Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου από το σηµείο Ο. Πράγµα που σηµαίνει ότι η στροφορµή είναι ένα διάνυσµα, µε διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν ο φορέας της ταχύτητας και το σηµείο Ο, στο σηµείο Ο, φορά που προκύπτει από τον «κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία» και µέτρο ίσο µε L=mυr ηµθ, όπου θ η γωνία µεταξύ υ και r (ισοδύναµα L=mυd όπου d η απόσταση του Ο από τον φορέα της ταχύτητας, ορισµός που µας επιτρέπει κατά αναλογία να πούµε, ότι η στροφορµή είναι η «ροπή της ορµής, ως προς το Ο). υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. 2) Το σηµείο αναφοράς Ο, µπορούµε να το πάρουµε σαν την αρχή των αξόνων, σε ένα τρισορθογώνιο σύστηµα xyz, χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι η στροφορµή γενικά, πρέπει να έχει τη διεύθυνση κάποιου από τους τρεις παραπάνω άξονες. Συνεπώς µπορούµε να υποστηρίξουµε ότι η στροφορµή ορίζεται πάντα ως προς την αρχή O ενός συστήµατος αναφοράς. Άλλωστε και η ορµή-ταχύτητα ορίζεται ως προς σύστηµα αναφοράς και δεν είναι απόλυτα µεγέθη. Έτσι το r του τύπου, δεν είναι τίποτα άλλο, παρά το διάνυσµα θέσης του υλικού σηµείου ως προς το σύστηµα αναφοράς µας. Στον παραπάνω ορισµό δεν αναφερθήκαµε στο είδος της τροχιάς και της κίνησης του υλικού
σηµείου. Μπορεί να εκτελεί κυκλική, καµπυλόγραµµη, αλλά και να κινείται ακόµη και ευθύγραµµα. Αν όµως κινείται κυκλικά, τότε συνήθως η στροφορµή υπολογίζεται ως προς το κέντρο Ο του κύκλου και είναι κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο Ο. Έστω τώρα ένα σωµατίδιο που στρέφεται οµαλά σε οριζόντιο επίπεδο, δεµένο στο άκρο νήµατος µήκους l, διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, όπως στο σχήµα και θέλουµε την στροφορµή του ως προς το σηµείο πρόσδεσης Ο, που βρίσκεται πάνω στην κάθετη στο επίπεδο, στο κέντρο Κ του κύκλου. Με βάση τον προηγούµενο ορισµό έχει σχεδιαστεί το διάνυσµα της στροφορµής στο σχήµα, ενώ το µέτρο της είναι: L=mυl Η στροφορµή αυτή αναλύεται σε δύο συνιστώσες, µια οριζόντια L xy και µια κατακόρυφη L z για την οποία έχουµε: L z =L ηµθ=mυl (r/l) = mυr = mr 2 ω Όπου r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Παρατηρούµε δηλαδή ότι: «Η συνιστώσα της στροφορµής πάνω στον άξονα z δεν εξαρτάται από τη θέση του σηµείου Ο και για όλα τα σηµεία του άξονα είναι ΠΑΝΤΑ ίση µε L z =mr 2 ω, όπου r η απόσταση του σωµατιδίου από τον άξονα.» Συνεπώς µπορούµε να αναφερόµαστε στην στροφορµή του υλικού σηµείου κατά τον (και όχι ως προς τον) κάθετο στην τροχιά άξονα z, αλλά δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι αυτή είναι µια συνιστώσα της στροφορµής του σωµατιδίου και ΟΧΙ η στροφορµή του. Ας πάρουµε τώρα µια ράβδο µήκους l η οποία στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο άξονα z διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, όπως στο σχήµα. Θέλουµε να βρούµε την στροφορµή της ράβδου, ως προς ένα τυχαίο σηµείο Ο του άξονα z. Κάθε υλικό σηµείο µάζας m i έχει στροφορµή ως προς το Ο, µε κατεύθυνση όπως στο σχήµα (Α) και µέτρο: L i =m i υ i r i. Συνεπώς η συνολική στροφορµή της ράβδου ως προς το σηµείο Ο, θα προκύψει από την σύνθεση όλων των στροφορµών, των στοιχειωδών µαζών από τις οποίες αποτελείται η ράβδος και
προφανώς το διάνυσµά της δεν θα έχει την κατεύθυνση του άξονα περιστροφής z σχήµα (Β). Σχήµα Α Σχήµα Β Αν όµως, θέλουµε να βρούµε την συνιστώσα της συνολικής στροφορµής της ράβδου ως προς το σηµείο Ο, πάνω στον άξονα z, θα έχουµε: L iz =m i υ i r ηµθ= m i υ i r (r i /r i ) = m i υ i r i = m i r i2 ω. Οπότε: L Oz =ΣL iz =Σm i r i2 ω= ω Σm i r 2 i = I ω Όπου Ι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής z. Συµπέρασµα: Η στροφορµή της ράβδου ως προς το σηµείο αναφοράς Ο, δεν έχει την κατεύθυνση του άξονα. Αλλά: Η προβολή της στροφορµής της ράβδου, πάνω στον άξονα περιστροφής z έχει µέτρο ίσο µε: L z = I ω (1) Και αυτό ανεξάρτητα της θέσης του σηµείου Ο, ως προς το οποίο την υπολογίσαµε. Βλέπουµε λοιπόν ότι έχει ουσιαστική αξία η στροφορµή ενός στερεού κατά τον άξονα περιστροφής του και η οποία δίνεται από την σχέση (1), αρκεί να θυµόµαστε ότι δεν είναι η στροφορµή ως προς τον άξονα, αλλά η συνιστώσα της στροφορµής πάνω στον άξονα. Με βάση τα προηγούµενα είναι λάθος να γράψουµε: L = I ω Αφού το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας είναι πάνω στον άξονα περιστροφής, όχι όµως και το διάνυσµα της στροφορµής, σχήµα (Β). Και αν είχαµε ένα οµογενές συµµετρικό σώµα το οποίο στρέφεται γύρω από άξονα που περνά από κέντρο µάζας του και είναι άξονας συµµετρίας του;
Ας πάρουµε ένα οµογενή κύλινδρο που στρέφεται γύρω από τον άξονα z ο οποίος περνά από τα κέντρα των δύο βάσεών του. Τότε για κάθε στοιχειώδη µάζα m i υπάρχει και µια ίση συµµετρική της m i που οι στροφορµές τους, ως προς ένα τυχαίο σηµείο Ο του άξονα, είναι οι L i και L i όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. Αναλύουµε τις στροφορµές αυτές σε συνιστώσες, οριζόντιες και κατακόρυφες, όπου οι οριζόντιες είναι αντίθετες, δηλαδή: L ixy = - L ixy Συνεπώς η συνολική στροφορµή θα προκύψει από την σύνθεση των συνιστωσών πάνω στον άξονα z για τις οποίες έχουµε: L ολ =ΣL iz =Σm i υ i r i ηµθ= Σ m i ω x i r i (x i /r i ) ή L ολ =ω Σm i r 2 i = I ω. Συµπέρασµα: Για ένα οµογενές συµµετρικό στερεό σώµα που στρέφεται γύρω από έναν άξονα συµµετρίας του, µπορούµε να γράψουµε: L = I ω Όπου L η στροφορµή του στερεού ως προς οποιοδήποτε σηµείο του άξονα περιστροφής και Ι η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα (περιστροφής) συµµετρίας του. Παράδειγµα: Να υπολογιστεί η (συνολική) στροφορµή µιας οµογενούς ράβδου µάζας Μ και µήκους l η ο- ποία στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z που περνά από το µέσον της. ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα Ι=(1/12) Μl 2. Απάντηση: Με βάση την προηγούµενη ανάλυση, η συνολική στροφορµή της ράβδου, ως προς οποιοδήποτε σηµείο του άξονα περιστροφής, έχει την διεύθυνση του άξονα και µέτρο: L=I ω= (1/12)Μl 2 ω.
Αντιπαράδειγµα. Μια λεπτή οµογενής ράβδος ΑΒ µήκους l και µάζας Μ, στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το σηµείο Μ, όπου (ΑΜ)=0,25l. Να υπολογισθεί η στροφορµή της ράβδου κατά τον άξονα z (δηλαδή η προβολή της στροφορµής πάνω στον z). ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το µέσον της Ι=(1/12) Μl 2. Απάντηση: Για κάθε στοιχειώδη µάζα m i µεταξύ του Α και του Μ, υπάρχει η συµµετρική της m i µεταξύ του Μ και του Κ (Κ το µέσον της ράβδου). Στο σχήµα έχουν σχεδιαστεί οι στροφορµές για δυο τέτοιες µάζες. Αν r η απόστασή τους από το Ο, αναλύοντας τα διανύσµατα των στροφορµών σε οριζόντιες και κατακόρυφες συνιστώσες, παρατηρούµε ότι L ix = - L ix, δηλαδή οι οριζόντιες συνιστώσες αλληλοεξουδετερώνονται. Αλλά κάθε στοιχειώδης µάζα, πέρα του Κ, θα έχει οριζόντια στροφορµή, η οποία θα προστίθεται σε κάθε άλλη παρόµοιας µάζας. Άρα η στροφορµή της ράβδου ως προς το Ο, θα έχει ΚΑΙ οριζόντια συνιστώσα, δηλαδή συνιστώσα, που δεν θα είναι πάνω στον άξονα περιστροφής z. Μπορούµε όµως εύκολα να υπολογίσουµε την κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορµής, δηλαδή την στροφορµή πάνω στον άξονα περιστροφής z. L z = ΣL iz = Σ m i υ i r i ηµθ i! L z = Σ m i.ω x i r i (x i /r i ) = ω Σ m i x 2 i =Ι ω Συνεπώς η προβολή της στροφορµής πάνω στον άξονα περιστροφής, έχει φορά προς τα πάνω, δεν εξαρτάται από τη θέση του σηµείου Ο και έχει µέτρο: L z = (1/12 Ml 2 + 1/16 Ml 2 ) ω = (7/48) Μl 2 ω. dmargaris@sch.gr