Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 1 q Έστω ένα σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης Ø Δύναμη παράλληλη στο 0 F q Υποθέτουμε ότι η δύναμη είναι συντηρητική: F = V( ) m Ø V είναι συνάρτηση του αν η F είναι κεντρική q Τέτοια συστήματα είναι πολύ συνηθισμένα Ø Πλανήτης γύρω από τον ήλιο Ø Δορυφόρος γύρω από την γη Ø Ηλεκτρόνιο γύρω από το πυρήνα q Τα παραδείγματα αυτά υποθέτουν ότι το σώμα στο κέντρο είναι αρκετά βαρύ και δεν κινείται
Πρόβλημα δύο σωμάτων ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 2 q Θεωρήστε 2 σώματα χωρίς εξωτερική δύναμη Ø 1 και 2 σχετικά με το κέντρο μάζας q Η Lagangian γράφεται: ( L = + m 2 ) R " 2 2 + 2 i=1 m i " i 2 2 V ( ) 0 R 1 ΚΜ 2 m 2 Κίνηση του KΜ Κίνηση γύρω από το KΜ Δυναμικό είναι συνάρτηση του = 2 1 1 = m 2 ( ) + m 2, 2 = ( ) + m 2 Ισχυρός νόμος δράσης - αντίδρασης 2 m "i 2 i = 1 2 2 1 m 2 ( ) + m 2 " 2
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 3 Δυο Σώματα Κεντρική Δύναμη ( L = + m 2 ) R " 2 2 + 1 2 m 2 ( ) + m 2 " 2 V ( ) ΚΜ q R είναι κυκλική συντεταγμένη R Ø Κ.Μ. κινείται με σταθερή ταχύτητα 0 Ø Μετακινούμε την αρχή του συστήματος συντεταγμένων στο Κ.Μ. ² δεν χρειάζεται να ασχοληθούμε ξανά m 2 L = 1 2 m 2 ( ) + m 2 " 2 V ( ) Σχετική κίνηση 2 σωμάτων είναι ταυτόσημη με την κίνηση ενός σωματιδίου σε δυναμικό κεντρικής δύναμης Ανηγμένη μάζα: µ = m 2 ( ) + m 2 1 µ = 1 + 1 m 2
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 4 Παράδειγμα: Υδρογόνο και Ποζιτρόνιουμ q Τo ποζιτρόνιουμ είναι δέσμια κατάσταση ενός e - και ενός e + Ø Παρόμοιο με το υδρογόνο αλλά m(p) >> m(e + ) Ø Το δυναμικό V() είναι ίδιο: V() = q2 q Μετατρέπουμε σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης e + e - µ positonium = m e m e ( ) = m e 2 m e + m e m µ υδρογονο = p m e ( m p + m ) m e e e - p q Το φάσμα του ποζιτρόνιουμ είναι ανάλογο του υδρογόνου με m e à m e /2
Σφαιρική συμμετρία ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 5 q Σύστημα κεντρικής δύναμης είναι σφαιρικά συμμετρικό Ø Μπορεί να περιστραφεί γύρω από οποιοδήποτε άξονα που περνά από την αρχή του συστήματος q Η Lagangian L = T ( " 2 ) V ( ) q H στροφορμή διατηρείται Ø Η διεύθυνση της J J = (,θ,ψ ) = (,θ) ανεξάρτητη της διεύθυνσης J = p = σταθ. είναι προσδιορισμένη εξ ορισμού à είναι πάντα στο ίδιο επίπεδο q Διαλέγουμε σφαιρικές συντεταγμένες J Ο Aζιμούθιο Ζενίθ = 1/2 π Ø Ο άξονας αζιμούθιου ταυτίζεται με τη διεύθυνση J
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 6 Περισσότερο φορμαλιστικά Η Lagangian σε σφαιρικές συντεταγμένες, = (,θ,ψ ) L = T V = m ( 2 2 + 2 sin 2 ψ θ 2 + 2 ψ 2 ) V ( " ) Ø Η θ είναι κυκλική, αλλά η ψ δεν είναι d dt L ψ L ψ = 2m ψ + m 2 ψ θ 2 sinψ cosψ ( ) = 0 Ø Διαλέγουμε τον αζιμουθιακό άξονα και αρχικές συνθήκες: ψ = π / 2, ψ = 0 1 ος όρος = 0 πάντοτε 2 ος όρος 0 ψ = 0 q Τώρα η ψ είναι σταθερή και μπορούμε να την ξεχάσουμε
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 7 Στροφορμή L = T V = m ( 2 2 + 2 θ 2 ) V ( ) q θ είναι κυκλική: p θ = L θ = m 2 θ = σταθ. l q Διαφορετικά: η συζυγής ορμή, p θ, διατηρείται Μέτρο της στροφορμής Εμβαδική ταχύτητα da dt = 1 2 2 θ = σταθ d q Ο 2 ος Νόμος του Κeple q Iσχύει για κάθε κεντρική δύναμη f da i
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 8 Ακτινική κίνηση L = T V = m ( 2 2 + 2 θ 2 ) V ( ) q Η εξίσωση του Lagange για : d dt ( ) ( m ) m θ 2 + V Ø Παράγωγος του δυναμικού V είναι η δύναμη m = m θ 2 + F( ) = 0 ( ) = V ( ) F Κεντρομόλος δύναμη Κεντρική δύναμη q Χρησιμοποιώντας την στροφορμή: l = m m = l 2 m + F( ) 3 2 θ
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 9 Διατήρηση Ενέργειας E = T + V = m ( 2 2 + 2 θ 2 ) + V ( ) E = m 2 2 + 1 2 l 2 m 2 + V ( ) = σταϑ. = 2 m E V ( ) l 2 2m 2 1 ου βαθμού διαφορική εξίσωση του q Μπορεί να λυθεί ως: t = t dt = 0 0 d 2 m E V ( ) l 2 2m 2 = t ( ) Αυτό δεν γίνεται ποτέ αρνητικό q Μετά με αναστροφή t() à (t) q Κατόπιν υπολογίζεται το θ(t) ολοκληρώνοντας θ = l m 2
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 10 Βαθμοί Ελευθερίας q Ένα σώμα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας Ø Η εξίσωση κίνησης είναι 2 ου βαθμού διαφορική 6 σταθερές q Κάθε νόμος διατήρησης ελαττώνει μια παραγώγιση: «χρονική μερική παράγωγος ισούται με μηδέν» q Χρησιμοποιήσαμε E και J 4 διατηρήσιμες ποσότητες: ( J x, J y, J z,e) Ø Παραμένουν μόνο 2 σταθερές ολοκλήρωσης = 0 και θ 0 q Δεν χρειάζεται εν γένει να χρησιμοποιούμε νόμους διατήρησης ² Eίναι όµως πιο εύκολο αφού δεν χρειάζεται να λύσουμε όλες τις εξισώσεις Lagange
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 11 Ποιοτική συμπεριφορά q Ολοκλήρωση της ακτινικής εξίσωσης δεν είναι πάντα εύκολο 2 = m E V() l 2 Ø Πολλές φορές είναι αδύνατο 2m 2 q Συμπεράσματα για την γενική συμπεριφορά βλέποντας τη σχέση V ( ) V ( ) + l 2 2m 2 Ημί-δυναμικό το οποίο περικλύει την κεντρομόλο δύναμη Ø Η ενέργεια διατηρείται και Ε-V πρέπει να ναι θετική ποσότητα E = m 2 2 + V ( ) m 2 2 = E V ( ) 0 E V ( ) q Σχεδιάζουμε το V () και μελετούμε τις τομές με το διάγραμμα της ενέργειας Ε
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 12 Δύναμη ανάλογη του 1/ 2 q Θεωρήστε μια ελκτική 1/ 2 δύναμη F( ) = k V ( ) = k 2 q Βαρύτητα ή ηλεκτροστατική δύναμη V ( ) = k + l 2 2m 2 q Η 1/ 2 δύναμη υπερισχύει σε μεγάλα q Η κεντρομόλος δύναμη υπερισχύει σε μικρά V ( ) l 2 2m 2 V () q Μια «κοιλιά» εμφανίζεται στις μέσες τιμές k
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 13 Μη φραγμένη κίνηση q Έστω V () παρόμοιο με την περίπτωση 1/ 2 Ø Ενδιαφέρουν µόνο τα γενικά χαρακτηριστικά q Ε = Ε 1 à > min Ø Σώμα μπορεί να πάει στο άπειρο E 1 V () q Γενική συμπεριφορά 1 2 m 2 Φθάνει από = E 2 min Σημείο στροφής E 1 = V = 0 E 3 Πηγαίνει προς = Mια δύναμη 1/ 2 θα έκανε υπερβολή
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 14 Φραγμένη κίνηση q Ε = Ε 2 à min < < max Ø To σώμα είναι περιορισμένο μεταξύ δύο κύκλων Κινείται μεταξύ των 2 ακτινών E 1 E 2 V () 1 2 m 2 E 3 Η τροχιά μπορεί ή και όχι να ναι κλειστή Μια δύναμη 1/ 2 θα έκανε μια έλλειψη
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 15 Κυκλική κίνηση q Ε = Ε 3 à = 0 Ø Mόνο μία ακτίνα επιτρέπεται Παραμένει σε κύκλο Ε = V ( 0 ) = 0 = σταθ = 0 E 1 E 2 V () 0 1 2 m 2 E 3 q O καταχωρισμός σε φραγείς, μη φραγείς και κυκλικές κινήσεις εξαρτάται από το γενικό σχήμα του V Ø Όχι από τις λεπτομέρειες (1/ 2 ή διαφορετικά)
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 16 Άλλο παράδειγμα V = a F = 3a V () = a 3 4 + l 2 3 2m 2 q Ελκτική δύναμη -4 Ø V () έχει κάποια κορυφή l 2 2m 2 Ø Σωματίδιο με ενέργεια Ε μπορεί να είναι φραγμένο ή όχι, ανάλογα από την αρχική E V () V
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 17 Ευσταθής κυκλική τροχιά q Κυκλική τροχιά υπάρχει στο βάθος ενός κοίλους του V m 2 2 = E V = 0 m = d V d = 0 = σταθ Ø Στην κορυφή ενός κοίλους «δουλεύει» θεωρητικά, αλλά είναι ασταθές E 0 ευσταθής Ø Η αρχική συνθήκη πρέπει να ναι ακριβής E ασταθής = 0 και = 0 q Σταθερή κυκλική τροχιά απαιτεί: d 2 V > 0 d 2 0
Εκθετική Δύναμη V ( ) V ( ) + l 2 2m 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 18 d V = F( 0 ) l 2 d =0 m = 0 d 2 V 3 = df + 3l 2 και 0 d 2 4 d = =0 m > 0 0 0 F( 0 ) = l 2 m 0 3 Μόνο ελκτική δύναμη ( ) df < 3F 0 d =0 0 q Υποθέστε ότι η δύναμη έχει τη μορφή: Ø k>0 για ελκτική δύναμη F( ) = k n q Συνθήκες για ευσταθή κυκλική τροχιά είναι kn 0 n 1 < 3k 0 n 1 n > 3 Εκθετικές δυνάμεις μπορούν να δημιουργήσουν ευσταθή κυκλική τροχιά όταν ο εκθέτης ικανοποιεί: n > -3
ΦΥΣ 211 - Διαλ.13 19 Περίληψη q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ü Ανάγαμε το πρόβλημα 2 σωμάτων σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης q Το πρόβλημα περιορίζεται σε μια εξίσωση: m = l 2 m + F( ) 3 ü Χρήση της διατήρησης στροφορμής: V ( ) V ( ) + l 2 2m 2 q Ποιοτική συμπεριφορά εξαρτάται από ü Φραγμένες, μη φραγμένες και κυκλικές τροχιές ü Συνθήκες για σταθερές κυκλικές τροχιές q Επόμενο βήμα: Μπορούμε να λύσουμε για την τροχιά