.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου w ο συτελεστής στάθµισης (βαρύτητας) της τιµής x 3. ιάµεσος (δ) εός δείγµατος παρατηρήσεω, οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθµός, ή το ηµιάθροισµα τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθµός. Σηµείωση. Η διάµεσος έχει αθροιστική συχότητα F = 50% 4. Μέτρα θέσης λέγοται η µέση τιµή ή ο σταθµικός µέσος και η διάµεσος. 5. Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση Μικρότερη παρατήρηση Σηµείωση. Το εύρος δε είαι αξιόπιστο µέτρο διασποράς.
6. ιακύµαση ή διασπορά s = (t x ) s = t t s = k (x x) 7. Τυπική απόκλιση s = s Για κάθε καοική ή περίπου καοική καταοµή: Στο παρακάτω σχήµα φαίοται τα ποσοστά τω παρατηρήσεω που αήκου στα ατίστοιχα διαστήµατα. 50 % 50 % 34% 34% 3,5 % 3,5 %,35 % 0,5 %,35 % 0,5 % 8. Συτελεστής µεταβολής ή συτελεστής µεταβλητότητας CV = s x, x 0 Σηµείωση. Α x < 0 τότε CV = s x Το CV το εκφράζουµε σε ποσοστό % Μικρότερος CV σηµαίει µεγαλύτερη οµοιογέεια Οµοιογεές δείγµα τιµώ, ότα CV 0%
3 9. Από τις µεταβλητές στις µέσες τιµές και στις τυπικές αποκλίσεις Y = Χ + c y = x + c και S y = S x Y = c Χ y = c x και S y = c S x Y = c Χ + c y = c x + c και S y = c S x 0. Για καοική ή περίπου καοική καταοµή: R 6S δ = x ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. ιάκριση παρατηρήσεω t τιµώ Κάθε τιµή x είαι το σύολο τω ίσω µεταξύ τους παρατηρήσεω t. Το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι = µε το µέγεθος του δείγµατος. Το πλήθος τω τιµώ συήθως το συµβολίζουµε µε k. Είαι βέβαια k < x. Συτοµογραφία αθροίσµατος α + α + α 3 = 3 α, α + α + + α = α 3. Εύρεση της διαµέσου σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα Σχεδιάζουµε το πολύγωο που ατιστοιχεί στο ιστόγραµµα τω σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω F % και βλέπουµε ποια τιµή ατιστοιχεί στο 50% τω παρατηρήσεω. 4. Εύρεση της διαµέσου σε µεγάλο πλήθος τιµώ Από το πίακα συχοτήτω προσδιορίζουµε τη παρατήρηση ή τις παρατηρήσεις που καθορίζου τη διάµεσο.
4 5. Προτιµότερη η τυπική απόκλιση από τη διακύµαση Στις διάφορες έρευες, τις ποιο πολλές φορές, ατί της διακύµασης χρησιµοποιούµε τη τυπική απόκλιση, διότι εκφράζεται µε τις ίδιες µοάδες που εκφράζοται οι παρατηρήσεις. 6. Τρεις ακόµα τύποι για τη διακύµαση s = t x, s = k x x, s = k (x x ) f
5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η µέση τιµή τω παρατηρήσεω x, y, z είαι 30, τω x, y είαι 4 και τω y, z είαι 8. Να βρείτε: ) τους x, y, z ) τη διάµεσο ) τη τυπική απόκλιση Προτειόµεη λύση ) x+ y+ z = 30 3 x+ y = 4 y+ z = 8 x+ y+ z= 90 x + y = 8 y+ z= 36 8+ z= 90 x + y = 8 y+ z= 36 z = 6 x + y = 8 y+ z= 36 z = 6 x + y = 8 y+ 6= 36 z = 6 x + y = 8 y = 6 z = 6 x 6 = 8 y = 6 z = 6 x = 54 y = 6 ) Οι παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είαι 6, 54, 6, άρα δ = 54 ) ( 6 30) + (54 30) + (6 30) S = = 3 Οπότε S= 578,6 =39,7 336+ 576+ 04 3 = 578, 6. Η µέση τιµή παρατηρήσεω είαι 5. Α η µικρότερη παρατήρηση είαι 0, πόσο πρέπει α τη αυξήσουµε, ώστε η µέση τιµή α γίει 8; Προτειόµεη λύση Γωρίζουµε ότι 0+ x + x +... + x 5= Έστω ότι η τιµή 0 αυξάεται κατά λ, τότε 0+λ+ x + x +... + x 8= x + x + + x - = 5 0 (). ( ) 0+λ+ 5 0 8= 8 = λ + 5 λ = 3
6 3. Σε µία επιχείρηση εργάζοται συολικά 0 υπάλληλοι µε µέσο µηιαίο µισθό 400. Ο µέσος µηιαίος µισθός τω 0 κατώτερω υπαλλήλω είαι 800. εώ τω αώτερω είαι 6000. Να βρείτε το µέσο µηιαίο µισθό τω µεσαίω υπαλλήλω. Προτειόµεη λύση Έστω ότι x, x,, x 0 είαι οι µισθοί τω κατώτερω υπαλλήλω y, y οι µισθοί τω δύο αώτερω και z, z,, z 8 οι µισθοί τω υπόλοιπω 8 µεσαίω υπαλλήλω. Αφού ο συολικός µέσος µισθός είαι 400, θα έχουµε (x+ x +... + x 0) + (z+ z +... + z 8) + (y+ y ) 400= () 0 x + x +.. + x0 Αλλά 800= x + x + + x 0 = 8000 () 0 y+ y και 6000= y + y = 000 (3) z+ z +... + z8 Εµείς θέλουµε α βρούµε τη z= 8 ( ),( 3 ) 8000+ 000 + (z+ z +... + z 8) () 400= 0 48000 = 30000 + z+ z +... + z8 z+ z +... + z8 = 8000 z+ z +... + z8 Άρα z= = 8000 = 50 8 8 4. Η µέση τιµή 0 διαφορετικώ παρατηρήσεω βρέθηκε ότι είαι 0. Αργότερα διαπιστώθηκε πως η παρατήρηση που ήτα ίση µε 8, γράφτηκε κατά λάθος 38. Να βρείτε τη πραγµατική µέση τιµή. Προτειόµεη λύση Η λαθασµέη µέση τιµή προέκυψε από το τύπο x + x +... + x + 38 0 0 x + x + + x 9 + 38 = 00 9 = x + x + + x 9 = 6 () Η πραγµατική µέση τιµή είαι x + x +... + x9 + 8 x = 0 6+ 8 x = = 9. 0 ( )
7 5. Μία µεταβλητή Χ, εός δείγµατος µεγέθους, έχει τιµές,, 3, 4, 5 µε συχότητες,, 3, 4, 5 ατίστοιχα, και µέση τιµή 0. Κάθε συχότητα αυξάεται και γίεται ίση µε +. Να βρείτε τη έα µέση τιµή. Προτειόµεη λύση Έχουµε ότι + + 3 + 4 + 5 0= 3 4 5 Μετά τη µεταβολή οι έες συχότητες θα είαι () µε = + + 3 + 4 + 5. = +, = +, 3 = 3 +, 4 = 4 +, 5 = 5 + Το έο µέγεθος θα είαι = + + 3 + 4 + 5 = + + 3 + 4 + 5 + 5 = + 5 = 6 ( + ) + ( + ) + 3( 3+ ) + 4( 4+ ) + 5( 5+) Νέα µέση τιµή : x = 6 ++ + + 3 + 3+ 4 + 4+ 5 + 5 6 = 3 4 5 + + 3 + 4 + 5 + 5 6 = 3 4 5 + + 3 + 4 + 5 5 + 6 6 = 3 4 5 + + 3 + 4 + 5 5 + 6 6 = 3 4 5 ( ) = 0 + 5 = 5,83 6 6
8 6. Σε 5 παρατηρήσεις βρέθηκε µέση τιµή 50. Αργότερα διαπιστώθηκε ότι : 0 παρατηρήσεις είχα υπερεκτιµηθεί κατά 4 µοάδες η κάθε µια, 3 υποεκτιµήθηκα κατά µοάδες η κάθε µία, εώ οι άλλες είχα τη σωστή τιµή. Να βρείτε τη πραγµατική µέση τιµή Προτειόµεη λύση Έστω ότι x, x, x 3,, x 0, x, x, x 3, x 4, x 5 είαι οι πραγµατικές τιµές. Υποθέτοτας ότι υπερεκτιµήθηκα οι 0 πρώτες και υποεκτιµήθηκα οι τρεις επόµεες η µέση τιµή 50 προέκυψε από το κλάσµα (x + 4) + (x + 4) +... + (x + 4) + (x ) + (x ) + (x ) + x + x 50= 5 x + x +... + x5 + 4 0 3 50= 5 x + x +... + x + 34 50 = 5 5 x + x +... + x5 34 50= + 5 5 34 x + x +... + x5 50 = 5 5 0 3 4 5 47,73 = x + x +... + x 5 5 Άρα x = 47,73
9 7. Οι ηµερήσιες αποδοχές σε 5 εργατώ είαι οι εξής: 7, 8, 30, 9, 9, 6, 7, 6, 5, 3, 3, 4, 7, 3, 9. ) Να βρείτε τη µέση τιµή ) Οι αποδοχές τω εργατώ που παίρου λιγότερα από τη µέση τιµή αυξάοται και γίοται ίσες µε τη µέση τιµή. Ποια θα είαι τότε η έα µέση τιµή; Προτειόµεη λύση ) x = 4 + 5 + 6 + 3 7 + 8 + 3 9 + 30 + 3 3 = 40 = 8 5 5 ) Μετά τις µεταβολές έχουµε (4+ 4) + (5+ 3) + (6+ ) + 3 (7+ ) + 8+ 3 9+ 30+ 3 3 x = 5 40+ 4 = = 8,93. 5 8. είξτε ότι για κάθε ποσοτική µεταβλητή Χ εός δείγµατος µεγέθους ισχύει x ε x x µ, όπου x ε είαι η µικρότερη παρατήρηση, x µ είαι η µεγαλύτερη παρατήρηση και x είαι η µέση τιµή. Προτειόµεη λύση Έστω x ε η µικρότερη παρατήρηση και x µ η µεγαλύτερη τότε για κάθε τιµή x θα έχουµε x ε x x µ x ε x x µ x ε x 3 x µ... x ε x x µ προσθέτοτας κατά µέλη x + x + x 3 +... + x x ε x + x + x 3 + + x x µ x ε x ε x x µ x µ
0 9. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση της µεταβλητής του διπλαού πίακα. Προτειόµεη λύση Συµπληρώοτας το παραπάω πίακα έχουµε Βάρος σε Συχότ Κετρ. x x κιλά τιµή x [54,60) 8 57 06 5848 [60,66) 46 63 898 8574 [66,7) 70 69 4830 33370 [7,78) 35 75 65 96875 [78,84) 8 70 3778 [84,90) 0 87 870 75690 Σύολο 00 3950 98467 Βάρος σε Συχότ. κιλά [54,60) 8 [60,66) 46 [66,7) 70 [7,78) 35 [78,84) [84,90) 0 Σύολο 00 x = κ x = 3950= 69, 75 κιλά 00 κ x S Άρα S = 58,3 7,63 κ = x = 3950 98467 00 00 58,3 0. Στο διπλαό πίακα α συµπληρώσετε τις σχετικές συχότητες που λείπου, α γωρίζεται ότι η µέση τιµή είαι x =, Προτειόµεη λύση Έστω x, y οι ζητούµεες σχετικές συχότητες. Τότε κ x = f x,= 0,6 + x + 3 0,3 + 4y x + 4y =,5 () Από το πίακα έχουµε 0,6 + x + 0,3 + y = x + y = 0,5 () Λύοτας το σύστηµα τω (), () βρίσκουµε x = 0,445 και y = 0,065. x f 0,6 3 0,3 4 Σύολο
. Η µέση τιµή και η διακύµαση τω βαθµώ 6 µαθητώ είαι x = και S = 0. Για τους βαθµούς τω πέτε εξ αυτώ ισχύει 5 (x x) = βαθµό του έκτου µαθητή α ξέρετε ότι έγραψε πάω από τη βάση. Προτειόµεη λύση Α x 6 είαι ο βαθµός του 6 ου µαθητή τότε. Να βρείτε το S (x x) + (x x) + (x3 x) + (x4 x) + (x5 x) + (x6 x) = 6 5 (x x) + (x6 ) 0 = 6 + x6 4x6 + 44 0 = 6 x6 4x 6 + 95 = 0 x 6 = 9 ή x 6 = 5 εκτή η τιµή x 6 = 9, αφού έγραψε πάω από τη βάση.
. Ο διπλαός πίακας δίει τη βαθµολογία υποψηφίω της Γ Λυκείου στο µάθηµα της έκθεσης. ) Να συµπληρωθεί ο πίακας ) Να βρεθεί το πλήθος τω ατόµω του δείγµατος που έχου βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο από 37,5. ) Να βρεθεί η µέση τιµή της καταοµής. Βαθµοί f % F % [0, 5) 5 [5, 50) 0 [50, 75) 49 [75,00) 40 Σύολο Προτειόµεη λύση ) F =5% f % = 5 f + f + f 3 + f 4 + f 5 = 00 5 + 0 + f 3 + 40 =00 f 3 % =35. 49 = = = 40 3 f 3 0,35 Οπότε ο πίακας γίεται Βαθµοί f % F % Κε. τιµή x Θυµήσου τις ιδιότητες τω F, f x [0,5) 7 5 5,5 87,5 [5,50) 8 0 5 37,5 050 [50,75) 49 35 60 6,5 306,5 [75,00) 56 40 00 87,5 4900 Σύολο 40 00 900 ) + 3 + 4 = 4 + 49 + 56 = 9 ) 5 900 x = x = = 65 40 40 Ισοκαταοµή τω παρατηρήσεω σε Κάθε κλάση
3 3. Οι τιµές της απώλειας βάρους σε κιλά Απώλεια Κ. Κλάσης Συχ. 60 ατόµω τα οποία ακολούθησα Βάρους x έα πρόγραµµα αδυατίσµατος, [0 - ) 0 έχου οµαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου [ - ) 6 40 πλάτους, όπως εµφαίζοται στο [ - ) 45 διπλαό πίακα. [ - ) 30 ) Να αποδείξετε ότι το πλάτος κάθε [ - ) 5 κλάσης είαι 4 Σύολο 60 ) Να συµπληρώσετε το πίακα α βρείτε τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση ) Nα εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές ) Να βρείτε το ποσοστό τω ατόµω µε βάρος από 7 µέχρι και 4 κιλά. Προτειόµεη λύση ) Έστω c το πλάτος κάθε κλάσης. Η πρώτη κλάση θα είαι η [0, c) ) Καόες οµαδοποίησης Η δεύτερη θα είαι η [c, c) µε κέτρο x = 6 Συµπληρωµέος ο πίακας και µε στήλες x και c+ c = 6 3c = c = 4 x είαι Απώλεια Κέτρο Συχότητα x x Βάρους x [0-4) 0 40 80 [4-8) 6 40 40 440 [8 - ) 0 45 450 4500 [ -6) 4 30 40 5880 [6-0) 8 5 450 800 Σύολο 60 600 0000 x = = S κ x 600 60 = 0 κιλά κ = x = ) κ x 600 (0000 ) = 5, οπότε S = 5 =5 60 60 CV= S = 5 = 0,5 δηλαδή CV = 0,5 00= 50 % > 0 % δείγµα µη οµοιογεές x 0
4 ) Το πλήθος τω ατόµω µε απώλεια βάρους από 7 µέχρι και 4 κιλά είαι : 4 + 3 + = 0 + 45 + 5 = 70 4 Θυµήσου τη ισοκαταοµή τω παρατηρήσεω στις κλάσεις Το ζητούµεο ποσοστό είαι : 70 00 60 = 43,75%
5 4. Στο παρακάτω ιστόγραµµα σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω παρουσιάζεται το ποσοστό τω αυτοκιήτω που παράγει µία βιοµηχαία σ έα µήα σε σχέση µε το κυβισµό του κιητήρα. Το πλήθος τω αυτοκιήτω µε κυβισµό µεγαλύτερο ή ίσο από 700 και µικρότερο από 900 cm 3 είαι 500. Να βρείτε : ) Το πλήθος τω αυτοκιήτω που παράγει η βιοµηχαία σ έα µήα. ) Το πλήθος τω αυτοκιήτω µε κυβισµό µεγαλύτερο ή ίσο από 600 cm 3 ) Τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση της καταοµής. ι) Τη διάµεσο της καταοµής Προτειόµεη λύση ) F 4 = 90% και F 3 = 50% F 4 = F 3 + f 4 f 4 = F 4 F 3 = 40%. Από τη υπόθεση του προβλήµατος αυτό το ποσοστό ατιστοιχεί σε 500 αυτοκίητα Α λοιπό η βιοµηχαία παράγει αυτοκίητα σ έα µήα έχουµε ότι 40 = 500 = 650. 00 ) f = F = 0% f = F F = 300 =0% f 3 = F 3 F = 50 30 = 0% f 4 = F 4 F 3 = 90 50 = 40% f 5 = F 5 F 4 =00 90 = 0% Το ζητούµεο πλήθος έχει ποσοστό ίσο µε f 3 + f 4 + f 5 = 0 + 40 + 0 = 60% 60 Άρα το ζητούµεο πλήθος είαι : 650= 3750 αυτοκίητα. 00
6 ) Από τα παραπάω έχουµε το πίακα Κλάσεις Κ.τιµή x f % f f x fx [00, 300) 00 0 0, 40 88000 [300, 500) 400 0 0, 40 96000 [500, 700) 600 0 0, 30 5000 [700, 900) 800 40 0,4 70 96000 [900, 00) 000 0 0, 00 400000 Σύολο 00,0 60 69000 κ x = fx = 60 cm 3 κ κ S = fx fx Άρα S= 67600 = 60 cm 3 = 69000 60 = 67600 ) Για τη διάµεσο της καταοµής σχεδιάζουµε το πολύγωο που ατιστοιχεί στο ιστόγραµµα τω F% Όπως βλέπουµε στο 50% τω παρατηρήσεω ατιστοιχεί η τιµή 700. Άρα δ=700 Σχόλιο 3
7 5. Για τα δεδοµέα του διπλαού πίακα δίεται ότι x =,6 ) Να δείξετε ότι α = 33 και β =0 ) Να βρείτε τη διάµεσο της καταοµής ) Να χαρακτηρίσετε τη καταοµή ως προς τη οµοιογέεια. Προτειόµεη λύση ) x =,6 + α+ 3β+ 00 =,6 80 3 α+ β= 96 () + + 3 + 4 = + α + β + 5 = 80 α + β = 43 () Λύοτας το σύστηµα τω (), () βρίσκουµε ότι α = 33 και β = 0 ) Στο δοσµέο πίακα συµπληρώουµε τη στήλη τω συχοτήτω. η η 40 παρ + 4 παρ δ= Όπως εύκολα προκύπτει από τη στήλη τω συχοτήτω οι πρώτες παρατηρήσεις έχου τιµή και οι 33 επόµεες έχου τιµή. Εποµέως η 40 η και η 4 η παρατηρήσεις έχου τιµή Άρα δ = + = ) κ S = (, 6) + 33(, 6) + 0(3, 6) + 5(4, 6) (x x) = 80,56+ 33 0,36+ 0 0,6+ 5,96 = = 80 = 93, 80 =,65 Οπότε S=,65,08 x α 3 β 4 5 Σύολο 80 x ι 33 3 0 4 5 Σύολο 80 = CV = S =,08 0,4 x,6 CV = 4% > 0% οπότε η καταοµή δε είαι οµοιογεής
8 6. Έα κατάστηµα πουλάει 4 είδη υφασµάτω Α, Β, Γ, µε τιµή αά µέτρο 0, 40, 50, 80, ατίστοιχα. Οι ηµερήσιες πωλήσεις για κάθε είδος υφάσµατος ήτα 0%, 0%, 30%, 40% ατίστοιχα. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο της τιµής πώλησης του µέτρου τω υφασµάτω α γωρίζουµε ότι : ) σε µία µέρα πουλήθηκα συολικά 60 µέτρα υφάσµατος ) δε γωρίζουµε πόσα µέτρα υφάσµατος πουλήθηκα Προτειόµεη λύση ) Αφού πουλήθηκα συολικά 60 µέτρα υφάσµατος, µε βάση τα ατίστοιχα ποσοστά, από κάθε είδος υφάσµατος πουλήθηκε : 0 0 Α είδος 60 = 6 µέτρα, Β είδος 60 = µέτρα 00 00 30 40 Γ είδος 60 =8 µέτρα, είδος 60 = 4 µέτρα 00 00 Ο πίακας καταοµής συχοτήτω είαι Τιµή x Συχ. 0 6 40 50 8 80 4 Σύολο 60 Εποµέως 0 6+ 40 + 50 8+ 80 4 x = = 57 60 η η 30 παρ+ 3 παρ 50+ 50 και δ = = = 50 ) f A = 0,, f B = 0,, f Γ = 0,3, f = 0,4 κ άρα x = xf = 0 0, + 40 0, + 50 0,3 + 80 0,4 = + 8 + 5 + 3 = 57 Για τη διάµεσο παρατηρούµε ότι : Το πρώτο 0% τω παρατηρήσεω έχει τιµή 0, το αµέσως επόµεο 0% έχει τιµή 40, και το µεθεπόµεο 30% έχει τιµή 50. Προφαώς στο 50% τω παρατηρήσεω ατιστοιχεί η τιµή 50. Άρα δ = 50.
9 7. Εξετάσαµε τη διάρκεια ζωής εός δείγµατος µεγέθους 5 τω µηχαηµάτω που παράγου δύο εταιρείες Α και Β. Τα δεδοµέα φαίοται στο διπλαό πίακα. ) Να βρείτε τη µέση διάρκεια ζωής τω µηχαηµάτω κάθε εταιρείας. ) Α τα µηχαήµατα της Α εταιρείας κοστίζου 90 και της Β 850, ποιας εταιρείας τα µηχαήµατα θα προτιµούσατε α αγοράσετε; ιάρκεια ζωής σε µήες Α Β 4 4 8 6 46 3 60 44 7 64 Προτειόµεη λύση ) 4+ 8+ 46+ 60+ 7 xa = = 30 = 46 µήες 5 5 4+ 6+ 3+ 44+ 64 xb = = 90 = 38 µήες 5 5 ) Το κόστος τω µηχαηµάτω της Α εταιρείας είαι 90 και της Β 850. Εκ πρώτης όψεως τα µηχαήµατα της πρώτης εταιρείας είαι ακριβότερα. Όµως το αά µήα κόστος τω µηχαηµάτω 90 850 της Α εταιρείας είαι = 0 και της Β είαι =,36 46 38 άρα µας συµφέρει α αγοράσουµε τα µηχαήµατα της Α εταιρείας. 8. Στις τιµές,, 3, α ατιστοιχού συτελεστές βαρύτητας α, 3,, α ατίστοιχα. Α ο σταθµικός µέσος είαι ίσος µε, α βρείτε τη τιµή α. Προτειόµεη λύση Έχουµε ότι α α α+ 3+ 3 +α +α+ = = α 3α α+ 3+ + + 5 α +α+ = 3 α+ 0 α 4α + 4 = 0 α =.
0 9. ίοται πέτε διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί µε άθροισµα 40. Να βρείτε ) Τους αριθµούς ) Τη διάµεσο ) Να εξετάσετε α οι αριθµοί αποτελού οµοιογεές δείγµα Προτειόµεη λύση ) Έστω x ο µικρότερος αριθµός, Τότε οι ζητούµεοι αριθµοί είαι x, x +, x + 4, x + 6, x + 8 x + x + + x + 4 + x + 6+ x + 8 = 40 5x = 0 x = 4 Άρα οι αριθµοί είαι : 4, 6, 8, 0, ) δ = 8 ) 40 x = = 8 5 (4 8) + (6 8) + (8 8) + (0 8) + ( 8) S = 5 6+ 4+ 0+ 4+ 6 = = 8 5 Άρα S= 8,8 και CV = S,8 x = 8 = 0,353 ηλαδή CV = 35,3% > 0%, άρα το δείγµα δε είαι οµοιογεές 0. Μία µεταβλητή Χ εός δείγµατος µεγέθους έχει τιµές,, 3, 4 µε σχετικές συχότητες 0,3, 0,, 0,4 και 0, ατίστοιχα. Να εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές. Προτειόµεη λύση x = 0,3 + 0, + 3 0,4 + 4 0,=,3 και 4 S = f (x x) = = 0,3(,3) + 0,(,3) + 0,4(3,3) + 0,(4,3) =,0 άρα S οπότε CV = S x = =,3 0, 43 δηλαδή CV = 43% > 0%, άρα το δείγµα δε είαι οµοιογεές.
. Σ έα δείγµα 0 παρατηρήσεω η διάµεσος είαι δ = 3,5 και είαι γωστές µόο οι παρατηρήσεις 5, 3,, 6, 7,, 3, 9, 3. Να βρείτε τη παρατήρηση που λείπει. Προτειόµεη λύση Τοποθετούµε τις γωστές παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά.,, 3, 3, 3, 5, 6, 7, 9 Η διάµεσος ισούται µε το ηµιάθροισµα της 5 ης και 6 ης παρατήρησης. Η ζητούµεη παρατήρηση δε µπορεί α είαι ούτε µικρότερη του ούτε µεγαλύτερη του 9, διότι τότε το ηµιάθροισµα της 5 ης και 6 ης παρατήρησης δε είαι ίσο µε 3,5. Με το ίδιο σκεπτικό η διάµεσος δε µπορεί α είαι ούτε το ούτε το 3 ούτε τα 5, 6, 7, 8, 9 Άρα η παρατήρηση που λείπει είαι ο αριθµός 4. Τότε πράγµατι είαι δ = 3 + 4 = 3,5
. Έα δείγµα µεγέθους έχει παρατηρήσεις x : 7, 5, α,, 5, β, 8, 6, γ, 5, 3 όπου α, β, γ φυσικοί αριθµοί µε α < β < γ. ίεται ότι x = 6, δ = 6, R = 8. ) Να βρεθού οι τιµές τω α, β, γ έτσι ώστε α ισχύει α + β + γ = 7 ) Για τις τιµές τω α, β, γ που θα βρείτε, α δείξτε ότι Sx εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές 58 = και α ) Α y είαι οι παρατηρήσεις που θα προκύψου πολλαπλασιάζοτας τις x επί µία θετική σταθερά c και στη συέχεια προσθέτοτας µία σταθερά c και γωρίζετε ότι y= 9 και S y = S x, α βρείτε τις σταθερές c, c. Προτειόµεη λύση ) Τοποθετούµε τις γωστές παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 8 Επειδή το σύολο τω παρατηρήσεω είαι η διάµεσος θα είαι η 6 η παρατήρηση και επειδή δ = 6, η 6 η παρατήρηση θα είαι ίση µε 6. Η µικρότερη από τις άγωστες παρατηρήσεις είαι η α Α ήτα α 5, τότε οι 6 πρώτες παρατηρήσεις θα είχα τιµή 5 και εποµέως η διάµεσος δε θα ήτα ίση µε 6. Άρα α 6 Η µικρότερη παρατήρηση είαι η x ε =. Α x µ είαι η µεγαλύτερη παρατήρηση, επειδή το εύρος R είαι ίσο µε 8 θα ισχύει 8 = x µ x ε 8 = x µ x µ = 0 Οπότε γ = 0. 3 3 5 6 7 8 0 x = + + + + + + +α+β 6 = 5 +α+β α + β = 5 () α +β +γ = 7 α +β +00 =7 α + β =7 () Λύοτας το σύστηµα τω (), () και λαµβάοτας υπόψη ότι α < β βρίσκουµε α = 6 και β = 9 ) S = (x x) = κ = ( 6) + (3 6) + 3 (5 6) + (6 6) + (7 6) + (8 6) + (9 6) + (0 6) = 58 58 Άρα S= και Έστω ότι CV 0% 58 S 58 CV = x = 6 = 6 CV 0, 58 6 0, 58 0, 6
3 58 0,36 58 3,96 πράγµα που δε ισχύει Άρα CV > 0% εποµέως το δείγµα δε είαι οµοιογεές ) y = c x + c Τότε y cx c Και Η (3) 9 = + c c = 3 = + 9 = 6c + c (3) S y = c S x S x = c S x c = 3. Από τη εξέταση εός δείγµατος προέκυψε ο διπλαός πίακας, όπου α > 0. Α η µέση τιµή και η διάµεσος διαφέρου κατά 0,46, α βρείτε τη διάµεσο και τη µέση τιµή. Προτειόµεη λύση Ν 4 =00 =00 4 = Ν 4 Ν 3 = 00 50 = 50 3 = Ν 3 Ν = 50 30 = 0 = Ν Ν = 30 α. = α Η διάµεσος ισούται µε το ηµιάθροισµα της 50 ης και 5 ης παρατηρήσεω, οι οποίες όπως φαίεται από τις συχότητες, είαι ίσες µε 3 και 4 ατίστοιχα. Άρα δ = 3 + 4 = 3,5. α+ (30 α ) + 0 3+ 4 50 30 α x = = () 00 00 Όµως η µέση τιµή και η διάµεσος διαφέρου κατά 0,46 άρα δ x = 0,46 ή x δ= 0, 46 30 α 3,5 = 0, 46 ή 00 30 α 3,5 = 0, 46 00 α = 6 ή α = 76 απορρίπτεται αφού α > 0 Η () 30 6 x = = 3,04 00 x N α 30 3 50 4 00
4 4. Μια µεταβλητή Χ έχει τιµές :,,, 3, 3, 5,,,,. ) Να βρείτε τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση ) Α οι τιµές της µεταβλητής αυξηθού κατά 0% ποια θα είαι η έα µέση τιµή και ποια η τυπική απόκλιση; Προτειόµεη λύση ) κ = x = x S (x x) κ = 5 + + 3+ 5 0 = 5 + 4 + 6 + 5 0 = 0 0 = 5( ) + ( ) + (3 ) + (5 ) = =,6 οπότε S=,6,6. 0 ) Α ψ είαι οι έες τιµές τότε y = x + 0 00 x Θυµήσου ατίστοιχες εφαρµογές y = x + 0,x =,x Άρα y=, x =,. =, Και S y =, S x =,,6 =,386 5. Α η τυπική απόκλιση µίας µεταβλητής είαι ίση µε το µηδέ δείξτε ότι οι τιµές αυτής είαι ίσες µε τη µέση τιµή. Λύση (x x) + (x x) +... + (x x) S = επειδή S = 0 θα είαι και S = 0 ( x x) + (x x) +... + (x x) = 0 x x = 0 και x x = 0 και x x = 0 x = x = = x = x.
5 6. Οι τιµές σε, 0 προϊότω σ έα κατάστηµα είαι,, 3, 4, 3, 3, 4,, 5, 4 ) Να βρείτε: τη διάµεσο, τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση ) Λόγω αύξησης του φόρου, ο καταστηµατάρχης κάει αύξηση σ όλες τις τιµές 5%. Να βρείτε πως διαµορφώοται όλα τα µέτρα του ( ) ερωτήµατος και α εξετάσετε α µεταβάλλεται ο συτελεστής µεταβολής. Προτειόµεη λύση ) Τοποθετούµε τις τιµές σε αύξουσα σειρά,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5 η η 5 παρ + 6 παρ 3+ 3 δ= = = 3 + + 3 3+ 3 4+ 5 x = = 3 0 ( 3) + ( 3) + 3(3 3) + 3(4 3) + (5 3) S = =,6 0 Συεπώς S=, 6,6. ) Α x είαι µια οποιαδήποτε τιµή πρι τη αύξηση, µετά τη αύξηση κατά 5%, θα γίει y = x + 0,5x =,5x. Τότε y=,5 x=,5 3 = 3,45 S y =,5 S x =,5,6 =,449 Η έα διάµεσος είαι πάλι το ηµιάθροισµα τω 5 ης και 6 ης παρατηρήσεω, κάθε µια,5 3+,5 3 τω οποίω είαι ίση µε,5 3 άρα δ y = =,5 3=3,45. Sy,5 S x Sx CV y = = = = CVx y,5 x x δηλαδή δε θα µεταβληθεί ο συτελεστής µεταβολής.
6 7. είξτε ότι, α από κάθε τιµή µιας µεταβλητής Χ αφαιρέσουµε τη µέση τιµή τους και διαιρέσουµε µε τη τυπική απόκλιση, τότε οι έες τιµές θα έχου µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση. Προτειόµεη λύση Έστω x οι τιµές της µεταβλητής Χ. Μετά τις µεταβολές θα προκύψου οι τιµές y = x x x x x = x οπότε S S S x x x x y = x 0 S S = και S = S S y S = x S =, αφού S x x > 0. x x 8. Μία µεταβλητή Χ µε τιµές x, x,, x ακολουθεί τη καοική καταοµή, µε εύρος. Η µέση τιµή της µεταβλητής είαι 3. Να βρείτε τη µέση τιµή τω παρατηρήσεω x, x,, x. Προτειόµεη λύση Ζητάµε α υπολογίσουµε τη ποσότητα x + x +... + x x = = x. Α θυµηθούµε τους τύπους της τυπικής απόκλισης τότε η ζητούµεη ποσότητα διαπιστώουµε ότι είαι µέσα στο τύπο x S = x (). ι= Μέσα στο τύπο όµως αυτό υπάρχου τα S και Πρέπει λοιπό α τα υπολογίσουµε. Επειδή η καταοµή είαι καοική, θα έχουµε x Η = = 3 = x 3 x x () 9 4 = x οπότε η ζητούµεη µέση τιµή είαι 3. x τα οποία δε γωρίζουµε. R 6S = 6S S = 4 = x 9 x = 3
7 9. Σε µία καοική καταοµή η διάµεσος είαι ίση µε 8 και το,5% τω παρατηρήσεω έχου τιµές µεγαλύτερες από. ) Να βρείτε τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση της καταοµής ) Α οι παρατηρήσεις αυξηθού όλες κατά 3 µοάδες, α βρείτε τη µεταβολή του CV. ) Kατά πόσο τουλάχιστο θα πρέπει α αυξηθού οι παρατηρήσεις ώστε το δείγµα α γίει οµοιογεές; v) Α το πλήθος τω παρατηρήσεω που έχου τιµή µικρότερη του 6 είαι 000 α βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. Προτειόµεη λύση Στο σχήµα παρουσιάζεται η καµπύλη της καοικής καταοµής Σχόλιο 7 50 % 50 % 34% 34% 3,5 % 3,5 %,35 % 0,5 %,35 % 0,5 % ) Είαι x = δ = 8 Το,5% τω παρατηρήσεω έχει τιµές µεγαλύτερες από x+ S. Άρα x+ S= = S+8 S = CV = S = = 0, 5 x 8 δηλαδή CV=5%. ) Μετά τη αύξηση οι έες παρατηρήσεις y θα δίοται από τη σχέση y = x + 3 άρα y= x+ 3 = και S y = S x = S οπότε CV y = y y = δηλαδή CV y = 8% Εποµέως µετά τη αύξηση ο συτελεστής µεταβολής ελαττώθηκε κατά 7%. ) CV y = 8% > 0% το δείγµα δε είαι οµοιογεές. Για α γίει οµοιογεές θα πρέπει CV y 0% 0, y Έστω λοιπό ότι όλες οι παρατηρήσεις πρέπει α αυξηθού κατά c τότε πρέπει α ισχύει S y
8 Sy 0, y 8+ c 0, 0,8+ 0,c, 0,c c που σηµαίει ότι α οι παρατηρήσεις αυξηθού κατά τουλάχιστο µοάδες το δείγµα θα γίει οµοιογεές. ) Η τιµή 6 είαι ίση µε x S Από τη καµπύλη της καταοµής τιµή µικρότερη από 6 έχει το 6% τω παρατηρήσεω εποµέως α είαι το µέγεθος του δείγµατος τότε 6 = 000 00 = 650 30. Σε µία καοική ή περίπου καοική καταοµή το 50% τω παρατηρήσεω έχου τιµή µεγαλύτερη του 0, το 8,5% τω παρατηρήσεω βρίσκοται στο διάστηµα (6, ) του οποίου τα άκρα είαι κάποιες από τις τιµές x± 3S, x± S, x± S. ) είξτε ότι η µέση τιµή του δείγµατος είαι 0 και η τυπική απόκλιση ) Να βρείτε το α N *, α είαι γωστό ότι στο διάστηµα (x α S, x+α S) αήκει το 95% περίπου τω παρατηρήσεω. ) Α R είαι το εύρος της καταοµής, α βρείτε τη ελάχιστη τιµή της συάρτησης R = + +. f (x) x (x 4)x 9S Προτειόµεη λύση ) Από τη καµπύλη της καοικής καταοµής και τα σχετικά ποσοστά, όπως φαίεται και στο σχήµα, το 50% τω παρατηρήσεω έχει τιµή µεγαλύτερη από τη x. 50 % 50 % 34% 34% 3,5 % 3,5 %,35 % 0,5 %,35 % 0,5 %
9 Εποµέως από τη υπόθεση θα είαι x = 0. Το 8,5% τω παρατηρήσεω βρίσκεται στα διαστήµατα (x S, x+ S) ή (x S, x+ S) άρα ( x S= 6 και x+ S= ) ή ( x S= 6 και x+ S= ) (0 S= 6 και 0+ S= ) ή ( 0 S= 6 και 0+ S= ) To πρώτο σύστηµα είαι αδύατο, εώ το δεύτερο δίει S = ) Το 95% τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα (x S, x S) + άρα x S = x α S α = ) Το εύρος R= 6S R= Οπότε f(x) = 6x 4x+8 f (x) = x 4 Το πρόσηµο της f και η µοοτοία της f φαίοται στο πίακα Από το άξοα βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για x =, το f() = 6 x + f 0 + f
30 3. Έστω η συάρτηση f (x) = x +κ x+ 4 x + 0, x 0. α) Α η εφαπτοµέη στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο Α(, f()) είαι παράλληλη στο άξοα x x, α δείξετε ότι κ = και α βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης β) Μία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή x = f () f (4) και τυπική απόκλιση S=. Α τρεις ακριβώς παρατηρήσεις, 3 ατιπροσωπευτικού δείγµατος µεγέθους, είαι µικρότερες ή ίσες του 8, ) α βρείτε τω αριθµό τω παρατηρήσεω που βρίσκοται στο διάστηµα (0, 6). ) α δείξετε ότι το δείγµα δε είαι οµοιογεές. ) α βρείτε τη µικρότερη τιµή του α > 0 που πρέπει α προστεθεί σε κάθε παρατήρηση ώστε το δείγµα α γίει οµοιογεές. Προτειόµεη λύση α) Πρέπει f () = 0. Όµως f (x) = 4x+κ+ 4 x f () = 0 4 + κ + = 0 κ = Η εξίσωση της εφαπτοµέης είαι : y f () = f () (x ) και επειδή f () = +κ + 4 + 0 = + + 4 + 0 = 4, η εξίσωση της εφαπτοµέης γίεται y 4 = 0 y = 4 β) x = f() =4 f (x) = 4x+κ+ 4 x f (4) ( 3) S= = = 3 3 f (4) = 4 4+ + 4 = 6 + + = 3 4 ) 8 = x 3S Από τη καµπύλη της καοικής καταοµής το πολύ x 3S τιµή έχει το 0,5% τω παρατηρήσεω 0,5 Το πλήθος αυτώ τω παρατηρήσεω είαι 3 = 3 = 000 00 Είαι (0, 6) = ( x S, x + S). Στο διάστηµα αυτό βρίσκεται το 8,5% τω 8,5 παρατηρήσεω, οπότε το πλήθος τους είαι 000 00 = 630 S ) CV = x = 4 0,4 δηλαδή CV = 4% > 0% το δείγµα δε είαι οµοιογεές ) Α σε κάθε παρατήρηση προσθέσουµε τη σταθερά α > 0, τότε κάθε έα παρατήρηση θα δίεται από τη σχέση
3 y = x + α, οπότε y= x+α= 4+α και S y = S x =. Άρα CVy = 4 +α Για α είαι το δείγµα οµοιογεές πρέπει CV y 0, 0, 4+α Η µικρότερη τιµή του α είαι η α = 6. 0 4 + α α 6 3. Μία έρευα έδειξε ότι το 50% περίπου τω µαθητώ, για α πάε από το σπίτι στο σχολείο, χρειάζοται περισσότερο από λεπτά, εώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουµε ότι η καταοµή του χρόου διαδροµής είαι καοική ) Να βρείτε το µέσο χρόο διαδροµής τω µαθητώ και τη τυπική απόκλιση του χρόου διαδροµής ) Να εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές ) Α οι µαθητές της πόλης είαι 4000 α βρείτε πόσοι µαθητές θα κάου χρόο διαδροµής από 4 έως 6 λεπτά ) Μία ηµέρα λόγω έργω κάθε µαθητής καθυστέρησε α πάει στο σχολείο 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο µεταβάλλεται ο συτελεστής µεταβολής. Προτειόµεη λύση ) Είαι x = λεπτά Το 6% τω παρατηρήσεω έχει τιµές µικρότερες από τη x S. Άρα x S = 0 S = 0 S = λεπτά ) S CV = x = 0,66 = 6,6% > 0%, άρα το δείγµα δε είαι οµοιογεές ) (4, 6) = ( x +S, x +S) στο διάστηµα αυτό βρίσκεται το 3,5% τω 3,5 παρατηρήσεω, άρα 4000 = 540 µαθητές 00 ) Α y είαι ο οποιοσδήποτε έος χρόος, τότε y = x + 5, Άρα y= x+ 5 = +5 = 7 λεπτά και Sy S y = S x =, οπότε CV y y 7 Ο συτελεστής µεταβολής ελαττώθηκε κατά 6,6,7 = 4,9% Σχόλιο 7
3 33. Έστω η συάρτηση f (x) =, x (0, + ) x ) Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης της C f στο σηµείο Λ(, ). ) Από τυχαίο σηµείο Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της f φέρουµε παράλληλες ευθείες προς τους άξοες x x και y y, οι οποίες σχηµατίζου µε τους ηµιάξοες Οx και Οy ορθογώιο παραλληλόγραµµο. Να βρεθού οι συτεταγµέες του Μ ώστε η περίµετρος του ορθογωίου α είαι ελάχιστη. ) Α οι τετµηµέες πέτε διαφορετικώ σηµείω της εφαπτοµέης του ) ερωτήµατος έχου µέση τιµή 5 και τυπική απόκλιση, α βρεθεί η µέση τιµή y και η τυπική απόκλιση τω τεταγµέω τω σηµείω αυτώ. Προτειόµεη λύση ) Είαι f (x) = και f() =, f () = x Η εξίσωση της εφαπτοµέης στο Λ(, ) είαι y f() = f ()(x ) ) Η περίµετρος του ορθογωίου ΜΑΟΒ είαι Π = x + y. Επειδή το Μ αήκει στη Οπότε η περίµετρος γίεται Π(x) = x + x, x > 0 x Π (x) = = x x Π (x) = 0 x = C f, θα είαι y = x Το πρόσηµο της Π και η µοοτοία της Π(x) φαίοται στο διπλαό πίακα, από όπου συµπεραίουµε ότι η Π(x) παρουσιάζει ελάχιστο για x = Εποµέως το ζητούµεο σηµείο είαι το (, ), δηλαδή το Λ y = (x ) y = x + Α Ο y Λ(, ) Β Μ(x, ψ) x 0 + Π 0 + ) Είαι x = 5 και S x = Η σχέση που συδέει τη τετµηµέη µε τη τεταγµέη εός εκάστου τω 5 σηµείω είαι η y = x + Άρα y = x+ = 5 + = 3 και S y = S x = S x = Π x
33 34. Έστω t, t,, t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ εός δείγµατος µεγέθους, µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση S. Έστω επίσης η συάρτηση f (t) = ( t x) 3, t R και S 0. 300S ) Να αποδείξετε ότι η f είαι γησίως αύξουσα ) Να αποδείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής γίεται ελάχιστος ότα t = x και α βρείτε τη ελάχιστη τιµή του. ) Α f (0) =, α υπολογίσετε το συτελεστή µεταβολής CV τω παραπάω παρατηρήσεω και α εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές. ) Να αποδείξετε ότι η µέση τιµή τω αριθµώ f (t ), f (t ),, f (t ) είαι ίση µε 00 Προτειόµεη λύση 3 ) f (t) = ( t x ) (t x)' 300S ) = ( ) Η συάρτηση f (t) = ( t x) f (t) = ( t x) = ( ) 00S f (t) = 0 ( t x) t x > 0 για κάθε t x 00S άρα η f είαι γησίως αύξουσα στο R 00S ορίζει το ρυθµό µεταβολής της f. 50S t x = 0 t = x 50S το πρόσηµο της f και η µοοτοία της f φαίοται στο άξοα t x + f 0 + f γ. φθί. γ. αύξ. Από το άξοα φαίεται ότι ο ρυθµός µεταβολής γίεται ελάχιστος ότα t = x Η ελάχιστη τιµή του ρυθµού µεταβολής είαι f ( x ) = ( x x) = 0 00S 00S ) f (0) = ( 0 x) = x 00S = S x = S 00 x = 0 CV = 0 0, = 0%
34 ) x f = = = = f (t ) + f (t ) +... + f (t ) (t x) + (t x) +... + (t x) 00S 00S 00S (t x) + (t x) +... + (t x) 00S 00S S = 00.
35 35. Από δύο τύπους µπαταριώ Α και Β επιλέχθηκα δύο δείγµατα µεγέθους 5 το κάθε έα. Οι χρόοι ζωής τω µπαταριώ για το κάθε δείγµα, σε χιλιάδες ώρες δίοται στο πίακα. ) Να βρείτε τη µέση διάρκεια ζωής µιας µπαταρίας τύπου Α και µιας τύπου Β ) Α κάθε µπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 ευρώ και κάθε τύπου Β 40 ευρώ, ποιό τύπο µπαταρίας συµφέρει α αγοράσουµε και γιατί. ) Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις της διάρκειας ζωής τω δύο τύπω µπαταριώ. ) Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους παρουσιάζει τη µεγαλύτερη οµοιογέεια ως προς τη διάρκεια ζωής. Προτειόµεη λύση ) 0+ 6+ 4+ + 8 xa = = χιλιάδες ώρες 5 6+ 3+ 9+ 0+ 3 xβ = = 4 χιλιάδες ώρες 5 ) 38 To αά χιλιάδα ώρες κόστος κάθε µπαταρίας τύπου Α είαι,7 40 και του τύπου Β είαι 4,66 Άρα µας συµφέρει α αγοράσουµε µπαταρίες τύπου Β ) (0 ) + (6 ) + (4 ) + ( ) + (8 ) S A = = 8 5 άρα S A = 8χιλιάδες ώρες (6 4) + (3 4) + (9 4) + (0 4) + (3 4) S B = = 5 άρα S Β = χιλιάδες ώρες ) SA 8 CV = A x = A, SB CVB = = xb 4 8 Έστω ότι CV A < CV B < 4 4 8 < Άρα το δείγµα Α παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογέεια Α Β 0 6 6 3 4 9 0 8 3 576 8 < 484 πράγµα που ισχύει
36 36. Έστω x, x, x 3, x 4 οι τιµές µιας µεταβλητής Χ εός δείγµατος µεγέθους 7. ίεται ότι 4 = 3 3, και ότι τα τόξα α που ατιστοιχού στις τιµές x και x είαι ατίστοιχα 50 ο και 30 ο. ) Να συµπληρωθεί ο πίακας x α ) Α x < 7, x = 7, x 3 = 3 και x 4 > 3, x 50 ο x α δείξετε ότι 0R + 7 x = 5δ, 30 ο x 3 3 όπου R = εύρος, x = µέση τιµή και x 4 3 3 δ = διάµεσος Σύολο Προτειόµεη λύση ) α = 360 ο f 50 o = 360 o 50 o = 360 o 7 = 0 α = 360 ο f 30 o =360 o 30 o = 360 o 7 = 6 + + 3 + 4 = 7 0 + 6 + 3 + 3 3 = 7 3 = 4 Οπότε 4 = 3 4 = 4 α 3 = 3 360 ο 4 = 360 ο 7 =70ο και Ο πίακας συµπληρωµέος α 4 = 360 ο 50 ο 30 ο 70 ο = 0 ο ) Μικρότερη τιµή είαι η x και µεγαλύτερη η x 4, οπότε το εύρος R = x 4 x 0x + 6 ( 7) + 4 3+ 4x4 x = 7 5x + x 4 x = 36 η η 36 παρ+ 37 παρ x δ = = 4 + x4 = x4 5x + x 4 οπότε 0R+7 x = 0(x 4 x ) + 7 36 = 0x 4 0x + (5x + x 4 ) = 0x 4 0x + 0x + 4x 4 = 5x 4 = 5δ. x α x 0 50 ο x 6 30 ο x 3 3 =4 70 ο x 4 3 3 = 4 0 ο Σύολο 7 360 ο
37 37. Έστω x > 0 και S x > 0,0 παρατηρήσεω x, x, x 3,, x 0. 0 x = 00Sx τότε : ) Να δείξετε ότι το δείγµα είαι οµοιογεές ) Έστω y οι παρατηρήσεις που προκύπτου από τις Α ισχύει x µε y = x 0 και CV y = 0%. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή x και τη τυπική απόκλιση S x τω παρατηρήσεω x. Προτειόµεη λύση ) 0 x = 00Sx 0 0 x = 0 Sx x + = x S x 0S 00S x = x Sx = x 00 Sx 0 x = () CV x = = 0, = 0% 0 άρα δείγµα οµοιογεές ) Θα είαι y= x 0 και S y = S x CV y = 0% S y 0, y = Sx x 0 = 0, Σχόλιο 6 δεύτερος τύπος Sx = 0, x 4 () Λύοτας το σύστηµα τω (), () βρίσκουµε S x = 4 και x = 40
38 38. Έα δείγµα φίλω εξετάστηκε ως προς τη ηλικία του. Βρέθηκε ότι (x x) = 5+ x και CV = 5% ) Να βρείτε τα x και S ) Μετά από πόσα χρόια το δείγµα θα είαι για πρώτη φορά οµοιογεές; ) Να υπολογιστεί η µέση τιµή τω παρατηρήσεω: x, x,...,x ) Α οι φίλοι είαι 4, δείξτε ότι καεός η ηλικία δε είαι µεγαλύτερη από 30 χρόια Προτειόµεη λύση ) (x x) = 5+ x (x x) = 5+ x S = 5 + x () S CV = 5% 0, 5 x = S= 0,5x () Λύοτας το σύστηµα τω (), () βρίσκουµε x = 0 και S = 5 Άρα CV = S x = 5 = 0,5 = 5% δείγµα όχι οµοιογεές 0 ) Έστω ότι µετά από c χρόια το δείγµα θα γίει για πρώτη φορά οµοιογεές. Τότε οι ηλικίες ψ τω ατόµω θα δίοται από τη σχέση y = x +c οπότε y= x+ c = 0 + c και S y = S x = 5. Sy 5 Τότε CV y = = 0, 50 0 + c c 30 y 0+ c ηλαδή µετά από τριάτα χρόια το δείγµα θα γίει για πρώτη φορά οµοιογεές. ) S = x x 5 = x 400 ) Σχόλιο 6, πρώτος τύπος Α οι φίλοι είαι 4 τότε S x = 45 ηλαδή η µέση τιµή τω παρατηρήσεω x, x,...,x είαι ίση µε 45 (x x) + (x x) + (x x) + (x x) = 4 3 4 5 = 00 = (x 0) + (x 0) + (x 0) + (x 0) 3 4 4 (x 0) + (x 0) + (x 0) + (x 0) 3 4 Σχέση η οποία είαι αδύατη α κάποιο x είαι > 30
39 39. Σε έα τεστ µαθητές απάτησα σε χρόους t, t,, t. ίεται ότι η συάρτηση f(x) = (t x) + (t x) + + (t x), x R παρουσιάζει ελάχιστο, το f() = 8. ) Να βρείτε τη µέση τιµή τω t, t,, t. ) είξτε ότι f (0) = 4 ) Να βρείτε το µικρότερο πλήθος ώστε το δείγµα α είαι οµοιογεές. ) Α t = 48, α βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. Προτειόµεη λύση ) f (x) = (t x)(t x) +(t x)(t x) + +(t x)(t x) = = (t x) (t x) (t x) = = t + x t + x t +x) = = (t + t + + t ) + x Αφού η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = θα είαι f () = 0 ) f (0) = (t + t + + t ) + 0 = (t +t + +t ) ) S (t x) (t ) + (t ) +... + (t ) = = (t + t + + t ) + 4 = 0 t + t + + t = () t + t +... + t ηλαδή x = () Αλλά f() = 8 (t ) + (t ) + + (t ) = 8 Η () 8 S = S= S CV = x = = Για α είαι το δείγµα οµοιογεές πρέπει CV 0, 0, = ( ) = = 4 0, 0,0 00 δηλαδή το ελάχιστο πλήθος είαι το 00
40 ) S = t x 8 = Σχόλιο 6, πρώτος τύπος 48 4 = 0 40. Σ έα τεστ µαθηµατικώ, κ µαθητές απάτησα σε χρόο t [8, ) και λ µαθητές σε χρόο t [, 6) λεπτά. ) Να βρείτε τη µέση τιµή του χρόου απάτησης ) Α S είαι η τυπική απόκλιση δείξτε ότι S Προτειόµεη λύση ) 0κ+ 4λ x = κ+λ ) S S 4 0κ+ 4λ 0κ+ 4λ κ 0 +λ 4 κ+λ κ+λ κ+λ 4 4λ 4κ κ +λ κ+λ κ+λ κ+λ 4 6 6 ( κ+λ)( κ+λ) κλ + λκ 4 4κλ ( κ+λ) (κ λ) 0 που ισχύει.