ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ 15.1 Κύµα οδηγούµενο από αγώγιµα τοιχώµατα Στο 13 ο κεφάλαιο εξετάσαµε τον τρόπο µε τον οποίο γίνεται η οδήγηση ενός ηλεκτροµαγνητικού σήµατος από µια θέση σε µια άλλη µε τη βοήθεια των γραµµών µεταφοράς. Η συµπεριφορά των γραµµών µεταφοράς είναι αρκετά ικανοποιητική στις χαµηλές συχνότητες λειτουργίας εµφανίζει όµως σοβαρά προβλήµατα στις πολύ υψηλές συχνότητες (π. χ. από 1 MH και πάνω) λόγω των αυξηµένων απωλειών. Στην περιοχή των µικροκυµατικών συχνοτήτων (ως τέτοια θεωρείται συνήθως η περιοχή 9 1 1 1 H ή λ = 3 m 3 mm ) η µεταφορά της ηλεκτροµαγνητικής ε- νέργειας µπορεί να γίνει µε τη βοήθεια διατάξεων που ονοµάζονται κυµατοδηγοί. Οι συνήθεις κυµατοδηγοί δεν είναι τίποτε άλλο παρά κοίλοι µεταλλικοί αγωγοί που η σχετικά α- πλή διατοµή τους (συνήθως ορθογωνική) είναι σταθερή σ όλο το µήκος τους. Αν τα τοιχώµατα ενός κυµατοδηγού θεωρηθούν υπεραγώγιµα τότε η ανάκλαση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος πάνω σ αυτά είναι τέλεια και συνεπώς η µεταφορά (οδήγηση) της ηλεκτροµαγνητικής ενέργειας γίνεται χωρίς απώλειες. Τα µεταλλικά τοιχώµατα των κυµατοδηγών της πράξης έχουν πολύ µεγάλη αγωγιµότητα και γι αυτό οι οµικές α- 779

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ πώλειες που οφείλονται στα ρεύµατα που επάγει σ αυτά το διαδιδόµενο πεδίο είναι πάρα πολύ µικρές. Ένα άλλο σηµείο που αξίζει να τονιστεί είναι το εξής: ενώ σ έναν κυµατοδηγό η µέση ενέργεια φθίνει εκθετικά µε την απόσταση από την αρχή του κυµατοδηγού στην περίπτωση ακτινοβολίας από κεραία όπως έχουµε ήδη αναφέρει η ανά µονάδα επιφανείας α- κτινοβολούµενη µέση ισχύς µεταβάλλεται αντίστροφα ανάλογα προς το τετράγωνο της α- πόστασης από την κεραία. Αν συγκρίνουµε την εξασθένιση του πεδίου στις δύο περιπτώσεις θα παρατηρήσουµε ότι για µετάδοση σε µεγάλες αποστάσεις είναι προτιµότερη η χρησιµοποίηση κεραιών. Αντίθετα στην περιοχή των µικροκυµατικών συχνοτήτων και για µετάδοση σε πολύ µικρές αποστάσεις είναι προτιµότεροι οι κυµατοδηγοί. Έτσι για παράδειγµα σ ένα ραντάρ πλοίου ένα κύµα µήκους 3 m που συνήθως παράγεται σ έναν κατάλληλο χώρο στο κατάστρωµα του πλοίου ώστε να είναι εύκολη η παρακολούθησή του οδηγείται στην κεραία που είναι εγκατεστηµένη στο κατάρτι του πλοίου µέσω κυµατοδηγών. Για την ανάλυση των προβληµάτων της κυµατοδήγησης αναζητούµε λύσεις των κυ- µατικών εξισώσεων των διανυσµάτων E και H που ικανοποιούν τις σχετικές οριακές συνθήκες. Οι οριακές αυτές συνθήκες αναφέρονται στην καθετότητα του διανύσµατος E και την εφαπτοµενικότητα του H πάνω στα υπεραγώγιµα τοιχώµατα των κυµατοδηγών. Ας διερευνήσουµε αρχικά τη δυνατότητα παρουσίας εγκάρσιου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος (TEM ) σε µια διάταξη που περιορίζεται από δύο παράλληλα αγώγιµα επίπεδα (σχήµα 15-1). Στην περίπτωση όπου θεωρήσουµε ότι E = H = από τις εξισώσεις Mawell και τις οριακές συνθήκες προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις για τις συνιστώσες των διανυσµάτων E και H γ γ 1 H = Fe + Fe (15.1) E γ = η( Fe Fe ) (15.) γ 1 E = H = E = H = (15.3) όπου η = µ / ε γ = jβ = jω µε και F 1 F σταθερές 78

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 D H Σχήµα 15-1 Στην περίπτωση όπου οι E H δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα µηδενικές από τις κυµατικές εξισώσεις µε εφαρµογή της µεθόδου του χωρισµού των µεταβλητών και των σχετικών οριακών συνθηκών προκύπτουν οι ακόλουθες γενικές εκφράσεις για τις συνιστώσες των διανυσµάτων E και H j E ωµ γ A si q ( B e B e ) (15.4) γ = 1 1 + = 1 q H γ γ A si q ( B e B e ) (15.5) γ = 1 1 = 1 q γ = 1 1 + = 1 H γ A os q ( B e B e ) (15.6) E γ γ C os q ( D e D e ) (15.7) γ = 1 = 1 q γ = 1 + = 1 E γ C si q ( D e D e ) (15.8) όπου j H ωε γ C os q ( D e D e ) (15.9) γ = 1 + = 1 q και. A 1 γ ( π/ ) ω µε = q = π / ( = 1 3 ) (15.1) B 1 B C D 1 D προσδιοριστέες σταθερές αντιστοιχιζόµενες στο δείκτη 781

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ Από τις δύο οµάδες (τριάδες) των εξισώσεων (15.4) (15.5) (15.6) και (15.7) (15.8) (15.9) παρατηρούµε ότι οι συνιστώσες των εντάσεων E και H κάθε µιας οµάδας ικανοποιούν τις εξισώσεις του Mawell και τις οριακές συνθήκες όταν οι συνιστώσες της άλλης οµάδας θεωρηθούν µηδενικές. Αλλά και οι επιµέρους όροι κάθε οµάδας που αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιµή q ικανοποιούν τις εξισώσεις Mawell και τις οριακές συνθήκες. Οι ό- ροι αυτοί εκφράζουν τους ρυθµούς (modes) του συστήµατος κυµατοδήγησης. Οι ρυθµοί της οµάδας των εξισώσεων (15.4) (15.5) (15.6) επειδή E = ονοµάζονται εγκάρσιοι ηλεκτρικοί ρυθµοί ή ρυθµοί ΤΕ. Οι ρυθµοί της οµάδας των εξισώσεων (15.7) (15.8) (15.8) επειδή H = ονοµάζονται εγκάρσιοι µαγνητικοί ρυθµοί ή ρυθµοί ΤΜ. Τέλος και στην περίπτωση όπου E = H = οι συνιστώσες H και E µπορεί να είναι µη µηδενικές όπως φαίνεται από τις (15.1) (15.) (15.3) οπότε έχουµε ρυθµό ε- γκάρσιου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος ή ρυθµό ΤΕΜ. Στο κύµα αυτό είναι δυνατή η διάδοση όλων των συχνοτήτων. Αν θεωρήσουµε διάδοση µόνο κατά τα θετικά από τις (15.7) (15.8) (15.9) προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις για τους ρυθµούς των δύο κατηγοριών: α) Ρυθµοί ΤΕ ( E = ) os j H = H qe β (15.11) E = E = H = (15.1) όπου j si j E ωµ β = H qe (15.13) q j si j H β β = H qe (15.14) q και f f β = ω µε ( π/ ) = ω µε 1 = β 1 f f (15.15) f = (συχνότητα αποκοπής) (15.16) µε 78

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 β) Ρυθµοί ΤΜ ( H = ) H = E = H = (15.17) j E = E siqe (15.18) j j E β β = E osqe q (15.19) j os j H ωε β = E qe q (15.) γ) Ρυθµός ΤΕΜ ( E = H = ) E = H = E = H = (15.1) H = Fe β (15.) j 1 E = ηh = ηfe β (15.3) j 1 Στη συνέχεια επισηµαίνονται µε απλές θεωρήσεις της γεωµετρικής οπτικής ορισµένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των συστηµάτων αυτών κυµατοδήγησης. Προς το σκοπό αυτό ας θεωρήσουµε τη διάταξη του σχήµατος 15- όπου φαίνεται ένα κύµα που προσπίπτει και διακλάται διαδοχικά πάνω στα τοιχώµατα του συστήµατος κυµατοδήγησης. Κάθετα προς τη διεύθυνση του κύµατος και σε απόσταση ίση προς το µήκος κύµατος λ έχουν σχεδιαστεί δύο οµοφασικές γραµµές. Το κύµα προσπίπτει στις πλάκες που απέχουν απόσταση µε γωνία θ. Έστω ότι σε κάποια χρονική στιγµή το µέτωπο του κύµατος βρίσκεται στη θέση PR. Κατά τις διαδοχικές ανακλάσεις στα σηµεία Q και R πρέπει να ικανοποιούνται οι γνωστές οριακές συνθήκες. Αν η κυµατική ακτίνα RR που φθάνει στο R µέσω της διαδροµής RR έχει την ίδια φάση µε την ακτίνα RR που αποµακρύνεται από το R µετά την διπλή ανάκλαση στα σηµεία Q και R (διαδροµή PQRR ) είναι φανερό ότι προκύπτει ένα ενιαίο οµοιόµορφο µέτωπο κύµατος δδ. Για να ικανοποιούνται λοιπόν οι οριακές συνθήκες πάνω στα δύο τοιχώµατα (καθετότητα του διανύσµατος E και εφαπτοµενικότητα του διανύσµατος H ) πρέπει η διαδροµή PQR να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος λ δηλαδή (PQ) + (QR) = λ (15.4) 783

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ H E P P λ g θ θ H λ E R R δ δ R Q Σχήµα 15- όπου θετικός ακέραιος. Επειδή όµως όπως φαίνεται από το σχήµα 15- ισχύουν οι η (15.4) καταλήγει στην (RQ) = os θ (15.5) (PQ) = (QR) os θ = os θ os θ (15.6) λ osθ = (15.7) Από την (15.7) παρατηρούµε ότι για να είναι δυνατή η διάδοση του κύµατος πρέπει η απόσταση των πλακών να είναι τουλάχιστο ίση µε το µισό µήκος κύµατος ( λ /) γιατί διαφορετικά θα είχαµε τιµές του os θ µεγαλύτερες της µονάδας. Γενικά για να είναι δυνατή η µετάδοση για οποιαδήποτε τιµή του πρέπει να ισχύει η λ (15.8) όπου οι τιµές του θετικού ακεραίου αντιστοιχίζονται στους ρυθµούς του διαδιδόµενου κύµατος. Από τη (15.8) συµπεραίνουµε ότι το µεγαλύτερο µήκος κύµατος λ που µπορεί να διαδοθεί είναι 784

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 λ = (15.9) Η συχνότητα f που αντιστοιχεί στο µήκος κύµατος λ ονοµάζεται συχνότητα αποκοπής και για µέσο διάδοσης το κενό ή τον αέρα είναι f = = µ ε (15.3) Η διάδοση είναι δυνατή µόνο για συχνότητες µεγαλύτερες της συχνότητας αποκοπής ( f > f ) Το µήκος κύµατος λ g που εκφράζει της απόσταση µεταξύ διαδοχικών ισοφασικών θέσεων κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κυµατοδηγού και η φασική ταχύτητα υ p κατά την ίδια διεύθυνση δίνονται αντίστοιχα από τις λ g λ λ λ = = = si θ 1 ( λ/ λ ) 1 ( f / f ) (15.31) και υp = λgf = = = si θ 1 ( λ/ λ) 1 ( f / f ) Όπως φαίνεται από την (15.3) η ταχύτητα (15.3) υ p παίρνει τιµές µεγαλύτερες από την ταχύτητα του φωτός. Αυτό το φαινοµενικά παράδοξο γεγονός δεν έχει ιδιαίτερη φυσική σηµασία αφού στην πραγµατικότητα δεν υπάρχει καµιά φυσική οντότητα µέσα στον κυ- µατοδηγό που να διαδίδεται µε τη φασική ταχύτητα υ p. Η υ p δεν εκφράζει τίποτε άλλο παρά την ταχύτητα ενός µετώπου κύµατος σταθερής φάσης. Η ταχύτητα υ g µε την οποία διαδίδεται η ηλεκτροµαγνητική ενέργεια είναι Από την (15.33) και την (15.3) προκύπτει η σχέση υg = si θ (15.33) υυ g p = (15.34) Εύκολα διαπιστώνεται ότι η ταχύτητα υ g είναι η ταχύτητα οµάδας. Πράγµατι επειδή η φασική σταθερά λόγω της (15.3) γράφεται από τις (11.85) και (15.35) για κ ω ω ω β = = (15.35) υ p = β προκύπτει η 785

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ υ g 1 1 f = = = 1 dβ dω ω ω ω f ( / ) ( ) (15.36) που προφανώς ταυτίζεται µε την (15.33). 15. Κυµατοδηγοί ορθογωνικής διατοµής Έστω ο ορθογωνικός κυµατοδηγός του σχήµατος 15-3 που το εσωτερικό του πληρούται από ένα οµογενές ισότροπο και χωρίς απώλειες µέσο. a Σχήµα 15-3 Για ηµιτονοειδείς χρονικές µεταβολές οι αντίστοιχες κυµατικές εξισώσεις του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίο είναι αντίστοιχα οι E + ω µεe = (15.37) και (15.38) H+ ω µεh = Η διανυσµατική εξίσωση (15.37) όπως και η (15.38) µπορεί να αναλυθεί σε τρεις βαθµωτές κυµατικές εξισώσεις για κάθε µια από τις συνιστώσες την συνιστώσα E E E την παράλληλη προς τη διεύθυνση του κυµατοδηγού έχουµε E E E + + + ω µεe = E. Έτσι για (15.39) 786

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Η εξίσωση (15.39) µπορεί να λυθεί µε τη µέθοδο του χωρισµού των µεταβλητών. Αν λοιπόν η E εκφρασθεί µ ένα γινόµενο της µορφής E = X( ) Y( ) Z( ) (15.4) από την (15.39) και την (15.4) προκύπτει dx dy dz + + + ω µε = (15.41) 1 1 1 X d Y d Z d Επειδή κάθε όρος της (15.41) είναι συνάρτηση διαφορετικής µεταβλητής µπορούµε να γράψουµε 1 dx X d = p (15.4) 1 dy q Y d = (15.43) όπου 1 dz Z d = γ (15.44) p q + γ = ω µε (15.45) Η (15.4) µετά την επίλυση των (15.4) (15.43) και (15.44) γράφεται E γ = ( A os p + A si p)( B osq + B si q)( C e + C e ) (15.46) γ 1 1 1 και για διάδοση µόνο κατά τα θετικά E = C ( A os p + A si p)( B osq + B si q) e γ (15.47) 1 1 όπου A 1 A B 1 B C 1 C σταθερές προσδιοριζόµενες από τις οριακές συνθήκες. H H. Ανάλογες εκφράσεις προκύπτουν και για τις υπόλοιπες συνιστώσες Τις συνιστώσες E E H και E E H H µπορούµε µε τη βοήθεια των εξισώσεων (1.1) και (1.) του Mawell ( J = ) να τις εκφράσουµε συναρτήσει των συνιστωσών E και H ως εξής 1 E H E = γ + jµω γ ω µε (15.48) + 787

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ 1 E H E = γ + jµω γ ω µε + (15.49) 1 E H H = jωε γ γ + ω µε (15.5) και 1 E H H = jωε + γ γ ω µε (15.51) + Είναι φανερό ότι για να είναι δυνατή η διάδοση του κύµατος στον κυµατοδηγό χωρίς απόσβεση πρέπει ο συντελεστής γ να είναι καθαρός φανταστικός αριθµός. Έτσι αν γ = jβ (15.5) από την (15.45) έχουµε = p q (15.53) β ω µε Η οριακή περίπτωση β = αντιστοιχίζεται στη συχνότητα αποκοπής f που από την (15.53) προκύπτει ίση µε f 1 p + q = (15.54) π µε Το µέγιστο µήκος κύµατος που αντιστοιχεί στη συχνότητα αποκοπής f δίνεται από την λ 1 π = = = f µεf p + q (15.55) Επίσης επειδή το µήκος κύµατος λ είναι π f λ = = = λ (15.56) ω µε f f η σταθερά β λόγω των (15.53) και (15.54) µπορεί επίσης να γραφεί και ως f π f π λ β = ω µε 1 1 1 = = f λ f λ λ Το µήκος κύµατος λ g του κυµατοδηγού που ορίζεται από την (15.57) λ = π/ β (15.58) g 788

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 λόγω της (15.57) γράφεται λ g λ λ = = 1 ( λ/ λ ) 1 ( f / f ) (15.59) Από τις (15.56) και (15.59) εύκολα προκύπτει η 1 1 1 + = (15.6) λg λ λ Τέλος η φασική ταχύτητα υ p και η ταχύτητα οµάδας υ g δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις ω υp = = (15.61) β 1 ( f / f ) και υ g 1 = 1 ( f / f) dβ/ dω = υ = (15.6) p Οι σταθερές p και q πρέπει να προσαρµοστούν στις οριακές συνθήκες. Έτσι για να είναι µηδενική η E πάνω στα τοιχώµατα = = = a και = πρέπει οι σταθερές p και q να είναι της µορφής mπ p = ( m = 13 ) (15.63) a π και q = ( = 13 ) (15.64) οπότε η έκφραση (15.47) για τη συνιστώσα E γράφεται si m si j E π π β = E e (15.65) a όπου E σταθερά. Ας σηµειωθεί ότι είναι αδύνατη η διάδοση εγκάρσιων ΤΕΜ ρυθµών δια του κυµατοδηγού αφού όπως εύκολα προκύπτει από τις (15.48) έως (15.51) αν είχαµε E = H = θα είχαµε µηδενισµό και των υπολοίπων συνιστωσών των διανυσµάτων E και H δηλαδή ανυπαρξία πεδίου. Με βάση τα παραπάνω µπορούµε εύκολα να εξετάσουµε τις εξής δύο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις. 789

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ α. Εγκάρσιο µαγνητικό κύµα ή ρυθµοί TM Στο εγκάρσιο µαγνητικό κύµα η συνιστώσα H είναι ίση µε µηδέν οπότε από τις (15.48) (15.49) (15.5) (15.51) και (15.65) έχουµε j pe os si j E β β = p qe p + q (15.66) j qe si os j E β β = p qe p + q (15.67) E si si j = E p qe β (15.68) j qe si os j H ωε β = p qe p + q (15.69) j p E os si j H ω ε β = p qe (15.7) p + q H = (15.71) όπου p = mπ / a και q = π /. Το κύµα που αντιστοιχεί στους θετικούς ακεραίους m και χαρακτηρίζεται ως ρυθµός (ή µορφή) TM m. Ο απλούστερος ρυθµός είναι ο TM 11 επειδή όπως εύκολα φαίνεται από τις (15.66) (15.67) (15.68) (15.69) (15.7) και (15.71) στην περίπτωση κατά την οποία έστω και ένας των m και είναι ίσος µε µηδέν δεν µπορεί να υπάρξει πεδίο. Επίσης από την (15.54) παρατηρούµε ότι οι χαµηλοί ρυθµοί αντιστοιχούν σε χαµηλές συχνότητες. Στις πρακτικές περιπτώσεις ανάλογα µε τον τρόπο µε τον οποίο το κύµα φθάνει από την πηγή στον κυµατοδηγό εµφανίζονται συγχρόνως πολλοί ρυθµοί. Από αυτούς ο χαµηλότερος είναι ο κυριαρχών ρυθµός γι αυτό ονοµάζεται επικρατών (domiat) ρυθ- µός ή επικρατούσα µορφή. β. Εγκάρσιο ηλεκτρικό πεδίο ή ρυθµοί TE Στο εγκάρσιο ηλεκτρικό πεδίο όπου η συνιστώσα E είναι ίση µε µηδέν αν οι συνιστώσες των E και H εκφραστούν συναρτήσει της H προκύπτουν οι j qh os si j E ωµ β = p qe p + q (15.7) 79

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 j ph si os j E ωµ β = p qe p + q (15.73) E = (15.74) j ph si os j H β β = p qe p + q (15.75) j qh os si j H β β = p qe p + q (15.76) H = H j os p osqe (15.77) o όπου πάλι p = mπ / a και q = π / και H σταθερά. Ο επικρατών ρυθµός είναι ο TE 1 (ή ο TE 1 ) για τον οποίο οι συνιστώσες E και H (ή οι E και H ) είναι µηδενικές. Στο σχήµα 15-4 φαίνεται η µορφή του πεδίου για τους ρυθµούς TM 11 TM 1 TE 1 και TE 11. 791

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ TM 11 TM 1 TE 1 TE 11 Σχήµα 15-4 E H 79

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 15.3 Κυλινδρικοί κυµατοδηγοί Αν ακολουθήσουµε την ανάλυση των κυµατοδηγών ορθογωνικής διατοµής και στους κυλινδρικούς κυµατοδηγούς τα αποτελέσµατα στα οποία καταλήγουµε συνοψίζονται ως εξής: α. Εγκάρσιο µαγνητικό πεδίο ρυθµοί TM Στην περίπτωση αυτή οι συνιστώσες των διανυσµάτων E και H σ ένα σύστηµα κυλινδρικών συντεταγµένων στο οποίο ο άξονας συµπίπτει µε τον άξονα του κυµατοδηγού δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις E β ρ = H ϕ (15.78) ωε E β ϕ = H ρ (15.79) ωε j E = CJ( hρ)osϕe β (15.8) j j H ωε β ρ = CJ ( )si hρ ϕe (15.81) h ρ j j H ωε β ϕ = CJ ( hρ)osϕe (15.8) h όπου C είναι σταθερά ανάλογη προς την ένταση του πεδίου J είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και τάξης και h = ω µε β (15.83) Ας σηµειωθεί ότι για να υπάρχει διάδοση κύµατος πρέπει η σταθερά β να είναι πραγµατικός αριθµός. Η σταθερά h προσδιορίζεται από την οριακή συνθήκη που επιβάλλεται από την ανάγκη µηδενισµού της συνιστώσας J( ha ) = (15.84) E στην επιφάνεια ρ = a του κυλίνδρου. Είναι φανερό ότι για κάθε τάξη της συνάρτησης Bessel J υπάρχει µια σειρά ριζών της και άρα µια σειρά τιµών για τη σταθερά h. 793

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ Αν µε m συµβολίσουµε τον δείκτη που καθορίζει την κατά αύξουσα τιµή σειρά της ρίζας της (15.84) ο αντίστοιχος ρυθµός γράφεται TM m και η αντίστοιχη σταθερά h m. Η συχνότητα αποκοπής f η φασική σταθερά β η φασική ταχύτητα υ p και το µήκος κύµατος του κυµατοδηγού δίνονται αντίστοιχα από τις f 1 hm = (15.85) π µε f = hm = 1 β ω µε ω µε f (15.86) υ p ω ω = = = β ω µε h 1 ( f / f) m (15.87) και λ g υp π λ = f = h = ω µε 1 ( f / f ) m (15.88) β. Εγκάρσιο ηλεκτρικό πεδίο ρυθµοί TE Στο εγκάρσιο ηλεκτρικό πεδίο ( E = H ) οι συνιστώσες των διανυσµάτων E και H δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις E ωµ ρ = H ϕ β (15.89) E ωµ ϕ = H ρ β (15.9) E = (15.91) j j H β β ρ = CJ ( hρ)osϕe h (15.9) j j H β β ϕ = CJ ( )si hρ ϕe hr (15.93) H = CJ j ( hρ)osϕe β (15.94) 794

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Οι παράµετροι f β υ p και λ g εξακολουθούν να έχουν τις εκφράσεις των σχέσεων (15.85) (15.86) (15.87) και (15.88) αντίστοιχα. Οι νέοι ρυθµοί TE m προσδιορίζονται από τη σειρά των ριζών της J( ha) = (15.95) Στο σχήµα 15-5 φαίνεται η µορφή του πεδίου που αντιστοιχεί στο ρυθµό TE 11. Ο ρυθµός TE 11 που έχει τη χαµηλότερη συχνότητα αποκοπής f 1 h 1 ( ha) 1 1 841 93 π µε π a µε π a µε a µε 11 11 = = = = (15.96) είναι ο επικρατών ρυθµός. a E H Σχήµα 15-5 795

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ 15.4 Παραδείγµατα 15.1 Να γραφούν οι µιγαδικές και στιγµιαίες εκφράσεις των πεδιακών εντάσεων E και H σ ένα σύστηµα κυµατοδήγησης δύο παράλληλων επιπέδων αγώγιµων πλακών που απέχουν απόσταση για τον εγκάρσιο µαγνητικό ρυθµό TM 1. Αν η κυµατοδήγηση γίνεται κατά τα θετικά να γίνει πρόχειρη σχεδίαση των δυναµικών γραµµών E και H στο επίπεδο. Από τις γενικές εκφράσεις των συνιστωσών των µεγεθών E και H στην περίπτωση του εγκάρσιου µαγνητικού ρυθµού TM για = 1 έχουµε j E π = β E si e (1) j j E β π β = E os e π () j j H ωε π β = E os e π (3) E = H = H = (4) όπου π β = ω µε (5) Οι ζητούµενες τιµές που προκύπτουν εύκολα από τα πραγµατικά µέρη των (1) () (3) (4) αφού προηγούµενα πολλαπλασιαστούν µε τον στροφέα π E = E si os( ωt β) β π E = E os si( ωt β) π j t e ω είναι οι ακόλουθες: ωε π H = E os si( ωt β) π (8) E = H = H = (9) (6) (7) 796

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E έχει δύο µη µηδενικές συνιστώσες τις στο επίπεδο E και E. Η εξίσωση των δυναµικών γραµµών του ηλεκτρικού πεδίου κατά την τυχούσα χρονική στιγµή t µπορεί να βρεθεί από τη σχέση d E d = (1) E Η (1) λόγω των (6) και (7) γράφεται ή d d E β ta( ωt β) = = (11) E π π ta( ) π π ta d β ta( ω t β ) d = ή ή π ( ) ( ) Από την ολοκλήρωση της (1) έχουµε π si d βsi( ωt β) d = π os os( ωt β) π ( ) ( ) d os dos( ωt β) = π os os( ωt β) (1) ή ( π ) l os( ω β ) l os = [ t ] + 1 os ( π ) os( ω t β ) όπου 1 σταθερές. Για παράδειγµα τη χρονική στιγµή t = η (13) γράφεται ( ) os( ) = (13) os π β = (14) 797

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ E H π / π 3 π / π β Σχήµα 15-6 Η τυπική µορφή των γραµµών E και H στο επίπεδο φαίνεται στο σχήµα 15-6. 15. Στα συστήµατα κυµατοδήγησης συχνά χρησιµοποιείται ο όρος ταχύτητα µεταφοράς ενέργειας ( υ e ) που ορίζεται ως ο λόγος της µέσης χρονικής τιµής ( P ) av της διαδιδόµενης ισχύος προς τη µέση χρονική τιµή ( W ) της αποθηκευµένης ενέργειας ανά µονάδα µήκους em av του κυµατοδηγού. Με βάση τον ορισµό αυτό να υπολογιστεί η ταχύτητα µεταφοράς ενέργειας του ρυθµού TM σ ένα σύστηµα κυµατοδήγησης άνευ απωλειών δύο παράλληλων πλακών. Από τον ορισµό της ταχύτητας µεταφοράς ενέργειας έχουµε υ e ( P ) Pav ds av S = = m/s (1) ( Wem ) av ( we) + ( wm) ds av av S 798

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 όπου P av είναι η µέση χρονική τιµή του πραγµατικού διανύσµατος Potig και ( w ) ( w ) είναι η µέση χρονική τιµή της πυκνότητας της αποθηκευµένης ενέργειας του e av m av ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου αντίστοιχα. Η µέση χρονική τιµή του διανύσµατος Potig δίνεται από το πραγµατικό µέρος του µιγαδικού διανύσµατος Potig * { } 1 Pav = Re E H () ενώ οι συνιστώσες των διανυσµάτων E και H για το ρυθµό TM δίνονται από τις σχέσεις H = E = H = (3) si j E = E ( q) e β (4) j j E β β = E os( q ) e (5) q jωε os jβ H = E ( q ) e (6) q όπου = ( π ) β ( ) ω µε π q = (7) Με αντικατάσταση των (3) (4) (5) (6) στην () έχουµε 1 Re si jβ jβ ( ) os jβ jωε ( ) os jβ Pav = E qe E qe E ( qe ) q q 1 Re si jβ jβ ( ) os jβ jωε ( ) os jβ = E qe E qe E ( qe ) q q 1 = Re jωε ωεβ E si( q) os( q) + E os ( q ) q q ή Συνεπώς η ανά µονάδα µήκους κατά την διεύθυνση µέση χρονική ισχύς είναι 1 ωεβ E ( P) = os ( ) av. Pav d = q d q 799

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ ( P ) av. ωεβ = E (8) 4q Οι µέσες χρονικές τιµές της πυκνότητας της ενέργειας του µαγνητικού και ηλεκτρικού πεδίου λόγω των (3) (4) (5) (6) είναι ή µ * ( w m ) = Re av { H H} 4 µω εe ( w ) os m = ( q) (9) av 4q και ή ε ( w ) Re{ * e = E E av } 4 εe β ( we) = si ( q) + os ( q ) av (1) 4 q Η ανά µονάδα µήκους - κατά και - ενέργεια του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου υπολογίζεται από την ολοκλήρωση των (9) και (1) ( Wem ) = ( we ) ( wm ) d av + av av εe β µω εe = si ( q ) + ( q) os ( ) d+ qd 4 q 4 q εe β µ ωεe = 1 + + 8 q 8q ή λόγω της (7) ( W ) em av ( + ) εe q β µ ωε E µ ωε E µ ωεe = + = + 8q 8q 8q 8q δηλαδή ( W ) em av E ω µε = (11) 4q Από τις (8) και (11) προκύπτει η ζητούµενη ταχύτητα µεταφοράς ενέργειας 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 υ e β ωε = (1) Η (1) επειδή β ω µε 1 ( f f ) = γράφεται υ ( f f) υ ( f f) 1 = 1 = 1 (13) µε e p δηλαδή παρατηρούµε ότι η τιµή της ταχύτητας οµάδας υ g. υ e είναι ίση µε την τιµή της ταχύτητας 15/3 Να σχεδιάσετε έναν κυµατοδηγό ορθογωνικής διατοµής a ( a ) τέτοιον ώστε στη συχνότητα f = 1 GH να λειτουργεί στο ρυθµό TE 1 µε συντελεστή ασφαλείας το πολύ 5% : ( f f 15 f ). Στον υπό σχεδίαση κυµατοδηγό η συχνότητα αυτή ( f = 1 GH) πρέπει να βρίσκεται κατά 5% τουλάχιστο κάτω από τη συχνότητα αποκοπής του ρυθµού µε την αµέσως µεγαλύτερη συχνότητα ( f 75 f ). ίνεται ότι το εσωτερικό του κυµατοδηγού πληρούται µε αέρα και ότι τα τοιχώµατά του έχουν άπειρη αγωγιµότητα. a Σχήµα 15-7 Για το ρυθµό TE 1 έχουµε 1 µε την (15.54) για m = και =. Η συχνότητα αποκοπής f σύµφωνα 81

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ είναι mπ π p = = a a (1) π q = = () f = 1 ( π / a) π µ ε = a (3) όπου έχουµε ή 8 = 3 1 (m/s) είναι η ταχύτητα του φωτός. Από την (3) και την f f 1 5f (4) 8 8 3 1 9 3 1 1 1 1 5 a a 1 5 m a 1 875 m (5) Η πλευρά υπολογίζεται από το δεύτερο σκέλος του προβλήµατος λαµβάνοντας υ- πόψη ότι ο ρυθµός µε την αµέσως µεγαλύτερη συχνότητα αποκοπής f είναι ο TE 1. Στην περίπτωση αυτή έχουµε m = = 1 και άρα mπ p = = (6) a π π q = = (7) Η νέα συχνότητα αποκοπής f λόγω των (6) και (7) είναι σύµφωνα µε την (15.54) έχουµε Έτσι από την ανισότητα 1 ( π / ) f = = (8) π µ ε f 75f (9) δηλαδή 8 9 3 1 1 1 75 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 1 15 m (1) Οι πλευρές a και του κυµατοδηγού πρέπει να εκλεγούν έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι (5) και (1). 15.4 ίνεται κυµατοδηγός ορθογωνικής διατοµής διαστάσεων a. Η πλευρά µπορεί να µεταβάλλεται µεταξύ 1 = 5 m και = 5 m ενώ η άλλη πλευρά a είναι σταθερή και ίση προς 3 m. Το εσωτερικό του κυµατοδηγού πληρούται µε αέρα. Ζητείται να καθοριστεί για συχνότητα λειτουργίας f = 7 5 GH η περιοχή τιµών της πλευράς ώστε να είναι δυνατή η διάδοση δια του κυµατοδηγού των τριών ρυθµών TE 1 TE 1 και TE 11. Η συχνότητα αποκοπής f για τον τυχόντα ρυθµό TE m δίνεται ως γνωστόν από τη σχέση f mπ π = π + a (1) Έτσι για τους τρεις ρυθµούς TE 1 TE 1 και TE 11 από την (1) αν θεωρήσουµε ότι το µετράται σε m έχουµε i) Ρυθµός TE 1 ( m = 1 = ) ii) Ρυθµός TE 1 ( m = = 1 ) f 8 3 1 = = = 5 GH () a 3 1 1 f 1 iii) Ρυθµός TE 11 ( m = 1 = 1 ) 9 15 1 = = (3) 1 1 9 1 1 f11 = + = 15 1 + a 3 (4) Από τις () (3) και (4) παρατηρούµε τα εξής: 83

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ α) Ο ρυθµός TE 1 έχει συχνότητα αποκοπής f 1 = 5 GH που είναι µικρότερη από τη συχνότητα λειτουργίας f = 7 5 GH για οποιαδήποτε τιµή της πλευράς. Άρα ο ρυθµός TE 1 διαδίδεται για όλες τις τιµές της πλευράς στο διάστηµα 5 m 5m (5) β) Για να διαδίδεται ο ρυθµός TE 1 πρέπει να ισχύει η ή λόγω της (3) η f1 15 1 9 f (6) 9 7 5 1 (7) Από την (6) συµπεραίνουµε ότι ο ρυθµός TE 1 διαδίδεται όταν ισχύει η m (8) γ) Τέλος για να διαδοθεί ο ρυθµός TE 11 πρέπει να ισχύει η ή λόγω της (4) η δηλαδή η f11 f (9) 9 1 1 9 15 1 + 7 5 1 (1) 9 68 m (11) Παρατηρούµε από τα παραπάνω ότι όταν η πλευρά περιοριστεί στο διάστηµα διαδίδονται και οι τρεις ρυθµοί TE 1 TE 1 και TE 11. 68 m 5 m (1) 84

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 15.5 ίνεται κυµατοδηγός ορθογωνικής διατοµής µε πλευρές a = 76 m και = 381 m. Το εσωτερικό του κυµατοδηγού πληρούται µε αέρα. Ζητούνται: α) Να υπολογιστεί η συχνότητα αποκοπής f και το µήκος κύµατος αποκοπής λ για τον ρυθµό TE 1. β) Για συχνότητα λειτουργίας του κυµατοδηγού f = 45 GH να βρεθούν οι εκφράσεις των συνιστωσών των διανυσµάτων E και H του ρυθµού TE 1 συναρτήσει µιας αυθαίρετης σταθεράς H. α) Για τον ρυθµό TE 1 ( m = 1 = ) έχουµε mπ π p = = = 413 m -1 (1) a a π q = = () Η συχνότητα αποκοπής f σύµφωνα µε την (15.54) είναι f = p q 1 9685 π + = a = GH (3) Από την (15.55) και την (3) υπολογίζεται το µήκος κύµατος αποκοπής π λ = = = 154 m (4) f p + q β) Αφού η συχνότητα λειτουργίας f = 45 GH είναι µεγαλύτερη από τη συχνότητα αποκοπής f = 19685 GH σύµφωνα µε την (15.5) η σταθερά διάδοσης γ είναι καθαρός φανταστικός όπου β γ = jβ (5) p q 1 35 f rad/m (6) ω f = ω µ ε = = Από τις πιο πάνω σχέσεις και τις (15.7) (15.73) (15.74) (15.75) (15.76) και (15.77) υπολογίζουµε τις ζητούµενες εκφράσεις j35 E = j46918h si(41 3 ) e (7) 85

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ E = E = (8) H = (9) και j35 = 741 si(413 ) (1) H j H e H = H e (11) os(413 ) j35 15.6 Να γραφούν οι γενικές εκφράσεις των µιγαδικών και στιγµιαίων τιµών των εντάσεων E και H για τον εγκάρσιο µαγνητικό ρυθµό TM 11 σ έναν ορθογωνικό κυµατοδηγό διαστάσεων a. Από τις εκφράσεις αυτές να επαληθευθεί η ορθογωνικότητα µεταξύ των ηλεκτρικών και µαγνητικών δυναµικών γραµµών. Να γραφούν επίσης οι γενικές εκφράσεις της στιγµιαίας τιµής του επιφανειακού ρεύµατος στα εσωτερικά τοιχώµατα του κυµατοδηγού που αντιστοιχούν στο ρυθµό TM 11. Από τις σχέσεις (15.66) έως (15.67) που δίνουν τις γενικές εκφράσεις υπό µιγαδική µορφή των συνιστωσών των διανυσµατικών µεγεθών E και H των ρυθµών TM m E H a Σχήµα 15-8 86

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 για τον ρυθµό TM11( m = = 1) επειδή p = π / a και q = π / έχουµε j () a E j E π β π π β = os si e h a (1) j () E j E π β π π β = si os e h a () j E π π β = E si si e a (3) j () E j H π ωε π π β = si os e h a (4) j () a E j H π ωε π π β = os si e h a (5) H = (6) όπου π π h = + a β = ω µε h (7) Η στιγµιαία τιµή για την τυχούσα συνιστώσα G (G οποιαδήποτε από τις E E E H H H ) προκύπτει από την Gt () = Re{ Ge jωt } (8) Από τις (1) έως (6) και την (8) καταλήγουµε στις παρακάτω εκφράσεις των στιγµιαίων τι- µών των εντάσεων E και H. β π π π E = E os si si( ωt β) h a a β π π π E = E si os si( ωt β) h a π π E = E si si os( ωt β) a ωε π π π H = E si os si( ωt β) h a ωε π π π H = E os si si( ωt β) h a a (9) (1) (11) (1) (13) 87

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ H = (14) Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις των δυναµικών γραµµών του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου σ ένα τυπικό επίπεδο d E a π π = = ta( ) ta d E a ( ) (15) E π π ( ) ta( ) d H = = ta d H a a Με κατά µέλη πολλαπλασιασµό των (15) κα (16) έχουµε H d d = 1 d E d (17) H Η (17) προφανώς υποδηλώνει την αµοιβαία ορθογωνικότητα µεταξύ των γραµµών των δύο οικογενειών. Επειδή το υλικό των τοιχωµάτων του ορθογωνικού κυµατοδηγού θεωρείται τέλεια αγώγιµο ( σ ) το πεδίο µέσα σ αυτό είναι µηδενικό ( E = H = ). Η ζητούµενη συνεπώς πυκνότητα επιφανειακού ρεύµατος K αν είναι το µοναδιαίο διάνυσµα το κάθετο στην εσωτερική όψη του τοιχώµατος µε φορά προς το εσωτερικό του κυµατοδηγού δίνεται από τη σχέση Έχουµε λοιπόν διαδοχικά: ή Για = όπου = H = H = a (16) K = H (18) K = H ( t) = H ( t)( ) = H ( t) K ωε π π = E si si( ωt β) = h a (19) Για = a όπου = H = H = a K ωε π π = H( a ) t = E si si( ωt β) = a h a () Για = όπου = H = H = K ωε π π = H () si si( ) t = E ωt β = h a (1) 88

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Για = όπου = H = H = K ωε π π = H () t = E si si( ωt β) = h a () 15.7 Σε ορθογωνικό κυµατοδηγό διαστάσεων a = 1 5 m = 8 m και παραµέτρων ε = 4ε µ = µ σ = η συνιστώσα H της µαγνητικής πεδιακής έντασης δίνεται από τη σχέση 3 H π π = jsi( )os( ) e a Θεωρώντας µόνον εγκάρσιους µαγνητικούς ρυθµούς και συχνότητα λειτουργίας f = 5 GH ζητείται να προσδιοριστούν: α) Ο ρυθµός λειτουργίας του κυµατοδηγού. β) Η συχνότητα αποκοπής. γ) Η φασική σταθερά β. δ) Η σταθερά διάδοσης γ. ε) Η κυµατική σύνθετη αντίσταση. jβ A/m στ) Οι µιγαδικές εκφράσεις όλων των συνιστωσών των εντάσεων E και H. α) Είναι προφανές από τη δοθείσα έκφραση της συνιστώσας H και τις εκφράσεις των συνιστωσών των διανυσµάτων E και H κατά τη διάδοση εγκάρσιων µαγνητικών ρυθµών σε κυµατοδηγούς (σχέσεις (15.66) έως (15.71)) επειδή p = π / a και q = 3 π / ότι m = 1 και = 3 δηλαδή ο ρυθµός λειτουργίας του κυµατοδηγού είναι ο TM 13 β) Από τη σχέση ( f ) m 1 p q 1 m = + = π µε µε + a (1) για m = 1 = 3 µ = µ ε = 4ε υπολογίζεται η συχνότητα αποκοπής ( f ) TM13 1 1 3 1 3 = µ 4ε + = + a 4 15 8 89

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ ή ( f ) = 857 GH () TM13 γ) Η φασική σταθερά β επειδή ω π π π 9 11 = f = 5 1 = 1 rad/s είναι 11 ω εr f π 1 4 8 57 8 f β = ω µε 1 = 1 = 1 f f 3 1 5 ή δ) Η σταθερά διάδοσης γ είναι β = 1718 81 rad/m (3) γ = jβ = j1718 81 m -1 (4) TM ε) Η κυµατική σύνθετη αντίσταση Z για την περίπτωση ρυθµών TM είναι TM E E β ω µε f f Z = = = = 1 = η 1 H H ωε ωε f f ή Z TM η f 1π 8 57 = = ε r 1 1 f 4 5 δηλαδή στ) Από τη δοθείσα έκφραση της συνιστώσας TM Z = 154 7 Ω (5) H και τη σχέση (15-69) έχουµε jωεqe jβ π 3π si p osqe = j si os e p + q a jβ ή ωεqe = (6) p + q Από την (6) επειδή p = π / a q = 3 π / και ε = 4ε προκύπτει π 3π ( p q ) ( a) + + E = = = 18 56 V/m (7) ωεq π 4ωε ( a ) Μετά την εύρεση της τιµής E εύκολα προκύπτουν από τις (15.66) έως (15.71) οι ζητούµενες εκφράσεις και των υπόλοιπων συνιστωσών των διανυσµάτων E και H 81

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 3 j E π π β = j13 3 os si e a (8) 3 j E π π β = j391 si os e a (9) 3 j E π π β = 18 56 si si e a (1) 3 j H π π β = jsi si e a (11) 3 j H π π β = j 667 os si e a (1) H = (13) 15.8 Να δειχθεί ότι η διαδιδόµενη ισχύς P T από ορθογωνικό κυµατοδηγό διαστάσεων a στην περίπτωση εγκάρσιου µαγνητικού κύµατος (ρυθµοί TM ) δίνεται από τη σχέση P T ae f f = 1 8η f f όπου E είναι το πλάτος της συνιστώσας E της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης και η η χαρακτηριστική αντίσταση του διηλεκτρικού υλικού µε το οποίο πληρούται ο κυµατοδηγός. Η µέση χρονική τιµή P της διαδιδόµενης ισχύος ανά µονάδα επιφανείας κατά τη διεύθυνση διάδοσης είναι P { } 1 * 1 * = ( Re { S }) = Re { E H} Re ( ) = E H 1 = Re { ( E + E + E ) ( H + H ) } 1 = Re { ( E H E H) + E H E H } ή 1 Re { } P = E H E H (1) 811

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ Από τις εκφράσεις των συνιστωσών των διανυσµάτων E και H στην περίπτωση εγκάρσιου µαγνητικού κύµατος (σχέσεις (15.66) έως (15.71)) εύκολα διαπιστώνουµε ότι ισχύει η TM E E β Z () ωε = = = H H TM όπου Z είναι η κυµατική σύνθετη αντίσταση για εγκάρσιο µαγνητικό κύµα. Η (1) λόγω της () γράφεται 1 TM β P = Z ( H H+ H H) = ( H + H ) (3) ωε j qe ή επειδή si ( ) os j H ωε β = p ( q) e p + q (4) j pe os ( ) si j H ωε β = p ( q) e (5) p + q βωεe P = q si ( p) os ( q) p os ( p) si ( q) + (6) ( p + q ) όπου p = mπ / a q = π / ( m= 1 3 ). Η µέση χρονική τιµή της συνολικής ισχύος P T που διαδίδεται προκύπτει από την ολοκλήρωση της (6) στην εγκάρσια διατοµή του κυµατοδηγού δίνεται δηλαδή από την P = P ds = P dd T S βωεe a = q si ( p) os ( q) p os ( p) si ( q) dd + ( p + q ) a (7) Η (7) επειδή si a 4a si ( a) d = + (8) si a και os ( ) a d = + + (9) a γράφεται βωεe a a PT = q + p 4 4 ( p + q ) ή P T ae = 8 βωε p + q (1) 81

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Η (1) αν λάβουµε υπόψη τις σχέσεις f β ω µε 1 = f 1 p + q f = και π µε µ η = ε γράφεται P T ae f f = 1 8η f f 15.9 Ορθογωνικός κυµατοδηγός διαστάσεων a = 4 m = 6 m λειτουργεί στη συχνότητα των f = 4 8 GH. Η ειδική αγωγιµότητα του µεταλλικού υλικού των τοιχωµάτων 7 του είναι σ = 5 8 1 S/m. Ο κυµατοδηγός πληρούται µε διηλεκτρικό υλικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε r = 55 µαγνητικής διαπερατότητας µ = µ και ειδικής αγωγιµότητας 17 σ d = 1 S/m. Αν ο κυµατοδηγός πρέπει να τροφοδοτεί κεραία µε ισχύ τουλάχιστον 1 kw να υπολογιστεί η ισχύς που χάνεται σ ένα µήκος 6 m του κυµατοδηγού κατά τη λειτουργία στο ρυθµό TE 1. ίνεται ότι η σταθερά απόσβεσης α σ έναν ορθογωνικό κυµατοδηγό µε απώλειες διαστάσεων a είναι ίση µε το άθροισµα των σταθερών απόσβεσης α d και α λόγω των απωλειών στο διηλεκτρικό και τα αγώγιµα τοιχώµατα αντίστοιχα οι οποίες για ρυθµούς δίνονται από τις σχέσεις ση d α d = f 1 f m R + S f a a f και ( α) = κ 1 TEm m κ + f a f + f η 1 m + f a TE m όπου η είναι η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου και R S = 1 π f µ σδ = σ η επιφανειακή αντίσταση και κ i = όταν i = ή κ i = 1 όταν i. 813

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ Αν P i είναι η ισχύς εισόδου στον κυµατοδηγό P α η ισχύς που παρέχεται στην κεραία και P l η ισχύς απωλειών στον κυµατοδηγό ( Pi = Pα + Pl ) τότε η ισχύς P α λόγω της παρατηρούµενης απόσβεσης είναι P P e α όπου = 6 m είναι το µήκος του κυµατοδηγού. Από την (1) έχουµε την α = i (1) P = ( P + P) e α α α l ή l α ( 1) P = e P () α Προκειµένου λοιπόν να υπολογιστεί η P l χρειάζεται να υπολογιστεί προηγούµενα η συνολική σταθερά απόσβεσης α. Η τιµή του λόγου σ /( ωε ) στο διηλεκτρικό υλικό είναι d 17 σd 1 = = ωε π 48 1 55 9 9 1 36 π 17 1 47 1 1 (3) Έχουµε δηλαδή περίπτωση καλού µονωτικού οπότε µ 1 µ 1π η = = = 361 Ω (4) ε ε ε 55 Η συχνότητα αποκοπής f για τον ρυθµό TE 1 είναι r f 8 1 1 3 1 = = = = = 34 GH (5) α µε α ε µ ε α ε r r 4 1 55 Συνεπώς η σταθερά απόσβεσης στο διηλεκτρικό µέσο είναι ίση προς α d 17 ση 1 361 = = = 1 334 1 f 34 1 1 f 4 8 15 Np/m (6) Η σταθερά απόσβεσης και = δίνεται από τη σχέση α για το ρυθµό TE 1 από τη σχέση της εκφώνησης για m = 1 814

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ( α ) TE1 R s 1 f = + f a f (7) η 1 f όπου R s 9 7 π f µ π 4 8 1 4π 1 = = = 1 88 1 7 σ 5 8 1 Ω (8) Συνεπώς η τιµή της σταθεράς α είναι α 1 6 34 1 88 1 + 4 48 = = 4 18 1 34 6 1 361 1 4 8 3 Np/m (9) Από τις (6) και (9) παρατηρείται ότι αd α δηλαδή οι απώλειες που οφείλονται στην πεπερασµένη αγωγιµότητα του τοιχώµατος είναι πολύ µεγαλύτερες από τις απώλειες που οφείλονται στην µικρή αγωγιµότητα του διηλεκτρικού υλικού. Έτσι η τιµή της ολικής σταθεράς απόσβεσης είναι 3 d 4 18 1 Np/m (1) α = α + α α = Οι ζητούµενες απώλειες προκύπτουν από την αντικατάσταση της (1) στην () ή l ( ) 3 3 ( 418 1 α 1 1 1 6 α 1) P = e P = e P = 6 89 W (11) δηλαδή που αντιπροσωπεύουν µόλις το 5% της ισχύος εισόδου. l 815

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ 15.1 Ένα σήµα συχνότητας 1 GH πρέπει να διαδοθεί σ έναν µεταλλικό κοίλο κυλινδρικό κυµατοδηγό. Να υπολογιστεί η διάµετρος του κυµατοδηγού έτσι ώστε η ελάχιστη συχνότητα αποκοπής να είναι κατά % µικρότερη της συχνότητας του σήµατος. Ποιοι ρυθµοί διαδίδονται κατά τη λειτουργία του κυµατοδηγού στη συχνότητα των 15 GH; Στους πίνακες που ακολουθούν αναγράφονται οι τιµές κατά σειρά µεγέθους των ριζών των συναρτήσεων J() και J ( ) (για = 1 3 ) όπου J( ) είναι η τάξης συνάρτηση Bessel πρώτου είδους: J( ) = : 1 = 45 = 5 5 3 = 8 654 J1( ) = : 11 = 3 83 1 = 7 16 13 = 1174 J( ) = : 1 = 5136 = 8 417 3 = 11 6 J () = : 1 = 3 83 = 7 16 3 = 1174 J ( ) = : 1 11 = 1 841 1 = 5 331 13 = 8 536 J () = : 1 = 3 54 = 6 76 3 = 9 97 J () = : 3 31 = 4 1 3 = 8 15 33 = 11 346 Η ελάχιστη συχνότητα αποκοπής που είναι η συχνότητα αποκοπής του πρωτεύοντος ρυθµού σ έναν κυλινδρικό κυµατοδηγό ακτίνας a σύµφωνα µε την (15.96) είναι η ( f ) TE11 1 1 1 841 93 879 1 π a µε π a a a 8 11 = = = = H ή ( ) f TE11 879 = GH (1) a Η συχνότητα αυτή δίνεται ότι είναι το 8% της συχνότητας του σήµατος. Άρα 879 = 8 1 = 8 GH a 816

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 δηλαδή d = a = m () Από τις τιµές του πίνακα επειδή οι συχνότητες αποκοπής των ρυθµών δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις TE m και TM m ( f ) TEm 1 m = (3) π µε και ( f ) TMm 1 m = (4) π µε προκύπτει ότι οι συχνότητες αποκοπής για τον κυµατοδηγό ακτίνας a = d/ = 11 m που είναι µικρότερες της συχνότητας λειτουργίας των 15 GH είναι οι ακόλουθες: ( f ) = 8 GH (5) TE11 ( f ) TM1 ( f ) TE1 45 = = = 1 841 1 8 8 145 11 3 54 = = = 1 841 1 8 8 137 11 GH (6) GH (7) Οι συχνότητες αποκοπής όλων των άλλων ρυθµών είναι µεγαλύτερες της συχνότητας λειτουργίας των 15 (GH). Συνεπώς οι µόνοι ρυθµοί που µπορούν να διαδοθούν δια του κυ- µατοδηγού είναι οι TE 11 TM 1 και TE 1. 817

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ 15.5 Ασκήσεις 15/1 Να δειχτεί ότι ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα µπορεί να διαδοθεί µεταξύ δύο τέλεια αγώγιµων επιπέδων = και = κατά την παράλληλη προς αυτά διεύθυνση αν οι συνιστώσες των διανυσµάτων E και H δίνονται από τις σχέσεις j E π β = jωµ si e E = E = H = j H π β = jβ si e j H π π β = os e όπου ακέραιος. Να βρεθεί η εξίσωση που πρέπει να ικανοποιεί η σταθερά β και να καθοριστεί σε ποιες περιπτώσεις είναι δυνατή η διάδοση του κύµατος. Επίσης να βρεθεί η έκφραση της µέσης χρονικής τιµής της ισχύος που διαδίδεται κατά τη διεύθυνση. 15/ ύο άπειρης έκτασης και αγωγιµότητας επίπεδα τοποθετούνται παράλληλα στον αέρα σε απόσταση a = 3 m. Για κάθε έναν από τους τρεις χαµηλότερους ρυθµούς να βρεθεί η περιοχή συχνοτήτων ώστε να παρατηρείται διάδοση εγκάρσιου µαγνητικού κύµατος µεταξύ των δύο επιπέδων. 15/3 Να βρεθούν οι στιγµιαίες εκφράσεις των συνιστωσών των εντάσεων E και H για τον ρυθµό TE 1 σ ένα σύστηµα κυµατοδήγησης δύο παράλληλων αγώγιµων επίπεδων πλακών που απέχουν απόσταση. Να θεωρηθεί ότι η διάδοση γίνεται κατά τα θετικά. Να βρεθεί επίσης η εξίσωση των δυναµικών γραµµών του µαγνητικού πεδίου στο επίπεδο κατά τη χρονική στιγµή t =. 15/4 Ένα σύστηµα κυµατοδήγησης δύο παράλληλων αγώγιµων πλακών που βρίσκεται στον αέρα σε απόσταση 3 m λειτουργεί στη συχνότητα των 1 GH. Να βρεθεί η µέγιστη 818

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 τιµή της χρονικής µέσης ισχύος (ανά µονάδα πλάτους της διάταξης) που µπορεί να διαδοθεί από τον κυµατοδηγό χωρίς να σηµειωθεί διάσπαση του αέρα στις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις (α) Ρυθµός TEM (β) Ρυθµός TM 1 (γ) Ρυθµός TE 1. ίνεται ότι η διηλεκτρική αντοχή του αέρα είναι E ma = 3MV/m. 15/5 Τα µήκη των πλευρών a και ενός κοίλου κυµατοδηγού ορθογωνικής διατοµής είναι: a = 4 mm και = 8 mm. Ζητούνται: (α) Να προσδιοριστούν οι συχνότητες αποκοπής f για τους ρυθµούς: TEM TE 1 TE TE 1 TE TE 11 TE 1 και TE 1. (β) Να βρεθεί ο λόγος της ταχύτητας διάδοσης στον κυµατοδηγό προς την ταχύτητα διάδοσης στον ελεύθερο κενό χώρο για κάθε έναν από τους πιο πάνω ρυθµούς όταν f = 1 5f. 15/6 Να προσδιοριστούν οι διαστάσεις κυµατοδηγού ορθογωνικής διατοµής ώστε να παρατηρείται διάδοση µόνον του ρυθµού TE 1 στην περιοχή συχνοτήτων 5 75GH και µόνον σ αυτή. Αν ο κυµατοδηγός διεγερθεί από τρεις συχνότητες f 1 = 4 GH f = 6 GH και f 3 = 8 GH ποιες συχνότητες και ποιοι ρυθµοί TE εµφανίζονται στην έξοδο του κυ- µατοδηγού; (το µήκος του κυµατοδηγού που πληρούται µε αέρα θεωρείται αρκετά µεγάλο). 15/7 Μεταλλικός κυµατοδηγός ορθογωνικής διατοµής διαστάσεων a = 1 5 m = 8 m πληρούται µε διηλεκτρικό υλικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε r = 4 και µαγνητικής διαπερατότητας µ = µ. Η στιγµιαία τιµή της συνιστώσας E δίνεται από τη σχέση π 3π E = 5841os si si( ωt β) V/m a 11 όπου ω = π 1 rad/se. Θεωρώντας µόνον εγκάρσιους ηλεκτρικούς ρυθµούς ( E = ) ζητούνται: (α) Ο ρυθµός λειτουργίας του κυµατοδηγού. 819

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ (β) Η συχνότητα αποκοπής. (γ) Η φασική σταθερά β. (δ) Η σταθερά διάδοσης γ. (ε) Η κυµατική σύνθετη αντίσταση. (στ) Οι εκφράσεις των στιγµιαίων τιµών όλων των συνιστωσών των διανυσµατικών µεγεθών E και H. 15/8 Να δειχθεί ότι η διαδιδόµενη ισχύς P T σε κυµατοδηγό ορθογωνικής διατοµής διαστάσεων a στην περίπτωση εγκάρσιου ηλεκτρικού κύµατος (ρυθµοί ΤΕ) δίνεται για µεν τους πρωτεύοντες ρυθµούς TE m και TE από τη σχέση P T aηh f f = 1 4 f f για δε τους υπόλοιπους ρυθµούς ( m ) από τη σχέση P T aηh f f = 1 8 f f όπου H είναι το πλάτος της συνιστώσας H και η η χαρακτηριστική αντίσταση του µέσου. 15/9 Σε κυµατοδηγό ορθογωνικής διατοµής διαστάσεων a = m και = 1 m επιθυ- µούµε τη διάδοση του ρυθµού TM 1. Ζητούνται: (α) Να βρεθεί η συχνοτική περιοχή λειτουργίας του κυµατοδηγού για την οποία εξασφαλίζεται η µη διάδοση ανώτερων ρυθµών µε συντελεστή ασφαλείας 5%. (β) Αν η συχνότητα λειτουργίας επιλεγεί στο µέσο της συχνοτικής περιοχής του προηγούµενου ερωτήµατος να υπολογιστούν η φασική σταθερά διάδοσης β η φασική ταχύτητα v p και η ταχύτητα οµάδας για τον διαδιδόµενο ρυθµό. (γ) Να υπολογιστεί η συνολική ισχύς που µεταδίδεται από τον κυµατοδηγό. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 15/1 Ένα εγκάρσιο TE 1 κύµα διαδίδεται στη συχνότητα των 1 GH σ έναν ορθογωνικό κυµατοδηγό διαστάσεων a = 1 5 m = 6 m που πληρούται µε πολυαιθυλένιο σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε r = 5 σχετικής µαγνητικής διαπερατότητας µ r = 1 4 και ειδικής αγωγιµότητας = 5 1 S/m. Η ειδική αγωγιµότητα του τοιχώµατος του σ d 7 κυµατοδηγού είναι σ = 1 57 1 S/m. Ζητείται να υπολογιστούν: (α) Η φασική σταθερά. (β) Το µήκος κύµατος του κυµατοδηγού. (γ) Η φασική ταχύτητα. (δ) Η κυµατική σύνθετη αντίσταση. (ε) Η σταθερά απόσβεσης λόγω απωλειών στο διηλεκτρικό a d. (στ) Η σταθερά απόσβεσης λόγω απωλειών στα αγώγιµα τοιχώµατα a. (ζ) Η συνολική σταθερά απόσβεσης. 15/11 Κυλινδρικός κυµατοδηγός ακτίνας a = 3 m λειτουργεί στη συχνότητα των GH. Αν η σχετική διηλεκτρική σταθερά του διηλεκτρικού υλικού µε το οποίο πληρούται ο κυµατοδηγός είναι ε r = 56 ζητούνται για τον πρωτεύοντα ρυθµό ΤΕ τα ακόλουθα: (α) Η συχνότητα αποκοπής. (β) Το µήκος κύµατος του κυµατοδηγού. (γ) Η φασική σταθερά. (δ) Η σύνθετη κυµατική αντίσταση Z = E / H = E / H. (ε) m ρ ϕ ϕ ρ Το εύρος ζώνης για µονόρρυθµη λειτουργία του κυµατοδηγού. 81

Ο ΗΓΟΥΜΕΝΟ ΚΥΜΑ ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ 8