ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò, ìßá áíáäñïìéêþ åîßóùóç ìðïñåß íá åðéëõèåß ìå áñêåôïýò ôñüðïõò: (á) ìå ãåííþôñéåò óõíáñôþóåéò, (â) ìå áíáãùãþ óôç áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç, (ã) ìå äéáäï éêýò áíôéêáôáóôüóåéò êáé ðéèáíþò ôçëåóêïðéêü, êáé (ä) ìå ôï ãåíéêü èåþñçìá. Óôï ìüèçìá áõôü äåí èá åîåôüóïõìå ôç ìýèïäï ôùí ãåííçôñéþí óõíáñôþóåùí. Ïé åðüìåíåò ðáñüãñáöïé áó ïëïýíôáé ìå ôç ìýèïäï ôùí áñáêôçñéóéôêþí åîéóþóåùí, åíþ óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò èá åîåôüóïõìå ôç ìýèïäï ôùí áíôéêáôáóôüóåùí êáé ôï ãåíéêü èåþñçìá. Ïìïãåíåßò ÃñáììéêÝò ÁíáäñïìÝò Ç áðëïýóôåñç ðåñßðôùóç áíáäñïìéêþò åîßóùóçò åßíáé ôçò ìïñöþò: a 0 t n + a 1 t n 1 + a 2 t n 2 +... a k t n k = 0 êáé ëýãåôáé ãñáììéêþ ãéáôß äåí ðåñéý åé äõíüìåéò êáé ãéíüìåíá ôùí t i, ëýãåôáé ïìïãåíþò ãéáôß ï ãñáììéêüò óõíäõáóìüò ôùí t i éóïýôáé ìå 0, åíþ åðßóçò Ý åé óôáèåñïýò óõíôåëåóôýò a i. ÕðïèÝôïõìå üôé áíáæçôïýìå ìßá ëýóç ôçò ìïñöþò: t n = x n üðïõ ôï x åßíáé ìßá óôáèåñü. Áíôéêáèéóôþíôáò óôçí áíáäñïìéêþ åîßóùóç Ý ïõìå: a 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 x n 2 +... a k x n k = 0 p(x) = a 0 x k + a 1 x k 1 + a 2 x k 2 +... a k = 0 ðïõ áðïôåëåß ôç áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç ôçò áíáäñïìþò. Áò õðïèýóïõìå üôé ç åîßóùóç Ý åé k äéáêñéôýò ñßæåò r 1, r 2,..., r k. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ êüèå ãñáììéêüò óõíäõáóìüò: k t n = c i ri n i=1 åßíáé ëýóç ôçò áíáäñïìþò, üðïõ ïé óôáèåñýò c i åîáñôþíôáé áðü ôéò áñ éêýò óõíèþêåò. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé äßíåôáé ç áíáäñïìéêþ åîßóùóç: 5 1 + 6 2 = 0 31

ìå áñ éêýò óõíèþêåò t 0 = 3 êáé t 1 = 7. Ç áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç åßíáé x 2 5x+ 6 = 0 ìå ñßæåò r 1 = 2 êáé r 2 = 3. Óõíåðþò êáôáëþãïõìå üôé: = c 0 2 k + c 1 3 k Åðéëýïíôáò ôï óýóôçìá äýï åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò, ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôéò áñ éêýò óõíèþêåò, Ý ïõìå: 3 = c 0 + c 1 7 = 2c 0 + 3c 1 áðü üðïõ ðñïêýðôåé üôé c 0 = 2, c 1 = 1 êáé åðïìýíùò ç ëýóç ôçò áíáäñïìþò åßíáé = 2 k+1 + 3 k. Ôþñá áò õðïèýóïõìå üôé ïé ëýóåéò äåí åßíáé üëåò äéáêñéôýò ìåôáîý ôïõò. óôù üôé õðüñ åé ìßá ðïëëáðëþ ñßæá r âáèìïý d. ÅðïìÝíùò ôï ðïëõþíõìï p(x) ìðïñåß íá ãñáöåß ùò åîþò: p(x) = (x r) d g(x) üðïõ ôï g(x) äåí Ý åé ãéá ñßæá ôï r ïðüôå äåí äéáéñåßôáé ìå ôï (x r). Ðáñáãùãßæïõìå êáé ëáìâüíïõìå: p (x) = (x r) d g (x) + d(x r) d 1 g(x) = (x r) d 1 ((x r)g (x) + dg(x)) üðïõ ðáñáôçñïýìå üôé ôï p (x) Ý åé ðïëëáðëþ ñßæá r âáèìïý d 1. Ôï óõìðýñáóìá áõôü èá ôï ñçóéìïðïéþóïõìå óôç óõíý åéá. Ôþñá, åö üóïí ôï ðïëõþíõìï p(x) Ý åé ðïëëáðëþ ñßæá r âáèìïý d, Ýðåôáé üôé ôï r åßíáé ðïëëáðëþ ñßæá âáèìïý d êáé ôïõ ðïëõùíýìïõ: x k m p(x) = a 0 x k + a 1 x k 1 +... + a m x k m Ðáñáãùãßæïõìå áõôþ ôçí Ýêöñáóç, ðïëëáðëáóéüæïõìå åðß x êáé ëáìâüíïõìå: a 0 kx k + a 1 (k 1)x k 1 +... + a m (k m)x k m Ìå âüóç ôçí áíùôýñù ðáñáôþñçóç, Ýðåôáé üôé ç ôåëåõôáßá Ýêöñáóç Ý åé ðïëëáðëþ ñßæá r âáèìïý d 1. ñá éó ýåé: a 0 kr k + a 1 (k 1)r k 1 +... + a m (k m)r k m = 0 Áí ðñïóýîïõìå êáëýôåñá áõôþí ôçí áíáäñïìéêþ åîßóùóç, äéáðéóôþíïõìå üôé Ý åé ëýóç = kr k. ÐåñáéôÝñù, ðáñáãùãßæïíôáò êáé ðïëëáðëáóéüæïíôáò åðß x êáé ðüëé ðñïêýðôåé ç ó Ýóç: a 0 k 2 x k + a 1 (k 1) 2 x k 1 +... + a m (k m) 2 x k m ìå ðïëëáðëþ ñßæá r âáèìïý d 2. ÅðïìÝíùò ðñïêýðôåé ç áíáäñïìéêþ åîßóùóç: a 0 k 2 r k + a 1 (k 1) 2 r k 1 +... + a m (k m) 2 r k m = 0 32

ìå ëýóç = k 2 r k. Ç äéáäéêáóßá áõôþ ìðïñåß íá óõíå éóèåß ãéá d 1 âþìáôá óõíïëéêü. ôóé êáôáëþãïõìå óôï åîþò óõìðýñáóìá: Áí Ýíá áñáêôçñéóôéêü ðïëõþíõìï ìßáò ïìïãåíïýò ãñáììéêþò áíáäñïìéêþò åîßóùóçò Ý åé ðïëëáðëþ ñßæá r âáèìïý d, ôüôå ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò åßíáé = r k, kr k, k 2 r k,..., k d 1 r k. ¼ðùò êáé ðñéí, ç ãåíéêþ ëýóç ôçò áíáäñïìéêþò åîßóùóçò åßíáé ãñáììéêüò óõíäõáóìüò áõôþí ôùí ëýóåùí êáé ðñýðåé íá ëçöèïýí õð üøç ïé áñ éêýò óõíèþêåò. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé äßíåôáé ç áíáäñïìéêþ åîßóùóç: 4 1 + 4 2 = 0 ìå áñ éêýò óõíèþêåò t 0 = 2 êáé t 1 = 10. Ç áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç åßíáé x 2 4x + 4 = (x 2) 2 = 0 ìå äéðëþ ñßæá r = 2. Óõíåðþò êáôáëþãïõìå üôé: = c 0 2 k + c 1 k2 k Åðéëýïíôáò ôï óýóôçìá äýï åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò, ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôéò áñ éêýò óõíèþêåò, Ý ïõìå: 2 = c 0 10 = 2c 0 + 2c 1 áðü üðïõ ðñïêýðôåé üôé c 0 = 2, c 1 = 3 êáé åðïìýíùò ç ëýóç ôçò áíáäñïìþò åßíáé = 2 k+1 + 3k2 k. Ìç Ïìïãåíåßò ÃñáììéêÝò ÁíáäñïìÝò Áò èåùñþóïõìå ôþñá ìç ïìïãåíåßò ãñáììéêýò áíáäñïìéêýò åîéóþóåéò, äçëáäþ åîéóþóåéò õðü ôçí åðüìåíç ìïñöþ, üðïõ ï ãñáììéêüò óõíäõáóìüò äåí éóïýôáé ìå ìçäýí: a 0 t n + a 1 t n 1 + a 2 t n 2 +... a k t n k = b n 1 p 1 (n) + b n 2 p 2 (n) +... Óôï óçìåßï áõôü ùñßò áðüäåéîç äßíåôáé üôé éóïäýíáìï åßíáé íá èåùñçèåß ç ïìïãåíþò ãñáììéêþ áíáäñïìéêþ åîßóùóç: (a 0 x k + a 1 x k 1 + a 2 x k 2 +... a k )(x b 1 ) d1+1 (x b 2 ) d2+1... = 0 üðïõ ç ðñþôç ðáñýíèåóç áðïôåëåß ôç áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç ôïõ áñéóôåñïý óêýëïõò ôçò ìç ïìïãåíïýò áíáäñïìéêþò åîßóùóçò, åíþ d i åßíáé ï âáèìüò ôïõ ðïëõùíýìïõ p i (n). Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé äßíåôáé ç ìç ïìïãåíþò áíáäñïìéêþ åîßóùóç: 2 1 = 2 k 1 ìå áñ éêþ óõíèþêç t 0 = 0. Èåùñþíôáò üôé éó ýåé: b 1 = 2, b 2 = 1, p 1 (n) = 1 êáé p 2 (n) = 1, ç åîßóùóç ìåôáó çìáôßæåôáé óôçí ïìïãåíþ: (x 2)(x 1)(x 2) = 0 33

ôóé öèüíïõìå óå ìßá ïìïãåíþ ãñáììéêþ áíáäñïìéêþ åîßóùóç ìå ãåíéêþ ëýóç: = c 0 1 + c 1 2 + c 2 k2 k ÐñÝðåé íá åðéëýóïõìå Ýíá óýóôçìá ôñéþí åîéóþóåùí ìå ôñåéò áãíþóôïõò. Åýêïëá õðïëïãßæïõìå üôé t 1 = 1, t 2 = 5: 0 = c 0 + c 1 1 = c 0 + 2c 1 + 2c 2 5 = c 0 + 4c 1 + 8c 2 áðü üðïõ ðñïêýðôåé üôé c 0 = 1, c 1 = 1, c 3 = 1 êáé åðïìýíùò ç ëýóç ôçò áíáäñïìþò åßíáé = (k 1)2 k + 1. ÓõíÞèùò ïé ìç ïìïãåíåßò áíáäñïìéêýò åîéóþóåéò ìðïñïýí íá åðéëõèïýí êáé ìå áðëþ Üëãåâñá. Áò èåùñþóïõìå êáé ðüëé ôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá ìå ôçí åîßóùóç 2 1 = 2 k 1. Ðñþôïí, ðïëëáðëáóéüæïõìå êáé ôá äýï óêýëç ôçò åîßóùóçò åðß äýï, ïðüôå ðñïêýðôåé: 2 4 1 = 2 k+1 2 Äåýôåñïí, áíôéêáèéóôïýìå üðïõ k ìå k + 1, ïðüôå ðñïêýðôåé: +1 2 = 2 k+1 1 Áðü ôéò äýï ôåëåõôáßåò ó Ýóåéò ðñïêýðôåé üôé: +1 4 + 1 = 1 Ïýôå êáé áõôþ ç åîßóùóç åßíáé ïìïãåíþò áëëü Ý ïõìå êüíåé Ýíá âþìá. Ôñßôïí, ëïéðüí, óôçí ôåëåõôáßá áõôþ ó Ýóç áíôéêáèéóôïýìå ôï k ìå k + 1, ïðüôå ðñïêýðôåé: +2 4t +1 + t = 1 Åîéóþíïíôáò ôá áñéóôåñü óêýëç ôùí äýï ôåëåõôáßùí åîéóþóåùí ðñïêýðôåé ç ïìïãåíþò åîßóùóç: +2 5 k+1 + 8 4 1 = 0 ðïõ åðéëýåôáé êáôü ôá ãíùóôü, êáèþò Ý åé áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç: ÁëëáãÞ ÌåôáâëçôÞò x 3 5x 2 + 8x 4 = (x 1)(x 2) 2 = 0 Óå ðïëëýò ðåñéðôþóåéò äßíïíôáé ðñïò åðßëõóç áíáäñïìéêýò åîéóþóåéò, üðùò ïé ó Ýóåéò ðïõ åß áí ðñïêýøåé óôï ðñþôï ìüèçìá êáôü ôçí åðáêñéâþ áíüëõóç ôùí ôáîéíïìþóåùí ìå åéóáãùãþ êáé åðéëïãþ. ÁõôÝò ïé áíáäñïìéêýò åîéóþóåéò óôï áñéóôåñü óêýëïò åß áí ôï T (n). Óå ôýôïéåò ðåñéðôþóåéò èá áíôéêáèéóôïýìå ôï áñéóôåñü óêýëïò ìå t n ìå êüðïéá êáôüëëçëç áëëáãþ ôçò ìåôáâëçôþò. 34

Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé äßíåôáé ç áíáäñïìéêþ åîßóùóç: T (n) = 4T (n/2) + n üðïõ ôï n > 1 åßíáé äýíáìç ôïõ 2. óôù üôé éó ýåé n = 2 k, ïðüôå k = lg n. ôóé ðñïêýðôåé ç ó Ýóç: T (2 k ) = 4T (2 k 1 ) + 2 k ðïõ ôçí îáíáãñüöïõìå ìå ôç ìïñöþ: = 4 1 + 2 k Ãéá áõôþ ôç ìç ïìïãåíþ áíáäñïìéêþ åîßóùóç ìðïñïýìå åýêïëá íá âñïýìå ôç áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç: (x 4)(x 2) = 0 ïðüôå ç ãåíéêþ ëýóç åßíáé ôçò ìïñöþò: = c 1 4 k + c 2 2 k ÅðéóôñÝöïíôáò óôçí áñ éêþ ìåôáâëçôþ, êáôáëþãïõìå óôçí åîßóùóç T (n) = c 1 n 2 + c 2 n ðïõ åðéëýåôáé áí ìáò äïèïýí ïé áñ éêýò óõíèþêåò. Ìåôáó çìáôéóìüò Ðåäßïõ Åßíáé äõíáôüí íá äïèåß ðñïò åðßëõóç ìßá áíáäñïìéêþ åîßóùóç ðïõ íá ìçí áíþêåé óå êüðïéá áðü ôéò ðñïçãïýìåíåò ðåñéðôþóåéò. Êáé ðüëé, èá ðñýðåé íá ãßíåé êüðïéïò ìåôáó çìáôéóìüò êáé íá áíá èïýìå óôá ãíùóôü. Ìßá ìýèïäïò åßíáé íá áëëüîïõìå ôï åýñïò ôçò ìåôáâëçôþò. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé äßíåôáé ç áíáäñïìéêþ åîßóùóç: T (n) = nt 2 (n/2) üðïõ ôï n > 1 åßíáé äýíáìç ôïõ 2, åíþ äßíåôáé êáé ç áñ éêþ óõíèþêç T (1) = 6. Óýìöùíá ìå ôçí ðñïçãïýìåíç ôå íéêþ (äçëáäþ, áëëáãþ ìåôáâëçôþò èýôïíôáò n = 2 k ) êáôáëþãïõìå óôçí éóïäýíáìç Ýêöñáóç: = 2 k t 2 k 1 üðïõ k > 0, åíþ ðëýïí ç áñ éêþ óõíèþêç åßíáé t 0 = 6. Ôþñá ðñï ùñïýìå óå ìßá áëëáãþ ìåôáâëçôþò, üðïõ üìùò ôáõôü ñïíá áëëüæïõìå êáé ôï ðåäßï ïñéóìïý. èýôïõìå, ëïéðüí, V k = lg, ïðüôå ðñïêýðôåé: V k = k + 2V k 1 ìå áñ éêþ óõíèþêç V 0 = lg 6. Ç ôåëåõôáßá áíáäñïìéêþ åîßóùóç Ý åé áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç: (x 2)(x 1) 2 = 0 35

ïðüôå óýìöùíá ìå üóá áíáðôýîáìå óôçí ðáñüãñáöï ó åôéêü ìå ðïëëáðëýò ñßæåò, ðñïêýðôåé ç ãåíéêþ ëýóç: V k = c 1 2 k + c 2 1 k + c 3 k1 k Áðü ôçí áíáäñïìéêþ åîßóùóç ùò ðñïò V k âñßóêïõìå ôéò áñ éêýò óõíèþêåò: V 0 = 1 + lg 3 V 1 = 3 + 2 lg 3 V 2 = 8 + 4 lg 3 åê ôùí ïðïßùí ðñïêýðôïõí ïé åîþò ôéìýò ãéá ôéò óôáèåñýò åðéëýïíôáò Ýíá óýóôçìá ôñéþí åîéóþóåùí ìå ôñåéò áãíþóôïõò: ÅðïìÝíùò ðñïêýðôåé: c 1 = 3 + lg 3 c 2 = 2 c 3 = 1 V k = (3 + lg 3)2 k k 2 áðü üðïõ ìå äýï áíôßóôñïöïõò ìåôáó çìáôéóìïýò (äçëáäþ, = 2 V k êáé T (n) = t lg n ) óôáäéáêü ðñïêýðôåé üôé: êáé lg = 23 2k 3 2k 2 2 k 2 2 =... = 82 T (n) = 23n 2 n Ç ÌÝèïäïò ôçò ÁíôéêáôÜóôáóçò 3 n k 3 2k 2 k+2 Ç ìýèïäïò áõôþ ìðïñåß íá åöáñìïóèåß áñêåôü ìç áíéóôéêü. Èá åîåôüóïõìå äýï ðáñáäåßãìáôá, ôï Ýíá åî áõôþí Ý åé Þäç åðéëõèåß ìå ôç ìýèïäï ôçò áëëáãþò ìåôáâëçôþò. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé äßíåôáé ç áíáäñïìéêþ åîßóùóç: T (n) = 4T (n/2) + n üðïõ ôï n > 1 åßíáé äýíáìç ôïõ 2. óôù, ëïéðüí, üôé éó ýåé n = 2 k, ïðüôå k = lg n. ôóé ðñïêýðôåé ç ó Ýóç: T (n) = 4 (4T (n/4) + n/2) + n = 4 2 T (n/2 2 ) + 2n + n Ìå ìßá-äýï áêüìç ðñïóðüèåéåò áíôéëáìâáíüìáóôå ôï ìç áíéóìü ðïõ èá ðñïêýøåé ìå ôéò äéáäï éêýò áíôéêáôáóôüóåéò. ôóé èá ðñïêýøåé üôé: T (n) = 4 k T (n/2 k ) + (2 k 1 n +... + 2n + n) 36

Áí ç áñ éêþ óõíèþêç åßíáé T (1) = 1, ôüôå éó ýåé: T (n) = 4 k + (2 k 1 n +... + 2n + n) = 4 k + n(1 + 2 +... + 2 k 1 ) = 4 k + n 2k 1 2 1 = 4lg n + n(n 1) = 2n 2 n Ôï áðïôýëåóìá áõôü óõìöùíåß ìå ôï áðïôýëåóìá üðïõ åß áìå êáôáëþîåé ìå ôç ìýèïäï ôçò áëëáãþò ìåôáâëçôþò. Ðñï ùñïýìå óå Ýíá äåýôåñï ðáñüäåéãìá. óôù üôé äßíåôáé ç áíáäñïìéêþ åîßóùóç: T (n) = 4T (n/2) + n 2 / lg n üðïõ êáé ðüëé äå üìáóôå üôé n = 2 k êáé T (1) = 1. Ìå ìßá ðñþôç áíôéêáôüóôáóç âñßóêïõìå üôé: ( ) 1 T (n) = 4 2 T (n/2 2 )+n 2 / lg n+n 2 / lg(n/2) = 4 2 T (n/2 2 )+n 2 lg n + 1 lg n 1 êáé ìå äéáäï éêýò áíôéêáôáóôüóåéò âñßêïõìå üôé: ( ) 1 T (n) = 4 k T (n/2 k ) + n 2 lg n + 1 lg n 1 +... + 1 lg n (k 1) ( ) 1 = 4 k + n 2 lg n + 1 lg n 1 +... + 1 Ôï Ãåíéêü Èåþñçìá = n 2 + n 2 H lg n n 2 + n 2 lg(lg n) = Θ(n 2 lg(lg n)) Ôï ãåíéêü èåþñçìá (master theorem) åßíáé Ýíáò åíáëëáêôéêüò ôñüðïò åðßëõóçò áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí. Áí ãßíåé êáôáíïçôü óôá ëåðôü ôïõ óçìåßá, ôüôå åßíáé Ýíáò åýêïëïò ôñüðïò óôç ñþóç ôïõ. ÐáñáèÝôïõìå ôï èåþñçìá ùñßò áðüäåéîç. Èåþñçìá. óôù ìßá áíáäñïìéêþ åîßóùóç ôç ìïñöþò: T (n) = at (n/b) + f(n) üðïõ a, b 1, åíþ ç f(n) åßíáé ìßá áóõìðôùôéêü èåôéêþ óõíüñôçóç. Ôüôå: Θ(n log b a ) αν f(n) = O(n log b a ɛ ), ɛ > 0 T (n) = Θ(n log b a log n) αν f(n) = Θ(n log b a ) Θ(f(n)) αν f(n) = Ω(n log b a+ɛ ), ɛ > 0, af( n b ) cf(n), c < 1 Ìå ëßãá ëüãéá, ôï ãåíéêü èåþñçìá ìáò ðñïôñýðåé íá óõãêñßíïõìå ôç óõíüñôçóç f(n) ìå ôçí Ýêöñáóç n log b a. Áíáëüãùò ìå ôç ó Ýóç ìåôáîý ôïõò (ðïéü åßíáé ìéêñüôåñç, ìåãáëýôåñç Þ áí ôõ üí åßíáé ßóåò), ôüôå õéïèåôïýìå ôçí áíôßóôïé ç åêäï Þ. Ðñïóï Þ óôï åîþò óçìåßï. Äåí áñêåß áðëþò ìßá åê ôùí äýï íá åßíáé ìéêñüôåñç 37

áëëü íá åßíáé ðïëõùíõìéêü ìéêñüôåñç. Ëüãïõ Üñéí, ôï n 2 åßíáé ðïëõùíõìéêü ìéêñüôåñï áðü ôï n 3, üðùò êáé ôï n áðü ôï n. ¼ìùò ôï n äåí åßíáé ðïëõùíõìéêü ìéêñüôåñï áðü ôï n log n. ÅðïìÝíùò, ôï èåþñçìá äåí åöáñìüæåôáé ðüíôïôå. Óôç óõíý åéá èá åîåôüóïõìå áíôßóôïé á ðáñáäåßãìáôá. óôù üôé äßíåôáé ç óõíüñôçóç: T (n) = 4T (n/2) + n Éó ýåé üôé n log b a = n log 2 4 = n 2 > f(n) = n. ñá ɛ = 1 êáé áêïëïõèïýìå ôï ðñþôï óêýëïò ôïõ èåùñþìáôïò, äçëáäþ T (n) = Θ(n 2 ). óôù üôé äßíåôáé ç óõíüñôçóç: T (n) = 4T (n/2) + n 2 Éó ýåé üôé n log b a = n log 2 4 = n 2 = f(n). ñá áêïëïõèïýìå ôï äåýôåñï óêýëïò ôïõ èåùñþìáôïò, ïðüôå T (n) = Θ(n 2 log n). óôù üôé äßíåôáé ç óõíüñôçóç: T (n) = 4T (n/2) + n 3 Éó ýåé üôé n log b a = n log 2 4 = n 2 < f(n) = n 3 ãéá ɛ = 1. ñá áêïëïõèïýìå ôï ôñßôï óêýëïò ôïõ èåùñþìáôïò. ÐñÝðåé íá áðïäåßîïõìå ôçí áðáñáßôçôç óõíèþêç ôïõ óêýëïõò áõôïý. ïõìå, ëïéðüí, üôé: af(n/b) = 3(n/2) 3 < (3/8)n 3, Üñá c = 3/8. Óõíåðþò ðñüãìáôé ìðïñïýìå íá áêïëïõèþóïõìå ôï ôñßôï óêýëïò, ïðüôå ðïêýðôåé üôé T (n) = Θ(n 3 ). Óçìåéþíåôáé üôé ðáñüìïéåò áíáäñïìéêýò åîéóþóåéò ðñïêýðôïõí êáôü ôçí åöáñìïãþ ôçò áëãïñéèìéêþò ìåèüäïõ Äéáßñåé êáé Âáóßëåõå. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ, êáôü ôç öüóç ôïõ Äéáßñåé ðñïêýðôïõí õðïðßíáêåò ìå áêýñáéï ìýãåèïò, äçëáäþ õðåéóýñ- åôáé ç óõíüñôçóç ðüôùìá Þ/êáé ç óõíüñôçóç ôáâüíé. ÊáôÜ ôçí åöáñìïãþ ôïõ ãåíéêïý èåùñþìáôïò áãíïïýìå ôéò óõíáñôþóåéò áõôýò êáèþò áóõìðôùôéêü äåí áëëüæåé ôßðïôå. íá ôåëéêü ðáñüäåéãìá üðïõ äåí ìðïñåß íá åöáñìïóèåß ôï ãåíéêü èåþñçìá. óôù ç óõíüñôçóç: T (n) = 4T (n/2) + n 2 / log n Éó ýåé üôé n log b a = n log 2 4 = n 2? f(n) = n 2 / log n. Ôï åñùôçìáôéêü ôßèåôáé óôçí ðñïçãïýìåíç ó Ýóç ãéá íá äçëþóåé üôé áäõíáôïýìå íá óõãêñßíïõìå ðïëõùíõìéêü ôéò äýï åêöñüóåéò. (ãéá ðáñüäåéãìá, äåí õðüñ åé êüðïéï ɛ). ôóé óôï óçìåßï áõôü äåí ìðïñåß íá õðüîåé ðñüïäïò ãéáôß äåí ìðïñåß íá ãßíåé áíáãùãþ óå êüðïéá áðü ôéò ôñåéò êáôçãïñßåò. ÂÝâáéá, ç áíáäñïìéêþ áõôþ åîßóùóç Ý åé Þäç ëõèåß ìå ôç ìýèïäï ôçò áíôéêáôüóôáóçò. 38