Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους

Transcript

1 Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i i Οι ιδιότητες κι 3 γεικεύοτι κι ισχύου κι γι μιγδικούς ριθμούς Δηλδή: κι κι στη περίπτωση όπου:, τότε η τελευτί ισότητ γίετι: Μέτρο: Α, είι μιγδικοί ριθμοί, τότε Πράγμτι, έχουμε: κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ 3 Τριγωική ισότητ χωρίς πόδειξη:

2 Όρι Όριο κι διάτξη Χωρίς πόδειξη: Α, τότε κοτά στο Σχ 48 Α, τότε κοτά στο Σχ 48 Χωρίς πόδειξη: Α οι συρτήσεις, έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο, τότε Χωρίς πόδειξη: Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο, τότε: κ κ, γι κάθε στθερά κ R 3 4, εφόσο 5 6 k k, εφόσο κοτά στο Οι ιδιότητες κι 3 του θεωρήμτος ισχύου κι γι περισσότερες πό δυο συρτήσεις Άμεση συέπει υτού είι: [ ], * R Χωρίς πόδειξη: Κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις,, Α κοτά στο κι Τότε:,

3 Βσικά όρι: Έστω το πολυώυμο P Σύμφω με τις γωστές ιδιότητες έχουμε: κι o ϵ R P Επομέως, P P P Έστω η ρητή συάρτηση Τότε, Επομέως, Tριγωομετρικά όρι Αρχικά ποδεικύουμε ότι: P, όπου P, Q P P P Q Q Q P P Q Q Q πολυώυμ του κι o ϵ R με Q, εφόσο Q ημ, γι κάθε ϵ R η ισότητ ισχύει μόο ότ Με τη οήθει της πρπάω ισότητς κι του κριτηρίου πρεμολής θ ποδείξουμε ότι: ημ ημ συ συ Αρχικά θ ποδείξουμε ότι ημ Πράγμτι: κι συ Σύμφω με τη προηγούμεη ισότητ έχουμε ημ, οπότε ημ Επειδή, σύμφω με το κριτήριο πρεμολής, θ είι 3

4 ημ Γωρίζουμε ότι συ ημ, οπότε Επομέως π π συ ημ, γι κάθε,, συ ημ ημ Θ ποδείξουμε, τώρ, ότι ημ ημ Πράγμτι έχουμε ημ ημ ημσυ συ ημ ημ συ συ ημ ημ συ ημ Αάλογ ποδεικύετι κι ότι συ συ Κι χωρίς πόδειξη: ημ συ ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσμτος Α στο R το όριο της είι: R R - - κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γιομέου - - ; ; Α στο R, το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: > < > < ; ; Στους πίκες όπου υπάρχει ερωτημτικό, σημίει ότι το όριο υπάρχει εξρτάτι κάθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουμε Δηλδή έχουμε προσδιόριστη μορφή Πρκτικά προσδιόριστες μορφές γι τ όρι θροίσμτος κι γιομέου συρτήσεω είι οι: 4

5 Συέχει κι Κι γι τ όρι της διφοράς κι του πηλίκου συ είι οι:, κι, Πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω Χωρίς πόδειξη Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις:, c, όπου R c,,, κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Γι πράδειγμ: Οι συρτήσεις εφ κι σφ είι συεχείς ως πηλίκ συεχώ συρτήσεω Η συάρτηση 3 είι συεχής στο πεδίο ορισμού της,, φού η συάρτηση 3 3 είι συεχής Η συάρτηση ημ είι συεχής, φού είι της μορφής, όπου ημ η οποί είι συεχής συάρτηση ως γιόμεο τω συεχώ συρτήσεω κι ημ Τέλος, ποδεικύετι ότι γι τη σύθεση συεχώ συρτήσεω ισχύει το κόλουθο θεώρημ: Σύθεση συεχώ συρτήσεω Χωρίς πόδειξη Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους o είι συεχής στο Θεώρημ Bolano Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης στο οικτό διάστημ, Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η είι συεχής στο [, ] κι τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε η 5

6 Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Σχ 67 Α θεωρήσουμε τη συάρτηση η, [, ], πρτηρούμε ότι: η είι συεχής στο [, ] κι, φού η κι η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε η, οπότε η κι Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ Θεώρημ - Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Σχ 69δ Δηλδή, υπάρχου [, ] τέτοι, ώστε, m κι M, ισχύει, m M, γι κάθε [, ] Δλδ: Το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είι το κλειστό διάστημ [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της κι A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β Σχ 7, όπου Α κι B Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A Σχ 7 6

7 7 Διφορικός λογισμός Θεώρημ Πργωγισιμότητ συέχει Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό Γι έχουμε, οπότε ] [, φού η είι πργωγίσιμη στο Επομέως,, δηλδή η είι συεχής στο Πράγωγοι σικώ συρτήσεω Έστω η στθερή συάρτηση c,c ϵ R Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή c Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: c c Επομέως,, δηλδή c Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: Επομέως,, δηλδή Έστω η συάρτηση, ϵ Ν {,} Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, ισχύει:, οπότε

8 , δηλδή Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει: οπότε, δηλδή,, Όπως ξέρουμε σελ 5: η δε είι πργωγίσιμη στο Έστω συάρτηση ημ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει συ, δηλδή ημ συ Πράγμτι, γι κάθε R κι ισχύει ημ ημ ημ συ συ ημ ημ Επειδή έχουμε Έστω η συάρτηση συ ημ ημ συ ημ συ κι, ημ συ συ Δηλδή, ημ συ συ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ημ, δηλδή συ ημ Πράγμτι, γι κάθε R κι ισχύει: συ συ συ συ ημ ημ συ οπότε συ ημ συ ημ, συ συ ημ ημ συ ημ ημ Δηλδή, συ ημ 8

9 9 Θεώρημ πράγωγος θροίσμτος Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: Γι, ισχύει: Επειδή οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, έχουμε:, δηλδή Θεώρημ πράγωγος γιομέου Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: Γι ισχύει: Επειδή οι, είι πργωγίσιμες, άρ κι συεχείς στο, έχουμε:, δηλδή Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ, τότε γι κάθε Δ ισχύει:

10 Θεώρημ Πράγωγος πηλίκου Α οι συρτήσεις πργωγίσιμη στο κι ισχύει:, είι πργωγίσιμες στο κι [ ], τότε κι η συάρτηση είι Η πόδειξη πρλείπετι Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ κι γι κάθε Δ ισχύει κάθε Δ έχουμε: Έστω η συάρτηση δηλδή Πράγμτι, γι κάθε στο R * [ ], τότε γι,, ϵ Ν * Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R * κι ισχύει έχουμε: Είδμε, όμως, πιο πρι ότι, γι κάθε φυσικό Επομέως, κ ϵ Z-{,}, τότε Έστω η συάρτηση συ, δηλδή κ κ κ εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στοr = R {συχ = } κι ισχύει εφ συ Πράγμτι, γι κάθε ϵ R έχουμε: ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ συ Η συάρτηση, ϵ R - Ζ είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, y ln e κι θέσουμε u ln u, τότε έχουμε y e Επομέως, u u ln y e e u e Η συάρτηση, είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln, δηλδή : ln u Πράγμτι, y e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε y e Επομέως, u u ln y e e u e ln ln ln

11 Η συάρτηση ln, ϵ R * είι πργωγίσιμη στο R * κι ισχύει Πράγμτι, τότε ln ln ln ln, εώ ln, τότε, οπότε, θέσουμε y ln κι u, έχουμε y lnu Επομέως, y ln u u u κι άρ ln Θεώρημ Πργώγιση σύθεσης συρτήσεω Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Γεικά, μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο Δ, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Δηλδή, u, τότε u u u Kός της λυσίδς Leibni, y u κι u, έχουμε το τύπο που είι γωστός ως : Προσοχή: dy d dy du du d dy Το σύμολο δε είι πηλίκο Στο κό της λυσίδς πλά συμπεριφέρετι ως πηλίκο, πράγμ που d ευκολύει τη πομημόευση του κό Θεώρημ - Rolle Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, κι τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ Θεώρημ - Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ

12 Θεώρημ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Α, τότε προφώς, Δ ισχύει Πράγμτι Α, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ,οπότε, λόγω της, είι Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις οι, είι συεχείς στο Δ κι, ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Η συάρτηση Δ ισχύει: c είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει c, οπότε c Θεώρημ πράγωγος κι μοοτοί Έστω μι συάρτηση, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει, ξ, οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ κι, έχουμε, οπότε

13 Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως Θεώρημ κρόττ κι πράγωγος Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει Επομέως, δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε δ Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη Προσοχή 3 Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, τ εσωτερικά σημεί του Δ, στ οποί η είι διφορετική πό το μηδέ, δε είι θέσεις τοπικώ κροτάτω Επομέως οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 3

14 Θεώρημ - Πράγωγος κι κρόττ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής i Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό μέγιστο της ii Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό ελάχιστο της iii A η διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, Σχ 35γ i Eπειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε, γι κάθε, ] Επειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, Έτσι έχουμε:, γι κάθε [, y > < y > < 35a O a O a Επομέως, λόγω τω κι, ισχύει:, γι κάθε,, που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως y y 35 < > < > O a O a iii Έστω ότι, γι κάθε,, y > y > 35γ > > O a O a 4

15 Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, Επομέως, γι ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω,, με Α, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει, Α [,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει, Τέλος,, τότε όπως είδμε Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, Ομοίως, γι κάθε,, 4 3 Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση 4 είι πργωγίσιμη στο 3 4 Οι ρίζες της είι διπλή ή 3, το δε πρόσημο της φίετι στο πρκάτω πίκ: 3 + Σύμφω με το πρπάω κριτήριο, η συάρτηση είι γησίως φθίουσ στο διάστημ,3], γησίως ύξουσ στο διάστημ [ 3, κι προυσιάζει έ μόο τοπικό κρόττο, συγκεκριμέ ολικό ελάχιστο γι 3, το 3 7 ΣΧΟΛΙΑ Οπως είδμε στη πόδειξη του πρπάω θεωρήμτος στη πρώτη περίπτωση το είι η μέγιστη τιμή της στο,, εώ στη δεύτερη περίπτωση το είι η ελάχιστη τιμή της στο, Α μι συάρτηση είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ [, ], όπως γωρίζουμε Θεώρημ 8,η προυσιάζει μέγιστο κι ελάχιστο Γι τη εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ τω διστημάτω 3 Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της Θεώρημ - Πράγωγος κι κρόττ Χωρίς πόδειξη Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σε έ διάστημ, κι έ σημείο του, στο οποίο η είι δυο φορές πργωγίσιμη Α κι, τότε το είι τοπικό μέγιστο Α κι, τότε το είι τοπικό ελάχιστο Θεώρημ Κυρτότητ Κοιλότητ Χωρίς πόδειξη Εστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ Θεώρημ Σημεί κμπής Χωρίς πόδειξη Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε 5

16 Π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι, κι ii τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η Σχ 43 Θεώρημ Ασύμπτωτες- Χωρίς πόδειξη Η ευθεί y λ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, κι μόο τιστοίχως λ R κι [ λ] R, λ R κι [ λ] R Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες Οι ρητές συρτήσεις P Q, με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του θμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής,, τιστοίχως, Κόες de l Hospital- Χωρίς πόδειξη Θεώρημ ο μορφή Α,, {, } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο, τότε: Θεώρημ ο μορφή Α τότε:,, {, } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο, 6

17 Ολοκληρώμτ Θεώρημ - Πράγουσες Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, τότε όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c, c R, είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G F c, c R Κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είι μι πράγουσ της στο Δ, φού G F c F, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε οπότε G F, γι κάθε Δ Άρ, σύμφω με το πόρισμ της 6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ Θεώρημ Ολοκλήρωμ γρ συδυσμού Δ ισχύου F κι G, Έστω, σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, ] κι λ, μ R Τότε ισχύου κι γεικά d λ λ d [ ] d d d [ μ ] d λ d μ λ d Θεώρημ «Σπάσιμο» διστήμτος ολοκλήρωσης Α η είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει 3 γ d d d Γι πράδειγμ, d 3 κι d 7, τότε d d d d d γ 4 Θεώρημ Ολοκλήρωμ κι διάτξη Έστω μι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α γι κάθε [, ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε d 7

18 Θεώρημ Το ολοκλήρωμ ως τίστροφη διδικσί της πργώγισης Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση F t dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t dt, γι κάθε Δ a ΣΧΟΛΙA Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος y προκύπτει Σχ 4 ως εξής: 4 F F t dt Εμδό του χωρίου Ω, γι μικρά Άρ, γι μικρά είι οπότε F F F F F Θεώρημ -Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού, Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της στο [, ], τότε t dt G G Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε G F c O F y= Από τη, γι Επομέως,, έχουμε G F c t dt c c, οπότε c G G F G, οπότε, γι, έχουμε κι άρ G F G t dt G t dt G G 8