ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από ενικούς πόρους. 3
Σχεδίαση αντισταμιστών στο πεδίο συχνότητας Στόχοι της ενότητας Κατανόηση βασικών εννοιών στον έλεγχο συστημάτων μεταβλητών κατάστασης. Βασικές αρχές ανάδρασης καταστάσεων. Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο των μεταβλητών κατάστασης. 4
Σχεδίαση αντισταμιστών στο πεδίο συχνότητας Περίληψη της ενότητας Ορισμός ελεγξιμότητας, παρατηρησιμότητας συστημάτων. Δυναμική συμπεριφορά συστήματος κλειστού βρόχου. Σχεδίαση ελεγκτών ανάδρασης καταστάσεων. 5
Ελεγξιμότητα καταστάσεων συστήματος Ένα σύστημα είναι ελέγξιμο ως προς τις μεταβλητές κατάστασης αν μπορεί να βρεεί ένα φυσικό σήμα εισόδου, u(t), η εφαρμογή του οποίου μπορεί να οδηγήσει τις καταστάσεις του συστήματος από μια οποιαδήποτε αρχική κατάσταση, x(), σε μια οποιαδήποτε επιυμητή τελική κατάσταση, x(t f ), σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Ένα σύστημα που περιγράφεται από το μοντέλο μεταβλητών κατάστασης x =Ax+Bu, είναι ελέγξιμο αν ο βαμός (rank) του μητρώου P διαστάσεων nx(nxm) (n:αριμός καταστάσεων, m: αριμός μεταβλητών εισόδου) που ορίζεται ως P=[B AB A B A n- B] ισούται με n. 6
Ελεγξιμότητα συστήματος k u u α m m u m u Διερεύνηση ελεγξιμότητας συστήματος. Καταστρώνεται το μοντέλο μεταβλητών κατάστασης: x x x x 3 4 x x u 7
Ελεγξιμότητα συστήματος Διερεύνηση ελεγξιμότητας συστήματος. u x x AB AAB AAAB u u k α m 8
Ελεγξιμότητα συστήματος Διερεύνηση ελεγξιμότητας συστήματος. Για να είναι το σύστημα ελέγξιμο πρέπει ο βαμός του μητρώου P=[B AB A B A 3 B] να ισούται με n (αριμός μεταβλητών κατάστασης). B Η ορίζουσα του μητρώου P είναι ίση με μηδέν. Μη ελέγξιμο. u u k α m 9 AB B A 3 B A
Ελεγξιμότητα συστήματος Το σύστημα γίνεται ελέγξιμο αν χρησιμοποιηεί μόνο μια δύναμη u. u x x B AB B A 3 B A O βαμός του P είναι ίσος με 4 και άρα το σύστημα είναι ελέγξιμο. u u k α m
Ελεγξιμότητα μεταβλητών εξόδου Ένα σύστημα είναι ελέγξιμο ως προς τις μεταβλητές εξόδου, αν μπορεί να βρεεί ένα φυσικό σήμα εισόδου, u(t), η εφαρμογή του οποίου μπορεί να οδηγήσει τις εξόδους του συστήματος από μια οποιαδήποτε αρχική κατάσταση, y(), σε μια οποιαδήποτε επιυμητή τελική τιμή, y(t f ), σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Ένα σύστημα που περιγράφεται από το μοντέλο μεταβλητών κατάστασης x =Ax+Bu και y=cx, είναι ελέγξιμο αν ο βαμός (rank) του μητρώου P διαστάσεων px(nxm) (n: αριμός καταστάσεων, m: αριμός μεταβλητών εισόδου, p: αριμός μεταβλητών εξόδου) που ορίζεται ως P=[CB CAB CA B CA n- B] ισούται με p.
Παρατηρησιμότητα καταστάσεων Ένα σύστημα είναι παρατηρήσιμο στο διάστημα t <t<t f, αν για κάε t και οποιοδήποτε t, η κατάσταση του συστήματος x() μπορεί να υπολογισεί από τη γνώση των διανυσμάτων εξόδου y(t) και εισόδου u(t). Ένα σύστημα που περιγράφεται από το μοντέλο μεταβλητών κατάστασης x =Ax+Bu και y=cx, είναι παρατηρήσιμο, αν ο βαμός του μητρώου Q διαστάσεων (nxp)xn που ορίζεται ως Q=[C CA : CA n- ] ισούται με n (αριμός μεταβλητών κατάστασης).
Ανάδραση καταστάσεων Στόχος: Η διαμόρφωση της επιυμητής δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος. Παραδοχές: () Όλες οι καταστάσεις είναι διαέσιμες. () Το σύστημα είναι ελέγξιμο ως προς τις καταστάσεις. u x =Ax+Bu -K x C y Επίτευξη επιυμητών δυναμικών χαρακτηριστικών στον κλειστό βρόχο (π.χ. χρόνος ανόδου, αποκατάστασης κλπ). Διάγραμμα ανάδρασης καταστάσεων. Κανόνας ελέγχου: u=-kx=-[k k k n ] x 3
Ανάδραση καταστάσεων H δυναμική του συστήματος κλειστού βρόχου διαμορφώνεται ως εξής: Κανόνας ελέγχου: u=-kx Μοντέλο μεταβλητών κατάστασης ανοικτού βρόχου: x =Ax+Bu Μοντέλο μεταβλητών κατάστασης κλειστού βρόχου: x =Ax-BKx=(A-BK)x Τα δυναμικά χαρακτηριστικά ορίζονται από τις ιδιοτιμές του μητρώου (Α-ΒΚ) Χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού βρόχου: det[si-(a-bk)]= Το μητρώο ελέγχου επηρεάζει τις ιδιοτιμές του συστήματος κλειστού βρόχου. 4
Ανάδραση καταστάσεων Με κατάλληλη επιλογή των στοιχείων του μητρώου Κ, επιτυγχάνεται η μετατόπιση των ιδιοτιμών του συστήματος κλειστού βρόχου σε κατάλληλες έσεις ώστε να επιβληεί η επιυμητή δυναμική συμπεριφορά. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού βρόχου a c (s)=(s-s )(s-s ) (s-s n )= Παράδειγμα: x x ω x x u Να υπολογισεί το μητρώο ελέγχου, K, ώστε οι πόλοι του κλειστού βρόχου να είναι στο -ω. 5
det s Ανάδραση καταστάσεων si A BK det k k k s ω k s s ω Οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης του κλειστού βρόχου εξισώνονται με αυτούς του πολυωνύμου που έχει ως ρίζες τους επιυμητούς πόλους a c s s ω s 4ω s ω 4 Συνεπώς: k 3ω k ω 4 K 3ω ω 4 6
Ανάδραση καταστάσεων Κρουστική απόκριση κλειστού βρόχου.. Impuse Response.5 Ampitude To: Out() To: Out()..5.5 -.5 3 4 5 6 7 Time (sec) 7
Έλεγχος έσης κινητήρα DC + R L + T T d V ~ b Ροπή αδράνειας του ρότορα: J=3.84-6 k m /s. Συντελεστής απόσβεσης του μηχανικού συστήματος: b=3.577-6 N/m. Σταερά ηλεκτρεγερτικής δύναμης κινητήρα: Κ=Κ e =K t =.74 N m/a. Ηλεκτρική αντίσταση: R=4 Ω. Ηλεκτρική επαγωγή: L=.75-6 H. Μεταβλητή εισόδου: Τάση πηγής, V. Μεταβλητή εξόδου: Θέση άξονα,. Ο ρότορας και ο άξονας εωρούνται στιβαρά στοιχεία. 8
Έλεγχος έσης κινητήρα DC i y T V / L J i R / L R / L J K / J b / i d Προδιαγραφές σχεδίασης για το σύστημα ελέγχου: Χρόνος αποκατάστασης μικρότερος από 4 ms. Ποσοστό υπερύψωσης μικρότερο από 6%. Μηδενικό σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση. A=[ ; b/j K/J; R/L R/L]; B=[ ; -/J; /L ]; C=[ ]; D=[ ]; 9 ~ V R L + + T b T d
Έλεγχος έσης κινητήρα DC Τ s =4/(ζω n )=.4 s λαμβάνεται ζω n =. Για γρήγορη απόσβεση του σήματος επιλέγεται ζ=.5, συνεπώς ω n = rad/s. Επιυμητή χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού βρόχου (s+p) (s +s+4) Για τον πραγματικό πόλο επιλέγεται p=-. det[s I - (A - BK)]= (s+p) (s +s+4) s 3 + [.4545 6 + 3.6364 5 k 3 ]s + [3.95 5 k 3 + 3.86 9 k + 8.644 7 ] s + 3.86 9 k = s 3 + 3 s + 64 s + 48 k =.555-3, k =-.7379 -, k 3 =-3.999 P=[- -+73i --73i]; K=pace(A,B(:,),p);
Έλεγχος έσης κινητήρα DC.5 Response to initia vaue perturbation Ane position, rad -.5 - -.5 % Cosed oop system sysa=ss(a-b(:,)k,b(:,),c,d(:,)); initia(sysa,[- ]); -...3.4.5.6 Time, sec Απόκριση σε μεταβολή της αρχικής κατάστασης.
Έλεγχος έσης κινητήρα DC step(sysa); Response to disturbance - step chane - 5 4 Response to disturbance Ane position, rad - -3-4 Μη μηδενικό σφάλμα -5 σε μόνιμη κατάσταση. Source votae, V 3-6..4.6 Time, sec -..4.6 Time, sec Απόκριση σε βηματική μεταβολή της ροπής διαταραχής.
Έλεγχος έσης κινητήρα DC Response to disturbance - harmonic variation.3 8 Response to disturbance.. 6 Ane position, rad -. -. Source votae, V 4 -.3 -.4 - -.5..4.6 Time, sec Απόκριση ελέγχου ανάδρασης καταστάσεων σε ημιτονοειδή διαταραχή ροπής (διαταραχή: διακεκομμένη καμπύλη). -4..4.6 Time, sec 3
νάδραση καταστάσεων με ολοκληρωτική δράση Η εξασφάλιση μηδενικού σφάλματος σε μόνιμη κατάσταση γίνεται με την εισαγωγή ολοκληρωτικής δράσης. Ορίζεται μια νέα μεταβλητή κατάστασης I = (- sp )dt (έστω sp είναι ίσο με μηδέν). Το ανοιγμένο μοντέλο μεταβλητών κατάστασης λαμβάνει τη μορφή: i y T V L J i L R L R J K J b i I d I I 4
νάδραση καταστάσεων με ολοκληρωτική δράση Επιυμητή χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού βρόχου (s+p I )(s+) (s +s+4) Ο επιπλέον επιυμητός πόλος ορίζεται στο σημείο p I = -5. Τα στοιχεία του ελεγκτή Κ υπολογίζονται ως: k =.388 -, k =4.6597-3, k 3 =-.7364 -, k 4 =-3.9987 5
νάδραση καταστάσεων με ολοκληρωτική δράση Η γωνία επιστρέφει στην αρχική κατάσταση. -.5 Response to disturbance - step chane 6 5 Response to disturbance Ane position, rad - -.5 - Source votae, V 4 3 -.5-3..4.6 Time, sec -..4.6 Time, sec Απόκριση σε βηματική μεταβολή της ροπής διαταραχής. 6
νάδραση καταστάσεων με ολοκληρωτική δράση Για μεταβολές του σημείου αναφοράς (το sp δεν είναι ίσο με μηδέν και δύναται να μεταβάλλεται) το σύστημα ορίζεται ως εξής: i y T V L J i L R L R J K J b i I sp d I I Το σημείο αναφοράς αποτελεί πρόσετη είσοδο του συστήματος. 7
Επίτευξη μαησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η α πρέπει να μπορεί να: Εξετάζει αν ένα σύστημα μεταβλητών κατάστασης είναι ελέγξιμο ως προς τις καταστάσεις και τις μεταβλητές εξόδου. Εξετάζει αν ένα σύστημα μεταβλητών κατάστασης είναι παρατηρήσιμο ως προς τις καταστάσεις. Σχεδιάζει ένα ελεγκτή ανάδρασης καταστάσεων για επίτευξη της επιυμητής δυναμικής συμπεριφοράς. 8
Επίτευξη μαησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η α πρέπει να μπορεί να: Σχεδιάζει ένα ελεγκτή ανάδρασης καταστάσεων με ολοκληρωτική δράση και επιυμητή δυναμική συμπεριφορά. Υπολογίζει τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος μεταβλητών κατάστασης σε κλειστό βρόχο. 9
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δρ Παπαδόπουλος Αανάσιος Δρ Αγγελική Μονέδα Θεσσαλονίκη, Μάιος 4