stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1
3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια με τις ίδιες ακριβώς φυσικές ιδιότητες: μάζα, φορτίο, σπιν, βαρυονικό ή λεπτονικό αριθμό και όποιους άλλους κβαντικούς αριθμούς απαιτούνται για τον πλήρη καθορισμό της ταυτότητάς τους. Με άλλα λόγια, ταυτόσημα είναι όλα τα σωματίδια του ίδιου είδους όλα τα ηλεκτρόνια, όλα τα πρωτόνια, όλα τα φωτόνια κ.ο.κ. Στην κβαντομηχανική τα σωματίδια που ανήκουν στο ίδιο φυσικό σύστημα π.χ. τα ηλεκτρόνια ενός ατόμου είναι αδύνατον να διακριθούν το ένα από το άλλο εφόσον περιγράφονται από επικαλυπτόμενες κυματοσυναρτήσεις που επιτρέπουν στα σωματίδια του συστήματος να βρεθούν στο ίδιο «σημείο» του χώρου, οπότε η «ταυτοποίησή» τους είναι πλέον αδύνατη. Η αρχή της μη διακρισιμότητας και οι συνέπειές της Στην κβαντική μηχανική λοιπόν τα ταυτόσημα σωματίδια που ανήκουν στο ίδιο φυσικό σύστημα είναι αδύνατον να διακριθούν μεταξύ τους και αυτό αποτελεί ένα θεμελιώδες φυσικό γεγονός που είναι γνωστό ως η αρχή της μη διακρισιμότητας των ταυτόσημων σωματιδίων. Μια αυτονόητη συνέπεια αυτής της αρχής είναι ότι τα ταυτόσημα σωματίδια που ανήκουν στο ίδιο φυσικό σύστημα να περιγραφούν κατά τέτοιο τρόπο ώστε η διάκρισή τους να είναι θεμελιωδώς αδύνατη. Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα δύο τέτοιων σωματιδίων όπως π.χ. τα δύο ηλεκτρόνια στο άτομο του ηλίου. Η κυματοσυνάρτηση αυτού του συστήματος θα είναι της γενικής μορφής Αφού όμως τα σωματίδια είναι, εξ υποθέσεως, ταυτόσημα και, επομένως, μη διακρίσιμα, η εναλλαγή τους δηλαδή η αμοιβαία αντικατάσταση 1 2 δεν πρέπει να έχει μετρήσιμες συνέπειες στην κατάσταση του συστήματος. Το οποίο σημαίνει ότι η κυματοσυνάρτηση Ψ(2, 1) που προκύπτει από την εναλλαγή θα είναι φυσικά ισοδύναμη με την Ψ(1, 2) και άρα θα διαφέρει από αυτήν το πολύ κατά μία σταθερή 2
5 6 Αρχή του Pauli Η σχέση αυτή θα πρέπει επίσης να ισχύει και αν εναλλάξουμε εκ νέου τις ονομασίες των δύο σωματιδίων στα δύο μέλη. Θα ισχύει δηλαδή και η Από όπου προκύπτει ότι Και άρα Δηλαδή: Η κυματοσυνάρτηση ενός συστήματος δύο ταυτόσημων σωματιδίων πρέπει να είναι συμμετρική ή αντισυμμετρική ως προς την εναλλαγή των μεταβλητών της. ΑΡΧΗ ΤΟΥ PAULI: Όλα τα σωματίδια με ακέραιο σπιν (s = 0, 1, 2,...) τα αποκαλούμενα μποζόνια περιγράφονται από συμμετρικές κυματοσυναρτήσεις, ενώ όλα τα σωματίδια με ημιακέραιο σπιν (s = 1/2, 3/2,...) τα αποκαλούμενα φερμιόνια από κυματοσυναρτήσεις που είναι αντισυμμετρικές ως προς την εναλλαγή των μεταβλητών τους. Ας εξετάσουμε τις συνέπειες αυτής της αρχής σε ένα σύστημα δύο ταυτόσημων σωματιδίων με σπιν ½ (για τα οποία δεχόμαστε επιπλέον ότι αλληλεπιδρούν μόνο με ηλεκτρικές δυνάμεις οι οποίες δεν επηρεάζουν τον προσανατολισμό των σπιν τους). Σε αυτή την περίπτωση η κυματοσυνάρτηση του συστήματος θα έχει παραγοντοποιημένη μορφή αφού η κίνηση των σωματιδίων στο χώρο και ο προσανατολισμός των σπιν τους είναι ανεξάρτητα και επομένως οι κυματοσυναρτήσεις τους θα πολλαπλασιάζονται. Περίπτωση Ι: Τα δύο ηλεκτρόνια έχουν παράλληλα σπιν (ολικό σπιν S = 1). Περίπτωση ΙΙ: Τα δύο ηλεκτρόνια έχουν αντιπαράλληλα σπιν (ολικό σπιν S = 0). θα ισχύει ότι και ότι δηλαδή η «κυματοσυνάρτηση» των παράλληλων σπιν (η τριάδα X 11, X 10, X 1, 1 των σχετικών κυματοσυναρτήσεων) είναι συμμετρική ως προς την εναλλαγή τους και η κυματοσυνάρτηση X 00 X των αντιπαράλληλων σπιν αντισυμμετρική ως προς αυτή την εναλλαγή. 3
7 8 Σε ένα σύστημα δύο ηλεκτρονίων Η ολική κυματοσυνάρτηση Ψ = ψ(r 1, r 2 )X(μ 1, μ 2 ) θα πρέπει να είναι πάντα αντισυμμετρική (αφού τα ηλεκτρόνια είναι φερμιόνια), ο τύπος συμμετρίας της χωρικής κυματοσυνάρτησης θα είναι πάντα αντίθετος προς τον τύπο συμμετρίας της κυματοσυνάρτησης σπιν και άρα θα καθορίζεται από τον σχετικό προσανατολισμό των σπιν των δύο ηλεκτρονίων. Αν τα ηλεκτρόνια έχουν παράλληλα σπιν η χωρική τους κυματοσυνάρτηση θα είναι υποχρεωτικά αντισυμμετρική ενώ αν τα σπιν τους είναι αντιπαράλληλα η χωρική κυματοσυνάρτηση υποχρεούται να είναι συμμετρική. Η απαγορευτική αρχή του Pauli Αν η ψ είναι αντισυμμετρική, θα έχουμε τότε, για r 1 = r 2 = r Το οποίο σημαίνει ότι η πυκνότητα πιθανότητας να βρούμε τα δύο ηλεκτρόνια στο ίδιο σημείο του χώρου είναι ακριβώς μηδέν. Έτσι δύο σωματίδια που έχουν το ίδιο σπιν (άρα τους ίδιους «κβαντικούς αριθμούς»), δεν μπορούν να βρεθούν στο ίδιο σημείο του χώρου. Η απαγορευτική αρχή του Pauli : δεν είναι δυνατό να υπάρχουν στο ίδιο άτομο δύο ηλεκτρόνια με τους ίδιους κβαντικούς αριθμούς. Π.χ. Προκειμένου περί των ηλεκτρονίων ομώνυμα φορτισμένων φερμιονίων μια άμεση συνέπεια είναι ότι ο παραλληλισμός των σπιν τους ευνοείται ενεργειακά, αφού τότε τα ηλεκτρόνια κρατιούνται σε απόσταση και άρα μειώνουν τις ηλεκτροστατικές τους απώσεις. Η ύπαρξη μόνιμων μαγνητών είναι μια εκδήλωση αυτού του μηχανισμού. Προκειμένου να μειώσουν τις ηλεκτροστατικές τους απώσεις τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας του σιδηρομαγνήτη παραλληλίζουν τα σπιν τους (αυτούς τους μικροσκοπικούς μαγνήτες) και δημιουργούν έτσι έναν ισχυρό μακροσκοπικό μαγνήτη. 4
9 10 Ποια σωματίδια είναι φερμιόνια και ποια μποζόνια Τα ηλεκτρόνια έχουν σπιν s = 1/2 και είναι φερμιόνια. Τα φωτόνια έχουν σπιν ακέραιο (s = 1) και είναι μποζόνια. Τα φωτόνια, όπως και τα σωματίδια-φορείς όλων των θεμελιωδών πεδίων, πρέπει να είναι μποζόνια ώστε να είναι δυνατή η απεριόριστη συνύπαρξή τους στην ίδια κβαντική κατάσταση, που είναι απαραίτητη προϋπόθεση για τη δημιουργία ενός μακροσκοπικού κλασικού πεδίου (παρατηρήσιμο μακροσκοπικό κύμα). Όσο για τα βασικά πυρηνικά σωματίδια (πρωτόνιο και νετρόνιο), αυτά θα πρέπει οπωσδήποτε να είναι φερμιόνια όπως και το ηλεκτρόνιο. Έτσι ώστε μόνο πεπερασμένοι πυρήνες να μπορούν να σχηματιστούν, αφού η αρχή του Pauli θα τα εξαναγκάζει να εποικίζουν ολοένα και ανώτερες ενεργειακές στάθμες προκαλώντας συνεχή αύξηση της πυρηνικής ακτίνας μέχρι του σημείου όπου οι μικρής εμβέλειας πυρηνικές δυνάμεις θα αδυνατούν να συγκρατήσουν τα νουκλεόνια και ο πυρήνας θα αρχίζει να διασπάται. Όλα τα σωματίδια-δομικοί λίθοι της ύλης πρέπει να είναι φερμιόνια και όλα τα σωματίδια-φορείς πεδίων μποζόνια. Περισσότερα από δύο σωματίδια Για την περίπτωση N = 3, για τα τρία ηλεκτρόνια ενός ατόμου η κυματοσυνάρτηση του συστήματος θα έχει την παραγοντοποιημένη μορφή και θα πρέπει να είναι, βεβαίως, μια πλήρως αντισυμμετρική συνάρτηση των μεταβλητών της r 1, μ 1 1, r 2, μ 2 2 και r 3, μ 3 3 όπως απαιτεί η αρχή του Pauli για ένα τυχόν σύστημα ταυτόσημων φερμιονίων. Θα πρέπει δηλαδή η συνάρτηση Ψ(1, 2, 3) να αλλάζει πρόσημο σε κάθε εναλλαγή δύο οποιωνδήποτε από τις μεταβλητές της. Ας δούμε λοιπόν πώς κατασκευάζεται μια πλήρως αντισυμμετρική κυματοσυνάρτηση ψ A (r 1, r 2, r 3 ) όταν στο σύστημα των τριών ηλεκτρονίων έχει εκτελεστεί μια πλήρης μέτρηση έχουν προσδιοριστεί δηλαδή τα μεγέθη H, l 2, l z και για τα τρία ηλεκτρόνια και είναι γνωστές οι τριάδες των σχετικών κβαντικών αριθμών Το σύστημα και των τριών ηλεκτρονίων μαζί θα περιγράφεται από οποιοδήποτε γινόμενο της μορφής 5
11 12 Λόγω του εκφυλισμού εναλλαγής, η πιο γενική κυματοσυνάρτηση που ανταποκρίνεται στην πλήρη μέτρηση θα είναι βεβαίως ο τυχών γραμμικός συνδυασμός των από τον οποίο θα πρέπει όμως να επιλέξουμε λόγω της αρχής του Pauli εκείνο τον ειδικό συνδυασμό που παράγει μια πλήρως αντισυμμετρική κυματοσυνάρτηση. Ο συνδυασμός αυτός σε κανονικοποιημένη μορφή είναι ο όπου Ας γράψουμε την πλήρως αντισυμμετρική κυματοσυνάρτηση στην αναλυτική μορφή αν δύο από τα τρία ηλεκτρόνια π.χ. τα 1 και 2 έχουν την ίδια τριάδα χωρικών κβαντικών αριθμών, είναι δηλαδή τότε η κυματοσυνάρτηση ψ A μηδενίζεται και επομένως η δυνατότητα αυτή να συγκατοικήσουν δύο ηλεκτρόνια στην ίδια χωρική κυματοσυνάρτηση είναι ανέφικτη. 6
13 14 Ας σημειώσουμε ακόμα ότι η αντισυμμετρική κυματοσυνάρτηση μπορεί να γραφεί και υπό μορφή ορίζουσας ως Όπως προκύπτει βάσει του ορισμού της ορίζουσας μιας μήτρας A, με στοιχεία a ij, που είναι ο Τέλος, η γενίκευσή για τυχόν αριθμό σωματιδίων N θα είναι που είναι γνωστή ως ορίζουσα του Slater. Ταυτόσημα σωματίδια υπό την επίδραση εσωτερικών δυνάμεων Στα προηγούμενα εξετάσαμε μόνο συστήματα ταυτόσημων σωματιδίων που κινούνται υπό την επίδραση ενός εξωτερικού δυναμικού χωρίς αμοιβαίες αλληλεπιδράσεις. Εντούτοις οι συνέπειες της αρχής του Pauli είναι ακόμα πιο εντυπωσιακές όταν εφαρμόζονται σε συστήματα ταυτόσημων σωματιδίων που αλληλεπιδρούν μέσω ενός κεντρικού δυναμικού, για 2 σωματίδια: Οι δύο κινήσεις είναι ανεξάρτητες και έτσι οι κυματοσυναρτήσεις τους θα πολλαπλασιάζονται, δίνοντας την ολική κυματοσυνάρτηση του συστήματος όπου P = p 1 + p 2 η ολική ορμή του συστήματος, R το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας του και r = r 1 r 2 η σχετική τους θέση. Η σχεση αυτή μας λέει το πολύ απλό, ότι η κίνηση του κέντρου μάζας θα περιγράφεται από ένα επίπεδο κύμα, ενώ το μόνο που απομένει είναι ο προσδιορισμός της κυματοσυνάρτησης ψ(r) που περιγράφει τη σχετική κίνηση των δύο σωματιδίων. 7
15 Η κυματοσυνάρτηση ψ(r) θα ικανοποιεί τη μονοσωματιδιακή εξίσωση Schrödinger με μ την ανηγμένη μάζα του συστήματος. Επειδή η κυματοσυνάρτηση του κέντρου μάζας είναι πάντα συμμετρική στην εναλλαγή των μεταβλητών θέσης των δύο σωματιδίων ο χαρακτήρας συμμετρική ή αντισυμμετρική της ολικής χωρικής κυματοσυνάρτησης θα είναι ταυτόσημος με εκείνον της κυματοσυνάρτησης της σχετικής τους κίνησης. Δηλαδή οδηγούμαστε τελικά στην εξέταση του αν η ψ(r) είναι άρτια ή περιττή συνάρτηση ως προς τη μεταβλητή r. Το οποίο σε ένα κεντρικό δυναμικό εξαρτάται από την τιμή του κβαντικού αριθμού l της σχετικής τροχιακής κίνησης των δύο σωματιδίων. Οι κυματοσυναρτήσεις καθορισμένου l έχουν ισοτιμία ( 1) l : Είναι άρτιες αν το l είναι άρτιο και περιττές αν το l είναι περιττό. 16 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 8
17 18 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η συμμετρία των ακόλουθων κυματοσυναρτήσεων: α) β) γ) δ) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2. Στο ακόλουθο απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού υπάρχουν 4 τυχαία (διακριτά) σωματίδια χωρίς σπιν. αλλού α) Βρείτε τα ενεργειακά επίπεδα και τις κυματοσυναρτήσεις του συστήματος αυτού. β) Ποια η ενέργεια και η κυματοσυνάρτηση του συστήματος όταν όλα τα σωματίδια είναι στη θεμελιώδη. γ) Αντίστοιχα αν ένα από αυτά (π.χ. το 1 ο ) είναι στην 1 η διεγερμένη. δ) Αν τα σωματίδια είναι ταυτόσημα μποζόνια απαντήστε πάλι τα β) και γ) αλλά στην 1 η διεγερμένη να είναι ένα τυχαίο σωμάτιο. Δίνονται οι λύσεις ενός σωματιδίου στο ίδιο πηγάδι: 9
19 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 3. Στο ακόλουθο απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού υπάρχουν 3 ταυτόσημα φερμιόνια (ηλεκτρόνια) τα οποία είναι στην ίδια κατάσταση σπιν. αλλού Ποιές οι ενέργειες και οι κυματοσυναρτήσεις του συστήματος στη: α) θεμελιώδη, β) 1 η διεγερμένη και γ) 2 η διεγερμένη. Δίνονται οι λύσεις ενός σωματιδίου στο ίδιο πηγάδι: 10