ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

Transcript

1 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ άλλο Προιμί.

2 356 ΕΡΡΩΤΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΗ ΤΤΗΣ Β ΤΤΑΞΗΣ Κεφάλιο Τι οομάζετι πόλυτη τιμή ρητού ριθμού; Οομάζετι πόλυτη τιμή ρητού ριθμού η πόστση του σημείου που πριστάει το ριθμό πά στο άξο τ ρητώ πό τη ρχή Ο.. Ποιοι ριθμοί οομάζοτι τίθετοι; Ατίθετοι ριθμοί οομάζοτι οι ριθμοί που έχου τη ίδι πόλυτη τιμή κι διφορετικό πρόσημο Ποιες είι οι ιδιότητες της πρόσθεσης τ ρητώ; I. + ( ) = 0 ( Δύο τίθετοι έχου άθροισμ μηδέ ) II. + 0 = ( Το μηδέ είι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης) III. + = + (Ατιμετθετική ιδιότητ της πρόσθεσης) IV. ( + ) + γ = + ( + γ ) (Προσετιριστική ιδιότητ της πρόσθεσης) Πς ορίζετι η διφορά του ρητού πό το ρητό ; = + ( ) Πς πλείφουμε πρεθέσεις; Ότ μι πρέθεση έχει μπροστά της το πρόσημο ( + ) ή δε έχει πρόσημο μπορούμε τη πλείψουμε μζί με το + ( έχει) κι γράψουμε τους όρους που περιέχει με τ πρόσημ τους. Ότ μι πρέθεση έχει μπροστά της το πρόσημο ( ) μπορούμε τη πλείψουμε μζί με το κι γράψουμε τους όρους που περιέχει με λλγμέ τ πρόσημ τους Πς πολλπλσιάζουμε ομόσημους κι πς ετερόσημους ρητούς; ι πολλπλσιάσουμε δύο ομόσημους ρητούς πολλπλσιάζουμε τις πόλυτες τιμές τους κι στο γιόμεο υτό άζουμε το πρόσημο ( + ) ι πολλπλσιάσουμε δύο ετερόσημους ρητούς πολλπλσιάζουμε τις πόλυτες τιμές τους κι στο γιόμεο υτό άζουμε το πρόσημο ( ) 7. Ποιες είι οι ιδιότητες του πολλπλσισμού τ ρητώ;

3 357 = ( Ατιμετθετική ιδιότητ του πολλπλσισμού ) 0 = 0 ( Το μηδέ είι το πορροφητικό στοιχείο του πολλπλσισμού ) 1 = ( Το 1 είι ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού ) ( ) γ = ( γ) (Προσετιριστική ιδιότητ του πολλπλσισμού) 8. Πότε δύο ριθμοί λέγοτι τίστροφοι; Λέγοτι τίστροφοι δύο ριθμοί που έχου γιόμεο ίσο με Το μηδέ έχει τίστροφο; ( Αιτιολόγηση) Το μηδέ δε έχει τίστροφο διότι γι κάθε ριθμό χ είι 0 χ = 0 κι όχι Πς υπολογίζουμε το γιόμεο πολλώ πργότ ; ι υπολογίσουμε έ γιόμεο πολλώ πργότ διφόρ του μηδεός πολλπλσιάζουμε τις πόλυτες τιμές τ πργότ κι στο γιόμεο υτό άζουμε: το πρόσημο ( + ) το πλήθος τ ρητικώ πργότ είι άρτιο, το πρόσημο ( ) το πλήθος τ ρητικώ πργότ είι περιττό. Α έστ κι ές πό τους πράγοτες είι μηδέ, τότε το γιόμεο είι ίσο με το μηδέ Τι οομάζετι λόγος του ριθμού ς προς το ριθμό ; Λόγος του ριθμού ς προς το ριθμό λέγετι το πηλίκο :. 1. Πς ορίζετι η διίρεση του ρητού με το ρητό ; ι διιρέσουμε δύο ρητούς ριθμούς, ρκεί πολλπλσιάσουμε το διιρετέο με το τίστροφο του διιρέτη Δηλδή = 1, ( 0 ) Τι οομάζουμε δύμη με άση το ρητό κι εκθέτη το φυσικό >1; Οομάζουμε δύμη με άση το ρητό κι εκθέτη το φυσικό >1 το γιόμεο πό πράγοτες ίσους με. 14. Ποιες είι οι ιδιότητες τ δυάμε με άση το ρητό κι εκθέτη το φυσικό >1 ; i. μ = μ + ii. μ : = μ iii. ( μ ) = μ iv. = () v =

4 Πς ορίζετι η δύμη με άση το ρητό κι εκθέτη a) Το μηδέ b) Αρητικό κέριο a. 0 = 1 1 b. - = 16. Ποιες είι οι ιδιότητες τ δυάμε με άση το ρητό κι εκθέτη κέριο; Οι ιδιότητες τ δυάμε με άση το ρητό κι εκθέτη κέριο είι : i. Δύμη με άση θετικό ριθμό είι θετικός ριθμός. ii. Δύμη με άση ρητικό ριθμό κι εκθέτη άρτιο είι θετικός ριθμός. iii. Δύμη με άση ρητικό ριθμό κι εκθέτη περιττό είι ρητικός ριθμός. iv. μ = μ + v. μ : = μ vi. ( μ ) = μ vii. = () viii. = ix. = Κεφάλιο Τι οομάζουμε: i. εξίσση; ii. πρώτο κι δεύτερο μέλος μις εξίσσης; iii. γστούς κι άγστους όρους μις εξίσσης; iv. λύση ( ή ρίζ) μις εξίσσης; v. επίλυση μις εξίσσης; i. Οομάζουμε εξίσση μι ισότητ που περιέχει έ άγστο κι μπορεί επληθευτεί ότ ο άγστος πάρει μι κτάλληλη τιμή. ii. Οομάζουμε πρώτο μέλος της εξίσσης το μέρος της που ρίσκετι ριστερά του ίσο κι δεύτερο μέλος της εξίσσης το μέρος της που ρίσκετι δεξιά του ίσο. iii. Οομάζουμε γστούς όρους μις εξίσσης τους όρους που δε περιέχου το άγστο κι άγστους όρους υτούς που το περιέχου. iv. Οομάζουμε λύση ( ή ρίζ) μις εξίσσης τη τιμή του γώστου που επληθεύει τη εξίσση.

5 359 v. Οομάζουμε επίλυση μις εξίσσης τη διδικσί που κάουμε γι ρούμε τη λύση (ρίζ) της. 18. Πότε μι εξίσση λέγετι δύτη κι πότε όριστη; Μι εξίσση λέγετι δύτη ότ η τελική μορφή της είι 0 χ = ( 0) Μι εξίσση λέγετι όριστη ( η τυτότητ) ότ η τελική μορφή της είι 0 χ = Τι οομάζουμε ίσση κι τι λύσεις της ίσσης; Οομάζουμε ίσση μι ισότητ που περιέχει μι μετλητή κι επληθεύετε γι έ σύολο τιμώ της μετλητής υτής. Οομάζουμε λύσεις της ίσσης τις τιμές της μετλητής που επληθεύου τη ίσση. 0. Ποιες είι οι ιδιότητες τ ισοτήτ; Α κι στ δύο μέλη μις ισότητς προσθέσουμε ή φιρέσουμε το ίδιο ριθμό προκύπτει ισότητ ίδις φοράς με τη ρχική. κι τ δύο μέλη μις ισότητς τ πολλπλσιάσουμε ή τ διιρέσουμε με το ίδιο θετικό ριθμό προκύπτει ισότητ ίδις φοράς με τη ρχική. Α κι τ δύο μέλη μις ισότητς τ πολλπλσιάσουμε ή τ διιρέσουμε με το ίδιο ρητικό ριθμό προκύπτει ισότητ τίθετης φοράς με τη ρχική. Κεφάλιο Τι λέει το Πυθγόρειο θεώρημ κι τι το τίστροφο του; Το τετράγο της υποτείουσς εός ορθογίου τριγώου είι ίσο με το άθροισμ τ τετργώ τ δύο κθέτ πλευρώ του. Ότ το τετράγο της μεγλύτερης πλευράς τριγώου είι ίσο με το άθροισμ τ τετργώ τ δύο άλλ πλευρώ του τότε η γί που ρίσκετι πέτι πό τη μεγλύτερη πλευρά είι ορθή.. Τι οομάζετι τετργική ρίζ θετικού ριθμού κι ποιες οι ιδιότητες της; Οομάζετι τετργική ρίζ εός θετικού ριθμού ές θετικός ριθμός χ που ότ υψθεί στο τετράγο μς δίει το ριθμό Δηλδή: Οι ιδιότητες της είι: = χ χ = i. 0 = 0 ii. iii. = ( > 0) = iv. = (, > 0)

6 Τι οομάζετι ορθοκοικό σύστημ ξό ( Σύστημ ορθογί ξό ) κι τι συτετγμέες( τετμημέη, τετγμέη) σημείου; Οομάζετι ορθοκοικό σύστημ ξό (Σύστημ ορθογί ξό) έ σύστημ πό δύο κάθετους άξοες με κοιή ρχή στους οποίους οι μοάδες έχου το ίδιο μήκος. Οομάζοτι συτετγμέες ( τετμημέη, τετγμέη ) σημείου έ μοδικό γι κάθε σημείο ζευγάρι ριθμώ (, ) που τιστοιχίζετι στο σημείο κι μς επιτρέπει προσδιορίσουμε τη θέση του στο επίπεδο που είι εφοδισμέο με έ ορθοκοικό σύστημ - ξό. Το οομάζετι τετμημέη κι το τετγμέη του σημείου. 4. Τι γρίζετε γι τις συτετγμέες τ σημεί τ ξό χ χ κι ψ ψ σ έ ορθοκοικό σύστημ; Τ σημεί του χ χ έχου τετγμέη μηδέ κι τ σημεί του ψ ψ έχου τετμημέη μηδέ. 5. Τι οομάζουμε τετρτημόρι; Τετρτημόρι οομάζουμε τις 4 γίες που έ ορθοκοικό σύστημ ξό χρίζει το επίπεδο. Κεφάλιο Τι οομάζουμε λόγο δύο ευθυγράμμ τμημάτ; Οομάζουμε λόγο δύο ευθυγράμμ τμημάτ το λόγο τ μηκώ τους Τι οομάζετι εφπτομέη οξείς γίς ορθογίου τριγώου κι πς μετάλλετι υτή ότ μετάλλετι η γί;( Ν ιτιολογήσετε τη πάτηση σς ) Οομάζετι εφπτομέη οξείς γίς ορθογίου τριγώου ο λόγος της πέτι στη ο- ξεί κάθετης πλευράς προς τη προσκείμεη στη οξεί κάθετη πλευρά. Ότ υξάετι μι οξεί γί υξάετι κι η εφπτομέη της. Αιτιολόγηση Ζ Στ ορθογώι τρίγ ΑΟΒ, ΑΟ, ΑΟΔ, ΑΟΕ, ΑΟΖ (Α = 90 ) έχουμε: ΑΒ ΑΟ < Α ΑΟ < ΑΔ ΑΟ < ΑΕ ΑΟ < ΑΖ ΑΟ εφαοβ < εφ ΑΟ < εφαοδ < εφαοε< εφαοζ Ο Ε Δ

7 Τι οομάζετι ημίτοο οξείς γίς ορθογίου τριγώου κι πς μετάλλετι υτό; ( Ν ιτιολογήσετε τη πάτηση σς ) Οομάζετι ημίτοο οξείς γίς ορθογίου τριγώου ο λόγος της πέτι στη οξεί κάθετης πλευράς προς τη υποτείουσ. Ότ υξάετι μι οξεί γί υξάετι κι το ημίτοο της. Αιτιολόγηση Στ ορθογώι τρίγ που έχουμε στο σχήμ είι ημεοβ = ΕΒ ΟΒ, ημζο = Ζ Ο, ΗΔ ημηοδ = ΟΔ Επειδή ΟΒ = Ο = ΟΔ = R κι ΕΒ< Ζ< ΗΔ θ είι ΕΒ ΟΒ < Ζ Ο < ΗΔ ΟΔ Τι οομάζετι συημίτοο οξείς γίς ορθογίου τριγώου κι πς μετάλλετι υτό; ( Ν ιτιολογήσετε τη πάτηση σς ) Οομάζετι συημίτοο οξείς γίς ορθογίου τριγώου ο λόγος της προσκείμεης στη οξεί κάθετης πλευράς προς τη υποτείουσ. Ότ υξάετι μι οξεί γί ελττώετι το συημίτοο της. Αιτιολόγηση Στ ορθογώι τρίγ που έχουμε στο σχήμ είι συεοβ = OE ΟΖ ΟΗ, συζο =, συηοδ = O Ο ΟΔ Επειδή ΟΒ = Ο = ΟΔ = R κι ΟΕ > ΟΖ > ΟΗ θ είι OE O > ΟΖ Ο > ΟΗ ΟΔ Άρ συεοβ > συζο > συηοδ 30. Ν δείξετε ότι σε κάθε ορθογώιο τρίγο ΑΒ ( = 90 ) R R Ο R R Ο Δ Η R R Δ Η Ζ R R Ζ Ε Ε a) ημ + συ = 1 b) εφ = ημβ Αιτιολόγηση συβ a) ημ Β + συ Β = b) ημβ συβ = γ γ + = = γ = γ = εφβ + γ = + γ = 1 γ

8 Πς υπολογίζουμε τους τριγομετρικούς ριθμούς τ ; Υπολογισμός τ τριγομετρικώ ριθμώ τ Κτσκευάζουμε ισόπλευρο τρίγο ΑΒ με ΑΒ = Β = Α =. Φέρουμε το ύψος ΑΔ που είι διάμεσος (ΒΔ = Δ = 1) κι διχοτόμος της Α οπότε ΒΑΔ = ΑΔ = 30 Στο τρίγο ΑΒΔ( Δ = 90 ) έχουμε: Δ = Δ Δ = 1 Δ = 3 Δ = 3 ημ30 = 1, συ30 = 3, εφ30 = 1 3 = Δ 1 ημ60 = 3, συ 60 = 1, εφ30 = 3 1 = 3 Υπολογισμός τ τριγομετρικώ ριθμώ τ 45 Κτσκευάζουμε ορθογώιο κι ισοσκελές τρίγο ΑΒ με ( Α = 90 ), ΑΒ = Α = 1 τότε Β = ΑΒ + Α Β = Β = Β = 1 45 ημ 45 = συ 45 = 1 =, 1 = 1 45 εφ45 = 1 1 = 1 Κεφάλιο Τι οομάζετι επίκετρη γί κι τι τίστοιχο τόξο της; Οομάζετι επίκετρη γί η γί που έχει τη κορυφή της στο κέτρο του κύκλου. Οομάζετι τίστοιχο τόξο επίκετρης γίς το τόξο που περιέχετι στις πλευρές της. ( Λέμε κόμη ότι η γί ίει στο τόξο υτό) 33. Ποιες προτάσεις ισχύου γι τις επίκετρες γίες; i. Σε ίσους κύκλους ή στο ίδιο κύκλο ii. Ίσες επίκετρες γίες έχου ίσ κι τ τίστοιχ τόξ. iii. Ίσ τόξ έχου ίσες κι τις τίστοιχες χορδές τους.

9 Τι οομάζετι εγγεγρμμέη γί κι τι τίστοιχο τόξο της; Οομάζετι εγγεγρμμέη γί η γί που η κορυφή της είι σημείο του κύκλου κι οι πλευρές της τέμου το κύκλο. Οομάζετι τίστοιχο τόξο εγγεγρμμέης γίς το τόξο που περιέχετι στις πλευρές της. ( Λέμε κόμη ότι η γί ίει στο τόξο υτό) 35. Ποιες προτάσεις ισχύου γι τις εγγεγρμμέες γίες; Κάθε εγγεγρμμέη γί είι ίση με το μισό της επίκετρης γίς που έχει το ίδιο με υτή τίστοιχο τόξο. Κάθε εγγεγρμμέη γί σε μοίρες είι ίση με το μισό του τίστοιχου τόξου της. Εγγεγρμμέες γίες που ίου στο ίδιο τόξο είι ίσες. Κάθε εγγεγρμμέη γί που ίει σε ημικύκλιο είι ορθή. 36. Α η πλευρά μις εγγεγρμμέης γίς διέρχετι πό το κέτρο του κύκλου δείξετε ότι η εγγεγρμμέη υτή ισούτι με το μισό της επίκετρης που έχει το ίδιο με υτή - τίστοιχο τόξο. Απόδειξη Οι ΟΒ κι Ο είι ίσες σ κτίες του κύκλου κι επομές το τρίγο ΟΒ είι ισοσκελές. Οι γίες όμς στη άση ισοσκελούς τριγώου είι ίσες άρ έχουμε Β = ( 1 ) ρ Η ΑΟΒ είι εξτερική στο τρίγο ΟΒ κι Ο ρ ρ επομές θ είι, ΑΟΒ = Β + ΑΟΒ = = 1 ΑΟΒ Τι οομάζετι: i. κοικό πολύγο; ii. περιγεγρμμέος κύκλος κοικού πολυγώου; iii. κέτρο κοικού πολυγώου; iv. κετρική γί κοικού πολυγώου; v. πόστημ κοικού πολυγώου;

10 364 i. Οομάζετι κοικό πολύγο το πολύγο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες κι όλες τις γίες του ίσες. ii. Οομάζετι περιγεγρμμέος κύκλος κοικού πολυγώου ο κύκλος που περά π ό- λες τις κορυφές του. iii. Οομάζετι κέτρο κοικού πολυγώου το κέτρο του περιγεγρμμέου του κύκλου. iv. Οομάζετι κετρική γί κοικού πολυγώου ( - γώου ) κάθε μι πό τις ίσες επίκετρες γίες ( ) με τις οποίες χρίζουμε το περιγεγρμμέο στο πολύγο κύκλο. v. Οομάζετι πόστημ κοικού πολυγώου η πόστση του κέτρου του πό τη 8.4 πλευρά του. 38. Ν υπολογιστεί η πλευρά η περίμετρος κι το πόστημ κοικού πολυγώου συρτήσει της κτίς ρ του περιγεγρμμέου κύκλου κι της κετρικής του γίς. Υπολογισμός Έστ η κετρική γί λ η πλευρά Τ η περίμετρος κι το πόστημ κοικού - γώου. Στο τρίγο ΑΟΗ ( Η = 90 ) έχουμε : ημ = λ ρ ημ = λ ρ λ = ρημ ή λ = Άρ Τ = δημ δημ ρ λ Ο Η λ ρ συ = ρ = ρσυ Ποιοι οι τύποι που μς δίου το μήκος ( ) του κύκλου κι το εμδό του κυκλικού δίσκου ( Ε ); = πρ ή = δπ Ε = πρ 8.7 ή Ε = π δ 40. Τι οομάζουμε κτίιο (rad) 4 Σε κύκλο (Ο, ρ ) οομάζουμε κτίιο (rad) το τόξο που έχει μήκος ίσο με τη κτί ρ.

11 Ποι σχέση συδέει το μέτρο εός τόξου σε μοίρες ( μ ) κι το μέτρο του ίδιου τόξου σε κτίι ( r ); μ 180 = π ( 1 ) 4. Ν υπολογιστεί το μήκος S εός τόξου μετρημέο ) σε μοίρες ) σε κτίι Το τόξο 360 έχει μήκος πρ Το τόξο μ έχει μήκος S Υπολογισμός ) Τ ποσά είι άλογ κι επομές έχουμε : μ 360 = S πρ ή S = πρμ 180 ( ) ) έχουμε δείξει ότι S = πρμ 180 κι κόμη πό ( 1 ) μ 180 = π άρ S = πρ π S = ρ ( 3 ) Τι οομάζετι κυκλικός τομές ; Οομάζετι κυκλικός τομές το μέρος του κυκλικού δίσκου που περικλείετε πό μι επίκετρη γί του κι το τίστοιχο της τόξο. 44. Ν υπολογιστεί το εμδό κυκλικού τομέ ε επίκετρης γίς ( μ ) Υπολογισμός Ο κυκλικός τομές που τιστοιχεί σε επίκετρη γί 360 έχει εμδό πρ Ο κυκλικός τομές που τιστοιχεί σε επίκετρη γί μ έχει εμδό ε ε πρ Τ ποσά είι άλογ κι επομές έχουμε : = μ 360 ε = ε = πρμ 180 ε = ρs ( 4 ) ( S το μήκος του τόξου) πρ μ Ν υπολογιστεί το εμδό κυκλικού τομέ επίκετρης γίς ( r ) έχουμε δείξει ότι : το μήκος S του τόξου που τιστοιχεί σε επίκετρη γί r είι S = ρ ( i ) ο κυκλικός τομές που τιστοιχεί σε τόξο μήκους S έχει εμδό που δίδετι πό το τύπο ε = ρs ( ii ) ( S το μήκος του τόξου) Έτσι ότ η επίκετρη γί είι r πό ( i ) κι ( ii ) ε = ρ