Συνδυαστικά Κυκλώματα

3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή, από τις τιμές της εισόδου ή των εισόδων τους. Η δομή ενός ψηφιακού συνδυαστικού κυκλώματος φαίνεται στο σχήμα 3.1-1. Δομικά στοιχεία των συνδυαστικών κυκλωμάτων είναι οι λογικές πύλες. Ένα συνδυαστικό κύκλωμα δηλαδή αποτελείται από εισόδους, λογικές πύλες και εξόδους. Οι λογικές πύλες δέχονται από τις εισόδους τους ψηφιακά σήματα και παράγουν αντίστοιχα σήματα στις εξόδους τους. Για n μεταβλητές εισόδου (δυαδικές μεταβλητές) υπάρχουν 2 n δυνατοί συνδυασμοί δυαδικών τιμών στην είσοδο ενός συνδυαστικού κυκλώματος και για κάθε συνδυασμό των τιμών των εισόδων του υπάρχει ένας και μόνο ένας συνδυασμός των τιμών των εξόδων του. Η λειτουργία ενός συνδυαστικού κυκλώματος μπορεί να περιγραφεί από ένα πίνακα αλήθειας, στον οποίο θα αναφέρεται αναλυτικά η σχέση των εξόδων με τις εισόδους του. Από την απεικόνιση της λειτουργίας του σε πίνακα αλήθειας είναι δυνατόν να καθοριστεί η αλγεβρική έκφραση m λογικών συναρτήσεων, μιας λογικής συνάρτησης για κάθε έξοδο του κυκλώματος. Έτσι, η κάθε του έξοδος, θα εκφράζεται σαν μια λογική συνάρτηση των n μεταβλητών των εισόδων του. 103

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σχήμα 3.1-1. Δομή συνδυαστικού κυκλώματος Συνδυαστικά κυκλώματα χρησιμοποιούνται σε μεγάλη κλίμακα στη σχεδίαση ψηφιακών συστημάτων και βρίσκονται διαθέσιμα στην αγορά σε μορφή ολοκληρωμένων κυκλωμάτων μεσαίας κλίμακας ολοκλήρωσης (MSI). Σε αυτό το κεφάλαιο θα γνωρίσουμε αρκετά τέτοια κυκλώματα (αποκωδικοποιητές, κωδικοποιητές, πολυπλέκτες, αποπλέκτες, συγκριτές και αθροιστές). Τέλος να αναφέρουμε ότι, αυτά τα κυκλώματα, χρησιμοποιούνται σαν δομικά στοιχεία σε σύνθετα VLSI κυκλώματα. 3.1α. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Η σύνθεση ενός συνδυαστικού κυκλώματος αφορά το σχεδιασμό του κυκλώματος και την υλοποίησή του. Ένας τέτοιος σχεδιασμός αρχίζει από τη σωστή διατύπωση του προς επίλυση προβλήματος και τελειώνει με τη σχεδίαση του συνδυαστικού κυκλώματος. Η μέθοδος την οποία ακολουθούμε περνάει από τα εξής στάδια. Σαφής διατύπωση του προβλήματος. Καθορισμός και συμβολισμός των εισόδων και εξόδων του κυκλώματος. Δημιουργία του πίνακα αλήθειας, που καθορίζει την απαιτούμενη από το πρόβλημα σχέση μεταξύ εισόδων και εξόδων. Εύρεση της λογικής συνάρτησης για κάθε έξοδο του κυκλώματος και απλοποίησή της με χάρτη Karnaugh. Σχεδιασμός του συνδυαστικού κυκλώματος, που υλοποιεί την απλοποιημένη έκφραση της συνάρτησης. Θα δούμε τώρα δύο παραδείγματα σύνθεσης συνδυαστικών κυκλωμάτων. Παράδειγμα 1. Σύνθεση συνδυαστικού κυκλώματος Να σχεδιαστεί το λογικό κύκλωμα που εξομοιώνει τη λειτουργία του μηχανικού διακόπτη δύο επαφών του σχήματος 3.1-2. 104

3. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Είσοδοι Έξοδος Σχήμα 3.1-2. Μηχανικός διακόπτης δύο επαφών Ο διακόπτης του σχήματος είναι διακόπτης δύο επαφών και έχει τη δυνατότητα με την επιλογή S, να επιτρέπει στα σήματα που βρίσκονται στις γραμμές A 1 και Α 2, να περάσουν, ένα κάθε φορά, στην γραμμή E. Ακολουθώντας τη διαδικασία σχεδιασμού που περιγράψαμε προηγούμενα θα έχουμε: 1. Διατύπωση του προβλήματος: Ζητάμε το λογικό κύκλωμα, του οποίου η μια εκ των δύο εισόδων του θα επιλέγεται κάθε φορά από μια είσοδο επιλογής και θα οδηγείται στην έξοδό του (κύκλωμα πολυπλέκτη 2Χ1). 2. Καθορισμός και συμβολισμός των εισόδων και της εξόδου: Εισόδους του κυκλώματος θα αποτελούν οι μεταβλητές Α 1, Α 2 και S. Οι καταστάσεις (τιμές) αυτών των εισόδων θα καθορίζουν κάθε φορά και την τιμή της εξόδου Ε. 3. Πίνακας αλήθειας (Καθορίζεται η σχέση μεταξύ εισόδων και εξόδων): Θεωρούμε ότι, όταν η επιλογή S έχει τιμή 0, στην έξοδο Ε θα οδηγείται η είσοδος Α 1, ενώ όταν η τιμή του S γίνει 1, στην έξοδο Ε θα περνάει η είσοδος Α 2. Με βάση αυτή την παραδοχή καταλήγουμε στον πίνακα αλήθειας του σχήματος 3.1-3. Σχήμα 3.1-3. Λειτουργία του διακόπτη δύο επαφών 105

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 4. Λογική συνάρτηση της εξόδου Ε: Θα υπολογίσουμε πρώτα από τον πίνακα αλήθειας την αλγεβρική έκφραση της συνάρτησης Ε (έξοδος του κυκλώματος). Αυτή είναι: E = S A 1 A 2 +S A 1 A 2 +SA 1 A 2 +SA 1 A 2 Θα ψάξουμε στη συνέχεια την απλοποίησή της με τη βοήθεια χάρτη Karnaugh (σχήμα 3.1-3). Από το χάρτη προκύπτει ότι υπάρχει απλοποίηση και έχουμε: E = S A 1 +SA 2 5. Σχεδιασμός συνδυαστικού κυκλώματος: Μετά την απλοποίηση η συνάρτηση Ε υλοποιείται εύκολα σε δύο επίπεδα, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.1-4. Σχήμα 3.1-4. Συνδυαστικό κύκλωμα εξομοίωσης του διακόπτη δύο επαφών Παράδειγμα 2. Σύνθεση συνδυαστικού κυκλώματος Να σχεδιαστεί το συνδυαστικό κύκλωμα, που δέχεται σαν είσοδό του τον BCD κώδικα και η έξοδός του γίνεται 1, όταν ανιχνεύεται λάθος στην είσοδό του. Εδώ είναι προφανές ότι, είσοδο του κυκλώματος, θα αποτελεί ο BCD κώδικας. Επειδή ο κώδικας, όπως τον γνωρίσαμε στην ενότητα 1.3 (πίνακας 1.3-2α), είναι κώδικας 4-bit, το κύκλωμά μας θα έχει τέσσερις γραμμές εισόδου και μια έξοδο. Η έξοδος του κυκλώματος θα γίνεται 1, όταν στην είσοδο του κυκλώματος εφαρμόζεται κατάσταση που δεν ανταποκρίνεται σε BCD κώδικα. Επειδή ο κώδικας κωδικοποιεί δυαδικά τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος (από το 0 μέχρι το 9) όλοι οι 4-bit συνδυασμοί από το 1010 (10 δεκαδικό) μέχρι το 1111 (15 δεκαδικό) θα αποτελούν εσφαλμένες εισόδους και σε αυτές τις περιπτώσεις η έξοδος του κυκλώματος θα γίνεται 1. Ο πίνακας αλήθειας, που περιγράφει αυτή τη λειτουργία, φαίνεται στο σχήμα 3.1-5. Από τον πίνακα αλήθειας παίρνουνε τη λογική εξίσωση, που ανταποκρίνεται στο κύκλωμα, η οποία μετά την απλοποίησή της στο χάρτη Karnaugh, γίνεται: Υ= AB+AC Η υλοποίηση του κυκλώματος είναι πλέον εύκολη και φαίνεται επίσης στο σχήμα 3.1-5. 106

3. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σχήμα 3.1-5. Υλοποίηση του κυκλώματος του παραδείγματος 2 Πολλές φορές ο τρόπος που διατυπώνουμε ένα πρόβλημα, από μόνος του μπορεί να μας οδηγήσει στην αλγεβρική του έκφραση. Κομβικό σημείο αποτελούν οι λέξεις και, ή, όχι (δεν), οι οποίες ανταποκρίνονται στις αντίστοιχες λογικές πράξεις. Για παράδειγμα: Ο συναγερμός του αυτοκινήτου μου θα ενεργοποιηθεί, όταν ανοίξει η πόρτα του οδηγού και ανάψει το φως της καμπίνας ή όταν κλείσει η πόρτα του οδηγού και ανοίξει ο διακόπτης της μηχανής. Η περιγραφή αυτή μπορεί να μας οδηγήσει άμεσα στην αλγεβρική έκφραση της συνάρτησης, που υλοποιεί το κύκλωμα ενεργοποίησης του συναγερμού. Μεταβλητές της συνάρτησης θα είναι η πόρτα (Α), το φως της καμπίνας (Β), και ο διακόπτης της μηχανής (C). Αν συμβολίσουμε και με Υ την ενεργοποίηση του συναγερμού θα έχουμε: Υ=A(ανοιχτή πόρτα) ΚΑΙ B(ανοιχτό φως) Ή A (κλειστή πόρτα) ΚΑΙ C(ανοιχτός διακόπτης), δηλαδή: Y=AB+ A C Η υλοποίηση του κυκλώματος στη συνέχεια είναι απλή. Παράδειγμα 3. Η λειτουργία του συναγερμού ενός σπιτιού, μπορεί να περιγραφεί ως εξής: O ΣΥΝΑΓΕΡΜΟΣ, χτυπάει (γίνεται High η έξοδός του), όταν υπάρχει στο σπίτι ΜΕΓΑΛΗ ΦΑΣΑΡΙΑ (κατάσταση High) ή όταν ενεργοποιηθεί η είσοδος ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗ του συναγερμού (κατάσταση High) και το σπίτι ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΣΦΑΛΕΣ. Το σπίτι ΕΙΝΑΙ ΑΣΦΑΛΕΣ (κατάσταση High), όταν ΟΙ ΠΟΡΤΕΣ ΤΟΥ ΣΠΙΤΙΟΥ, Η ΠΟΡΤΑ ΤΗΣ ΑΠΟ- ΘΗΚΗΣ και ΤΑ ΠΑΡΑΘΥΡΑ ΤΟΥ ΣΠΙΤΙΟΥ είναι σφαλισμένα. 107

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Η παραπάνω περιγραφή μπορεί εύκολα να εκφραστεί αλγεβρικά. Οι μεταβλητές της συνάρτησης θα είναι, Α: μεγάλη φασαρία, Β: η ενεργοποίηση λειτουργίας του συναγερμού, C: οι πόρτες του σπιτιού, D: η πόρτα της αποθήκης, Ε: τα παράθυρα και Υ η έξοδος του κυκλώματος. Έτσι, θα έχουμε: Υ=Α+Β(CDE). To λογικό γινόμενο (CDE) ανταποκρίνεται στην έκφραση: Το σπίτι δεν είναι ασφαλές. Η υλοποίηση του κυκλώματος φαίνεται στο σχήμα 3.1-6. Σχήμα 3.1-6. Κύκλωμα ενεργοποίησης συναγερμού Θα μπορούσε επίσης να έχουμε και άλλες υλοποιήσεις για το κύκλωμα, όπως αυτή με πύλες μόνο NAND (υπάρχει στο κύκλωμα του σχήματος 2.2-20β) καθώς επίσης και όλες τις διεπίπεδες υλοποιήσεις (AND-OR, NAND- NAND, OR-AND και NOR-NOR). Οι διεπίπεδες υλοποιήσεις θα προκύψουν από τις αντίστοιχες αλγεβρικές εκφράσεις μετά από αλγεβρική επεξεργασία της συνάρτησης Υ=Α+Β(CDE). Θα έχουμε για παράδειγμα: Υ=Α+Β(CDE) =Α+Β(C +D +E ) =Α+ΒC +ΒD +ΒE. Σχήμα 3.1-7. Διεπίπεδες υλοποιήσεις για το κύκλωμα του σχήματος 3.1-6 108

3. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Η τελευταία έκφραση της συνάρτησης έχει μορφή αθροίσματος γινομένων και αποτελεί μια AND-OR υλοποίηση (κύκλωμα του σχήματος 3.1-7α). Με την ίδια λογική υπολογίζουμε και τις κατάλληλες αλγεβρικές εκφράσεις για τις υπόλοιπες διεπίπεδες υλοποιήσεις. Το κύκλωμα του σχήματος 3.1-7β δείχνει ακόμα μία, τη NAND-NAND, που προκύπτει εύκολα και άμεσα από την AND-OR με τον τρόπο που γνωρίσαμε στην ενότητα 2.2. 3.1β. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Η ανάλυση ενός συνδυαστικού κυκλώματος αφορά τον τρόπο εύρεσης της λειτουργίας του. Η ανάλυση μπορεί να γίνει με τη χρήση ενός προγράμματος προσομοίωσης στον υπολογιστή ή λογαριάζοντας βήμα-βήμα τη λειτουργία του κυκλώματος μέχρι την έξοδό του, μέθοδο την οποία θα αναπτύξουμε εδώ. Η μέθοδος αυτή μας οδηγεί στη λογική συνάρτηση ή συναρτήσεις, ανάλογα με τον αριθμό των εξόδων, που υλοποιεί το κύκλωμα. Το επόμενο στάδιο είναι η σχεδίαση του πίνακα αλήθειας, από τον οποίο θα γίνει απόλυτα κατανοητή η λειτουργία του κυκλώματος. Απαραίτητη προϋπόθεση για να προχωρήσουμε στην ανάλυση με τον τρόπο αυτό, αποτελεί η διαπίστωση πρώτα, πως το προς ανάλυση κύκλωμα είναι συνδυαστικό. Η ανάλυση των ακολουθιακών κυκλωμάτων ακολουθεί διαφορετική διαδικασία. Για να καταλήξουμε στις λογικές συναρτήσεις των εξόδων που αντιστοιχούν σε ένα δεδομένο συνδυαστικό κύκλωμα, περνάμε από τα εξής στάδια. Συμβολίζουμε αυθαίρετα με κάποια σύμβολα (γράμματα συνήθως) τις εξόδους όλων των πυλών, που είναι συναρτήσεις των μεταβλητών της εισόδου του κυκλώματος και υπολογίζουμε τις λογικές συναρτήσεις για κάθε μια από αυτές (Υ 1 και Υ 2 στο κύκλωμα του σχήματος 3.1-8). Συμβολίζουμε, με την ίδια λογική, τις εξόδους των πυλών που είναι συναρτήσεις των αποτελεσμάτων των εξόδων των προηγούμενων πυλών και υπολογίζουμε τις νέες λογικές συναρτήσεις που προκύπτουν (Υ 3 στο κύκλωμα του σχήματος 3.1-8). Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να προκύψουν οι λογικές συναρτήσεις, που αφορούν τις εξόδους του κυκλώματος. Από τις συναρτήσεις εξόδου οδηγούμαστε στον πίνακα αλήθειας, που καθορίζει με σαφήνεια τη σχέση εισόδων-εξόδων και μας δίνει τη δυνατότητα απόλυτης κατανόησης της λειτουργίας του συγκεκριμένου κυκλώματος. Ας δούμε ένα τέτοιο παράδειγμα. 109

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Παράδειγμα 4. Ανάλυση συνδυαστικού κυκλώματος Να υπολογιστεί η συνάρτηση της εξόδου και ο πίνακας αλήθειας για το κύκλωμα του σχήματος 3.1-8 Σχήμα 3.1-8. Λογικό κύκλωμα τριών εισόδων και μιας εξόδου Πρόκειται για ένα κύκλωμα τριών εισόδων και μιας εξόδου, η έξοδος του οποίου θα είναι: F=Υ 3 +Υ 2. Για τον υπολογισμό του Υ 3 θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα το Υ 1. Θα έχουμε: Υ 1 = Α+Β. Υ 2 = ΑΒC Υ 3 =Υ 1 C= (Α+Β ) C Οπότε για την έξοδο του κυκλώματος έχουμε: F= Υ 3 +Υ 2 F = (Α+Β )C+ΑΒC Ο πίνακας αλήθειας του κυκλώματος θα υπολογιστεί από τη σχέση F=(Α+Β )C+ΑΒC, αφού πρώτα τη μετατρέψουμε σε άθροισμα γινομένων. Έχουμε: F=(Α+Β )C+ΑΒC F=ΑC+Β C+ΑΒC Από την τελευταία μορφή της συνάρτησης της εξόδου του κυκλώματος καταλήγουμε στον πίνακα αλήθειας του, που φαίνεται στο πίνακα 3.1-1. Πίνακας 3.1-1. Πίνακας αλήθειας του κυκλώματος του σχήματος 3.1-8 110