1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές τις ασκήσεις. Επισημαίνουμε ότι στην εξέταση θα υπάρχουν και ερωτήματα σε θέματα Θεωρίας. Μ. Ανούσης 1

Ασκήσεις στην Ανάλυση ΙΙ 8 Μαρτίου 2012 1 Ομοιόμορφη σύγκλιση Άσκηση 1 Δίνονται δύο ακολουθίες συναρτήσεων {f n } n N, {g n } n N με f n : R R, g n : R R, για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f και ότι η {g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην g. Δείξτε ότι η {f n + g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f + g. Άσκηση 2 Δίνονται δύο ακολουθίες συναρτήσεων {f n } n N, {g n } n N με f n : R R, g n : R R, για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f και ότι η {g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην g. Ψποθέτουμε ότι οι f και g είναι φραγμένες. Δείξτε ότι η {f n g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην fg. Άσκηση 3 Δίνονται δύο ακολουθίες συναρτήσεων {f n } n N, {g n } n N με f n : R R, g n : R R, για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f και ότι η {g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην g. Εξετάστε αν η {f n g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην fg. Άσκηση 4 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N, με f n : R R, που ορίζεται f n (x) = 1 n x2, για κάθε n N. 1. Θεωρούμε M R, M > 0. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [ M, M]. 2. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο R. 2

Άσκηση 5 Θεωρούμε ένα μετρικό χώρο X. Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση f : X R. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M n R τέτοιο ώστε f n (x) M n για κάθε x X. Δείξτε ότι υπάρχει M R τέτοιο ώστε f n (x) M για κάθε n N και για κάθε x X. Άσκηση 6 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για κάθε n N. f n (x) = 1 1 + nx 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, 1] και βρείτε το όριο. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, 1]. 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [δ, 1] για δ > 0. Άσκηση 7 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για κάθε n N. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, ) και βρείτε το όριο. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, ). 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [δ, ) για δ > 0. Άσκηση 8 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n (x) = x2n 1 + x 2n για κάθε n N. 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο R και βρείτε το όριο. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο R. 3

3. Εξετάστε αν υπάρχουν M > 0 για τα οποία η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [M, ). Άσκηση 9 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για κάθε n N. f n (x) = 1 1 x n 1. Δείξτε ότι η η {f n } n N συγκλίνει σημειακά στο (1, ) και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο (1, ). 3. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [a, ) για a > 1. Άσκηση 10 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για κάθε n N. f n (x) = ( 1) n x2 + n n 2 1. Δείξτε ότι η η {f n } n N συγκλίνει σημειακά στο R και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο R. 3. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [ M, M] για M > 0. Άσκηση 11 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για n N. f n (x) = nx 1 + nx 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, ) και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, ). 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [δ, ) για δ > 0. 4

Άσκηση 12 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για n N. f n (x) = n 2 xe nx 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, 1] και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, 1]. 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [δ, 1] για δ > 0. Άσκηση 13 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για n N. f n (x) = 2x + n x + n 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, ) και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, ). 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, M] για M > 0. Άσκηση 14 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n (x) = x 1 + nx 2 για n N. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο R και βρείτε το όριο της. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο R. Άσκηση 15 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R για κάθε n N και f : X R. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Δείξτε ότι και η { f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Άσκηση 16 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, 1] R για κάθε n N που ορίζεται f n (x) = ( 1) n (1 + x n ). Δείξτε ότι η { f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, 1] ενώ η {f n } n N δεν συγκλίνει. 5

Άσκηση 17 Θεωρούμε ένα μετρικό χώρο X και δ > 0. Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R για κάθε n N με την ιδιότητα f n (x) δ για κάθε x X και n N και μια συνάρτηση f με f n : X R. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Δείξτε ότι: 1. f(x) 0 για κάθε x X. 2. Η { 1 f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην 1 f. Άσκηση 18 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : R R για κάθε n N που ορίζεται f n (x) = x 1 + nx 2. 1. Δείξτε ότη η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο R και βρείτε το όριο f. 2. Δείξτε ότι f n(x) f (x) αν x 0, αλλά f n(0) f (0). 3. Βρείτε για ποιά διαστήματα [a, b] ισχύει ότι η {f n} n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f στο [a, b]. Άσκηση 19 Θεωρούμε ένα σημείο x 0 R. Βρείτε μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με {f n } : R R ασυνεχών στο x 0 που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση συνεχή στο x 0. Άσκηση 20 Βρείτε μια ακολουθία {f n } n N Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων που συγκλίνει σημειακά σε μια συνάρτηση που δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη. Άσκηση 21 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : R R για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η f n είναι συνεχής συνάρτηση για κάθε n N και ότι η ακολουθία {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο Q. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο R. Άσκηση 22 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : R R για κάθε n N που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση f με f : R R. Θεωρούμε x 0 R. Υποθέτουμε ότι Δείξτε ότι lim f n (x) = a n. x x 0 6

1. Η {a n } n N συγκλίνει σε ένα σημείο a R. 2. lim f(x) = a. x x 0 Δηλαδή lim lim f n (x) = lim lim f n (x). n n x x0 x x 0 Άσκηση 23 Δίνεται ένας μετρικός χώρος X και μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R για κάθε n N. Δείξτε ότι η f n συγκλίνει ομοιόμορφα αν και μόνο αν είναι ομοιόμορφα Cauchy. Άσκηση 24 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N που συγκλίνει ο- μοιόμορφα σε μια συνεχή συνάρτηση f σε ένα σύνολο E, E R. Δείξτε ότι αν {x n } n N είναι μια ακολουθία στο E που συγκλίνει σε ένα σημείο x E, τότε f n (x n ) f(x). Άσκηση 25 Δίνεται ένας συμπαγής μετρικός χώρος X και μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R για κάθε n N και μια συνεχής συνάρτηση f με f : X R. Υποθέτουμε ότι για κάθε x X και για κάθε ακολουθία {x n } n N στο X που συγκλίνει στο σημείο x X, ισχύει f n (x n ) f(x). Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Άσκηση 26 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : (0, 1] R με { n αν 0 1 f n (x) = n 1, αν 1 < x 1 x n και η συνάρτηση f : (0, 1] R που ορίζεται f(x) = 1 x. 1. Δείξτε ότι ότι για κάθε x (0, 1] και για κάθε ακολουθία {x n } n N στο (0, 1] που συγκλίνει στο σημείο x, ισχύει f n (x n ) f(x). 2. Δείξτε ότι η {f n } n N δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Άσκηση 27 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, 1] R για κάθε n N που συγκλίνει σημειακά σε μια συνάρτηση f. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N είναι αύξουσα για κάθε n N. Είναι η f αύξουσα; 7

Άσκηση 28 Δίνεται μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, 1] R για κάθε n N που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση f. Δείξτε ότι 1 1 n 0 f n (x)dx 1 0 f(x)dx. Άσκηση 29 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, ) R που ορίζεται f 1 (x) = x για κάθε n N. f n+1 (x) = x + f n (x) 1. Δείξτε ότι 0 = f n (0) < f n (x) < f n+1 (x) < 1 + x για κάθε n N και για κάθε x (0, ). 2. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [a, b] για 0 < a < b <. 3. Δείξτε ότι η {f n } n N δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, 1]. Άσκηση 30 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, 1] R που ορίζεται f n (x) = x n. Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση g : [0, 1] R με g(1) = 0. Δείξτε ότι η {gf n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα. Άσκηση 31 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X [0, 1] για κάθε n N και μια συνάρτηση f : X [0, 1]. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση g : [0, 1] R. Δείξτε ότι η {g f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην g f. Άσκηση 32 Δίνεται η σειρά συναρτήσεων με f n : [0, ) R n=1 1 n 2 x 2 1. Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει για κάθε x R, x 0. 2. Εξετάστε αν η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο x R {0}. 8

3. Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο [a, ) για 0 < a. 4. Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο (, a] για 0 < a. Άσκηση 33 Δίνεται η σειρά x n (1 x). n=1 Δείξτε ότι συγκλίνει στο [0, 1]. Δείξτε ότι δεν συγκλίνει ομοιόμορφα. Άσκηση 34 Δίνεται η σειρά ( 1) n x n (1 x). n=1 Δείξτε ότι συγκλίνει στο [0, 1]. Δείξτε ότι συγκλίνει ομοιόμορφα. Άσκηση 35 Δίνεται μια ακολουθία {a n } n N στο R. Υποθέτουμε ότι n=1 a n <. Δείξτε ότι η σειρά a n e nx συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, ). Άσκηση 36 Δίνεται η σειρά n=1 n=1 x n 1 + x n. Βρείτε για ποιά σημεία του R η σειρά συγκλίνει. Βρείτε για ποιά διαστήματα η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Άσκηση 37 Δίνεται η σειρά συναρτήσεων 1 (x + n)(x + n + 1). n=0 Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, a] για a R, a > 0. Άσκηση 38 Δίνεται η σειρά συναρτήσεων x n(x + n). n=1 Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, 1]. 9

2 Μέτρο Lebesgue Άσκηση 39 1. Δίνεται το σύνολο A = {1, 2, 3}. Βρείτε όλες τις άλγεβρες υποσυνόλων του A. 2. Δίνεται το σύνολο A = {1, 2, 3, 4}. Βρείτε όλες τις άλγεβρες υποσυνόλων του A. Άσκηση 40 1. Βρείτε την άλγεβρα υποσυνόλων του N που παράγεται απο τα μονοσύνολα. 2. Βρείτε την σ-άλγεβρα υποσυνόλων του N που παράγεται απο τα μονοσύνολα. Άσκηση 41 1. Βρείτε την άλγεβρα υποσυνόλων του R που παράγεται απο τα μονοσύνολα. 2. Βρείτε την σ-άλγεβρα υποσυνόλων του R που παράγεται απο τα μονοσύνολα. Άσκηση 42 Δίνεται μια σ-άλγεβρα A υποσυνόλων του R. Δείξτε ότι αν η A περιέχει μια αριθμήσιμη οικογένεια διαφορετικών ανά δύο συνόλων, τότε το πλήθος των στοιχείων της A είναι υπεραριθμήσιμο. Άσκηση 43 Δίνεται μια συνάρτηση f : X Y. 1. Αν η B είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Y τότε η A = {f 1 (B) : B B} είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X. 2. Αν η A είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X τότε η B = {B Y : f 1 (B) A} είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Y. Άσκηση 44 Δίνεται μια άλγεβρα συνόλων A. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. Αν A i A για κάθε i N τότε i=1 A. 2. Αν A i A για κάθε i N και τα A i είναι ξένα ανά δύο, τότε i=1a i A. 3. Αν A i A για κάθε i N και A i A i+1 για κάθε i N, τότε i=1a i A. 10

Άσκηση 45 Δίνεται μια συνάρτηση f : R R. Δείξτε ότι το σύνολο των σημείων που η f είναι συνεχής είναι G δ. Άσκηση 46 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f} n N με f n : R R για κάθε n N. Δείξτε ότι το σύνολο των σημείων που η {f} n N συγκλίνει είναι F σδ. Άσκηση 47 Δίνεται ένα υποσύνολο E του [0, 1] με m (E) = 0. Δείξτε ότι το [0, 1] E είναι πυκνό στο [0, 1]. Άσκηση 48 Δίνεται ένα υποσύνολο E του R. Δείξτε ότι m (E) = inf{m (U) : E U, Uανοικτό }. Άσκηση 49 Δίνονται δύο υποσύνολα A και B του R. Δείξτε ότι αν m (A) = 0 τότε m (A B) = m (B). Άσκηση 50 Δίνονται δύο μετρήσιμα σύνολα A και B. Δείξτε ότι m (A B) + m (A B) = m (A) + m (B). Άσκηση 51 Δίνονται δύο σύνολα A και B τέτοια ώστε d(a, B) = inf{ x y : x A, y B} > 0. Δείξτε ότι m (A B) = m (A) + m (B). Άσκηση 52 Δίνονται δύο μετρήσιμα σύνολα A και B με B A και m (A) <. Δείξτε ότι m (A) = m (A B) + m (B). Άσκηση 53 Δίνονται ένα μετρήσιμο σύνολο A με m (A) < και ένα σύνολο B με A B. Δείξτε ότι m (B) = m (B A) + m(a). Άσκηση 54 Δίνονται ένα σύνολο A με m (A) < και ένα μετρήσιμο υποσύνολο B του A τέτοιο ώστε m(b) = m (A). Δείξτε ότι το A είναι μετρήσιμο. 11

Άσκηση 55 Θεωρούμε μια αρίθμηση {q n } n N του Q. Για ɛ > 0 θέτουμε Θέτουμε 1. Δείξτε ότι Q A. A(ɛ) = n=1(q n ɛ 2 n, q n + ɛ 2 n ). A = n=1a( 1 n ). 2. Δείξτε ότι το A(ɛ) είναι μετρήσιμο και m(a(ɛ)) 2ɛ. 3. Δείξτε ότι το A είναι μετρήσιμο και m(a) = 0. Άσκηση 56 Θεωρούμε μια αρίθμηση {q n } n N του Q [0, 1]. Για ɛ > 0 θέτουμε A(ɛ) = n=1(q n ɛ 2, q n n + ɛ 2 ). n Θέτουμε A = n=1a( 1 n ). 1. Δείξτε ότι αν ɛ < 1, το [0, 1] A(ɛ) είναι μη κενό. 2 2. Δείξτε ότι το A(ɛ) είναι μετρήσιμο και m(a(ɛ)) 2ɛ. 3. Δείξτε ότι Q [0, 1] A. 4. Δείξτε ότι A [0, 1]. 5. Δείξτε ότι το A είναι μετρήσιμο και m(a) = 0. 6. Δείξτε ότι το A είναι υπεραριθμήσιμο. Άσκηση 57 Δίνονται n ανοικτά διαστήματα I 1, I 2,..., I n. Δείξτε ότι αν το n i=1i i περιέχει το Q [0, 1], τότε n i=1 l(i i) 1. Άσκηση 58 Δίνονται ένα υποσύνολο A του R και ɛ > 0. Δείξτε ότι υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο U του R που περιεχει το A τέτοιο ώστε m (U) m (A) + ɛ. Άσκηση 59 Δίνεται ένα υποσύνολο A του R. Υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο U του R που περιεχει το A τέτοιο ώστε m (U) = m (A); 12

Άσκηση 60 Δίνεται ένα υποσύνολο A του R. Δείξτε ότι υπάρχει ένα G δ υποσύνολο G του R που περιεχει το A και τέτοιο ώστε m (G) = m (A). Άσκηση 61 Δίνονται ένα ανοικτό φραγμένο υποσύνολο U του R και ɛ > 0. Δείξτε ότι υπάρχει ένα συμπαγές υποσύνολο K του R που περιέχεται στο U και τέτοιο ώστε m (K) m (U) ɛ. Άσκηση 62 Δίνεται μια ακολουθία {A} n N ξένων ανά δύο μετρήσιμων συνόλων. Δείξτε ότι για κάθε σύνολο B έχουμε m (B ( i=1)a i )) = m (B A i ). Άσκηση 63 Δίνονται ένα υποσύνολο A του R. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα. 1. Το A είναι μετρήσιμο. 2. Για κάθε ɛ > 0 υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο U του R που περιεχει το A τέτοιο ώστε m (U A) < ɛ. 3. Για κάθε ɛ > 0 υπάρχει ένα κλειστό υποσύνολο F του R που περιέχεται στο A τέτοιο ώστε m (A F ) < ɛ. 4. Υπάρχει ένα G δ υποσύνολο G του R που περιέχει το A και τέτοιο ώστε m (G) = m (A). 5. Υπάρχει ένα F σ υποσύνολο F του R που περιέχεται στο A και τέτοιο ώστε m (F ) = m (A). Άσκηση 64 Δίνονται ένα υποσύνολο A του R με 0 < m (A) <. Δείξτε ότι για κάθε 0 < a < 1 υπάρχει ανοικτό διάστημα J τέτοιο ώστε m (A J) am (J). Άσκηση 65 Δίνονται ένα υποσύνολο A του R με m (A) <. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα. 1. Το A είναι μετρήσιμο. 2. Για κάθε ɛ > 0 υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο U του R που είναι ένωση πεπερασμένου πλήθους ανοικτών διαστημάτων τέτοιο ώστε m (U A) < ɛ. 13 i=1

Άσκηση 66 1. Δείξτε ότι για κάθε ακολουθία {c n } n N στο {0, 1, 2} η σειρά c n 3 n n=1 συγκλίνει σε κάποιον αριθμό στο [0, 1]. 2. Δείξτε ότι για κάθε αριθμό x στο [0, 1] υπάρχει ακολουθία {c n } n N στο {0, 1, 2} τέτοια ώστε c n x = 3. n n=1 Το 0.c 1 c 2 c 3... λέγεται τριαδικό ανάπτυγμα του x. 3. Δείξτε ότι αν x [0, 1] τότε ο x έχει δύο τριαδικά αναπτύγματα αν και μόνον αν x = m 3 n για κάποιους m, n στο N. 4. Συμβολίζουμε C το σύνολο του Cantor. Δείξτε ότι αν x [0, 1] τότε x C αν και μόνον αν ο x έχει τουλάχιστον ένα τριαδικό ανάπτυγμα 0.c 1 c 2 c 3... με c n {0, 2} για κάθε n N. Άσκηση 67 Δείξτε ότι το σύνολο Cantor έχει μέτρο 0. Άσκηση 68 Δίνεται 0 < δ < 1. Κατασκευάστε ένα υποσύνολο D(δ) του [0, 1] με τον ίδιο τρόπο όπως το σύνολο του Cantor, με την διαφορά ότι στο n- οστό βήμα τα διαστήματα που αφαιρούνται έχουν μήκος δ. Δείξτε ότι το σύνολο 3 n που προκύπτει δεν περιέχει διαστήματα. Δείξτε ότι το D(δ) είναι μετρήσιμο και βρείτε το μέτρο του. Άσκηση 69 Δίνεται το υποσύνολο E του [0, 1] το οποίο αποτελείται απο τους αριθμούς των οποίων η δεκαδική γραφή δεν έχει το ψηφίο 4. Δείξτε ότι το E είναι μετρήσιμο και βρείτε το m(e). Άσκηση 70 Δίνεται το υποσύνολο E του [0, 1] το οποίο αποτελείται απο τους αριθμούς των οποίων η δεκαδική γραφή δεν έχει τα ψηφία 5 και 7. Δείξτε ότι το E είναι μετρήσιμο και βρείτε το m(e). Άσκηση 71 Δίνεται E R. Δείξτε ότι το E είναι μετρήσιμο αν και μόνον αν η χ E είναι μετρήσιμη. 14

Άσκηση 72 Δίνεται E R. Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα f(x) = χ [0,1] (x) ς.π.. Άσκηση 73 Δίνεται μια μετρήσιμη συνάρτηση f : R R και μια συνεχής συνάρτηση g : R R. Δείξτε ότι η g f είναι μετρήσιμη. Άσκηση 74 Δίνεται μια συνάρτηση f : R R. Υποθέτουμε ότι το {x R : f(x) > a} είναι μετρήσιμο για κάθε a Q. Δείξτε ότι η f είναι μετρήσιμη. Άσκηση 75 Δείξτε ότι: 1. χ A B = χ A + χ B χ A χ B. 2. χ A B = χ A χ B. 3. χ A c = 1 χ A. Άσκηση 76 1. Δείξτε ότι το γινόμενο δύο απλών συναρτήσεων είναι α- πλή. 2. Δειξτε ότι το άθροισμα δύο απλών συναρτήσεων είναι απλή. Άσκηση 77 Δίνεται μια μετρήσιμη συνάρτηση f : [a, b] R. Δείξτε ότι αν ɛ > 0 τότε υπάρχει M > 0 και A [a, b] τέτοια ώστε m(a) < ɛ και f(x) M για κάθε x [a, b] A. Άσκηση 78 Δίνεται μια μετρήσιμη συνάρτηση f : [a, b] R τέτοια ώστε m f(x) M για m R και M R. Δείξτε ότι αν ɛ > 0 υπάρχει μια απλή συνάρτηση φ : [a, b] R τέτοια ώστε f(x) φ(x) < ɛ για κάθε x [a, b] και m φ(x) M για κάθε x [a, b]. Άσκηση 79 Δίνεται μια μετρήσιμη συνάρτηση f : [a, b] R. Δείξτε ότι αν ɛ > 0 υπάρχει μια απλή συνάρτηση φ : [a, b] R τέτοια ώστε f(x) φ(x) < ɛ για κάθε x [a, b] τέτοιο ώστε f(x) < M. Άσκηση 80 Δίνεται μια απλή συνάρτηση f : [a, b] R. Δείξτε ότι αν ɛ > 0 υπάρχει μια βηματική συνάρτηση φ : [a, b] R και ένα σύνολο A τέτοια ώστε f(x) = φ(x) για κάθε x [a, b] A και m(a) < ɛ. Άσκηση 81 Δείξτε ότι αν η f είναι αύξουσα τότε η f είναι μετρήσιμη. 15

Άσκηση 82 Δείξτε ότι αν f είναι μετρήσιμη και το B είναι σύνολο Borel τότε το f 1 (B) είναι μετρήσιμο. Άσκηση 83 Δείξτε ότι αν η f είναι συνεχής και το B είναι σύνολο Borel τότε το f 1 (B) είναι σύνολο Borel. Άσκηση 84 Δίνεται μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων {f n } n N. Δείξτε ότι το σύνολο {x X : {f n (x)} n N συγκλίνει} είναι μετρήσιμο. Άσκηση 85 Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R. 1. Δείξτε ότι αν το A είναι F σ τότε το f(a) είναι F σ. 2. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα (αʹ) Αν m(e) = 0 τότε m(f(e)) = 0. (βʹ) Αν E είναι μετρήσιμο, τότε το f(e) είναι μετρήσιμο. Άσκηση 86 Δίνεται μια μη αρνητική, μετρήσιμη, φραγμένη συναρτήση f με f : [a, b] R. Δείξτε ότι υπάρχει μια αύξουσα ακολουθία {φ n } n N απλών μετρήσιμων συναρτήσεων που τείνει ομοιόμορφα στην f. Άσκηση 87 Δίνεται μια μη ακολουθία μετρήσιμων υποσυνόλων του R. 1. Αν m(e n ) < 1 2 n για κάθε n N, δείξτε ότι χ En (x) 0 σ.π.. 2. Αν m(e n ) < 1 2 n, ισχύει ότι χ En (x) 0 σ.π.. 3 Ολοκλήρωση Άσκηση 88 Δίνεται μια μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση f. Δείξτε ότι αν f = 0 τότε f = 0 σχεδόν παντού. Άσκηση 89 Δίνεται μια μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση f. Δείξτε ότι υπάρχει μια αύξουσα ακολουθία {φ n } n N από μη αρνητικές απλές συναρτήσεις τέτοια ώστε 1. Υπάρχει E n τέτοιο ώστε m(e n ) < και φ n (x) = 0 αν x / E n. 2. Η {φ n } n N τείνει στην f. 16

Άσκηση 90 Δίνεται μια μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση f. Δείξτε ότι f = sup{ φ : φ απλή, φ f}. Άσκηση 91 Δείξτε ότι η ανισότητα στο Λήμμα του Fatou μπορεί να είναι γνήσια. Θεωρείστε την ακολουθία {f n } n N όπου η συνάρτηση f n ορίζεται όπως παρακάτω: { 1 αν n x < n + 1 f n (x) = 0, αν < x / [n, n + 1) Άσκηση 92 Δείξτε ότι το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης δεν ισχύει για φθίνουσες ακολουθίες συναρτήσεων. Θεωρείστε την ακολουθία {f n } n N όπου η συνάρτηση f n ορίζεται όπως παρακάτω: { 0 αν x < n f n (x) = 1, αν n x Άσκηση 93 Δίνεται μια ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων {f n } n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει στην f και ότι f n f για κάθε n N. Δείξτε ότι lim f n = f. n Άσκηση 94 Δίνεται μια ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων {f n } n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει στην f σ.π. και ότι f n f <. lim n Δείξτε ότι για κάθε μετρήσιμο σύνολο E έχουμε f n f <. lim n E Άσκηση 95 Δίνεται μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο E και ɛ > 0. Δείξτε ότι υπάρχει μια απλή συνάρτηση φ τέτοια ώστε f φ < ɛ. E 17

Άσκηση 96 Θεωρούμε μια αρίθμηση {q n } n N του Q [0, 1]. Για 0 < ɛ < 1 2 θέτουμε A = n=1(q n ɛ 2, q n n + ɛ 2 ). n 1. Δείξτε ότι η χ A είναι μετρήσιμη. 2. Δείξτε ότι η χ A δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη. 3. Δείξτε ότι η η χ A δεν είναι ίση σ.π. με καμμιά Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Άσκηση 97 Δίνεται μια ακολουθία ολοκληρώσιμων συναρτήσεων {f n } n N με f n : [a, b] R για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει ομοιόμορφα στην f. Δείξτε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη και ότι b a f n f 0. Άσκηση 98 Δίνεται μια ακολουθία ολοκληρώσιμων συναρτήσεων {f n } n N και μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f. Υποθέτουμε ότι f n f 0. Δείξτε ότι f n f και ότι f n f. Άσκηση 99 Δίνονται τρείς μετρήσιμες συναρτήσεις f, g, h. Υποθέτουμε ότι οι f, h είναι ολοκληρώσιμες και ότι f g h. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η g είναι ολοκληρώσιμη; Άσκηση 100 Δίνεται μια αύξουσα ακολουθία ολοκληρώσιμων συναρτήσεων {f n } n N και μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει στην f. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι f n f; Άσκηση 101 Δίνεται μια ακολουθία ολοκληρώσιμων συναρτήσεων {f n } n N και μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει στην f σ.π.. Τότε f n f 0 αν και μόνον αν f n f. 18