ARIMA (3 από 6) Οι τιμές των σφαλμάτων μέχρι και την περίοδο t λαμβάνουν συγκεκριμένες τιμές, καθώς υπολογίζονται από την εκτίμηση του υποδείγματος. Η πρόβλεψη για δύο και περισσότερες περιόδους σε μια διαδικασία ΜΑ(1) ισούται με το μέσο όρο μ, διότι οι αναμενόμενες τιμές των διαταρακτικών όρων u για τις περιόδους t+1, t+2, είναι μηδέν. 70

Προβλέψεις υποδειγμάτων ARIMA (4 από 6) Αντίθετα με τη διαδικασία MA, η διαδικασία AR έχει απεριόριστη μνήμη. Έστω για παράδειγμα το υπόδειγμα AR(1) y t =Φy t-1 +u t. Η πρόβλεψη μιας περιόδου t+1 αποτελεί μια απλή διαδικασία, καθώς όλες οι πληροφορίες είναι διαθέσιμες, δηλαδή: 71

Προβλέψεις υποδειγμάτων ARIMA (5 από 6) Η πρόβλεψη για δύο περιόδους είναι ίση με Αντικαθιστώντας δηλαδή την τιμή E(y t+1 ) με την πρόβλεψη επιτυγχάνουμε την πρόβλεψη της περιόδου t+2. 72

Προβλέψεις υποδειγμάτων ARIMA (6 από 6) Με παρόμοιο τρόπο είναι δυνατή η πρόβλεψη s περιόδων, ήτοι Η πρόβλεψη για μια διαδικασία ARMA(p,q) μπορεί να παραχθεί με τη συνδυασμένη εφαρμογή των παραπάνω διαδικασιών που ισχύουν για τις προβλέψεις AR και ΜΑ αντίστοιχα. Η πρόβλεψη μιας διαδικασίας ARIMA πραγματοποιείται με την πρόβλεψη της αντίστοιχης διαδικασίας ARMA. και στη συνέχεια την αντικατάσταση των διαφορών Δy t+1 =y t+1 -y t για την εύρεση της προβλεπόμενης τιμής y t+1. 73

Διατύπωση του υποδείγματος ARCH (1 από 6) Μια από τις υποθέσεις του κλασικού γραμμικού υποδείγματος παλινδρόμησης είναι: y=β 0 +β 1 χ 1 +β 2 χ 2 + β n x n +u u~n(0, σ 2 ). Η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας των υπολοίπων παραβιάζεται συχνά στις χρηματοοικονομικές χρονοσειρές: Με συνέπεια την αναποτελεσματικότητα των εκτιμητών της κλασικής γραμμικής παλινδρόμησης. Στην περίπτωση αυτή ενδείκνυνται τα μοντέλα ARCH. 74

Διατύπωση του υποδείγματος ARCH (2 από 6) Τα μοντέλα ARCH έχουν το πλεονέκτημα να λαμβάνουν υπόψη: Όχι μόνο την ετεροσκεδαστικότητα των υπολοίπων. Αλλά και την τάση των τιμών να παρουσιάζουν σχηματισμούς υψηλών και χαμηλών μεταβλητοτήτων (volatility clustering volatility pooling). To χαρακτηριστικό των τιμών στα χρηματιστήρια να μεταβάλλονται σε σχηματισμούς προκάλεσε το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών τα τελευταία χρόνια. 75

Διατύπωση του υποδείγματος ARCH (3 από 6) Συγκεκριμένα, παρατηρείται το εξής φαινόμενο. Οι αποδόσεις των μετοχών χαρακτηρίζονται από περιόδους με χαμηλές μεταβλητότητες. Μια απόδοση με χαμηλή μεταβλητότητα ακολουθείται από άλλη πάλι με χαμηλή μεταβλητότητα κ.ο.κ, Σε αντίθεση με περιόδους όπου οι μεταβλητότητες είναι υψηλές. Μια απόδοση με υψηλή μεταβλητότητα ακολουθείται από άλλη πάλι με υψηλή μεταβλητότητα κ.ο.κ Με άλλα λόγια, υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση στις μεταβλητότητες. Μια ικανοποιητική προσέγγιση του φαινομένου μπορεί να επιτευχθεί με τo μοντέλο ARCH. 76

Διατύπωση του υποδείγματος ARCH (4 από 6) Για να γίνει κατανοητό το μοντέλο πρέπει να οριστεί η έννοια της υπό συνθήκη διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής u t. H διαφορά της δεσμευμένης (υπό συνθήκη) διακύμανσης με τη μη δεσμευμένη είναι παρόμοια με αυτή του μέσου. Εάν συμβολίσουμε την υπό συνθήκη διακύμανση του u t με σ t2 τότε: Συνήθως υποθέτουμε ότι Εu t =0, επομένως: 77

Διατύπωση του υποδείγματος ARCH (5 από 6) Συνεπώς, η υπό συνθήκη διακύμανση μιας τυπικής κανονικής κατανομής u t είναι ίση με την υπό συνθήκη αναμενόμενη τιμή των τετραγώνων της u t. Σύμφωνα με το μοντέλο ARCH η εξίσωση του υπο συνθήκη μέσου της μεταβλητής y t μπορεί να πάρει σχεδόν οποιαδήποτε μορφή. Η εξίσωση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η y t διαχρονικά. Για παράδειγμα: u t ~N(0, σ 2 t ) 78

Διατύπωση του υποδείγματος ARCH (6 από 6) Η διακύμανση όμως χαρακτηρίζεται από την τάξη του μοντέλου ARCH. Εάν υποθέσουμε ότι η διακύμανση του διαταρακτικού όρου εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητότητα της προηγούμενης περιόδου τότε έχουμε το μοντέλο ARCH(1). Η μορφή της εξάρτησης των υπολοίπων θα μπορούσε να επεκταθεί στην γενική μορφή q υστερήσεων ARCH(q). 79

Περιορισμοί (1 από 7) Εφόσον το h t είναι υπό συνθήκη διακύμανση θα πρέπει να λαμβάνει θετικές τιμές. Συνεπώς, το αποτέλεσμα της εξίσωσης θα πρέπει να είναι θετικό. Επειδή τα υπόλοιπα υψώνονται στο τετράγωνο. Οι τιμές τους είναι θετικές. Αν κάποιοι από τους συντελεστές των υπολοίπων λάβουν αρνητικές τιμές. Υπάρχει η πιθανότητα το αποτέλεσμα της εξίσωσης να είναι αρνητικό. Για να έχει νόημα οι συντελεστές θα πρέπει να είναι θετικοί, δηλαδή στη σχέση (2.33) α i > 0 i=1,2 q. 80

Περιορισμοί (2 από 7) Η συνθήκη αυτή είναι ικανή αλλά όχι απαραίτητη για την εξασφάλιση θετικής διακύμανσης. Επιπλέον, όσον αφορά στη διαδικασία ARCH(1) έχουμε τα εξής: E(u t )=0 για -1<α 1 <1 και α 0 >0 E(u t u t-1 )=0 81

Περιορισμοί (3 από 7) Για να ελέγξουμε αν υφίσταται η συμπεριφορά ARCH στα υπόλοιπα, ακολουθούμε τα επόμενα βήματα: 1. Τρέχουμε τη γραμμική παλινδρόμηση των αποδόσεων y t, για παράδειγμα. και αποθηκεύουμε τα κατάλοιπα. 2. Τετραγωνίζουμε τα κατάλοιπα και τα παλινδρομούμε στις υστερήσεις τους. Για παράδειγμα. όπου v t οι διαταρακτικοί όροι. 82

Περιορισμοί (4 από 7) Υπολογίζεται επίσης το R 2 της νέας παλινδρόμησης. 3. Ελέγχουμε είτε με το σύνηθες κριτήριο F ή με τη στατιστική συνάρτηση LM που ισούται με ΤR 2. Αριθμός των παρατηρήσεων επί τον συντελεστή προσδιορισμού. Η οποία ακολουθεί την κατανομή Χ 2 με q βαθμούς ελευθερίας (όσες και οι υστερήσεις). 83

Περιορισμοί (5 από 7) 4. Διατυπώνουμε τους ελέγχους ως εξής: H 0 : γ 1 =0 και γ 2 =0 και γ 3 =0 και και γ q =0 H 1 : γ 1 0 και γ 2 0 και γ 3 0 και και γ q 0 Εάν η τιμή του στατιστικού ΤR 2 είναι μικρότερη από την αντίστοιχη τιμή της Χ 2 κατανομής (ή F<F α ), τότε δεν απορρίπτεται η βασική υπόθεση και υπάρχει ομοσκεδαστικότητα, διαφορετικά εξάγεται το συμπέρασμα ARCH. 84

Περιορισμοί (6 από 7) Τέλος, το αποτέλεσμα ARCH μπορεί να διαπιστωθεί με την εξέταση της σειράς των απολύτων και τετραγωνισμένων αποδόσεων y t. Ο έλεγχος μπορεί να γίνει με τη στατιστική συνάρτηση Ljung Box (LB). Όπως αυτή αποτυπώνεται στο διάγραμμα αυτοσυσχέτισης (correlogram). 85

Περιορισμοί (7 από 7) Συνεπώς, αν διαγνωστεί συσχέτιση στη σειρά των απολύτων και τετραγωνισμένων αποδόσεων. Τότε είναι πιθανό η κατηγορία των μοντέλων ARCH να μπορεί να περιγράψει αποτελεσματικά τα δεδομένα. Ορίζουμε ως υπόλοιπα τις τιμές της τυχαίας u t μεταβλητής του πληθυσμού και ως κατάλοιπα τις εκτιμήσεις των υπολοίπων από το υπόδειγμα. 86

Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Νικόλαος Σαριαννίδης. «ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 87

Βιβλιογραφία μαθήματος Σαριαννίδης, Ν., Κοντέος, Γ., Λαζαρίδης, Θ. (2013). Στατιστική και Οικονομετρία, Κοζάνη. Βάμβουκας, Γ. (2007). Σύγχρονη Οικονομετρία: Ανάλυση και Εφαρμογές, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αθήνα. Βενέτης, Ι. (2009). Εισαγωγικές διαλέξεις στην Οικονομετρία, Γκιούρδας Εκδοτική, Αθήνα. Δριτσάκη, Χ. και Δριτσάκη, Μ. (2013). Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη χρήση του E-Views, Εκδόσεις Κλειδάριθμος, Αθήνα. 88

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 89

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 90