Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου
|
|
- Καλόγερος Φωτόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του.
3
4 Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος επιμείει στη πόδειξη πλώ προτάσεω που σχετίζοτι με τη θεωρί του σχολικού βιβλίου. Στ επόμε έχουμε περιλάβει ορισμέες τέτοιες προτάσεις, χωρισμέες ά κεφάλιο, που η συζήτηση κι η προσπάθει τεκμηρίωσης τους μπορεί βοηθήσει τη ποδεικτική ικότητ τω μθητώ. Οι προτάσεις προέκυψ πό συζητήσεις τω μελώ της ομάδς μς που κτέγρψ η Ειρήη Σπύρου κι η Αστσί Φέλη η οποί είχε κι τη γεική επιμέλει. Ιούιος 014 Η Ομάδ γι τη Διδσκλί της ς Νίκος Μυρογιάης ΠΠ Λύκειο Ευγγελικής Σχολής Σμύρης Γιώργος Μήλιος Λεότειο Λύκειο Νές Σμύρης Μιχάλης Μπουρούης 1ο Λύκειο Κμτερού Ειρήη Σπύρου 1ο Λύκειο Αγίου Δημητρίου Αστσί Φέλη, 5ο Λύκειο Αιγάλεω Σωτήρης Χσάπης ΠΠΛ Λύκειο Ευγγελικής Σχολής Σμύρης
5 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Κεφάλιο 1 ο Α Α=Β τότε Α=Β Α x Α τότε x Α άρ x Β επομέως x Β, άρ Α Β Όμοι Β Α.Άρ Α=Β. Συέπειες του ορισμού υποσυόλου 1. Α Α. Α Α Β κι Β Γ τότε Α Γ 3. Α 1. Α x Α τότε x Α οπότε Α Α. Α x Α τότε x Β, οπότε x Γ 3. Α Α τότε υπάρχει x, x κι x Α, άτοπο φού το δε περιέχει στοιχεί. 1. Α Α Β τότε Α Β=Β. Α Α Β τότε Α Β=Α 3. Α Α Β τότε Β Α 1. Α x Α Β τότε x Α ή x Β. Όμως Α Β επομέως x Β. Οπότε Α Β Β Α x Β τότε x Α Β. Οπότε Β Α Β Άρ Α Β=Β.. Α x Α Β τότε x Α κι x Β,άρ Α Β Α Α x Α τότε x Β άρ x Α Β οπότε Α Α Β Επομέως Α Β=Α 3. Α x Β x Β τότε x Ακθώς Α Β. Επομέως x Α,άρ Β Α. 1
6 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Τύποι De Morgan 1. ( Α Β ) =Α Β. ( Α Β ) =Α Β Α Β x Α Β επομέως x Α ή x Β οπότε 1. Α x x Α ή x Β άρ x Α Β. Άρ Α Β Α Β Α x Α Β x Α ή x Β x Αή x Β x Α Β x ( Α Β ). Άρ Α Β ( Α Β ). Επομέως. Α x Α Β =Α Β. Α Β x Α Β επομέως x Α κι x Β οπότε x Α κι x Β άρ x Α Β. Άρ ( Α Β) Α Β. Α x Α Β x Α κι x Β x Ακι x Β x Α Β x ( Α Β ).Άρ Α Β ( Α Β ).Επομέως Α Β =Α Β. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ ) Α x Α ( Β Γ ) τότε x Α κι x Β Γ.Επομέως: ( x Α κι x Β) ή ( x Α κι x Γ) οπότε x Α Β ή x Α Γάρ Α Β Γ Α Β Α Γ x ( Α Β) ( Α Γ ). Επομέως Α x ( Α Β) ( Α Γ ) τότε x Α Β ή x Α Γ, άρ ( x Α κι x Β) ή ( x Α κι x Γ) οπότε x Α κι x Β Γ. Άρ Α Β Α Γ Α Β Γ x Α ( Β Γ ), άρ Επομέως Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ ).
7 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου 0 P Α 1 Γι οποιοδήποτε εδεχόμεο Α εός δειγμτικού χώρου Ω είι: 0 Ν( Α) Ν( Ω ) οπότε 0 Ν Α Ν Ω Ν( Ω) Ν( Ω) Ν( Ω) άρ 0 P( Α) 1 P ( ) 1 P Α = Α κθώς Α Α = (1) της (1) Α x Α τότε x Α οπότε x Α Α Α x Α τότε x Α οπότε x Α Α Επομέως Α Α = P( Α Β ) = P( Α ) + P( Β) P( Α Β ) Είι Ν( Α ) = x+ y, Ν( Β ) = y+ z Ν( Α Β ) = y Ν( Α Β ) = x+ y+ z Επομέως Ν( Α Β ) =Ν( Α ) +Ν( Β) Ν( Α Β ) Ν Α Β Ν Α Ν Β Ν Α Β = + Ν Ω Ν Ω Ν Ω Ν Ω P( Α Β ) = P( Α ) + P( Β) P( Α Β ) 3
8 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου P Α Β P Α Β. Το τίστροφο δε ισχύει () της () Έστω Ω= { 1,,3, 4,5,6} κι τ εδεχόμε Α= { 1, } κι { 1,3,5} είι P( Α ) = κι P( Β ) =, οπότε έχουμε P( Α) P Β= γι τ οποί Β λλά Α Β. Τ εδεχόμε Α Β, Α Β είι συμβίβστ Α x Α Β τότε x Α κι x Β άρ x Α Β Α x Α Β τότε x Α κι x Β άρ x Α Β Επομέως ( Α Β) ( Α Β ) =. Α P P 1 Α + Β > τότε ΑΒδε, είι συμβίβστ Έστω ότι είι συμβίβστ. Τότε ισχύει P( Α Β ) = P( Α ) + P( Β) οπότε θ είι P( Α Β ) > 1, άτοπο φού 0 P( Α Β) 1. Επομέως τ ΑΒ, δε είι συμβίβστ. Α, Α, ΑΒ είι συμβίβστ τότε P( Α ) + P( Β) 1 ΑΒ είι συμβίβστ τότε ισχύει P P P Α Β = Α + Β. Όμως: 0 P( Α Β) 1 οπότε έχουμε: P( Α ) + P( Β) 1 4
9 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου 1. P( Α) P( Α Β ). P( Α Β) P( Α ) 1. Είι Α Α Β επομέως P( Α) P( Α Β ). Είι Α Β Α επομέως P( Α Β) P( Α ) 5
10 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Κεφάλιο ο Α γι τους πργμτικούς ριθμούς β, ισχύει = β τότε: = β κι 1 1 =, β, 0 β ( 1) ( 1) = β = β = β β, = β = β = β β β Α γι τους πργμτικούς ριθμούς βγδ,,, ισχύει = β κι γ = δ τότε: β =, γδ, 0 γ δ Είιγ = δ οπότε 1 = 1 κι = β. Πολλπλσιάζοτς κτά μέλη έχουμε γ δ 1 1 β γ = δ επομέως = β γ δ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς β, ισχύει β = 0 τότε: = 0 ή β = 0 Α 0 κι β 0 β = 0 = έχουμε: ( β ) = 0 β = 0 1 β = 0 6
11 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Γι τους πργμτικούς ριθμούς βγ,, με γ 0 ισχύει: = β γ = βγ γ = βγ γ βγ = 0 γ β = 0 β = 0 = β. γ 0 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς β, ισχύει β 0 τότε: 0 κι β 0 Έστω = 0 τότε β = 0 β = 0, άτοπο φού β 0. Όμοι β = 0. Επομέως 0 κι β 0 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς β, ισχύει = β τότε: = β κι = β, * = β = β β = β = β 7
12 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου = β = β. = β β β = β.. = β Ιδιότητες τω δυάμεω µ µ = +. = β µ = 3. µ β = β 5. µ β = 6. = β µ, µ θετικοί κέριοι 1.. = = = + µ µ µ + µ = = = µ µ µ µ µ β = β β β = β β β = β = = = β β β β β β β β µ µ 5. = = = = µ µ 6. Α 0, τότε ισχύει 1 =, οπότε έχουμε: β β = = = = = β β β β µ 8
13 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου 1. Α 0< < 1 κι µ < τότε: >, µ µ, *. Α > 1 κι µ < τότε: <, µ µ, * 1.. 0< < 1 0< < 1. µ.. 0< < 1 > 1 > 1. µ.. > 1 Πολλπλσιάζοτς: < 1 < 1 > µ µ µ Πολλπλσιάζοτς: > 1 > 1 < µ µ µ Ν τοποθετήσετε το τίστροφο εός πργμτικού ριθμού στο άξο τω πργμτικώ ριθμώ Α ο είι μηδέ δε έχει τίστροφο. Α =1 τότε ο τίστροφος του είι ο 1. Α =-1 τότε ο τίστροφος του είι ο -1. Οπότε πομέει εξετάσουμε τις περιπτώσεις όπου ο είι διάφορος τω -1,0,1. Δικρίουμε τις πρκάτω 4 περιπτώσεις: < 1 9
14 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Τότε ο είι ρητικός κι γι τους ομόσημους ριθμούς κι -1 ισχύει <-1 επομέως γι τους τίστροφους τους ισχύει 1 1 > 1 1 είι ρητικός τελικά ισχύει 1 1< < 0. 1< < 0 δηλδή 1 1 > κι φού ο Πάλι φού γι τους ομόσημους ριθμούς κι -1 ισχύει 1 < γι τους τίστροφους τους ισχύει 1 1 <. 0< < 1 Αφού γι τους θετικούς ριθμούς, 1 ισχύει < 1 γι τους τίστροφους τους θ ισχύει 1 1 >. >1 Ο θ είι θετικός. Γι τους θετικούς ριθμούς, 1 ισχύει > 1 επομέως γι τους τίστροφους τους ισχύει 1 1 < κι επειδή ο 1 είι θετικός θ είι 1 0< < 1. 10
15 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου (*) Η τομή δύο κλειστώ διστημάτω ( δε είι κεό σύολο) είι κλειστό διάστημ. Η τομή δύο οικτώ διστημάτω ( δε είι κεό σύολο) είι οικτό διάστημ. Κάουμε τη πόδειξη γι κλειστά διστήμτ. Με το ίδιο τρόπο γίετι γι οικτά. Έστω τ διστήμτ [ β, ] κι [, ] γδ. Αφού η τομή τους είι μη κεό σύολο θ έχει στοιχεί. Έστω x έ πό υτά. Το x θ πρέπει ήκει κι στ δύο x β γ x δ διστήμτ. Επομέως θ ισχύει κι. Ο x θ είι μεγλύτερος ή ίσος κι πό το κι πό το γ επομέως κι πό το πιο μεγάλο πό τους ριθμούς, γ ς το οομάσουμε m ( είι =γ τότε ο m είι ές οποιοσδήποτε πό τους, γ). Δηλδή m x. Επίσης ο x θ είι μικρότερος ή ίσος κι πό το β κι πό το δ επομέως κι πό το πιο μικρό πό τους ριθμούς β, δ ς το οομάσουμε Μ ( είι β=δ τότε ο m είι ές οποιοσδήποτε πό τους β, δ). Δηλδή x M. Άρ m x M. Ο m είι κάποιος πό τους,γ άρ είι μικρότερος του β ή του δ κι επομέως είι μικρότερος πό το πιο μεγάλο πό τους β,δ που είι ο Μ. Δηλδή m<m κι ορίζετι το διάστημ [ mm, ] Τότε η σχέση m x M μς πληροφορεί ότι x [ mm, ]. Μέχρι στιγμής ξέρουμε ότι κάθε στοιχείο της τομής τω δύο διστημάτω ήκει στο διάστημ [ mm, ]. Αλλά κι τιστρόφως κάθε στοιχείο y του διστήμτος [ mm, ] έχει τη ιδιότητ m y M άρ y γ y y β y δ 11
16 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Η πρώτη κι η τρίτη σχέση μς εξσφλίζου ότι y [ β, ] τέτρτη ότι y [ γδ, ] τομή τους. εώ η δεύτερη κι η. Άρ το y ήκει κι στ δύο διστήμτ επομέως κι στη Επομέως η τομή τω [ β, ] κι [ γδ, ] κι το διάστημ [, ] τομή είι διάστημ. mm συμπίπτου. Άρ η Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, 1< < 1 < 1 β < 1 β < 1 1< β < 1 1< β < 1 β < 1 β ισχύει β, ( 1,1) τότε β ( 1,1) Γι τους πργμτικούς ριθμούς β, ισχύει: 1. Α β, ομόσημοι ριθμοί, τότε. + β β, γι κάθε β, 1 1 < β > β 3.Α > 0, τότε κι < 0, τότε + 1. Αφού, β είι ομόσημοι ριθμοί έχουμε β > 0. Επομέως ισχύει: β < β < < >. β β β β. Έχουμε: β β β β β 3. Έχουμε: , που ισχύει 1
17 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου , που ισχύει. Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει: Α 0 τότε = κι < Α < 0 τότε = ή = κι <. Επομέως σε κάθε περίπτωση ισχύει Γι τους πργμτικούς ριθμούς β, ισχύει: 1. + β = + β β 0. ± β + β, γι κάθε β, 3. β ± β γι κάθε β, 1. β β β β + = + + = + + β + β = + β + β β. β β β β + β = + β + β = β β = β β ( β) + β + β β + β + β + β β κάθε β,. Το + β προκύπτει θέσουμε όπου β το β. β β β που ισχύει γι 13
18 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου 3. β β β β + + ( β ) ( + β) β + β + β + β β β β β που ισχύει γι κάθε β,. Το + β προκύπτει θέσουμε όπου β το β. Γι τους πργμτικούς ριθμούς βγ,, ισχύει: ( β, ) ( γ, ) + ( βγ, ) d d d (, β) = β = γ + γ β = ( γ) ( β γ) γ + β γ (, γ) + ( β, γ) d d d Θέτω 3 Έχουμε: Γι τους μη ρητικούς ριθμούς β, ισχύει: = x κι 3 β = y οπότε είι x 0 κι y 0 (1) + β = + β x + y = x + 3x y + 3xy + y xy ( x y) + β = + β β = x + y = x+ y x 3 + y 3 = ( x+ y) = 0 x = 0 ή y = 0ή x+ y = 0 πό το οποίο προκύπτει x= y = 0 εξ ιτίς της (1). Επομέως xy = 0 οπότε β = 0. Έστω βγδ,,, Πότε ισχύει: + β = γ + δ ; + β = γ + δ β δ = γ ( β δ) = γ γ Α β δ έχουμε: = πό το οποίο προκύπτει ότι ο β δ είι ρητός, άτοπο 14
19 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Α β = δ έχουμε: 0 = γ γ =. Άρ ισχύει ότ = γ κι β = δ. Γι τους θετικούς ριθμούς β, ισχύει: + < + β β + < + ( + β ) < ( + β )... β β + β < + β + β + β + β β < + β + + β + β ( ) β ( β ) < που ισχύει γι κάθε > 0, β > 0. Γι κάθε μη ρητικό πργμτικό κι, µ φυσικούς ριθμούς ισχύει: 1. < 1 < 1 > 1 > 1 = 1 = 1. Γι > 1 : Γι < 1 : µ < > µ µ < < µ 1. < 1 < 1 < 1 > 1 > 1 > 1 = 1 = 1 = 1. Γι 1 µ µ µ µ > : < ( ) < ( ) 15 µ < µ <
20 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Γι 1 µ µ µ µ < : < ( ) < ( ) µ < µ > Γι κάθε θετικό πργμτικό κι φυσικό ριθμό ισχύει: 1. < > 1. > < 1 1 < < < 1< > > > > 1 1 > < 1 16
21 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Κεφάλιο 3 ο Α μι εξίσωση πρώτου βθμού έχει δύο άισες ρίζες, τότε ληθεύει γι κάθε x Έστω x1, x ρίζες της εξίσωσης x + β = 0 με x1 x. x Τότε: x 1 + β = 0 β 0 φιρώτς έχουμε: x1 x ( x1 x) + = = 0 = 0 = 0, φού x1 x 0. Επομέως 0x1 + β = 0 β = 0, οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή 0 x = 0 κι ληθεύει γι κάθε x. Σε κάθε εξίσωση x + βx+ γ = 0, 0 με ρίζες x1, x, ισχύου: 1. x1 x =. 1 = 4 x x S P β + β β + + β + x x = = = = β 4γ β 4γ β 4γ 1 x x = = = = = = S 4P 17
22 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Α στη εξίσωση x + βx+ γ = 0, 0 είι > 0, γ < 0 τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άισες. > 0 γ < γ > β γ > β β γ > γ < 0 > 0 άρ η εξίσωση έχει δύο ρίζες άισες δηλδή Άθροισμ κι γιόμεο ριζώ ότ 0 β S = x1+ x = γ P= x1 x = x x + β + γ = 0 x Sx + P = 0 x ( x1 x) x x1 x + + = 0 Πρόσημο ριζώ ετερόσημες ρίζες P < 0 > 0 άισες θετικές P > 0 S > 0 = 0 ίσες θετικές P > 0 S > 0 > 0 άισες ρητικές P > 0 S < 0 = 0 ίσες ρητικές P > 0 S < 0 > 0 Ρίζες τίθετες P < 0 S = 0 0 Ρίζες τίστροφες P = 1 18
23 Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Κεφάλιο 4 ο Πρόσημο f x = x+ β, 0 β x >, > 0 f ( x) > 0 x+ β > 0 x> β β x <, < 0 Όμοι γι f ( x ) < 0. Επομέως: Πρόσημο τριωύμου > 0 f x = x + βx+ γ, 0 = 0 < 0 19
ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ
Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο
Διαβάστε περισσότεραπ.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι
Διαβάστε περισσότεραΠ ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας.
Π ρ ό λ ο γ ο ς Το ιλίο υτό γράφτηκε με στόχο τη πληρέστερη προετοιμσί τω μθητώ μς. Περιέχει συοπτική θεωρί,πρωτότυπες σκήσεις λλά κι θέμτ εξετάσεω τω τελευτίω ετώ του σχολείου μς. Ελπίζουμε ποτελέσει
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια
Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως
Διαβάστε περισσότεραΠαρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Τι οομάζετι πληθυσμός μις σττιστικής έρευς; Οομάζετι το σύολο τω τικειμέω (έμψυχω ή άψυχω γι τ οποί συλλέγοτι στοιχεί.. Τι οομάζετι άτομο
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία της Α Λυκείου
Η θεωρί της Α Λυκείου Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης
Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης Σελίδ πό 3 Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με
Διαβάστε περισσότεραα β α < β ν θετικός ακέραιος.
Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους
Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,
Διαβάστε περισσότερα1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις.
o ΓΕΛ Λιδειάς Μθημτικά Προστολισμού Ορισμοί Θεωρήμτ- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηείες- Σχόλι Ατιπρδείγμτ - Πρτηρήσεις* ΟΡΙΣΜΟΣ ος πργμτική συάρτησησελ5 Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:
Κεφάλιο ο Ερωτήσεις Κτόησης Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) είι σωστές ή με (Λ) είι λθσμέες: ) Γι κάθε ριθμό ισχύει + + + 4 β) Γι κάθε ριθμό ισχύει 4 γ) Οι ριθμοί (-) 6 κι - 6 είι τίθετοι δ)
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότεραQwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :
Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi
Διαβάστε περισσότεραΛογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx
Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. Παράγραφος 1.1. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιο πείραμα τύχης;
ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Πράγρφος 1.1 Ποιο πείρμ λέγετι ιτιοκρτικό κι ποιο πείρμ τύχης; Τι οομάζουμε χώρο εός πειράμτος τύχης; Τι λέμε εδεχόμεο εός πειράμτος τύχης; Ποιο εδεχόμεο λέγετι πλό κι ποιο σύθετο;
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, τοποθετημέους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ λέγετι πίκς διάστσης μ Οι ριθμοί ij λέγοτι στοιχεί του πίκ Α Ο πίκς Α μπορεί συμολιστεί ως Α[ [
Διαβάστε περισσότεραΓ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλει: Οµάδ Μθηµτικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρ, 7 Μ ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, β]. Α G είι μι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου
Μθημτιά Α Λυείου Μθημτιά γι τη Α τάξη του Λυείου Α Νιοστή ρίζ πργμτιού ριθμού. Κρδμίτσης Σπύρος ΟΡΙΣΜΟΣ Η ιοστή ρίζ θετιός έριος εός μη ρητιού ριθμού συμολίζετι με ι είι ο μη ρητιός ριθμός που ότ υψωθεί
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;
ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ
ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ. Ν χρκτηρίσετε κθεµιά πό τις πρκάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Αν 0 κι > 0 τότε + > 0. Αν > > 0 τότε ² - ² > 0 γ. Αν τότε > 0 δ. Αν = τότε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι
Διαβάστε περισσότερα! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :
Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου,
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ποιο είι το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το
Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι
Διαβάστε περισσότερα+ 4 µε x >0. x = f(x) f(t) dt. Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim f(t) dt = 4.
993 ΘΕΜΑΤΑ. ίετι η συάρτηση f() = + + µε >. ) Ν εξετάσετε τη µοοτοί της συάρτησης f. β) Ν υπολογίσετε το lim f(t) dt. + + ) Έχουµε f () = () + ( + ) ( + ) + = + (+ ) ( + ) = - 3 + + = - 3 . + +
Διαβάστε περισσότεραΟρισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου
Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ατί προλόγου: Το προτειόμεο Κριτήριο Αξιολόγησης δε φέρετι στη θεωρί που πιτείτι στο ο κι ο θέμ, λλά φορού τ θέμτ διβθμισμέης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ
Διαβάστε περισσότεραΟρισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ
Διαβάστε περισσότεραΔ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Όλη η θεωρί γι τις πελλήιες Εξετάσεις Κ Κρτάλη 28 με Δημητριάδος Τηλ 242 32 598 Περιεχόμε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνί: Σάββτο 7 Ινουρίου 07 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Ν συµπληρώσετε τους τύπους: i. ii....,... =...,... β
Διαβάστε περισσότεραΕπομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.
Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις
Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς
Διαβάστε περισσότεραα+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Τι οοµάζουµε µιγδικό ριθµό Μιγδικός ριθµός είι κάθε ριθµός που έχει τη µορφή + i, όπου, R κι i Τι λέγετι πργµτικό κι τι φτστικό
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΚ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Η Έοι του Ορίου Ορισμός Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε:
Διαβάστε περισσότεραΤ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ
Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή
Διαβάστε περισσότερα1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ
0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΝΑΜΕΙΣ Α είι ές πργτικός ριθός κι ές φυσικός εγλύτερος
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότερα1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ
Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το
Διαβάστε περισσότερα1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήμ 4 έχουμε τη γρφιή πράστση μις συάρτησης οτά στο Πρτηρούμε ότι, θώς το ιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτιό ριθμό, οι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0
Διαβάστε περισσότεραΕπανάληψη Τελευταίας Στιγμής
Επάληψη Τελευτίς Στιγμής kanellopoulos@otmailcom 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Ορισμοί εοιώ & Θεωρήμτ χωρίς πόδειξη Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι
Διαβάστε περισσότεραΊσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι
Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»
Διαβάστε περισσότερα1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]
Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ
Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Το σύολο C τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού
Διαβάστε περισσότεραΓ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.
Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R
64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι
Διαβάστε περισσότερα, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως:
ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Γωρίζουµε ότι η δευτεροάθµι εξίσωση µε ρητική δικρίουσ δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ Ειδικότερ η εξίσωση = δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ, φού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.
5-6 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ http://cutemathswordpresscom/ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7
Μθηµτικά Ι Σείδ πό 7 Μάθηµ ο ΠΙΝΑΚΕΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρί : Γρµµική Άγερ : εδάφι κι, σε -7 Τ πρδείγµτ που τιστοιχού στη ύη έχου διδχθεί Ασκήσεις :, σε 3 ; 3, 4, 5, 6, 7, 8, σε 7 κι, σε 8 Λυµέες Ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΟρισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία
Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί
Διαβάστε περισσότερα1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ
355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότερα[ ] ( ) [( ) ] ( ) υ
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ) Α Θέτω στη συάρτηση ι οπότε έχω () ( ) Η εξίσωση γίετι η Α η Α δε ισχύει η Α ι ( ) ( ) ( ) τότε ( ) [ ] ( ) Διρίω τις περιπτώσεις άρ δε ισχύει τότε ( ) άρ
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών
Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του
Διαβάστε περισσότερα1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες
Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ
355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ
Διαβάστε περισσότεραAΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου
Διαβάστε περισσότερα1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών
Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις
Διαβάστε περισσότεραΙ δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους
0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.
Διαβάστε περισσότερα