ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

Transcript

1 ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή - κι είι ή -. Τι είι το, - ; Το, - δε είι ριθµός λλά σύµολο κι δηλώει τη έοι του πολύ µεγάλου ριθµού ή του πολύ µικρού ριθµού. Το R = (, - ) δε περιέχει τ σύµολ υτά λλά υπάρχει το R = R - {, - } (R συµπγές). Τι οοµάζουµε γειτοιά ή περιοχή του ; Κάθε διάστηµ της µορφής (, ) (,) ή (, ) ή (,) ή (,) µε (,) (δηλ. εσωτερικό) θ κλείτι γειτοιά του. Τι οοµάζουµε γειτοιά του, - ; Κάθε διάστηµ της µορφής (, ) ή (-, ) θ λέγετι γειτοιά του, - τίστοιχ. Τι είι το όριο στο ; Η έοι του ορίου είι θεµελιώδους σηµσίς γι τη Αάλυση κι ορίζετι µε υστηρά µθηµτικό τρόπο (λ. ιλίο). Μι διισθητική όµως πόδοση θ µς οηθήσει τη κτοήσουµε κι τη επεξεργστούµε. Γι το λόγο υτό θ χρησιµοποιήσουµε έ πράδειγµ. ίετι η συάρτηση f() = µε Af = (-,2) (2, ). Ο τύπος της f µε κτάλληλες πράξεις (πλοποίηση) γίετι f() = 2 κι η γρφική πράστση της θ είι Ψ 4 2 O 2 C f Χ Πρτηρούµε τ εξής :

2 ) Μπορούµε πάρουµε τιµές γι τη εξάρτητη µετλητή όσο κοτά θέλουµε στο 2, όχι όµως το 2, κι υπολογίσουµε τ τίστοιχ ψ.,9,99,999, , ,0 2,00 2,000 2,0... 0, ψ 3,9 3,99 3,999 3,9999 3, ,0 4,00 4,000 4,0... 0, Το συµπέρσµ που όλοι µπορούµε δούµε είι ότι πό κάποι στιγµή κι έπειτ όπου ρεθούµε πολύ κοτά στο 2. Τότε η τιµή της συάρτησης ρίσκετι πολύ κοτά στο 4. Αυτό λοιπό θ το γράφουµε lim f( ) = 4. Το όριο λοιπό είι µι προσέγγιση η οποί όµως δε µπορεί ρεθεί πάτ. 2 Πότε έ όριο υπάρχει κι πότε δε υπάρχει ; Τ προλήµτ που τιµετωπίζουµε είι δύο : ) Ν υπάρχει η δυτότητ κιηθούµε στη γειτοιά του µε οποιοδήποτε τρόπο. ηλδή υπάρχει η κτάλληλη γειτοιά. ) Α η γειτοιά είι της µορφής (, ) (, ) τότε µπορούµε κιηθούµε κι πό δεξιά κι πό ριστερά του κι τότε η προσέγγιση πρέπει είι ίδι, δηλ : lim f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) ριστερά του δεξιά του Είι υποχρεωτικό ξεκιάω τη ζήτηση του ορίου µε τ πλευρικά όρι; Τ πλευρικά όρι ζητούτι σε περιπτώσεις που υπάρχει λλγή στο τύπο της συάρτησης δεξιά κι ριστερά του λλά κι σε περιπτώσεις όπου η εφρµογή κάποις ιδιότητς πιτεί. Υπάρχου πάτ τ πλευρικά ; Νι, εφόσο υπάρχει η κτάλληλη γειτοιά. Υπάρχει πρόληµ στο όριο ότ η συάρτηση δε ορίζετι στο ; Το όριο είι εξάρτητο πό τη τιµή της συάρτησης εποµέως δε επηρεάζετι. Τι είι το όριο στο, - ; Στη περίπτωση υτή υπάρχει πάτ µόοπλευρη κίηση εφόσο η γειτοιά είι (, ) ή (-, ) κι εποµέως δε υπάρχου πλευρικά όρι κθώς κι τ προλήµτ τους. 2

3 Ότ δύο πλευρικά όρι της συάρτησης είι διφορετικά τότε η συάρτηση έχει 2 όρι; Λάθος. Η συάρτηση τότε δε έχει όριο. Πρέπει δε γωρίζουµε ότι όπου δε υπάρχει όριο τότε υτό είι µοδικό! Με ποιο τρόπο υπολογίζουµε τ όρι ; Γι το υπολογισµό τω ορίω κτφεύγουµε σε ιδιότητες τις οποίες πρθέτουµε. lim f () = l lim f () = lim = l ) lim f () = l lim ( f () l) = 0 2) lim f () = l limf ( h) = l h Όριο στο 3) Α lim f( ) > 0 τότε f() > 0 στη γειτοιά του. lim f( ) <0 τότε f() < 0 στη γειτοιά του. 4) Α f,g έχου όριο στο κι ισχύει f() g() στη γειτοιά του τότε lim f( ) lim g( ) 5) Κριτήριο πρεµολής : Α γι τις f,g, h ισχύει ) h() f() g() στη γειτοιά του ) lim h() = lim g() = l τότε lim f () = l z 6) Α υπάρχου τ όρι τω f,g στη γειτοιά του κι δε προκύπτει προσδιόριστη µορφή. ) ( ) ) ( ) γ) ( ) lim f( ) ± g( ) = lim f( ) ± lim g( ) lim kf( ) = k lim f( ), k R lim f( ) g( ) = lim f( ) lim g( ) f δ) lim ( ) g ( ) lim f ( ) =, µε lim g ( ) 0 lim g ( ) z ε) lim f( ) = lim f( ) στ) lim κ f( ) = κ lim f( ), µε f() 0 z lim ( ) = lim f( ) ζ) f ] 3

4 7) lim f ( g() ) lim f (u) = (όριο σύθεσης συάρτησης) u u θέτω g() = u κι εφόσο υπάρχει το lim g ( ) = u κι ισχύει g() u στη γειτοιά του ) lim f () ± lim f () = lim f () =± = 9) 0) Α lim f( ) = τότε f() > 0 στη γειτοιά του. Α lim f( ) = τότε f() < 0 στη γειτοιά του. 0) lim f( ) f =. ) Α lim f( ) =± τότε lim = 0 z f ( ) 2) Α lim f( ) =0, f() > 0 στη γειτοιά του τότε lim f ( ) =± τότε lim ( ( )) lim = f ( ) 3) Α lim f( ) =± τότε = εώ f() < 0 τότε limï f() = Ï>0 Ï<0 Συµπέρσµ πό 2 3 Α lim f () = λ 0 κ lim g() = 0 lim f() = g() Ï>0 Ï<0 g() > 0 g() < 0 = = - = - g() > 0 = g() < 0 4) Α lim f( ) =± τότε lim f ( ) = 5) Α lim f( ) = τότε lim κ f( ) = 6) γι το όριο θροίσµτος πρέπει γωρίζουµε ότι ( ) ( ) = 4

5 - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ (- ) (- ) = - (± ) = ±, R εώ Απροσδιόριστες µορφές είι ( ) (- )(- ) ( ) 7) γι το όριο γιοµέου πρέπει γωρίζουµε ότι : ( - ) = >0 <0 ( ). ( ) = (- ). (- ) = ( ). (- ) = - εώ Απροσδιόριστη µορφή είι 0(± ) Όριο στο ± ) Ισχύου οι ιδιότητες που ήδη έχουµε περιγράψει µε τη προϋπόθεση της ύπρξης τω ορίω κι ότι δε προκύπτει Απ. Μορφή. lim P() = lim µε P() = ο, Ν 2) ( ) ± ± P() 3) lim = lim ± ± µ Q() Q() = µ µ µ - µ -... ο µ όπου P() = - v -... ο,, µ Ν ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ lim =, lim c = c, lim = ο P lim P ( ) = P ( ) µε P() πολυώυµο, lim ( ) Q ( ) P ( ) =, Q( ) 0 όπου P(), Q() πολυώυµ. Q ( ) lim ηµ = ηµ, lim συ = συ ηµ, lim ο συ =, lim = 0 ο lim ο 2 =, lim 2 ο =, v N* lim =, lim = ο ο (άρ lim δε υπάρχει) ο 5

6 lim 2 =, lim ο 2 ο =, v N* lim = 0, lim = µε = e ή 0 lim = 0, lim = µε = e ή 0 lim lg =, lim lg ο = µε = e ή 0 lim =, lim =,, ρτιος περιττος lim ± = 0, v N* Ποιες πράξεις είι µη επιτρεπτές ; Μη επιτρεπτές πράξεις είι οι κόλουθες : (- ) - (- ). 0 0 ±, ±, 0. (± ), ( ) (- ), ( ) - ( ), ο ο, ο, ο,, (οι οποίες δε θ µς πσχολήσου) Οι ιδιότητες ισχύου κι τίστροφ; Όχι υτό είι λάθος Πότε χρησιµοποιούµε το κριτήριο πρεµολής ; Το κριτήριο πρεµολής χρησιµοποιείτι σε θεωρητικές σκήσεις όπου δίετι µι ισωτική σχέση κθώς κι σε τριγωοµετρικά όρι ότ δε µπορού υπολογιστού µε ιδιότητες ή τριγωοµετρικούς - λγερικούς µετσχηµτισµούς. Το πεδίο ορισµού είι πρίτητο το ρίσκουµε ότ ζητάµε όριο ; Νι. ιότι µε υτό µπορούµε εξσφλίσουµε τη γειτοιά του ή περιορίσουµε τη f σε κτάλληλο διάστηµ όπου θ προκύψου πληροφορίες γι το πρόσηµο της f ή γι µέρος της (π.χ. εξγωγή πολύτω) 6

7 Α δε µπορούµε ρούµε το όριο λόγο προσδιόριστης µορφής κι έχου εξτληθεί όλοι οι µετσχηµτισµοί που µπορούµε εφρµόσουµε στο τύπο ή δε γίετι κές υπάρχει άλλος τρόπος υπολογιστεί το όριο ; Νι. Αυτός είι ο κός De L Hspital που ρίσκετι στο κεφάλιο τω πργώγω. Τι σχέση έχει το όριο µε τη τιµή της συάρτησης; Έχουµε φέρει ότι δε εξρτάτι το όριο πό τη τιµή της συάρτησης όµως συµίει τυτίζοτι τότε έχουµε συέχει στο. Τι οοµάζουµε συέχει στο, κι ποι συάρτηση λέγετι συεχής ; Μι συάρτηση f θ λέγετι συεχής στο του πεδίου ορισµού της ότ lim f () = f( ). Εώ θ λέγετι συεχής, ότ είι συεχής σε κάθε του πεδίου ορισµού της. Τι οοµάζουµε συέχει σε διάστηµ ; Μι συάρτηση f θ λέγετι συεχής στο (,) ότ είι συεχής σε κάθε εσωτερικό σηµείο του (,) εώ θ λέγετι συεχής στο,] ότ είι συεχής στο (,) κι ισχύει lim f () = f() κι lim f () = f(). Υπάρχου συρτήσεις οι οποίες είι συεχείς; Νι, οι γωστές συρτήσεις : πολυωυµικές, ρητές, ηµίτοο, συηµίτοο, εκθετική, λογάριθµος,. Ακόµ κάθε συάρτηση που ορίζετι ως πράξη η σύθεση συεχώ συρτήσεω. Ποι είι τ θεωρήµτ συέχεις (διτύπωση - γεωµετρική ερµηεί). 7

8 ) Θεώρηµ Blzan : Έστω µι συάρτηση f ορισµέη κι συεχής στο,]. Α ισχύει επιπλέο κι f(). f() < 0 } υπάρχει τουλάχιστο έ (,) τέτοιο ώστε f( ) = 0.( ηλδή υπάρχει τουλάχιστο µι ρίζ της εξίσωσης f() = 0 στο (,). ψ f() f() ) Θεώρηµ εδιάµεσω τιµώ (Θ.Ε.Τ) : Έστω µι συάρτηση f ορισµέη κι συεχής στο,]. Α επιπλέο ισχύει f() f() τότε γι κάθε ριθµό n µετξύ τω f(), f(). ( ηλδή f() < n < f() ή f() < n < f() ) υπάρχει ές τουλάχιστο (,) τέτοιος ώστε f( ) = n. (Γι τη Απόδειξη λέπεις το σχολικό ιλίο). ψ f() n f() γ) Θεώρηµ µέγιστης κι ελάχιστης τιµής : ψ Έστω µι συάρτηση f ορισµέη κι συεχής στο,] τότε η f πίρει στο,] µι µέγιστη τιµή Μ κι µι ελάχιστη τιµή m δηλδή υπάρχου, 2,] τ.ω. f( ) = m, f( 2 ) = M κι m f() M γι κάθε,] Πρτήρηση : Τ θεωρήµτ ισχύου µόο ότ ικοποιούτι οι πιτήσεις τους. M m 2 Τι συµπερίουµε πό το Θεώρηµ Blzan ; ) Μς εξσφλίζει ύπρξη ρίζς.

9 ) Μς διευκολύει στο προσδιορισµό του προσήµου της f, στ διστήµτ που οι διδοχικές ρίζες ορίζου, εφόσο η f διτηρεί πρόσηµο σε κάθε διάστηµ. (Το πρόσηµο δε το ρίσκουµε πό το πρόσηµο εός τυχίου ριθµού στο κάθε διάστηµ. ψ f() f() Σχόλιο : Α στη εξέτση του Θ. Blzan προκύψει f(). f() > 0 υτό δε σηµίει ότι δε υπάρχει ρίζ λλά ότι δε εφρµόζετι το θεώρηµ. Τι συµπερίουµε πό το θεώρηµ του εδιάµεσω τιµώ ; Η εικό f( ) εός διστήµτος = (,) ή.] µέσω µι συεχούς κι µη στθερής συάρτησης f είι διάστηµ. f( ) f( ) f( ) f( ) ) Τι συµπερίουµε πό το θεώρηµ µέγιστης κι ελάχιστης τιµής; Το θεώρηµ µέγιστης - ελάχιστης τιµής µζί µε το Θ.Ε.Τ. µς εξσφλίζου ότι το σύολο τιµώ της f ορισµέης κι συεχούς στο,] είι το m, Μ] όπως m, M η ελάχιστη κι η µέγιστη τιµή της. Πώς ρίσκουµε το σύολο τιµώ ; Εφόσο η f είι συεχής συάρτηση τότε ) f ορισµέη στο Α=,], f f(a) = f(), f()] ) f ορισµέη στο Α =,], f f(β) = f(), f()] γ) f ορισµέη στο Α = (,), f f(a) = ( lim f (), lim f () δ) f ορισµέη στο Α = (,) f f(α) = lim f (), lim f () Προσοχή : Α f ορισµέη στο Α =, ) ή (, ] τότε θ τικτστήσω τη τίστοιχη τιµή µε το όριο. 9

10 ε) f ορισµέη στο Α =,] κι δε είι γησίως µοότοη τότε f(a) = m.m] όπου η ελάχιστη τιµή κι Μ µέγιστη τιµή. Σχόλιο : Στις περιπτώσεις όπου η f δε είι γησίως µοότοη στο,] τότε χωρίζουµε το Α σε διστήµτ στ οποί η f είι γησίως µοότοη κι υπολογίζουµε το σύολο τιµώ σε κάθε έ πό υτά. Το f(a) θ είι η έωση όλω τω πρπάω συόλω. Μπορεί πό το σύολο τιµώ εξσφλίσουµε ύπρξη ρίζς ; Νι, εφόσο ρούµε το σύολο τιµώ κι µέσ σ υτό ήκει το Ο τότε σύµφω µε το Θ.Ε.Τ. υπάρχει τουλάχιστο έ στο διάστηµ Α έτσι ώστε f( ) = 0. Πώς ποδεικύω τη µοδικότητ της ρίζς; Πρώτ εξσφλίζουµε τη ύπρξη κι κτόπι ποδεικύουµε ότι η f είι γησίως µοότοη στο τίστοιχο διάστηµ. Τι σηµίου οι εκφράσεις τουλάχιστο µί, κριώς µί, το πολύ µί ρίζ; Το τουλάχιστο µί : µί ή περισσότερες Το κριώς µί : µόο µί ρίζ. Το πολύ µί : µί ή κµί 0