Μί γείκευση της Αιθμητικής κι της Γεμετικής πόδυ - Ο Στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Δ. Πγιώτης Λ. Θεδόπυς Σχικός Σύμυς κάδυ ΠΕ0 www.p-theodoropoulos.gr Πείηψη Στη εγσί υτή μεετάτι η ειδική κτηγί τ κυθιώ όπυ κάθε ός εκτός πό τ πώτ πκύπτει πό τ πηγύμεό τυ υτός ππσισθεί με έ στθεό ιθμό κι στη συέχει στ γιόμε πυ πκύπτει πστεθεί ές επίσης στθεός ιθμός. Οι κυθίες υτές πτεύ γείκευση της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Έ σημτικό πτέεσμ της έευς υτής είι η άδειξη της γεικότητς τυ στθμικύ μέσυ. Έτσι ιπό κι ι τεις μέσι πυ σχετίζτι με τις πόδυς δηδή ιθμητικός γεμετικός κι μικός είι στθμικί μέσι όπυ ι συτεεστές ύτητς ίζτι με συγκεκιμέ τόπ. Εισγγή Η ιί διδσκί στ σχεί πυσιάζει μί ιδιίτεη δυμική διότι στη διάκειά της τάσστι πόψεις κι γεικά συτεείτι η μάθηση. Γι υτό ιπό τ κίμ της τάξης πέπει είι θετικό κι η μφή της διδσκίς τέτι ώστε εξσφίζετι υσιστική ηεπίδση τόσ μετξύ τυ εκπιδευτικύ κι τ μθητώ όσ κι μετξύ τ μθητώ. Οι μθητές θ πέπει μπύ εκφάζυ εεύθε τις πίες κι τις πόψεις τυς. Κτά τ σχικό έτς 00-007 στ μάθημ της Άγες στη Β Λυκείυ κι συγκεκιμέ στη. η πί φέετι στη έι της κυθίς ύσμε στ μάθημ μί άσκηση η πί ζητύσε τη εύεση τύ δμικύ τύπυ της κυθίς πυ είι τύπς. Στη συέχει ότ έκ εισγγή στη ιθμητική πόδ πάη με τ ισμό της ιθμητικής πόδυ έδσ κι τ ισμό της γεμετικής γι σύγκιση κι συσχέτιση ώστε ι μθητές πμημεύσυ κύτε τυς δύ ισμύς σύμφ με τη «Θεί Επεξεγσίς Πηφιώ». Τότε ές μθητής της τάξης πεμίτς μυ είπε: «Κύιε η κυθί με τύπ: πυ ήκμε στη άσκηση πυ ύσμε πι είι μικτή πόδς;» Τυ πάτησ δε ς εξής: «Από ότι γίζ τέτιες κυθίες δε έχυ μεετηθεί ειδικά κι επμές είι ικτό τ θέμ γι εξεεύηση». Πότει μάιστ στυς μθητές όπις θέει σχηθεί με τ θέμ υτό φυσικά κι με τη δική μυ κθδήγηση. Βέι κές δε σχήθηκε διότι δύσκ ές μθητής κτπιάετι με έ θέμ πυ φήετι στη πιετική τυ επιγή. Εμέ όμς με πημάτισε η ιδέ κι η πτήηση τυ μθητή κι ότ ήκ χό σχήθηκ με τη εξεεύηση τυ ππά θέμτς τ πτεέσμτ της πίς πυσιάζτι στη πύσ εγσί. Γι τη πόδση της έις τ κυθιώ υτώ πτεί κι χησιμπιώ τ ό «γεική
πόδς» κτ γί πς τη ιθμητική κι γεμετική πόδ. Είι φεό ότι η γεική πόδς πτεεί τη γείκευση της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Απέφυγ τ ό «γεική πόδς» διότι δε πτεεί γείκευση της μικής πόδυ κι όπς πδεικύετι στιχεί της συτάει κείς κι στη μική πόδ! Οισμός: Μι κυθί IN θ τη έμε γεική πόδ υπάχυ πγμτικί ιθμί κι με 0 τέτιι ώστε γι κάθε IN ισχύει:. Τ ιθμό θ τo έμε συτεεστή της πόδυ κι τ στθεό ό της πόδυ. Ειδικότε 0 κι 0 τότε η πόδς έγετι γεμετική κι ιθμός όγς της πόδυ εώ τότε η πόδς έγετι ιθμητική κι διφά της πόδυ. Ο γεικός ός μις γεικής πόδυ συτήσει τ κι Με τ δμικό τύπ μις γεικής πόδυ μπύμε με διδχικά ήμτ ίσκυμε πιδήπτε ό της. Μπύμε όμς υπγίσυμε τ ιστό ό της πόδυ υτής κι συτήσει τ ιθμώ κι. Σύμφ ιπό με τ ισμό της γεικής πόδυ έχυμε:.. Α τότε πσθέττς κτά μέη τις ισότητες υτές πκύπτει τύπς της ιθμητικής πόδυ: Α τότε πσθέττς στ μέη τ ππά ιστήτ τ ό πίυμε:
.. Εκτεώτς στη συέχει τις πάξεις στ δεύτε μέη τ ππά ιστήτ πη της πώτης πκύπτυ ι πκάτ ισότητες:... Τές ππσιάζτς κτά μέη τις ισότητες υτές πίυμε: - Ά ιστός ός μις γεικής πόδυ με πώτ ό τ συτεεστή κι στθεό ό είι:
- πυ είι γ- Πτηύμε ότι γι 0 κι πίυμε στός τύπς της γεμετικής πόδυ. Ισχύει η πκάτ πότση. Πότση: Κάθε κυθί με τύπ γεική πόδς. IN με 0 κι είι Απόδειξη Έχυμε: Ά η κυθί -. είι γεική πόδς με συτεεστή κι Άθισμ διδχικώ ό γεικής πόδυ Θ υπγίσυμε τώ τ άθισμ τ πώτ ό μις γεικής πόδυ. Σύμφ με τ ισμό της γεικής πόδυ έχυμε:.. Α τότε ς γστό ισχύει: S [ ] Α τότε πσθέττς κτά μέη τις ππά ισότητες πίυμε: S S
5 Ατικθιστώτς στη τεευτί ισότητ τ S με S έχυμε: S S S S S S S S Ά τ άθισμ τ πώτ ό μις γεικής πόδυ είι: S [ ] Γι 0 κι πίυμε S πυ είι τύπς πυ μς δίει τ άθισμ τ πώτ ό γεμετικής πόδυ με πώτ ό τ κι όγ. Πι πχήσυμε στη μεέτη τυ γεικύ μέσυ πυ πυσιάζει κι τ μεγύτε εδιφέ ς δύμε έ πάδειγμ εφμγής τ ππά σε μί άσκηση. Η άσκηση πυ κυθεί είι μί τππίηση της άσκησης της σείδς 08 τυ σχικύ ιίυ της άγες της Β Λυκείυ. Εφμγή: Τ ψυγεί εός φτηγύ πειέχει 0 l εό. Αδειάζυμε 5 l εό κι τ τικθιστύμε με l τιπηκτικό κι l εό. Ύστε δειάζυμε πάι 5 l τυ μείγμτς κι τ τικθιστύμε με l τιπηκτικό κι l εό κ..κ. Α D η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί φύ εφμστεί η διδικσί φές είτε τ δμικό τύπ της κυθίς D κι στη συέχει εκφάσετε τ ιστό ό της κυθίς υτής συτήσει τυ.
Λύση Έστ D η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί τυ φτηγύ φύ εφμστεί η διδικσί φές. Κτά τη επόμεη φά εφμγής της διδικσίς είι πφές ότι η πσότητ τυ εύ στ ψυγεί θ είι: 7 D D 8 Πτηύμε ιπό ότι η κυθί D είι γεική πόδς με 7 D κι. 8 Επμές σύμφ με τ τύπ ιστός ός της συτήσει τυ είι: D 7 7 8 8 7 8 D 7 8 8 8 Ο γεικός μέσς Αφήσμε τη μεέτη τυ γεικύ μέσυ γι τ τές όγ της σπυδιότητς πυ πυσιάζει η έι υτή. Έστ γ τεις διδχικί όι μις γεικής πόδυ. Έχυμε: a γ & Α φιέσυμε τ μέη της πό τ μέη της πίυμε: γ γ γ γ Τώ Α - τότε είι γ κι Α - τότε
7 γ Ατίστφ. Έστ κι γ τεις ιθμί. Έχυμε τις πειπτώσεις:. Α γ κι τότε πδεικύετι ότι ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ με - κι.. Α γ τότε πφώς ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Στη πείπτση υτή ι ιθμί κι δε ίζτι μσήμτ.. Α κι υπάχει πγμτικός ιθμός IR { 0} τέτις ώστε ισχύει: γ τότε ι ιθμί κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Πάγμτι πό τη σχέση φύ πκύπτει ότι γ 5. Θέττς πίυμε: γ 5 γ κι έχυμε: γ γ γ γ γ γ γ γ Ά ι ιθμί συτεεστή κι στθεό ό κι γ είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ. Οισμός: Έστ κι γ δύ πγμτικί ιθμί κι ές θετικός πγμτικός ιθμός. Ο ιθμός γ θ έγετι γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή. Πτήηση: Εμηεύτς τ γεικό μέσ δύ ιθμώ κι γ με συτεεστή ότ γ φέυμε τ εξής:
8. Ότ φεόμστε στ γεικό μέσ δύ ιθμώ η σειά με τη πί θ φέυμε τυς δύ ιθμύς δε μπεί είι τυχί διότι άς είι γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή κι άς τ ιθμώ γ κι. γ. Ο γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ είι άμεσ στυς ιθμύς κι γ κι τυτίζετι με τ στθμικό μέσ υτώ με συτεεστές - ύτητς κι τίστιχ. γ. Α γεικός μέσς τ ιθμώ κι γ με συτεεστή τότε ιθμός διφέει πό τ όσ πό τ γ. 5 9 9 Πάδειγμ: Γι τυς ιθμύς 5 κι 9 ισχύει:. Ά ι ιθμί υτί είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ 5 9 9 5 κι 5 8 Γι επήθευση έχυμε: 5 κι 9 Τ είι γεικός μέσς τ ιθμώ 5 κι 9 με συτεεστή δηδή τ διπάσι τυ 5 0 διφέει πό τ όσ διφέει τ διπάσι τυ πό τ 9. Α 5 τότε ιστός ός της πόδυ υτής σύμφ με τ τύπ είι: 5. Αιθμητικός γεμετικός κι μικός μέσς ς γεικί μέσι Ο ιθμητικός μέσς δύ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με. Αυτό είι μεόμε φύ μί ιθμητική πόδς είι κι γεική με. Τ ίδι ισχύει κι γι τ γεμετικό μέσ δηδή γεμετικός μέσς δύ θετικώ ιθμώ κι πυ είι ιθμός είι γεικός μέσς τ ιθμώ υτώ με συτεεστή: φύ ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεμετικής πόδυ πυ είι κι γεική πόδς. Πάγμτι έχυμε:
9 Μετά πό υτά γειέτι τ εώτημ: Μήπς ισχύει τ ίδι κι γι τ μικό μέσ δύ μόσημ ιθμώ κι ; Ως γστό μικός μέσς τ ιθμώ υτώ είι ιθμός: Εύκ η ππά πάστση μπεί γφτεί ς εξής: Πτηύμε ιπό ότι κι μικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με συτεεστή. Σημείση: Υπάχυ κι άι μέσι με ιδιίτεη μσί όπς π. χ. τιμικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι πυ είι ιθμός. Απ- δεικύετι εύκ ότι κι τιμικός μέσς δύ μόσημ ιθμώ κι είι γεικός μέσς υτώ με συτεεστή. Αξίζει κόμη φεθεί ότι δύ θετικώ ιθμώ κι γεμετικός μέσς είι επίσης στθμικός μέσς υτώ με συτεεστές ύτητς κι μικός με κι κι τιμικός με κι τίστιχ. Αγεική πόδς κι μική πόδς Στη συέχει τ εώτημ πυ τίθετι είι: Μήπς μί μική πόδς είι κι γεική; Θ πσπθήσυμε πτήσυμε σ υτό τ εώτημ μέσ πό έ πάδειγμ. Έστ η κυθί:
0 8 0 Είι πφές ότι η κυθί υτή πτεεί μική πόδ. Έτσι τ είι μικός μέσς τ ιθμώ κι Σύμφ με τ ππά τ. θ είι γεικός μέσς τ ιθμώ κι με συτεεστή: πυ εύκ επηθεύετι ότι ισχύει δηδή: Ά ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ με γ 8 κι Γι επήθευση έχυμε: κι Όμς Ά η κυθί: 8 5 8 8 0 δε είι γεική πόδς. Κάθε τιάδ διδχικώ ό της όμς όπς είδμε είι διδχικί όι γεικής πόδυ. Η τιμή τυ είι διφετική γι κάθε τιάδ κι γι υτό μί μική πόδς δε είι γεική. Γεικά κι γ είι διδχικί όι μις
μικής πόδυ τότε ι ιθμί υτί πτεύ διδχικύς όυς μις γεικής πόδυ με. Εδιφέ πυσιάζει η πότση πυ κυθεί η γ πί πτεεί τίστφη πότση της ππά. Πότση: Έστ μί κυθί κάθε ΙΝ ι όι κι ΙΝ με 0 γι κάθε ΙΝ. Α γι πτεύ διδχικύς όυς μις γε- ικής πόδυ με τότε η κυθί ΙΝ είι μική πόδς. Απόδειξη Ακεί πδείξυμε ότι η κυθί ΙΝ είι ιθμητική πόδς. Έχυμε: Αφύ ι ιθμί κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ με έπετι ότι διότι τότε φύ ι ιθμί δη- κι είι διδχικί όι γεικής πόδυ θ ήτ δή θ είχμε άτπ. Επμές είι: πό όπυ πίυμε: Επειδή η τεευτί ισότητ ισχύει γι κάθε ΙΝ έπετι ότι η διφά δύ διδχικώ ό της κυθίς ΙΝ είι στθεή. Ά η κυθί υτή είι ιθμητική πόδς πότε η κυθί ΙΝ είι μική πόδς.
Ο στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Είδμε πι πά ότι τόσ γεμετικός μέσς όσ κι μικός δύ θετικώ ιθμώ είι ι στθμικί μέσι τ ιθμώ υτώ με άγυς συτεεστές ύτητς. Τ εώτημ πυ τίθετι τώ είι μήπς υτό μπεί γεικευθεί κι γι με > θετικύς ιθμύς; Η πάτηση δίετι στ επόμε θεώημ. Θεώημ I: Έστ με θετικί πγμτικί ιθμί. Υπάχυ θετικί ιθμί κι τέτιι ώστε γεμετικός μέσς G κι μικός μέσς Η τ ιθμώ εκφάζτι ς ε- ξής: G κι H Απόδειξη Α θέσυμε: τότε εύκ πδεικύετι ππσιάζτς χιστί ότι ισχύει: γεμετικός μέσς. G Επίσης θέσυμε: έχυμε:
H μικόςμέσς. Από τ ππά θεώημ πκύπτει ότι στθμικός μέσς είι γεικός μέσς. Επμές ιθμητικός γεμετικός κι μικός μέσς ιθμώ είι ειδικές πειπτώσεις υτύ. Αξίζει σημειθεί κόμη πς η έι τυ στθμικύ μέσυ είι σύμφη με τη έι της μέσης τιμής στη Θεί Πιθτήτ κι γεικά με τη έι της μέσης τιμής. Πτηύμε τώ ότι με είι πγμτικί ιθμί ό- πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς κι τότε ισχύει: θετικί πγμτικί ιθμί min < < ma δηδή είι ιθμί πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς τότε στθμικός μέσς υτώ με τίστιχ άη είι ές ιθμός άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς. Σύμφ με τ επόμε θεώημ ισχύει κι τ τίστφ τυ ππά συμπεάσμτς δηδή έχυμε πγμτικύς ιθμύς πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς τότε πισδήπτε ιθμός πυ είι άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς μπεί πτεέσει στθμικό μέσ υτώ με κάπι τίστιχ άη. Έχυμε ιπό τ θεώημ: ΘεώημII: Έστ με πγμτικί ιθμί με. Α < τότε γι κάθε o IR με < o < υπάχυ θετικί πγμτικί ιθμί τέτιι ώστε: o Απόδειξη Θέτυμε κι
Θ εκφάσυμε τ συτεεστή συτήσει τ i i κι τ j j 0 ώστε ισχύει η ισότητ τυ συμπεάσμτς. Έχυμε: Ατικθιστώτς στη τεευτί ισότητ τυς ιθμύς i i πίυμε: Πφώς ισχύει:.. Συεπώς 0 - - - < < Επίσης είι κι 0 < πότε πό τη πίυμε: 0 - - > Είι πφές τώ ότι ι ιθμί επηθεύυ τη ισότητ τυ συμπεάσμτς κι υτό κηώει τη πόδειξη τυ θεήμτς. Πάδειγμ: Έστ ι ιθμί κι 0. Θ ύμε συτεεστές κι ώστε τ 9 είι στθμικός μέσς τ ιθμώ υτώ με συτεεστές ύτητς τυς ιθμύς κι τίστιχ. Πάγμτι θέσυμε 8 0 9 9 κι τότε σύμφ με τ πηγύμε θεώημ θ είι:
5 9 9 8 9 Εύκ επηθεύετι στη συέχει ότι ισχύει ισχυισμός μς δηδή: 5 5 80 5 80 95 9 5 5 5 5 8 Ά στθμικός μέσς τ ιθμώ κι 0 με συτεεστές ύτητς κι 8 τίστιχ είι τ 9. Σχόι: Τ θεώημ ΙΙ είι γεικότε τυ θεήμτς Ι διότι κι γεμετικός μέσς θετικώ ιθμώ πυ δε είι όι ίσι μετξύ τυς ά κι μικός μέσς υτώ είι άμεσ στ μικότε κι στ μεγύτε πό υτύς τυς - ιθμύς. Επμές τ θεώημ Ι μπεί θεηθεί ς πόισμ τυ θεήμτς ΙΙ. Επειδή όμς τ θεώημ Ι φέετι σε δύ πύ γστύς μέσυς χκτήισ τη πότση υτή ς θεώημ. Ακόμη πό τις πδείξεις τ ππά θεημάτ πκύπτει ότι ι συτεεστές ύτητς τ ιθμώ γι κάθε στθμικό μέσ υτώ δε είι μδικί. 5 Ε π ί γ ς Επειδή μεικά πό τ πτεέσμτ της εγσίς υτής μπύ τ πάγυ κι ι ίδιι ι μθητές με τη κθδήγησή μς θ μπύσε δθεί η μεέτη εός μέυς τυ ππά θέμτς ς δημιυγική εευητική εγσί σε μθητές της Β Λυκείυ. Μπύ πχθύ κι ίες σκήσεις τίστιχες τ σκήσε της ιθμητικής κι της γεμετικής πόδυ. Ακόμη η εγσί υτή μπεί πτεέσει κι πάδειγμ γι άες δημιυγικές εευητικές εγσίες όπυ φμή γι τη εκπόησή τυς ίσς πτεέσυ πτηήσεις ή άθη μθητώ. Κό είι δίυμε τη ευκιί στυς μθητές γι εξεεύηση κι πειμτισμό. Με τ υστηό κι φμιστικό τόπ διδσκίς πυσιάζετι τ τεικό πϊό εώ η πεί της σκέψης πυ δηγεί στ πτέεσμ πκύπτετι. Ατίθετ η εξεεύηση κι πειμτισμός ηθύ τυς μθητές γίσυ τη μφιά κι τη γητεί της έευς κι της επιστημικής κάυψης! Αάγ πτέεσμ μπύμε έχυμε κι ότ γώυμε τη διδσκί μς με τη μφή της κθδηγύμεης κάυψης. Ας μη ξεχάμε ότι ι μθητές δε είι κεά δχεί πυ πέπει τ γεμίσυμε με γώσεις. Είι πσπικότητες με κάπι υπόθ γώσε στ πί στηιχθύ μπύ πάγυ πές φές τη έ γώση. Τές με τη εγσί υτή ι μθητές θ δυ τ τόπ κι τ ό της γείκευσης μις έις εός τύπυ ή εός θεήμτς. Έτσι θ κτήσυ κύτε τη γεική μφή εξίσσης ευθείς τη γείκευση τυ Πυθγείυ Θεήμτς κθώς
κι τ όμ τ συημιτό πυ πτεεί τη ειί διτύπση τυ Πυθγείυ θεήμτς κι τ θεημάτ ξείς κι μείς γίς. Επίσης κό είι στη Γεμετί της Β Λυκείυ ύυμε κι τη άσκηση της σείδς 0 πυ είι τ θεώημ Stewart κι κθδηγύμε κτάη τυς μθητές ώστε συμπείυ ότι τ θεώημ υτό πτεεί γείκευση τυ υ θεήμτς τ διμέσ.